Zestaw 3 Zad.1 Trzej posłowie należący do jednej z partii

Zestaw 3
Zad.1 Trzej posłowie należący do jednej z partii politycznych dyskutują w kuluarach Sejmu
XXV kadencji:
Poseł I : Dobrze, że zdołaliśmy wprowadzić do parlamentu dziewięciu posłów. Dzięki temu
po trzech naszych przedstawicieli zasiada w każdej z komisji sejmowych.
Poseł II : I to pomimo szykan większoścui sejmowej, która przeforsowała punkt regulaminu
mówiący, że żadne dwie komisje nie mogą mieć w swojej części wspólnej więcej niz jednego
przedstawiciela danej partii.
Poseł III : ale gdyby w Sejmie była choć jedna komisja więcej, ten manewr by nam się nie
udał.
Ile jest komisji w Sejmie? Czy to zadanie da się uogólnić i jeżeli tak, to jak?
Zad.2 Na roku liczącym cztery studentki, dwóch egzaminatorów jednocześnie egzaminuje
z dwóch przedmiotów. Każda studentka odpowiada z każdego przedmiotu przez 20 minut. Ile
jest sposobów przeprowadzenia egzaminów, jeżeli żadna ze studentek nie może odpowiadać
jednocześnie z dwóch przedmiotów?
Zad.3 Na ile sposobów można rozebrać prostopadłościan o wysokości m, którego podstawę
stanowi prostokąt o bokach długości k i l, zbudowany z klm jednakowych klocków sześciennych
o krawędzi 1, jeżeli wolno zdejmować po jednym klocku (od góry), o ile nie stoi na nim inny
klocek?
Zad.4 Mamy szachownicę o wymiarach 5×5. W prawym górnym rogu szachownicy znajduje
się mysz, w lweym dolnym polu - kot. Mysz może się poruszać jedynie w dół lub w lewo
o jedno pole w każdym ruchu, zaś kot jedynie w górę lub w prawo w jednym ruchu. Gdy
któreś ze zwierząt ma mozliwość wyboru, dokonuje je z prawdopodobieństwem 12 . Zwierzęta
wykonują ruchy jednocześnie. Kot zjada mysz, gdy staną razem na jednym polu. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że mysz zostanie pożarta?
Zad.5 Na półce stoi 12 książek. Na ile sposobów można wybrać 5 książek z półki tak, aby
nie zabierać żadnych dwóch książek stojących wcześniej obok siebie?
Zad.6 Przy Okrągłym Kamiennym Stole siedzi 12 Rycerzy. W czasie obrad każdych dwóch
siedzących obok siebie pokłóciło się. Król Artur musi posłać na misję 5 Rycerzy. Na ile sposobów
może to zrobić, jeśli nie chce, aby wśród wysłanych byli jacyś skłóceni Rycerze?
Zad.7 Na półce stoi 20 książek. Na ile sposobów można wybrać pewną liczbę książek z półki
tak, aby żadne dwie z nich nie stały obok siebie.
Zad.8 (To jest zadanie, którego ja nie umiem zrobić, ale liczę bardzo na to, że Państwu się
uda :D). Niech dla 0 ¬ p ¬ M , p, M ∈ N
RpM
=
)
p (
∑
M +1
s=0
s
.
Udowodnić poniższą równość i podać jej interpretację kombinatoryczną:
M
∑
q=0
(
M
RqM RM
−q
)
2M
= (2M + 1)
.
M