Open full article - Journal of Technology and Information Education

Transkrypt

2009, Volume 1, Issue 3
ISSN 1803-537X
Journal of Technology
nology and Information Education
asopis
asopis pro technickou a informa
informaní výchovu
OTHER ARTICLES
http://jtie.upol.cz
SKALOPTYM - UNIVERSAL SOFTWARE FOR OPTIMALIZATION OF
O
TECHNICAL PROBLEMS
Renata KASPERSKA - Andrzej KASPERSKI
Abstract: The work concerns the optimization tasks of technical
technical problems. In the paper optimization
bases are outlined, selected computer programs to solve optimization tasks are characterized, and the
software implemented by authors
uthors for didactics of scalar optimization
optimization of different problems is
presented.
Key words: optimization, optimal design, global
g
solution, genetic algorithm.
SKALOPTYM – UNIWERSALNE OPROGRAMOWANIE
OPROGRAMOWANIE DO OPTYMALIZACJI
OPTYMALIZA
ZAGADNIE TECHNICZNYCH
Streszczenie: Praca dotyczy zadania wyznaczania optymalnych
nych rozwiza
rozwiza dla zagadnie
technicznych. W artykule przedstawiono zarys podstaw
podstaw optymalizacji, scharakteryzowano wybrane
programy komputerowe umoliwiaj
liwiajce rozwizywanie zada optymalizacyjnych oraz zaprezentowano
opracowane przez autorów
utorów oprogramowanie stosowane w dydaktyce do optymalizacji skalarnej
dowolnych problemów.
Słowa kluczowe: optymalizacja, projekt optymalny, rozwizanie globalne, algorytm
lgorytm genetyczny.
genetyczny
1 Wstp
Wykorzystanie efektywnych,
efektywnych nowoczesnych
metod obliczeniowych i analitycznych
nalitycznych oraz
zastosowanie
komputerów
umo
umoliwia
podejmowanie złoonych zagadnie,
zagadnie
których
rozwizanie do niedawna nie było moliwe.
mo
Obecnie
becnie
jednym
z
najmodniejszych
kierunków badawczych jest optymalizacja
optymali
jako
wyraz denia człowiekaa do uzyskiwania jak
najlepszych rozwiza.. Odpowiednie i właciwe
przygotowanie do pracy przyszłych inynierów
in
czy techników cile zwizane
zane jest z nabyciem
w procesie edukacji umiejtnoci
tnoci formułowania
i rozwizywania
zada
optymalizacyjnych,
wyboru właciwych
ciwych technik optymalizacji oraz
posługiwania
si
odpowiednim
typem
oprogramowania. Rozwój metod optymalizacji
we wszystkich dziedzinach twórczej działalnoci
działalno
człowieka (np. w technice, technologii,
technologi ekonomii,
zarzdzaniu) zwizany
zany jest z takimi potrzebami
potrzebami,
jak: projektowanie nowoczesnych systemów
konstrukcyjno-technologicznych,,
uzyskiwanie
coraz lepszych rezultatów oraz zapewnienie
projektowanym obiektom moliwie najlepszej
funkcjonalnoci, niezawodnoci
ci i trwałoci,
sprawnoci, jakoci, ergonomicznoci,
ergonomiczno
estetyki
itd. (1). Praktyczne zastosowanie optymalizacji
jest równie cile zwizane
zane z wymiernymi
efektami ekonomicznymi (obnienie
(obni
kosztów
produkcji
poprzez
zmniejszenie
zu
zuycia
materiałów).
2 Zadanie optymalizacji
W znaczeniu ogólnym, optymalizacj
nazywamy wiadom działalno
działalno człowieka,
której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu
w danych warunkach i przy okrelonym
okre
kryterium oceny danego rezultatu (3). Najlepszy
uzyskany rezultat jest rezultatem optymalnym.
optymalnym
W znaczeniu naukowym, optymalizacja jest
dziedzin wiedzy zajmujc
zajmuj
si metodami
wyboru optymalnych rozwiza
rozwi
wszelkich
działa, np. technicznych
hnicznych lub gospodarczych
(14). Optymalizacj nazywamy te
te proces
rozwizywania
ania zadania optymalizacji (17).
(17)
Zadanie optymalizacji mona
mo
sformułowa
nastpujco (3):
a) Dany jest niepusty zbiór X ⊂ R n , zwany
zbiorem rozwiza dopuszczalnych, okrelony
układem nierównoci
ci i równa:
równa
& & & &
&
n & &
X = x ∈ R : g ( x ) ≥ 0, h ( x ) = 0 ,
&
gdzie: x jest wektorem zmiennych decyzyjnych,
decyzyjnych
& & &
g ( x ) ≥ 0 s ograniczeniami nierównociowymi,
nierówno
& & &
równo
h ( x ) = 0 s ograniczeniami równociowymi.
Ograniczenia s warunkami okre
okrelonymi przez
projektanta, opisuj wymagania konstrukcyjne,
tzn. wymagania technologiczne, ekonomiczne,
ekonomiczne
funkcjonalne, wytrzymało
zymałociowe, uytkowe,
niezawodnociowe, ergonomiczne, ekologiczne
i inne.
b) Dana jest wektorowa funkcja celu:
139
{
}
ISSN 1803-537X
asopis
informaní výchovu
&
f : Rn → Rq , ( q ≥ 1 )
okrelona układem q skalarnych funkcji
kryterialnych (kryteriów), które maj by
optymalizowane:
f k : R n → R , ( k = 1,, q )
c) Dany
any jest postulat minimalizacji lub
maksymalizacji funkcji fk ( k = 1, , q ) na zbiorze
X zgodnie
godnie z preferencjami decydenta.
Uniwersalnym
niwersalnym kryterium optymalizacyjnym
w optymalnym projektowaniu jest minimum
kosztów (materiału, wykonania, transportu,
montau, eksploatacji, konserwacji, utylizacji
itp.).
Problem optymalizacji wielokryterialnej moe
by rozwizywany w sposób podobny do
problemu optymalizacji jednokryterialnej czyli
skalarnej (2). Ide optymalizacji skalarnej jest
znalezienie zbioru takich wartoci zmiennych
decyzyjnych, aby spełnione były wszystkie
ograniczenia i aby funkcja celu osigała warto
optymaln. W problemach optymalizacji
wielokryterialnej projektant próbuje znale takie
wartoci
zmiennych
decyzyjnych,
które
równoczenie optymalizuj wszystkie funkcje
kryterialne.
Do rozwizania zadania optymalizacji
skalarnej mona zastosowa wiele znanych,
odpowiednio
zaadaptowanych,
metod
poszukiwania ekstremum funkcji (np. metoda
pełnego przegldu, metoda Monte Carlo,
algorytmy genetyczne, symulowane wyarzanie,
przeszukiwanie
Tabu).
Liczb
metod
optymalizacji skalarnej mona oszacowa na
kilkadziesit, a liczb ich modyfikacji i rónych
wersji na kilka tysicy. Szczegółowy opis metod
m
optymalizacji skalarnej mona znale w bogatej
literaturze z tego zakresu: (1), (2), (3), (13), (15),
(16).
3 Oprogramowanie wspomagajce
wspomagaj
rozwizywanie zada optymalizacyjnych
Rys historyczny technik optymalizacyjnych
został przedstawiony m.in. w pracach:
racach: (2), (13).
Przegld około 75 pakietów oprogramowania
słucego do optymalizacji zawarto w pracy (12).
Na rynku dostpne s róne komercyjne
pakiety
oprogramowania
komputerowego,
przeznaczonego
go do optymalizacji skalarnej
i wektorowej funkcji matematycznych,
tycznych, np. (18).
Spis niektórych z nich mona znale na stronach
internetowych (5).
Jednym z komercyjnych programów jest
moduł LGO Global Solver Engine dla Microsoft
Excel, w którym okrela si z komórki
http://jtie.upol.cz
zmiennych, komórk celu, warunki ograniczajce
i róne opcje okrelajce aspekty oblicze, m.in.
liczb iteracji, dokładno rozwizania, algorytm
uywany do wyznaczenia
ia kierunków poprawy,
typ
zadania
jako
wariant
oblicze
optymalizacyjnych.
Do rozwizywania zada optymalizacji mog
by wykorzystywane aplikacje stosowane do
modelowania oraz oblicze numerycznych
i symbolicznych. Najwaniejsze z nich to system
MatLab wraz
raz z Optimization Toolbox (18),
Mathematica z modułem MathOptimizer,
MatCAD wraz z rozszerzonym pakietem Solving
& Optimization (5).. Innym oprogramowaniem
optymalizacyjnym doo rozwizywania zada
z obszaru programowania całkowitoliczbowego,
liniowego i nieliniowego,
liniowego, a take optymalizacji
globalnej słuy LINDO/LINGO Systems.
Komercyjnym
pakietem
obliczeniowym
zawierajcym róne metody optymalizacyjne jest
STORM (5).. Do rozwizywania problemów
niestabilnych i trudnych pod wzgldem
numerycznym moe słuy program XpressOptimizer, który daje moliwo wyboru wielu
algorytmów w zalenoci od złoonoci
problemu z milionami zmiennych i ogranicze.
Niestety, cech wspóln wymienionego
oprogramowania jest znaczny koszt zakupu
licencji. Niewiele sporód aplikacji do oblicze
optymalizacyjnych dostpnych jest bezpłatnie. S
to najczciej programy rozwijane w warunkach
akademickich.
Przykładami
darmowego
oprogramowania do optymalizacji jest mSimplex,
FC-Win, GOAL (6).
mSimplex
firmy
MatSol
słuy
do
rozwizywania
problemów
blemów
programowania
linowego (PPL) za pomoc algorytmu Simplex
i algorytmu dla programowania całkowitocałkowito
liczbowego – BAB. Program przeznaczony jest
dla
zaawansowanych
uytkowników,
do
działania wymaga platformy .NET. Aplikacja
moe by wykorzystywana do optymalizacji
w biznesie, produkcji, transporcie.
FC-Win
Win jest programem do modelowania
matematycznego, symulacji i optymalizacji,
dedykowanym do pracy inynierów oraz
naukowców (4).. Działa w rodowisku Windows
na bazie jzyka FC (Fortran Calculus), który
zapewnia minimalizacj kodu. Od uytkownika
wymagane jest wprowadzenie definicji modelu
matematycznego, ogranicze i funkcji celu.
Program
FC-Win
zawiera
ponad
60
przykładowych, rozwizanych problemów, które
mog pomóc w formułowaniu i rozwizywaniu
własnych problemów.
140
ISSN 1803-537X
asopis
informaní výchovu
GOAL jest narzdziem
dziem optymalizacji na bazie
algorytmu
genetycznego
(6). Umoliwia
Umo
rozwizanie problemów optymalizacyjnych
rónego typu.. Zadania optymalizacji mog
mog
zawiera kilka zmiennych (rzeczywistych
i binarnych), ogranicze i złoonych
onych funk
funkcji celu
zapisanych w jzyku Visual Basic.
Basic
Na rynku istnieje równie wolne i otwarte
oprogramowanie FLOSS (ang. Free Libre/Open
Source
Software).
Przykładem
jest
oprogramowanie LP-Solve
Solve napisane w jzyku
j
ANSI C, słuce do rozwizywania
zywania zagadnie
zagadnie
programowania
liniowego
i
całkowito
całkowitoliczbowego. Najwiksze
ksze zagadnienia mog
mog
zawiera 30000 zmiennych i 50000 ogranicze
ogranicze.
Do rozwizywania
zywania nietypowych problemów
optymalizacyjnych stosowane s równie róne
jzyki
zyki
programowania
i
modelowania
matematycznego, np. AMPL, Basic,
Basic C, Delhi,
Fortran (4), Pascal (16).
Rónorodno, mnogo
i komercy
komercyjno
narzdzi słucych
cych do optymalizacji, a take
tak dua
złoono obsługi wielu programów stały si
si
inspiracj do zaprojektowania i wykonania
oprogramowania dla celów edukacyjnych.
4 Charakterystyka programu SKALOPTYM
Program komputerowy SKALOPTYM został
zaprojektowany i zaimplementowany w jzyku
j
Delphi ze wzgldu
du na potrzeb
potrzeb nauczania
zagadnie optymalizacji rónych
nych problemów
technicznych i wyznaczania optymalnych
wartoci
ci
dla
opracowanych
modeli
matematycznych. Słuyy do optymalizacji
jednokryterialnej (skalarnej)
kalarnej) dowolnych funkcji
zdefiniowanych przez uytkownika.
ytkownika. Program jest
uproszczon wersj komputerowego programu
badawczego OPTIKON, który został wczeniej
wcze
zaimplementowany w celu optymalizacji modeli
konstrukcji cienkociennych.
ciennych. Charakterystyk
Charakterystyk
systemuu OPTIKON oraz wyniki optymalizacji
mona znale m.in. w pracach (9), (10), (11).
Obecnie oprogramowanie SKALOPTYM jest
wykorzystywane w dydaktyce na Uniwersytecie
Zielonogórskim i Politechnice Poznaskiej.
Pozna
Program SKALOPTYM charakteryzuje si
si
prost
obsług
niezalenie
nie
od
stopnia
skomplikowania
zadania
optymalizacji.
Podstawowe opcje menu (Plik,
(
Edycja,
Optymalizacja, Pomoc) s dostpne
dost
z głównego
okna programu, przedstawionegoo na rysunku 1.
Opcja Plik zawiera trzy podopcje: Nazwa
pliku (umoliwia podanie nazwy pliku, w którym
zostan zapisane wyniki optymalizacji),
optymalizacji Drukuj
(umoliwia wybór nazwy pliku, którego
http://jtie.upol.cz
zawarto moe by wydrukowana)
wydrukowana oraz Wyjcie
(umoliwia zakoczenie
czenie pracy z programem).
Rys. 1: Główne okno programu SKALOPTYM.
SKALOPTYM
Opcja Edycja zawiera
iera jedn
jedn
podopcj
Funkcja,, której wybór umoliwia
umo
edycj pliku,
zawierajcego ródło
ródło biblioteki funkcji celu
zdefiniowanych
nych przez uytkownika.
u
Kada
z funkcji posiada swój numer (Nr_Funkcji),
(Nr_Funkcji)
konieczne jest te okrelenie nastpujcych
nast
parametrów: liczba zmiennych decyzyjnych
(LZ), liczba ogranicze (LO),
(LO) liczba wszystkich
zadeklarowanych funkcji celu w bibliotece (LF).
Ponadto, uytkownik
ytkownik musi zadeklarowa
zadeklarowa posta
funkcji celu (Q) oraz posta ogranicze (OGR)
z wykorzystaniem
funkcji
matematycznych
dostpnych w jzyku
zyku Delphi (biblioteka Math).
Opcja Optymalizacja posiada trzy podopcje:
Kompilacja, Metody oraz Wykonanie, które
umoliwiaj przygotowanie danych do oblicze,
oblicze
wybór funkcji celu z przygotowanej biblioteki
funkcji, wybór metod optymalizacji, okrelenie
okre
niezbdnych
dnych parametrów steruj
sterujcych, zakresu
zmiennych decyzyjnych oraz wykonanie oblicze
oblicze
optymalizacyjnych.
rawnoci danych dla
Po sprawdzeniu poprawno
wybranej funkcji celu i metody
m
optymalizacji
wykonywana jest optymalizacja skalarna
(minimalizacja) funkcji celu. Uytkownik
U
moe
wybra jedn lub kilka metod optymalizacji.
optymalizacji
Wród dostpnych metod jest m.in. symulowane
s
wyarzanie (SW) i algorytm
lgorytm genetyczny (AG)
jako metody dyskretne stochastyczne (8).
Znajdowane minimalne wartoci
warto
funkcji celu
mog by zapisywane na dysku w celu dalszej
ich analizy, tworzenia wykresów czy te
te jako
archiwum. Dostpne s informacje o wartociach
w
uytych parametrów,, czasie oblicze, liczbie
wywoła funkcji celu i wartoci
warto ogranicze.
141
ISSN 1803-537X
asopis
informaní výchovu
Opcja Pomoc zawiera krótkie informacje na
temat programu, jego opcji i zasad działania.
Wyniki działania programu SKALOPTYM
zostan
zaprezentowane
na
przykładzie
optymalizacjii prostego zagadnienia technicznego
(8 s. 36). Poszukiwane s optymalne wymiary
belki o przekroju prostoktnym
tnym (a x b), która
przenosi moment zginajcy M g = 2000 N ⋅ m ,
http://jtie.upol.cz
otrzymano lepsz warto funkcji celu przy
uyciu algorytmu genetycznego, dla którego
przyjto takie parametry, jak na rysunku 2.
a naprenia
enia dopuszczalne dla materiału belki
wynosz σ dop = 200 MPa .
ci wyznaczone zostan
W pierwszej kolejnoci
zmienne decyzyjne,, czyli poszukiwane długoci
boków a i b przekroju poprzecznego belki.
Nastpnie
pnie zostanie sformułowane kryterium
optymalizacyjne.. Konstrukcja najlepsza to
konstrukcja najtasza, wicc uuyteczne bdzie
kryterium ekonomiczne, wyraaj
ajce koszt belki.
Koszt bdzie zaleał od iloci
ci materiału zuytego
do produkcji, wicc w uproszczeniu mona
przyj jako kryterium pole powierzchni
przekroju poprzecznego belki: Q = a ⋅ b → min .
Ostatnim krokiem w definicji zadania
optymalizacji jest wyznaczenie ogranicze.
Przyjto
to cztery ograniczenia geometryczne: (1)
a > 0 , (2) b > 0 , (3) a ≤ 10 , (4) b ≤ 10 .
Ponadto, konieczne jest
st spełnienie warunku
wytrzymałociowego
ciowego na zginanie belki:
Mg
a ⋅ b2
σ=
≤ σ dop , gdzie Wx =
. Std:
Wx
6
6M g
(5) a ⋅ b 2 −
≥ 0 . Dodatkowo sformułowany
Rys. 2: Parametry sterujce AG.
Rozwizanie otrzymane za pomoc programu
SKALOPTYM najprociej sprawdzi
spraw poprzez
rozwizanie graficzne. Trójwymiarowy wykres
funkcji celu Q przedstawiono na rysunku 3.
Q [cm2]
σ dop
zostanie warunek statecznoci wyraony dla
uproszczenia przez stosunek zmiennych a i b:
b
b
≥ 1 oraz
≤ 4 . Dla potrzeb optymalizacji
a
a
warunek statecznoci zostanie zapisany w formie:
(6) b − a ≥ 0 oraz (7) 4a − b ≥ 0 . Otrzymano
zbiór ogranicze zawierajcy siedem warunków.
Stosujc program SKALOPTYM, po
wprowadzeniu do biblioteki iloci zmiennych
decyzyjnych, funkcji celu i ogranicze, mona
otrzyma w krótkim czasie (rzdu kilku sekund)
rozwizanie problemu. Za pomoc algorytmu
symulowanego wyarzania otrzymano optymalne
wartoci zmiennych a = 1,574 cm , b = 6,213 cm ,
gdy funkcja celu przyjła warto minimaln
Q = 9,779926 cm2 . Za pomoc algorytmu
genetycznego
otrzymano
a = 1,56 cm ,
b = 6,21 cm , gdy funkcja celu przyjła warto
minimaln Q = 9,6876 cm2 . W tym przypadku
Rys. 3: Wykres funkcji celu Q = a ⋅ b .
Dwuwymiarowy wykres poziomicowy funkcji
celu Q (tzw. warstwice) został zaprezentowany
na rysunku 4, gdzie przedstawiono równie
warunki ze zbioru ogranicze w postaci prostych
i krzywych. Wspólna cz płaszczyzny
ograniczona tymi warunkami okrela obszar
rozwiza dopuszczalnych.
Najmniejsz warto funkcji celu okrela
warstwica przechodzca przez krawd obszaru
dopuszczalnego w punkcie lecym na przeciciu
prostej o równaniu 4a − b = 0 i krzywej
6M g
o równaniu a ⋅ b 2 −
= 0 czyli a ⋅ b 2 = 60 .
σ dop
Warto funkcji celu dla tej
ej warstwicy wynosi
2
Q = 9,688 cm , a dokładne wartoci zmiennych
decyzyjnych a i b mog by odczytane z rysunku.
142
ISSN 1803-537X
asopis
informaní výchovu
Istnieje zgodno obu rozwiza, dlatego
otrzymane wartoci a = 1,56 cm oraz b = 6,21 cm
s optymalnymi wymiarami przekroju belki.
b
http://jtie.upol.cz
technik komputerowych, teorii optymalizacji czy
bada operacyjnych. Planowane jest take
rozbudowanie funkcjonalnoci programu w celu
umoliwienia rozwizywania nie tylko zada
optymalizacji skalarnej, ale równie wektorowej.
4a − b ≥ 0
Literatura
(1) DEB, K. Optimization For Engineering
Design: Algorithms And Examples. Prentice-hall
Of India Pvt Ltd, 2009, ISBN: 812030943X.
(2) ESCHENAUER, H., KOSKI, J., OSYCZKA,
A. Multicriteria design optimization. Procedures
and applications. Berlin-Heidelberg
Heidelberg : SpringerSpringer
Verlag, 1990. ISBN: 0387506047.
0387506047
Obszar
dopuszczalny
6,21
b ⋅ h2 −
b−a ≥ 0
6M g
σ dop
≥0
a
1,56
Rys. 4: Wykres poziomicowy funkcji celu wraz
ze zbiorem ogranicze.
ogranicze
Program SKALOPTYM umoliwia nie tylko
otrzymanie rozwizania danego problemu
optymalizacyjnego
dla
dowolnej
iloci
zmiennych decyzyjnych, ale równie analiz
sposobu działania algorytmów optymalizacji
poprzez moliwo zmiany wartoci parametrów
sterujcych i wielokrotne wykonywanie oblicze
dla tego samego zadania optymalizacji.
5 Podsumowanie
Rozwizywanie zada optymalizacyjnych
wymaga znajomoci podstaw optymalizacji
matematycznej oraz umiejtnoci zastosowania
odpowiedniego
oprogramowania.
Program
SKALOPTYM jest prosty w obsłudze, tani
i uniwersalny ze wzgldu na moliwo
definiowania przez uytkownika własnych
problemów optymalizacyjnych i ich rozwizanie.
Biblioteka funkcji celu, która zawiera
przykładowe funkcje, moe by modyfikowana
i rozbudowana bez adnych ogranicze. Program
zawiera metody, które umoliwiaj znajdowanie
globalnego optimum z dan dokładnoci. Na
szczególn
uwag
zasługuje
algorytm
genetyczny, który w ostatnim dziesicioleciu
umoliwił praktyczne rozwizanie wielu bardzo
złoonych zagadnie technicznych.
Komputerowy program SKALOPTYM moe
by wykorzystywany w dydaktyce
dydakt
zastosowa
(3) FINDEISEN, W., SZYMANOWSKI, J.,
WIERZBICKI, A. Teoria i metody
obliczeniowe optymalizacji. Warszawa :
PWN, 1980. ISBN 83-01-00976
00976-4.
(4) Fortran Calculus Compiler (on-line).
2005-2009 [cit. 2009--08-01]. URL :
<http://www. digitalcalculus.com/demo/fcdigitalcalculus.com/demo/fc
win.html>.
(5) Global Optimization Software (on-line).
2008-2009 [cit. 2009--08-01]. URL :
<http:/www.
http:/www. mat.univie.ac.at/~neum/glopt/
software_g.html# commercial>.
commercial
(6) GOAL, Genetic algorithm optimization
(on-line). 2003-2009
2009 [cit. 2009-08-01].
2009
URL:
<http://www.geocities.com/geneticoptimizati
geocities.com/geneticoptimizati
on/>
(7) GUTENBAUM,
J.
Modelowanie
matema-tyczne
tyczne systemów.
systemów
Warszawa :
Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT,
2003. ISBN 83-87674-53--2.
(8) KASPERSKA, R. Algorytmy genetyczne.
Podstawy optymalizacji konstrukcji pod red. M.
Ostwald. Pozna : Wydawnictwo Politechniki
Poznaskiej, 2003. s. 146-160.
160. ISBN 83-7143565-7.
(9) KASPERSKA, R., KASPERSKI, A. Agent
programowy
w
systemie
optymalizacji
konstrukcji
cienkociennych.
Współczesne
problemy techniki, zarzdzania
dzania i edukacji pod
red. B. Pietrulewicz. Zielona Góra : Uniwersytet
Zielonogórski, Instytut Edukacji TechnicznoTechniczno
Informatycznej, 2008. s. 37-47.
37
ISBN 978-837481-299-0.
(10)
KASPERSKA, R., MAGNUCKI, K.,
OSTWALD, M. Bicriteria optimization of coldcold
formed thin-walled beams
ams with monosymmonosym
metrical open cross sections under pure bending.
Thin-Walled Structures, 2007. Vol. 45, no 6, s.
563-572. ISSN 0263-8231.
143
ISSN 1803-537X
asopis
informaní výchovu
(11)
KASPERSKA, R., OSTWALD, M.
Polyoptimal design of sandwich cylindrical
panels with the application of an expert system.
system
Engineering Optimization.. Taylor and Francis
Ltd, 2006. Vol. 38, no 6, s. 739--753. ISSN 10290273 (electronic) 0305-215X
215X (paper).
(12)
MORÉ, J.J., WRIGHT, S.J. Optimization
software guide,, Philadelphia : Society for
Industrial and Applied Mathematics, 1993. ISBN
I
0-89871-322-6.
(13)
RAO, S.S. Engineering Optimization.
Theory and practice. John Wiley & Sons,
Sons 1996.
ISBN 978-0-471-55034-1.
(14)
STACHURSKI, A., WIERZBICKI, A.
Podstawy optymalizacji. Warszawa : Oficyna
Wyd. Politechniki Warszawskiej, 2001. ISBN
83-720-7247-7.
(15)
STADNICKI, J. Teoria i praktyka
rozwizywania zada optymalizacji z przykładami zastosowa technicznych. Warszawa : WNT,
2006. ISBN 83-204-3140-9.
(16)
SYSŁO, M.M., DEO, N., KOWALIK, J.
S.
Algorytmy
ytmy
optymalizacji
dyskretnej
z programami w j
zyku
zyku Pascal
Pascal. Warszawa :
Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 8383
01-11818-0.
W.
Wspomaganie
(17)
TARNOWSKI,
komputerowe CAD/CAM - Podstawy projektowaprojektowa
nia technicznego.. Warszawa : WNT, 1997. ISBN
83-204-2165-9.
http://jtie.upol.cz
(18)
VENKATARAMAN
VENKATARAMAN,
P.
Applied
Optimization with MATLAB Programming.
Programming John
Wiley & Sons, Inc, 2002. ISBN 0-471-34958-5.
dr in. Renata Kasperska
Techniczno
Instytut Edukacji Techniczno-Informatycznej
Uniwersytet Zielonogórski
516 Zielona Góra,
ul. Prof. Z. Szafrana 4, 65-516
Poland
tel. 48 68 3284746
mail: [email protected]
e-mail:
dr in. Andrzej Kasperski
dział Matematyki, Informatyki
Wydział
i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogórski
ul. Prof. Z. Szafrana 4a, 65-516
65
Zielona Góra,
Poland
tel. 48 68 3282802
e-mail:
mail: [email protected]
144

Open full article - Journal of Technology and Information Education

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zagadnienia egzaminacyjne sp_II_st IG

Producent okien, drzwi firma NEXBAU z Wolsztyna zatrudni:

streszczenie - MiNI PW - Politechnika Warszawska

Antykwariat : Księga strachów