Tematy zadań określonych jako „rozmaite”

Tematy zadań określonych jako „rozmaite”
1. Siedem ciekawych zadań
1. Oblicz długość pasa w przekładni pasowej, mając dane długości promieni kół: 40cm i
10cm, oraz odległość środków tych kół równą 60 cm.
2. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = x 2 + x + 1 . Wyznacz wszystkie
wielomiany, dla których zachodzi warunek f (g( x )) = 4x 2 + 6x + 3 dla każdego x ∈ R .
5 −1
(zadanie
4
rozwiąż nie korzystając ze wzorów na wartości funkcji trygonometrycznych kąta 36o ).
km
przelatuje
W pewnej chwili awionetka lecąca na zachód z prędkością 360
h
dokładnie nad autobusem, jadącym po płaskiej drodze na południowy zachód z
km
prędkością 90
. Awionetka leci na wysokości 2km. Jaka będzie odległość między
h
awionetką i autobusem po upływie 30 sekund? Wynik podaj z dokładnością do
do 1m.
Wykaż, że funkcja homograficzna dana wzorem
ax + b
f ( x) =
, gdzie ad − bc ≠ 0 , c ≠ 0 jest różnowartościowa.
cx + d
Udowodnij, że funkcja odwrotna do funkcji homograficznej, jest też funkcją
homograficzną.
Bok kwadratu ABCD ma długość a. Wierzchołek A połączono ze środkami E i F
odpowiednio boków BC i CD. Wykaż, że odcinki AE i AF dzielą przekątną BD na trzy
odcinki równej długości.
W walcu, którego promień podstawy ma długość r, umieszczono stożek. Stożek jest tak
położony, ze osie obu brył są prostopadłe, wierzchołek stożka należy do pobocznicy
walca, zaś podstawa stożka ma po jednym punkcie wspólnym z podstawami walca i
dwa punkty wspólne z pobocznicą walca (rysunek).
3. Wyprowadź podawany w tablicach matematycznych wzór: sin 18o =
4.
5.
6.
7.
Oblicz objętości walca i stożka, wiedząc, że długość średnicy podstawy stożka jest
równa długości jego tworzącej.
tworzącej.
******************************************************************************************
************************************************************
2. Dziesięć różnych zadań
1. W trójkącie ABC wysokość CD i środkowa CE dzielą kąt ACB na trzy równe części.
Wyznaczyć miarę tego kąta.
2. Znaleźć zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt P = ( 3,2) i
stycznych do osi OX.
3. Rozwiąż nierówność x log 3 x + x 2 log 3 x > 12 .
4. W kwadracie zawarty jest prostokąt o bokach odpowiednio równoległych do
przekątnych kwadratu. Wykaż, że pole prostokąta nie jest większe od połowy pola
kwadratu.
5. W trapezie ABCD łączymy środek M ramienia AB z końcami ramienia CD. Wykazać, że
pole powstałego trójkąta CMD jest połową pola trapezu.
n3 − n2 + 2
6. Ustal, dla jakich
jest liczbą całkowitą.
jakich naturalnych n, wyrażenie
n−1
7. Boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 10cm. W trójkąt
wpisujemy trzy jednakowe koła styczne parami do siebie, każde jest styczne do
dłuższej przyprostokątnej, pierwsze jest również styczne do krótszej
przyprostokątnej, a trzecie jest również styczne do przeciwprostokątnej.
Oblicz długość promieni tych kół.
8. Wyznaczyć liczby wymierne a i b spełniające warunek: a + b = 6 + 11 .
9. Rowerzysta p
przebył
rzebył drogę AB = 60 km jadąc za stałą prędkością. W drodze powrotnej
po godzinie jazdy z taką samą prędkością, zatrzymał się na 20 minut, a pozostałą część
km
drogi odbył z prędkością zwiększoną o 4
. Okazało się, że droga w obie strony
h
trwała tyle samo czasu. Z jaką prędkością rowerzysta jechał z A do B?
10. Znaleźć taką zależność między p i q, aby równanie x 4 + px 2 + q = 0 miało cztery
pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny.
******************************************************************************************
******************************************************************************************
************************************************************
3. 20 różnych zadań
1. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych spełniających układ równań:
x + y = 6
 x
y
 2 + 3 = 25
2. Wyznacz liczbę rozwiązań równania x 2 + 3x + 1 = k w zależności od parametru k.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10n + 4n − 2
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba postaci
jest całkowita.
6
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:
log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n + log(n + 1) log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n
>
n+1
n
Dane są długości boków b i c trójkąta ABC. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt
leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b.
W urnie znajduje się n kul białych, 2n kul czarnych i 3n kul zielonych. Losujemy 3 kule.
Co jest większe:
większe: prawdopodobieństwo, że wszystkie kule będą tego samego koloru,
czy też prawdopodobieństwo, że każda kula będzie innego koloru?
Rozwiązać równanie: tg 2 ( x + y ) + ctg 2 ( x + y ) = 1 − 2x − x 2
Na pewnej drodze przednie koło wozu zrobiło 480 obrotów, a tylne, którego obwód
jest o 60cm większy, tylko 360 obrotów. Oblicz obwód każdego koła i długość
przebytej drogi.
Udowodnij, że przekątne trapezu o bokach a,b,b,b są dwusiecznymi kątów przy boku a.
x+4
+x−3
x+4
11. Do dwóch okręgów o promieniach 2cm i 9cm poprowadzono wspólną styczną
przecinającą odcinek łączący środki okręgów. Wiedząc, że odległość środków okręgów
wynosi 22cm, oblicz długość odcinka stycznej zawartego między punktami styczności.
12. Obwód prostokąta wynosi 80 cm.
cm. Dwusieczna jednego z kątów dzieli obwód na dwie
części różniące się o 20 cm. Oblicz pole prostokąta.
13. Udowodnij, że w trójkącie równobocznym suma odległości dowolnego punktu
wewnętrznego tego trójkąta od boków trójkąta jest wielkością stałą.
14. Wykazać, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma odległości dowolnego
punktu przeciwprostokątnej od obydwu przyprostokątnych jest równa długości jednej
przyprostokątnej.
15. Średnia wieku drużyny piłkarskiej (11 osób) wynosi 22 lata. Jeden z piłkarzy otrzymał
czerwoną
czerwoną kartkę i zszedł z boiska. Średnia wieku pozostałych zawodników wynosi
teraz 21 lat. Ile lat miał piłkarz, który otrzymał czerwoną kartkę?
16. Piła ma 60 cm długości i równe ząbki będące trójkątami równoramiennymi. Wysokość
2
jego podstawy.
każdego z ząbków jest równa
3
Jaką drogę przejdzie mrówka maszerując po ostrzach kolejnych ząbków piły?
17. W trójkącie równoramiennym dany jest kąt α przy podstawie. Obliczyć stosunek pola
koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta.
18. Dla jakich wartości m funkcja f ( x) = mx 3 − (m + 2)x 2 ma ekstremum w punkcie x 0 = 1
? Wyznaczyć to ekstremum.
10. Narysuj wykres funkcji: y =
sin 2 x − 1
2 cos x − 1
20. W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, krawędź podstawy równa się a, zaś
kosinus kąta między przekątnymi ścian bocznych, wychodzącymi ze wspólnego
19
wierzchołka jest równy
. Obliczyć objętość graniastosłupa.
20
******************************************************************************************
************************************************************
4. 30 różnych zadań
1. Ramię trójkąta równoramiennego jest dwa razy dłuższe od jego podstawy. Obliczyć
stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola trójkąta.
2. Napisać równanie okręgu o promieniu r = 3 , przechodzącego przez punkt A = (4,2)
wiedząc, że środek tego okręgu należy do prostej 2x − y = 0 .
3. Obliczyć cosinus kąta, pod jakim ze środka podstawy sześcianu o krawędzi a widać
jego przekątną. Dla jakich wartości m reszta z dzielenia wielomianu
2
x 3 − x 2 + mx − 2 przez dwumian x − 2 jest mniejsza lub równa 6?
m
2
4. Dla jakich wartości m reszta z dzielenia
dzielenia wielomianu x 3 − x 2 + mx − 2 przez
m
dwumian x − 2 jest mniejsza lub równa 6?
5. Ze zbioru liczb {1,2,3,...,20} losujemy jedną liczbę. Zbadaj niezależność zdarzeń:
A – wylosowana liczba jest parzysta,
B - wylosowana liczba jest podzielna przez 3.
19. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f ( x) =
6. Dane są punkty A = (0,3) i B = ( −2,−1) . Na prostej y = x wyznaczyć taki punkt C,
aby kąt ABC był prosty i obliczyć pole trójkąta ABC.
7. Napisać równanie okręgu o promieniu 5 i stycznego do prostej x + 2y − 1 = 0 ,
wiedząc, że jego środek leży na osi OY.
sin x sin 2 x sin 3 x
1
8. Rozwiązać równanie
+
+
+ ... = .
2
4
8
3
9. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC o boku a, a spodkiem wysokości
poprowadzonej z wierzchołka W jest punkt A. Wiedząc, że kąt BWC na ścianie
ostrosłupa wynosi 450, oblicz wysokość ostrosłupa.
10. Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 kule czarne losowo wybieramy bez zwracania
dwie kule, a następnie dokładamy do urny kulę białą. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że po tym postępowaniu losowo wybrana
wybrana z urny kula okaże się biała.
11. Dane są dwa wektory: AB = [1,0] i AC = [− k ,2] .
π
Dla jakich wartości k kąt BAC wynosi ?
3
12. Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x ) = 2 − sin 2 x − 2 cos x
13. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = ( −2,1) , B = (5,4) , C = (0,3) jest
rozwartokątny, a następnie oblicz jego pole.
14. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym | AB |= 2 , | BC |=| AC |= 6 ,
poprowadzono środkową AD. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD.
15. W trójkącie
trójkącie równoramiennym ABC dane są: |OP| Q R, |OS| Q |PS| Q T.. Obliczyć
odległość środków okręgów: wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie.
trójkącie.
16. Jeden kran napełnia basen w ciągu 10 godzin. Każdy z dwu pozostałych kranów –
dwa razy szybciej. W jakim czasie napełni się basen, gdy otworzy się wszystkie trzy
krany?
krany?
17. Rozwiązać równanie: (V W X TV)(V W X TV X W) X WY Q Z..
18. Narysuj wykres funkcji: [(V) Q √V W X Y ] √Y X ^W ] _
19. Rozwiązać równanie ^W ] `V X Y Q Z wiedząc, że kwadrat różnicy pierwiastków
równa się 25.
20. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu a(^) Q ^_ZZZ ] TV X _ przez wielomian
b(V) Q V X ^c .
21. Wykazać, że równanie ^W ] dV ] e Q Z o współczynnikach nieparzystych nie ma
pierwiastków całkowitych.
22. Dla jakich liczb naturalnych n równanie ^fg_ ] RY Q V f ] RYV ma dokładnie dwa
pierwiastki rzeczywiste?
23. Dana jest funkcja [(V) Q d^W ] eV ] T.. Wyznacz wartości parametrów a i b
wiedząc, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x spełnione jest równanie:
[(V ] _) X i(V) X jV Q c..
24. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 13cm, a jedna z
przyprostokątnych
przyprostokątnych jest o 7cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość wysokości tego
trójkąta opuszczonej na przeciwprostokątną.
25. Znajdź największą wartość iloczynu sink
sin · mnfo,, jeżeli k i β są
są to miary kątów
ostrych pewnego trójkąta prostokątnego.
26. Oblicz miarę kąta ostrego między prostymi ^ ] cq X T Q Z n V X Wq ] c Q Z..
27. Kontrola techniczna w zakładzie produkcyjnym odrzuca partię wyrobów złożoną ze
100 sztuk, jeżeli wśród losowo wybranych z tej partii 4 sztuk znajduje się co najmniej
jedna wadliwa.
wadliwa. Obliczyć prawdopodobieństwo odrzucenia partii zawierającej 10
sztuk wadliwych.
28. Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu r Q((-1,3) względem
prostej s Q WV..
29. Wyznacz taką liczbę c, by proste styczne do paraboli o równaniu s Q t X V W w
punktach przecięcia z osią OX były prostopadłe.
30. W trójkącie równoramiennym o długości podstawy a i wysokościach h oraz H, v w
x,, zachodzi związek dW Q x · v.. Oblicz sinus kąta przy podstawie trójkąta.
trójkąta.
******************************************************************************************
************************************************************
5. 25 różnych zadań
1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość a i jest
nachylona do płaszczyzny
płaszczyzny podstawy pod kątem α. Przy ustalonym a, wyraź
wyraź objętość
tego ostrosłupa jako funkcję zmiennej α.
_
2. Ile rozwiązań ma równanie: z{|} ^ · ~z} ^ Q _W} ?
3. Losowo rzucono osiem monet.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadło więcej reszek niż orłów.
4. Oblicz obwód czworokąta opisanego na okręgu o promieniu długości r, jeżeli pole
czworokąta wynosi P.
5. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór: €(^, s): s  ‚ ] 1 ƒ ^W ] sW „ Y…
6. Niech A i B będą niezależnymi zdarzeniami losowymi takimi, że z
_
_
prawdopodobieństwem
prawdopodobieństwem R zachodzą jednocześnie i z prawdopodobieństwem c żadne
z nich nie zachodzi. Oblicz †(O) n †(P).
7. Objętość prostopadłościanu jest równa 216~‡
216 c , pole powierzchni całkowitej wynosi
252~‡
252 W , a długości jego krawędzi tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długość
przekątnej tego prostopadłościanu.
8. Fabryka zamierzała w ciągu pewnego czasu wyprodukować 120 samochodów. Po
wykonaniu połowy zamówienia usprawniono produkcję tak, że fabryka wytwarzała
dziennie o jeden samochód więcej i zamówienie wykonała o 5 dni wcześniej. W ciągu
ilu dni fabryka zamierzała wyprodukować te samochody?
9. Pole trójkąta (rys. poniżej) spełnia równość: ˆ Q ‰W X (Š X ~)W . Oblicz t‹m k..
10. Jaki warunek spełniają parametry b i c, jeżeli trójmian [(^) Q ^W ] Š^ ] ~ ma dwa
pierwiastki ^_ i ^W takie, że ^_ Œ 2 Œ ^W ?
^
11. Wyznacz zbiór wartości funkcji [(^) Q ^W g_ , ^  Ž
12. W schemacie 4 prób Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej
RT
jednego sukcesu wynosi j_. Oblicz prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie.
13. Pan Pieniążek otworzył w banku konto z wpłatą 100zł i postanowił, że będzie na
swoje konto wpłacał dodatkowo po upływie każdego kwartału kwotę 100zł. Bank
oferuje stałe roczne oprocentowanie 4% i kapitalizuje odsetki co kwartał. Oblicz
oszczędności
oszczędności pana Pieniążka na koniec czwartego roku (w zaokrągleniu do złotego).
14. Czworokąt ABCD jest rombem. Wysokość DE (‘ ’ “”) dzieli bok AB na odcinki o
długościach: |“‘| Q ‰ , |‘”| Q Š , Š Œ •..
Oblicz długość dłuższej przekątnej rombu
15. Dla jakich wartości
wartości parametru – —Z, ˜™ funkcja [(^) Q ^W X šY√W t‹m k›^ ]
Y mnf Wk ma wartość najmniejszą równą zero?
16. Rzucamy dwa razy kostką. Niech A oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że w
wyniku pierwszego rzutu otrzymano nieparzystą liczbę oczek, B – w wyniku
drugiego rzutu otrzymano więcej oczek, niż w wyniku pierwszego. Oblicz r(“/”).
17. Trójkąt prostokątny ma pole R~‡W , a promień koła opisanego na trójkącie ma
długość W, T~‡.Oblicz
.Oblicz długości boków tego trójkąta.
18. Stożek o objętości b przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy stożka, odcinając
_
stożek o objętości b.. Oblicz stosunek wysokości danego
danego stożka i stożka odciętego.
W
19. Wiadomo, że wielomian a(^) Q ^c ] ‰^W X ‰^ X _ jest podzielny przez dwumian
(^ ] _).. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (^ ] W)..
20. Funkcja [(^) Q ^c X c‰^ ma ekstremum lokalne w punkcie ^ Q _.. Sprawdź, czy jest
to maksimum, czy minimum lokalne. Sprawdź, czy funkcja posiada inne ekstrema –
jeśli tak, wyznacz je.
T
21. Prawdopodobieństwo, że lipcowy dzień będzie słoneczny w Kołobrzegu jest równe R.
Oblicz prawdopodobieństwo 10 słonecznych dni podczas
podczas 1414-dniowego pobytu w
Kołobrzegu w miesiącu lipcu.
22. W trójkącie prostokątnym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny rosnący.
Udowodnij, że różnica tego ciągu jest równa promieniowi okręgu wpisanego w ten
trójkąt.
23. Oblicz miejsca zerowe funkcji: [(^) Q nž|Ÿ (_ ] ^W ] ^Y ] ^R ] ¡ ] ^W| )
24. Rozłóż na czynniki stopnia pierwszego i drugiego wielomian a(^) Q ^j X _
25. W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości prostopadłej do
˜
podstawy jest równa 12, a miara kąta przy podstawie jest równa R . Oblicz
Oblicz pole
trójkąta.
******************************************************************************************
************************************************************
6. 18 zadań z planimetrii
1. Podstawa trójkąta ma długość 60cm, wysokość 12cm, a środkowa poprowadzona do
podstawy 13cm. Oblicz długości boków trójkąta.
2. Na bokach równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości
10cm zbudowano kwadraty na zewnątrz boków. Środki tych kwadratów połączono
odcinkami. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.
trójkąta.
3. Podstawa trójkąta jest podzielona przez wysokość na części równe 36cm i 14cm.
Prosta poprowadzona prostopadle do podstawy dzieli pole danego trójkąta na
połowy. Na jakie części prosta ta dzieli podstawę trójkąta?
4. Oblicz pole trójkąta równoramiennego, jeżeli
jeżeli jego podstawa wynosi 12cm, a
wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi łączącemu środek
podstawy ze środkiem ramienia.
5. Podstawy trapezu mają długości a, b. Wyznacz długość odcinka równoległego do
podstaw i dzielącego pole trapezu na połowy
6. Wyznacz pole trójkąta, którego boki są równe 27cm i 29cm, a środkowa trzeciego
boku wynosi 26cm.
W
7. W trójkącie dane są dwa boki b i c, oraz jego pole ˆ Q Š~.. Oblicz długość trzeciego
T
boku.
8. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne. Odcinek
wewnętrzny pierwszej siecznej równa się 47cm, a zewnętrzny 9cm. Odcinek
wewnętrzny drugiej siecznej jest o 72cm dłuższy od jej odcinka zewnętrznego.
Wyznacz długość cięciwy wyznaczonej przez drugą sieczną.
9. Boki trójkąta są równe ‰ Q _c~‡,, Š Q _Y~‡,, ~ Q _T~‡.. Dwa z nich (a i b) są
styczne do okręgu, którego środek leży na trzecim boku. Oblicz promień tego okręgu.
10. W trójkącie prostokątnym na większej przyprostokątnej, jako na średnicy opisano
półokrąg. Wyznacz długość półokręgu, jeżeli mniejsza przyprostokątna jest równa
30cm, a cięciwa łącząca wierzchołek kąta prostego z punktem przecięcia
przeciwprostokątnej z półokręgiem jest równa 24cm.
11. Przez punkt okręgu poprowadzono dwie cięciwy o długościach 6cm i 8cm. Jeżeli
połączymy ich końce, to otrzymamy trójkąt o polu 24cm2. Wyznacz promień okręgu.
12. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny, jeżeli wysokość opuszczona na
przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki równe 25,6cm i 14,4cm.
13. Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego
którego najmniejszy bok jest
c¢
równy W . Wyznacz pole trapezu.
14. W trójkąt równoboczny o boku a wpisano trzy jednakowe okręgi styczne jeden do
drugiego. Każdy z nich przylega poza tym do dwóch boków danego trójkąta. Wyznacz
promienie tych okręgów.
15. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu 4cm. Jeden z boków trójkąta został podzielony
przez punkt styczności okręgu na dwie części równe 6cm i 8cm. Wyznacz długości
dwóch pozostałych boków trójkąta.
16. Prostopadła opuszczona z wierzchołka kąta przy podstawie trójkąta
równoramiennego
równoramiennego na przeciwległe ramię dzieli je w stosunku šW√W X _›: _ licząc od
wierzchołka.
˜
Sprawdź, czy kąt k przy wierzchołku spełnia nierówność: k Œ .
Y
17. W wycinek kołowy o promieniu Ž i kącie rozwarcia _WZZ wpisano koło. Oblicz
promień tego koła.
18. Punkt leżący wewnątrz kąta RZZ jest odległy o a i b od jego ramion. Oblicz odległość
tego punktu od wierzchołka kąta