pobierz

Opracowanie: Vladimir Marchenko
WYKŁAD 1
1. ALGEBRA
1.1. Liczby zespolone
1.1.1. Postać algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej; dodawanie,
mnożenie, potęgowanie i dzielenie liczb zespolonych
1A+B+C1 (Wstęp: pochodzenie liczb zespolonych). Czy możliwe jest:
1.1) rozwiązać algebraiczne i trygonometryczne równania x2 1  0, sin x  100 ;
1.2) obliczyć ln(1)  ... (albo lg(1)  ... );
1.3) przekonać się, że funkcja y  e x jest okresowa?
Nie jest to prawdą, jeżeli argument x należy do zbioru
liczb rzeczywistych, ale
możliwe jest to wtedy, kiedy zbiór
rozszerzamy (zastąpimy) do zbioru nowych
liczb – liczb zespolonych.
1A2 (Definicja: liczby zespolone). Liczbami zespolonymi nazywamy
uporządkowane pary liczb rzeczywistych, na przykład: ( x, y),(a, b),(c, d ),( xi , yi ),
(1,2)  (2,1) , które mają następujące własności:
2.1) równość liczb zespolonych (dla z1  ( x1, y1), z2  ( x2 , y2 ) ):
z1  z2  x1  x2 oraz y1  y2 ;
2.2) suma (dodawanie) i różnica (odejmowanie) liczb zespolonych:
def
z1  z2  ( x1  x2 , y1  y2 );
2.3) iloczyn (mnożenie) liczb zespolonych:
def
z1  z2  ( x1  x2  y1  y2 , x1  y2  x2  y1);
2.4) iloraz (dzielenie) liczb zespolonych (dzielenie jest mnożeniem przez
odwrotność):
z1 : z2  z1 
1 def  x1x2  y1 y2 x2 y1  x1 y2 

, 2 2 .
z2  x22  y22
x2  y2 
1A+B3 (Fakt). Mamy następujące własności:
3.1) ( x1,0)  ( x2 ,0)  ( x1  x2 ,0);
3.2) ( x1,0)  ( x2 ,0)  ( x1  x2 ,0);
3.3) ( x1,0) :( x2 ,0)  ( x1 : x2 ,0), gdzie x2  0.
To dokładnie odpowiada działaniom algebraicznym nad liczbami rzeczywistymi.
1A4 (Uwaga). Z własności 1A+B3 wynika, że zbiór {z : z  ( x,0), x  } liczb
zespolonych można utożsamiać ze zbiorem
liczb rzeczywistych. Wtedy
będziemy pisali x zamiast ( x,0) , w szczególności (1,0)  1 jest jednostką
rzeczywistą, a zbiór
zespolonych.
liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb
1A5 (Definicja). Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i
def
oznaczamy ją przez j . Wtedy j  (0,1) . Liczbę zespoloną o postaci j y , gdzie
y  , y  0, nazywamy liczbą czysto urojoną.
1A+B6 (Ćwiczenie). Uzasadnić, że j 2  1 i wtedy rozwiązaniem równania
z 2 1  0 będzie z  j oraz z   j .
1A+B7 (Uwaga: dodatek do 1A+B+C1). Wiadomo, że interpretacja geometryczna
zbioru jest osią liczbową Ox
x
x0
i już nie mamy miejsca na tej osi dla liczb zespolonych. Będziemy przedstawiali
liczbę zespoloną z  ( x, y) na płaszczyźnie Oxy jak uporządkowaną parę ( x, y)
liczb rzeczywistych (pierwsza liczba x , druga y ) to jest w postaci punktu o
współrzędnych ( x, y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w
punkcie ( x, y) . Wtedy uważamy liczbę zespoloną (1,0) za jednostką rzeczywistą, a
liczbę zespoloną (0,1) = j za jednostką urojoną. Mamy, zatem
z  ( x, y)  ( x,0)  (0, y)  x  (1,0)  y  (0,1)  x  j y . W tej interpretacji
0
1
def
geometrycznej zbiór  ( x, y) : x  , y 
nazywamy płaszczyzną zespoloną.
 wszystkich liczb zespolonych
Wtedy działania dodawania, odejmowania liczb zespolonych oraz mnożenia liczb
zespolonych przez liczbę rzeczywistą wykonujemy tak, jak na wektorach (B).
jy
z =x +jy
z1  z2
z1
z2
0
x
z2  z1
Odnośnie mnożenia liczb zespolonych: mamy wykonywać (jak dla liczb
rzeczywistych) tak, jak mnożenie wielomianów zmiennej j, to jest
z1  z2  ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 )  x1  x2  j  ( y1  x2  x1  y2 )  j 2  y1 y2 
 x1  x2  y1 y2  j  ( y1  x2  x1  y2 ),
gdzie j 2 1.
1C8 (Uwaga). Zakładamy ogólnie, że j 2  p  jq ( p, q  ) . Można udowodnić,
że są tylko 3 różne możliwości: j 2  0, j 2  1, j 2  1 . Ale tylko ostatni warunek
j 2  1 (liczby zespolony) daje możliwość dzielenia.
Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych
(dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), znane dla liczb rzeczywistych,
obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności, prawdziwe są
wzory skróconego mnożenia, itd.
1A+B9 (Fakt: postać algebraiczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z
można zapisać w postaci algebraicznej z  x  j y , gdzie x, y .
Tutaj liczba x jest częścią rzeczywistą Re z liczby zespolonej z, co zapisujemy
def
def
Re z  x ; podobnie liczba Im z  y jest częścią urojoną liczby zespolonej z.
1A10 (Ćwiczenie). Podać reguły działań (dodawania itd.) z liczbami zespolonymi
w postaci algebraicznej.
1A11 (Definicja: sprzężenie liczb zespolonych). Sprzężeniem liczby zespolonej
z  x  jy (x, y  ) nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem: z  x  jy
(ćwiczenie: podać interpretację geometryczną).
jy
z = x +jy
0
x
x
z = x - jy
-jy
1A12 (Definicja). Modułem liczby zespolonej z  x  j y (x, y  ) nazywamy
def
liczbę rzeczywistą | z | określoną wzorem: | z |  x2  y 2  (Re z)2  (Im z)2 .
jy
| z1 - z2 |
z1
z
0
z2
x
|z|
1A+B13 (Definicja). Argumentem liczby zespolonej z  x  jy ( x, y  )
nazywamy każdą liczbę   spełniającą układ równań:

cos  


sin  


x
,
z
gdzie z  0 .
y
,
z
Argumentem głównym arg z liczby zespolonej z nazywamy argument  tej liczby
taki, że 0    2 (czasami      ).
jy
z
  arg z
x
Zbiór A rg z wszystkich argumentów  liczby zespolonej z nazywamy
argumentem pełnym: A rg z   :   arg z  2k : k   , gdzie
jest zbiorem
liczb całkowitych.
Przyjmujemy, ze argumentem głównym liczby zespolonej z  0 jest 0 ( a rg0  0 )
oraz A rg z  dla z  0 .
def
Niech  jest argumentem z i r  z jest modułem. Wtedy
1A14 (Fakt: postać trygonometryczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną
z można przedstawić w postaci: z  r (cos  j sin ) .
1A+B15 (Fakt: działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej).
15.1) dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych w postaci
trygonometrycznej jest takie, jak w postaci algebraicznej (nie daje nic nowego);
15.2) mnożenie już daje:
z1  z2  [r1  cos 1  j sin 1 ] [r2  cos 2  j sin 2 ]  r1  r2[cos 1  2   j sin 1  2 ]
(reguła: przy mnożeniu liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) ich
moduły mnożymy, a argumenty dodajemy i jest to prawdziwe dla dowolnej liczby
czynników), w szczególnym przypadku mamy (wzór de Moivre’a):
potęgowanie (podnoszenie do potęgi) liczby zespolonej:
z n  [r  cos   j sin  ]n  r n (cos n  j sin n )
(reguła: przy potęgowaniu liczb zespolonych ich moduły podnosimy do tej potęgi,
a argumenty mnożymy przez tę potęge);
15.3) dzielenie liczb zespolonych:
z1 r1 (cos1  j sin 1 ) r1

 [cos(1  2 )  j sin(1  2 )]
z2 r2 (cos2  j sin 2 ) r2
(reguła: przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty
odejmujemy).
Dowód: naprzykład dla mnożenia. Mamy:
z1  z2   r1 cos 1  jr1 sin 1    r2 cos 2  jr2 sin 2  
 r1 cos 1  r2 cos 2  jr1 sin 1  r2 cos 2  r1 cos 1  jr2 sin 2 
 jr1 sin 1  jr2 sin 2  r1r2 (cos 1 cos 2  sin 1 sin 2 ) 
 j r1r2 (sin 1 cos 2  cos 1 sin 2 )  r1r2 (cos(1  2 ) 
 j sin(1  2 )).
W podobny sposób możemy sprawdzić (B) ostatnie twierdzenia.
 (koniec dowodu)
j Im z
1  2
z2
r = r1  r2
r2  2
r1
r
z1
1
φ=0
0
Re z
j Im z
nφ
rn
r
φ
z
Re z
j Im z
z1
z2
1
r1
r2
2 r
z= z1 : z2
φ
  1  2 , r  r1 : r2
Re z
1
nazywa się odpowiednio: elementem
z
neutralnym dodawania, elementem przeciwnym do liczby z, elementem
neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby z.
1A16 (Definicja). Liczby 0,  z, 1 oraz
1A+C17 (Ćwiczenia). Uzasadnić następujące własności liczb zespolonych
17.1)
17.2)
17.3)
17.4)
17.5)
17.6)
17.7)
17.8)
17.9)
( z  x  j y, z1  x1  j y1,...):
z1  z2  z2  z1 (dodawanie jest przemienne);
( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) (dodawanie jest łączne);
z+0=z dla każdej liczby zespolonej z i liczby 0  (0,0)  0  j 0 ;
z  ( z)  z  z  0 , gdzie  z  ( x,  y)   x  jy ;
z1  z2  z2  z1 (mnożenie liczb zespolonych jest przemienne);
( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) (mnożenie jest łączne);
z 1  z (dla każdej liczby zespolonej z i 1  (1,0) );
1
x
y
x  jy
z
( 2
, 2
) 2
 2;
2
2
2
z x y x y
x y
z
z z z
1
z   1; z1 : z2  1  1 22 (wygodnie jest przy obliczaniu ilorazu);
z
z2
z
2
17.10) z1  ( z2  z3 )  z1  z2  z1  z3 (mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne
względem dodawania);
Re( z1  z2 )  Re z1  Re z2 , Im( z1  z2 )  Im z1  Im z2 ,
17.11)
Re( jz)   Im z, Im( jz)  Re z;
Re z1  Re z2 ,
17.12) z1  z2  

Im z1  Im z2 ;
 z1  z1
  , jeżeli z2  0;
 z 2  z2
17.13) z1  z2  z1  z2 , z1  z2  z1  z2 , 
 z   z,
z  z  2Re z, z  z  2 j Im z, Im z   Im z;
2
17.14) z   z  z , z  z  z , z1  z2  z1  z2 ,
z
z1
 1 o ile z2  0 ;
z2 z2
z1  z2  z1  z2 (nierówność trójkąta);
z1  z2  z1  z2 , Re z  z , Im z  z , Re( z1  z2 )  z1  z2 ;
2
2
2
2
17.15) z1  z2  z1  z2  2( z1  z2 ) .
Ćwiczenie (B+C): podać interpretację geometryczną własności 1A+C17.
1
, wprowadzone w 1A+B11, są jednoznacznie
z
ustalonymi liczbami o takich własnościach.
Uwaga. Liczby 0,  z, 1 oraz
1A+C18 (Ćwiczenia). Uzasadnić następujące twierdzenia
( zi  ri (cosi  j sin i )... ):
18.1) z1  z2  r1  r2 oraz 1  2  2k dla pewnego k  ( z1  0, z2  0 );
18.2) arg( z1  z2 )  arg z1  arg z2  2k dla k  0 lub k  1 ;
18.3) arg( z n )  n arg z  2k dla pewnego k  ;
z 
18.4) arg  1   arg z1  arg z2  2k dla k  0 lub k  1 o ile z2  0 ;
 z2 
18.5) arg( z)   arg z  2 ;
18.6) arg( z)    arg z  2k dla k  0 lub k  1 ;
1
18.7) arg     arg z  2 o ile z  0 ;
z
z
 1.
18.8)
z
Ćwiczenie (B+C): podać interpretację geometryczną własności 1A+C18.
1B19 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną działań algebraicznych dla
liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.
1A+B+C20 (Ćwiczenie). Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić podane
funkcje kąta  przez cos i sin  :
A) sin 2 ; B) cos 4 ; C) sin n , cos n .
1.1.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Równanie algebraiczne. Postać
wykładnicza liczy zespolonej
1A21 (Definicja: pierwiastek z liczby zespolonej). Pierwiastkiem stopnia n z
liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną u spełniającą równość
u n  z . Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez n z .
Wtedy z  u n, n arg u  arg z  2k dla k  skąd mamy, że tylko n rożnych
argumentów u są:
arg z
2
arg u 
 k  , gdzie k  0,1,..., n 1.
n
n
Wtedy
1A+B22 (Fakt: wzór na pierwiastki z liczby zespolonej). Każda liczba zespolona
z  r (cos  j sin  ) , gdzie r  0 oraz   , ma dokładnie n pierwiastków stopnia
n. Zbiór tych pierwiastków ma postać:
n z  {z , z ,..., z }, gdzie z  n r (cos   2k  j sin   2k ) dla k  0,1,..., n 1.
0 1
n 1
k
n
n
1A+B23 (Fakt). Prawdziwa jest zależność:
arg z  2k
arg z  2k
2
2
2
2
 j sin
)  zk 1 (cos  j sin )  z0 (cos  j sin ) k
n
n
n
n
n
n
dla k  0,1,..., n 1.
z k  n z (cos
1A+B24 (Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej).
Zbiór pierwiastków stopnia n  3 z liczby zespolonej z  r (cos  j sin  ) , gdzie
r  z oraz   arg z , pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego
wpisanego w okrąg o promieniu
r i środku w początku układu współrzędnych.


Pierwszy wierzchołek tego wielokąta jest w punkcie z0  n r (cos  j sin ) a
n
n
kąty między promieniami, wodzącymi kolejnych wierzchołków, są równe.
n
j Im z
z2
z1
2π/n
2π/n
zₒ
2π/n
Re z
zn1
2π/n
zn2
Przykłady:
2
2
2
2  4

1  1,  1 ; 3 1  1, cos
 j sin
, cos
 j sin
 ; 1  1, j,  1,  j ; 1   j,  j :
3
3
3
3 

2π/3
j
j
1
-1
0
1
0 -2π/3
-1
-j 1
-j
W szczególności, pierwiastki n 1 dzielą koło jednostkowe na n równych części o
początku z 0  1 (ćwiczenie (B): podać interpretację geometryczną).
1A+B25 (Uwaga). Symbol n ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb
rzeczywistych i inne do liczb zespolonych (w tym także rzeczywistych
traktowanych jako zespolonych). Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest
określony jednoznacznie i jest to funkcja 
[0, )  [0, ) dla n parzystych, naprzykład:
W zbiorze
:
W zbiorze
:
4   2,2
4 2
4
dla n nieparzystych oraz funkcja
1 1
4
 1 nie istnieje
1  1, 1,  j, j
1   j, j

z4  z2 , z2
x4  x2

z 2   z, z
x2  x
Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest szukaniem rozwiązań równania
w n  z , zatem n z jest zbiorem rozwiązań tego równania. Symbolu pierwiastka w
dziedzinie zespolonej nie wolno używać do żadnych obliczeń, a podstawowe
wzory dla pierwiastków, prawdziwe w dziedzinie rzeczywistej, tutaj nie mają
8
4
sensu (przykład: 2  {4,4, 4 j.4 j}  2  4 ).
4
8
1A26 (Definicja). Wielomianem rzeczywistym (odpowiednio zespolonym) stopnia
n  N nazywamy funkcję W :  (odp.  ) określoną wzorem:
W ( z)  cn z n cn1 z n1 ...  c1 z  c0 ,
gdzie ck  (odpowiednio ck  ) dla k  0,1,..., n oraz cn  0 . Liczby ck , gdzie
0  k  n , nazywamy współczynnikami wielomianu W.
1A27 (Uwaga). Każdy wielomian rzeczywisty można traktować jako wielomian
zespolony. Wtedy będziemy mówili krótko wielomian.
1A28 (Definicja). Liczbę (rzeczywistą, zespoloną) z0 nazywamy pierwiastkiem
(rzeczywistym, zespolonym) wielomianu W , jeżeli W ( z0 )  0 .
1A29 (Definicja). Równanie, określone wzorem W ( z)  0 , gdzie W jest
wielomianem, nazywamy algebraicznym.
1A+C30 (Fakt). Jeżeli liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem wielomianu
(równania algebraicznego) o współczynnikach rzeczywistych, to z0 także jest
pierwiastkiem tego wielomianu (równania).
1A+C31 (Fakt: zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian zespolony
stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Stąd mamy: każdy wielomian zespolony stopnia n
ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne):
W ( z)  cn z n  ...  c0  cn ( z  z1) ... ( z  z n )  cn ( z  zˆ1) 1 ... ( z  zˆ m ) k m ,
k
(1)
gdzie zˆ1,..., zˆ m są różne pierwiastki (wielomianu W ( z) ) o krotnościach
odpowiednio k1,..., km , gdzie k1  ...  km  n .
1A+C32 (wzory Viète’a):
c
z1  z2  ...  zn   n1 ,
cn
z1  z2  z1  z3  ...  zn1  zn 
cn2
,
cn
z1  z2  z3  z1  z2  z4  ...  zn2  zn1  zn  
cn3
,
cn
c0
.
cn
Uwaga. Twierdzenia 1A+C30, 1A+C31, 1A+C32, oraz wzór (1) są bardzo ważne
w rozwiązywaniu równań algebraicznych.
z1  z2  z3  ... zn  (1)n
1A33 (Definicja: symbol e j ). Dla  
liczbę zespoloną cos  j sin 
def
oznaczamy krótko przez e j : e j  cos  j sin  .
Wtedy
1A+B34 (Wzory Eulera). Mamy:
cos x 
e j x  e j x
e j x  e j x
, sin x 
, gdzie x  .
2
2j
1A35 (Fakt: postać wykładnicza liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z
można zapisać w postaci wykładniczej: z  r e j , gdzie r  0,   . Liczba r jest
wówczas modułem liczby z , a  jest jej argumentom.
Dowód: z  r (cos  j sin  )  r e j .

1A+B36 (Fakt: własności symbolu e j ). Niech 1,2 ,3 będą dowolnymi liczbami
rzeczywistymi oraz niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy:
j (  )
j
j
36.1) e 1 2  e 1  e 2 ;
36.2) e
36.3)
j (12 )
j1
e
 j ;
e 2
(e j ) k  e jk ;
36.4) e j ( 2k )  e j ;
36.5) e j  0 ;
j
j
36.6) e 1  e 2  1  2  2l dla pewnego l  ;
36.7) e j  1;
36.8) arg e j    2l dla pewnego l  .
j (   )
Dowód: naprzykład 1): e 1 2 
 cos(1  2 )  j sin(1  2 )  cos 1  cos 2  sin 1  sin 2 
 j (sin 1  cos2  cos1  sin 2 )  (cos1  j sin 1)  (cos2  j sin 2 ) 
e
j 1
e
j 2
.
W podobny sposób można sprawdzić ostatnie twierdzenia.

Niech z jest liczbą zespoloną oraz w jest funkcją w:  , określoną wzorem:
def
W  W ( z)  e z  e x j y  e x  e j y  e x (cos y  j sin y) .
1A+B+C37 (Fakt). Funkcja W  e z jest okresowa o okresie
T  2 j; W  e z  e Re z, argW  Im z  2k dla pewnego k  .
Niech zatem funkcja W  Ln z jest taka, że z  e W . Wtedy:
z  e W  e Re W i Re W  ln z ; arg z  Im W  2k , k  .
Stąd mamy
def
1A+B38 (Definicja). W  Ln z  ln z  j (arg z  2k ), k  ;
def
ln z  ln z  j arg z nazywamy logarytmem głównym.
1A+B39 (Ćwiczenie). ln(1)  ln 1  j arg(1)   j.
1A+B+C40 (Ćwiczenie: rozwiązanie równań algebraicznych). Rozwiązać
następujące równania:
40.1) równanie kwadratowe ( n  2, a  0 ) zawsze ma 2 pierwiastki zespolone:
b  b2  4ac
az  bz  c  0  z 
, gdzie b2  4ac jest jednym z pierwiastków
2a
kwadratowych liczby zespolonej b2  4ac , a przecież w dziedzinie zespolonej
b  b2  4ac
;
( a, b, c  , a  0 ) możemy zapisać ten wzór w postaci z 
2a
40.2) równanie dwukwadratowe ma 4 pierwiastki zespolone:
az 4  bz 2  c  0  niech z 2  u wtedy mamy równanie kwadratowe;
40.3) rozwiązać podane równania algebraiczne:
a) z 2  3z  3  j  0 , b) z3  3z 2  3z  3  0 , c) z 4  (1 j)4 ,
d) z 4  4z3  6z 2  4z 15  0 , e) z 4  4 jz3  6z 2  4 jz 1  (1 j)4 ;
40.4) uzasadnić, że
2
jeżeli z 1,..., z n są pierwiastkami równania z n 1  0 , to wtedy z1  ...  zn  0 .
1A+B41 (Ćwiczenie):
41.1) korzystając ze wzorów Eulera wyrazić funkcje
a) sin 2 x , b) cos3 x w zależności sinusów i kosinusów wielokrotności kąta x;
41.2) obliczyć sumy:
a) cos x  cos2x  ...  cos nx , b) sin x  ...  sin nx .
Wskazówka:
e j  (e j )2  ...  (e j )n 
e jn  e j  e j (e j (n1)  e j )(e j 1)

.
j
j
e j  1
(e 1)(e 1)