równania kwadratowe

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAO KWADRATOWYCH:
Zawsze na początek trzeba uporządkowad równanie do postaci ax 2  bx  c  0 (czyli pozbywamy się
nawiasów, jeśli trzeba stosujemy wzory skróconego mnożenia, polecam też pozbywanie się ułamków – łatwiej to
strawid ) a dopiero potem zdecydowad jak będziemy rozwiązywad.
1) Jeśli równanie jest ZUPEŁNE (tzn występują wszystkie elementy ax 2  bx  c  0 ) np.
 x 2  2x  3  0
(3 x  2) 2  x 2  2 x  1
a  1, b  2, c  3
(3 x) 2  2  3 x  2  2 2  x 2  2 x  1
  b 2  4ac
9 x 2  12 x  4  x 2  2 x  1
  (2) 2  4  (1)  3
  4  12
8 x 2  14 x  3  0
a  8, b  14, c  3
  16
  b 2  4ac
 4
x1 
 b    (2)  4 2  4  2



1
2a
2  (1)
2
2
  (14) 2  4  8  3
  196  92  104
  4  26  2 26
 b    (2)  4 2  4
6



 3x   b  
1
2a
2  (1)
2
2
2a
Odp. x  {1,  3}
7
26

8
8
b 
x2 
2a
7
26

8
8
7
Odp. x  { 
8
x2 

 (14)  2 26 14  2 26 14 2 26




28
16
16
16

 (14)  2 26 14  2 26 14 2 26




2 8
16
16
16
26 7
26
, 
}
8 8
8
Jeśli   0 , to równanie nie ma rozwiązao, jeśli   0 , to równanie ma jedno rozwiązanie x 0 
b
2a
2) Jeśli równanie jest NIEZUPEŁNE (tzn b=0 lub c=0) trzeba lewą stronę równania rozłożyd na czynniki
(przedstawid w formie mnożenia), np.
a)równania, w których występuje x 2
i
x
5x 2  x  0
x(5 x  1)  0
x  0  5x  1  0
2 x  4 x 2
5x  1 / : 5
1
x
5
1
Odp. x  {0, }
5
x  0  2  4x  0
2x  4x 2  0
x(2  4 x)  0
4 x  2 / : 4
x
1
2
1
Odp. x  {0,  }
2
Zauważ - pomiędzy x i nawiasem jest symbol mnożenia. Iloczyn dwóch rzeczy =0 jeżeli jedna = 0 lub druga =0.
b)równania, w których występuje x 2 a nie występuje x . Tutaj, aby rozłożyd lewą stronę na czynniki (tzn zapisad
ją w formie mnożenia) trzeba skorzystad ze wzoru a 2  b 2  (a  b)(a  b)
x2  3  0
4x 2  1  0
(2 x  1)(2 x  1)  0
( x  3 )( x  3 )  0
2x  1  0  2x  1  0
2x  1/ : 2
2 x  1 / : 2
x 3 0  x 3 0
1
x
2
Odp. x 
1
x
2
x 3
 3 ,  3
x 3
1
1
Odp. x   ,  
2
2
2x 2  5  0 / : 2
5
0
2
5
5
(x 
)( x 
)0
2
2
x2 
x
5
5
0  x
0
2
2
x1 
5
2
x1 
5

2
x2  
x2  
5
2

5
2

2
2
5
2

10
2
5
5
5 2
10




2
2
2
2 2
 10
10 
Odp. x  
,

2 
 2
Zauważ, tutaj symbol mnożenia występuje pomiędzy nawiasami.
Nie daj się nabrad na pułapki.
x2  4  0
3x 2  0 / : 3
x 2  4
x2  0
Równanie nie ma rozwiązao. Żadna liczba podniesiona
do kwadratu nie da liczby ujemnej!!!
Na to nie ma wzoru na rozkład. Zauważ, że podany
wzór w b) ma w środku ODEJMOWANIE
x0
Odp. Równanie ma jedno (podwójne) rozwiązanie x=0
Miłej zabawy 