Q1 Q2 P ` P β12 Q1 Q2

TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
1
1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
P
x3
u
r
P'
r'
x2
stan po deformacji
stan przed deformacją
x1
 położenie pkt. P przed deformacją
P( r ) = P( x 1,x 2 ,x 3
 położenie pkt. P po deformacji
P ′ ( r ′ ) = P ′ ( x ′1 , x ′2 , x ′3
 przemieszczenie punktu P
PP ′ = u = r ′ − r
u i = x ′i − x i
)
)
i = 1, 2, 3
u i = u i ( x1,x 2 ,x 3
)
u = u(r )
 wektorowe pole przemieszczeń
2. ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE
 wybieramy 2 włókna : PQ1 równoległe do osi x1 i PQ2 równoległe do x2.
P
P'
β12
Q1
x1
x2
Q2
Q2’
Q1’
 odkształcenia liniowe (względna zmiana długości włókna PQi)
P ′Q1′ −PQ1
dx i →0
PQ1
ε 11 = lim
ε ii = lim
P ′Q ′i − PQ i
PQ i
ε 12 = lim
1 π

 −β 12 
2

dx i → 0
Q i →P
nie ma sumowania po "i"
 odkształcenia kątowe
dx 1 →0 2 
dx 2 →0
ε i j = lim 1  π − β i j 

Q i →P 2  2
Q j →P
⇒
2ε ij = γ ij
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
2
3. RÓWNANIA GEOMETRYCZNE
 związki między przemieszczeniami i odkształceniami
założenie : pochodne przemieszczeń są wielkościami małymi
x1
L/2
x2
∂u 2
∂x 1
(
)
L / 250
= 0.008
x1 = 0 ≅
L/2
f = L / 250
⇒
 ∂u 2

 ∂x 1





2
<<
∂u 2
∂x 1
⇒
 ∂u 2

 ∂x 1





2
≅0
 liniowe równania geometryczne - równania Cauchy'ego
ε i j = 1 ( u i, j + u j,i
2
ε 11 = u 1,1
)
ε 22 = u 2, 2
ε 3 3 = u 3,3
ε 12 = 1 ( u 1, 2 + u 2,1 )
2
⇒
γ 12 = 2 ε 12
ε 13 = 1 ( u 1, 3 + u 3 ,1 )
2
⇒
γ 13 = 2 ε 13
⇒
γ
ε 23 = 1 ( u 2, 3 + u 3 , 2
2
 macierz (tensor) odkształcenia
)
23
= 2 ε 23
 ε 11 ε 12 ε 13 
T ε =  ε 12 ε 2 2 ε 2 3 


ε 13 ε 2 3 ε 3 3 
 dla płaskiego stanu odkształcenia w płaszczyźnie (x1, x2)
ε 12 
ε
T ε =  11

ε
ε
22 
 12
4. TRANSFORMACJA ODKSZTAŁCEŃ PRZY OBROCIE UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH,
ODKSZTAŁCENIA I KIERUNKI GŁÓWNE
 pełna analogia do płaskiego stanu naprężenia
5. KINEMATYCZNE WARUNKI BRZEGOWE
 liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego ) - 6 równań różniczkowych cząstkowych
wzg. 3 nieznanych funkcji przemieszczeń
ε i j = 1 ( u i , j + u j ,i )
2
 przemieszczenia musza spełniać warunki wynikające ze sposobu podparcia konstrukcji – są
to tzw. kinematycznych warunków brzegowych
 przykłady kinematycznych warunków brzegowych
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
3
x2
h
x1
h
=
A
x2
h
x1
h
=
B
x2
h
x1
h
A.
u 1 ( 0 ,h ) = 0
u 1 ( 0,− h ) = 0
B.
u 1 ( 0 ,h ) = 0
u 1 ( 0,− h ) = 0
C.
u 1 ( 0,0 ) = 0
u 2 ( 0,0 ) = 0
=
C
u 2 ( 0,− h ) = 0
∂u 2
( 0,0 ) = 0
∂ x1
x2
∂ x1
∂ u2
x1
6. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTAŁCEŃ
- liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego )
ε i j = 1 ( u i,j + u j,i )
2
- 6 równań różniczkowych ze wzg. na niewiadome 3 funkcje przemieszczeń
- rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy między odkształceniami zachodzą związki zwane
równaniami nierozdzielności.
 liczba równań niezależnych wynosi 6, zaś w płaskim stanie naprężenia istnieje tylko
jedno równanie niezależne
ε 11, 2 2 + ε 2 2 , 11 − 2 ε 12 , 12 = 0
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
4
 interpretacja geometryczna
TAK
Ö
Þ
NIE
7. DEFORMACJA SZEŚCIANU JEDNOSTKOWEGO
Problem : Określić zmianę objętości sześcianu o jednostkowych krawędziach ("obraz" punktu
materialnego tzn. punktu o przypisanej masie).
A. W układzie współrzędnych określonym przez osie główne tensora odkształcenia
(3)
1
A
(2)
1
1
(1)
przed odkształceniem
1 + ε3
1 + ε1
1 + ε2
po odkształceniu
 długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu
εi =
L io = 1
L ik − L io
L io
⇒
i = 1, 2 , 3
L ik = 1 + ε i
i = 1, 2 , 3
 zmiana objętości sześcianu
∆ V = Vk − V o = ( 1+ ε 1 ) ( 1+ ε 2
) ( 1+ ε 3 ) − 1 =
= 1+ ε 1 + ε 2 + ε 3 + ε 1 ε 2 + ε 1 ε 3 + ε 2 ε 3 + ε 1 ε 2 ε 3 − 1 ≈ ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε i
5
RÓWNANIA FIZYCZNE
1. RÓWNANIA FIZYCZNE ( KONSTYTUTYWNE )
Zadanie : Określić związek między odkształceniami i siłami wewnętrznymi, reprezentowanymi
przez naprężenia.
 zmienne stanu mechanicznego :czas " t ", temperatura " T " ............
σ ij = σ ij ( x k ,t,T )
ε i j = ε i j ( x k , t, T )
 równania Naviera, równania Cauchy 'ego
σ i j, j + X i = 0
dla
ε i j = 1 2 ( u i, j + u j, i )
 równania konstytutywne
2.
t = t∗ ,T = T∗
dla
t = t∗ ,T = T∗
&& i j , t , T )
ε i j = ε i j ( σ i j , σ& i j , σ
RÓWNANIA FIZYCZNE DLA IZOTROPOWEGO,
LINIOWO SPRĘŻYSTEGO ( R. HOOKE 'A )
JEDNORODNEGO
MATERIAŁU
 założenia:
ε ij = ε ij ( σ ij
1. jawna zależność odkształceń wyłącznie od naprężeń
)
2. liniowy związek między odkształceniami i naprężeniami
ε i j = S i jk l σ k l + ε ioj
σ i j = Q i jk l ε k l + σ ioj
Sijkl - macierz podatności (macierz współczynników materiałowych)
Qijkl - macierz sztywności (macierz współczynników materiałowych)
ε ioj , σ ioj - macierze stałych
3. sprężystość - po zdjęciu obciążenia znikają odkształcenia : ε ioj = 0 , σ ioj = 0
4.
w każdym punkcie własności materiału są jednakowe w każdym kierunku (materiał izotropowy
i jednorodny)
σ ij = 2 G ε ij + λ ε kk δ ij
G, λ
-
stałe Lame 'go
σ 11 = 2 G ε 11 + λ ( ε 11 + ε 2 2 + ε 3 3
)
σ 2 2 = 2 G ε 2 2 + λ ( ε 11 + ε 2 2 + ε 3 3
)
σ 3 3 = 2 G ε 3 3 + λ ( ε 11 + ε 22 + ε 3 3
)
σ 12 = 2 G ε 12
σ 13 = 2 G ε 13
σ 23 = 2 G ε 23
z odwrotna postać prawa Hooke'a
ε ij = 1
E
[ ( 1+ ν ) σ i j − ν σ k k δ i j ]
E ( moduł Young'a , moduł sprężystości), ν ( współczynnik Poisson'a )
RÓWNANIA FIZYCZNE
2
ε 11 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 11 − ν ( σ 11 + σ 22 + σ 3 3 ) ]
ε 22 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 2 2 − ν ( σ 11 + σ 2 2 + σ 3 3 ) ]
ε 33 = 1
E
[ ( 1 + ν ) σ 3 3 − ν ( σ 11 + σ 22 + σ 3 3 ) ]
ε 12 = 1 + ν σ 12
E
ε 13 = 1 + ν σ 13
E
ε 23 = 1 + ν σ 2 3
E
 wprowadźmy następujące definicje
1 def
= 1+ ν
2G
E
def
λ
= ν
2G + 3 λ
1+ ν
G=
⇒
⇒
E
2( 1 + ν )
moduł ścinania, mod. odkszt. postaciowego
Eν
( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν)
λ=
 ograniczenia na stałe materiałowe
1) z termodynamiki wynika, że stałe G, λ, muszą być dodatnie
2) dodatnie wartości modułów ścinania i ściśliwości oznaczają, że zachodzą relacje:
1+ ν > 0
ν>−1
1− 2 ν > 0
ν < 0.5
− 1 < ν < 0.5
 zmiana objętości
∆V = ε i i =
ograniczenia na stałą ν
3 (1 −2 ν )
σm
E
- jeżeli
ν → 0.5
to
∆V → 0
- materiały o ν < 0 nie są znane
- maksymalna zmiana objętości dla ν = 0 (∼ korek)
materiał nieściśliwy (guma)