dynamika 1

Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
22
WYKŁAD 3
Zasady (Prawa) Dynamiki Newtona.
Mechanika klasyczna jest teorią zajmującą się ruchem i bazującą na pojęciach siły i masy. Teoria ta
opisuje zjawiska za pomocą trzech praw Newtona, które wiąŜą przyspieszenie ciała z jego masą i
działającą na nie siłą. Prawa te moŜna sformułować w następujący sposób:
Pierwsze prawo. Ciało pozostające w spoczynku pozostaje w tym stanie tak długo, aŜ nie podziała na to
ciało siła zewnętrzna. Ciało poruszające się ze stałą prędkością porusza się w ten sposób, aŜ nie podziała
na nie siła zewnętrzna.
Drugie prawo. Przyspieszenie ciała jest skierowane w kierunku działającej siły zewnętrznej.
Przyspieszenie to jest proporcjonalne do działającej zewnętrznej siły i jest odwrotnie proporcjonalne do
masy ciała:
r
r Fzew
a=
m
lub
r
r
F = ma
na ciało, zwana często siłą wypadkową jest sumą wszystkich sił działających na to ciało:
r Siła działająca
r
F = ∑ Fi . Wtedy:
r r
r
F
∑ = Fzew = ma
4-1
Trzecie prawo. Siły zawsze występują parami. JeŜeli ciało A działa na ciało B, to ciało B działa na ciało A z
taką samą siłą co do wartości, ale przeciwne skierowaną.
4-1 Pierwsze Prawo Newtona:
Zasada bezwładności
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
23
JeŜeli pchnąć kawałek lodu po poziomym stole, to zacznie się on ślizgać, a potem się zatrzyma. JeŜeli
stół jest mokry to kawałek lodu przebędzie dłuŜszą drogę do momentu zatrzymania. Kawałek suchego
lodu (stan stały CO2) ślizgający się na poduszce z dwutlenku węgla będzie poruszać się jeszcze dalej, przy
czym jego prędkość będzie zmieniać się tylko w niewielkim stopniu. Do czasów Galileusza sądzono, Ŝe
zawsze do podtrzymania ruchu ze stałą prędkością potrzebna jest zewnętrzna siła. Galileusz, a potem
Newton stwierdzili, Ŝe przyczyną zwalniania ruchu ciał jest wszechobecność sił tarcia. JeŜeli zmniejszyć
działanie sił tarcia, to zmiany prędkości teŜ ulegną zmniejszeniu. Usuń wszystkie zewnętrzne siły tarcia
działające na ciało, postulował Galileusz, a prędkość ciała nigdy się nie zmieni – i tę własność materii
nazwał inercją . W rezultacie pierwsze prawo nosi równieŜ zasady inercji.
Inercyjne układy odniesienia.
Pierwsze prawo Newtona mówi, Ŝe nie ma róŜnicy między ciałem będącym w spoczynku, a ciałem
znajdującym się w stanie ruchu ze stałą prędkością. Czy obiekt znajduje się w ruchu, czy spoczywa zaleŜy
to tylko od układu odniesienia względem którego, ciało jest obserwowane. Układ odniesienia jest układem
współrzędnych związanym z jakimś ciałem, lub układem ciał względem, którego analizujemy ruch.
RozwaŜmy, dla przykładu, piłkę spoczywającą na podłodze samolotu lecącego w kierunku poziomym. W
układzie współrzędnych związanych z samolotem (tj. w układzie odniesienia samolotu) piłka znajduje się
w spoczynku. Będzie ona znajdować w spoczynku tak długo, jak długo samolot będzie poruszać się ze stałą
prędkością. W układzie współrzędnych związanym z Ziemią piłka porusza się z prędkością samolotu.
Zgodnie z pierwszym prawem Newtona, piłka będzie poruszać się ze stałą prędkością w układzie
odniesienia Ziemi, i będzie pozostawać w spoczynku w układzie odniesienia samolotu do momentu, aŜ
podziała na nią zewnętrzna siła.
Układ odniesienia, w którym spełnione jest prawo bezwładności nazywa się inercyjnym (inercjalnym)
układem odniesienia. Oba układy odniesienia (samolotu i powierzchni Ziemi) są przykładami, z dobrym
przybliŜeniem, układów inercjalnych. KaŜdy układ odniesienia poruszający się ze stała prędkością
względem inercjalnego układu odniesienia jest teŜ inercjalnym układem odniesienia.
ZałóŜmy teraz, Ŝe samolot zaczyna przyspieszać zwiększając swoją prędkość względem Ziemi. Piłka
potoczy się do tyłu, przyspieszając względem samolotu, mimo iŜ nie podziały na nią Ŝadne zewnętrzne siły.
Wniosek: pierwsza zasada dynamiki Newtona nie jest spełniona w układzie związanym z
przyspieszającym samolotem. Układ odniesienia poruszający się z przyspieszeniem względem inercjalnego
układu odniesienia nie jest inercjalnym układem odniesienia i nazywa się układem nieinercjalnym. Tak
więc, pierwsze prawo Newtona jest kryterium dla określenia, który układ odniesienia jest inercjalny, a który
nieinercjalny.
Układ odniesienia związany z Ziemią nie jest w pełni układem inercyjnym z powodu małego
przyspieszenia, jakie posiada powierzchnia Ziemi ( względem środka Ziemi) w wyniku jej ruchu
obrotowego i niewielkiego przyspieszenia Ziemi spowodowanego jej ruchem wokół Słońca. Jednak te
przyspieszenia są rzędu 0,01m/s2 i dlatego, z duŜą dokładnością, moŜna przyjmować, Ŝe kaŜdy układ
związany z Ziemią jest układem inercjalnym.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
24
4-2 Siła, masa, i druga zasada dynamiki Newtona.
Pierwsza i druga zasada dynamiki Newtona pozwalają zdefiniować pojęcie siły. Siłą nazywamy
zewnętrzne oddziaływanie na ciało, które powoduje, Ŝe ulega ono przyspieszeniu w inercyjnym układzie
odniesienia. (zakładamy, Ŝe nie ma innych działających sił). Kierunek działania siły pokrywa się z
kierunkiem przyspieszenia, które ona wywołuje, jeŜeli tylko, siła ta jest jedyną działającą na ciało.
Wielkość siły jest iloczynem masy ciała i wielkości przyspieszenia.
Masa jest wewnętrzną własnością ciała, która mierzy opór ciała przy wprawianiu go w ruch. Innymi
słowy masa jest miarą inercji (bezwładności) ciała. Stosunek dwu mas moŜe być określony ilościowo
poprzez przyłoŜenie tej samej siły do obu mas i porównaniu następnie ich przyspieszeń. JeŜeli siła F
wywołuje przyspieszenie a1, kiedy jest przyłoŜona do masy m1 i ta sama siła powoduje przyspieszenie a2
ciała o masie m2, wtedy stosunek mas będzie zdefiniowany następująco:
m2 a1
=
m1 a2
4-2
Definicja masy
Definicja ta zgadza się z intuicyjnym pojęciem masy. JeŜeli tą samą siłę przyłoŜyć do dwu ciał, to ciało o
większej masie będzie miało mniejsze przyspieszenie. Stwierdzono eksperymentalnie, Ŝe stosunek a1/a2
otrzymany dla dwu róŜnych ciał, na które działała ta sama siła jest niezaleŜny od wielkości, kierunku lub
typu działającej siły. Masa jest wewnętrzną własnością ciała, która nie zaleŜy od jego połoŜenia –
pozostaje ona stała bez względu na to czy przedmiot znajduje się na Ziemi, na KsięŜycu, czy w przestrzeni
kosmicznej.
Jednostką siły w międzynarodowym układzie jednostek jest 1 niuton (skrót N). Korzystając z
równania 4-1 widać, Ŝe 1N = 1kg m/s2.
Stwierdzono eksperymentalnie, Ŝe jeŜeli dwie lub więcej sił działa na dane ciało, to przyspieszają je tak
jak gdyby, na ciało działała jedna siła równa wektorowej sumie poszczególnych sił (siła wypadkowa).
Dlatego teŜ, drugą zasadę Newtona moŜna zapisać następująco:
r
r
r
F
=
F
∑ i wyp = ma
gdzie
r
Fi
oznacza i-tą składową siły.
4-3 Siła wywołana grawitacją, cięŜar ciała.
JeŜeli puścimy jakiś przedmiot w pobliŜu powierzchni Ziemi, to będzie poruszać się ruchem
przyspieszonym w kierunku Ziemi. JeŜeli zaniedbać opór powietrza, to ciało będzie mieć w kaŜdym
punkcie toru stałe przyspieszenie zwane przyspieszeniem Ziemskim
r
g.
Siła, która powoduje to
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
25
przyspieszenie jest siłą cięŜkości działającą na ciało i zwana jest cięŜarem ciała
r
r
P . JeŜeli P ,od początku
ruchu, jest jedyną siłą działającą na ciało, to ciało wykonuje ruch zwany swobodnym spadkiem. JeŜeli
masa tego ciała wynosi m, to druga zasada dynamiki definiuje cięŜar
r
P:
r
r
P = mg
4-3
CięŜar
r
PoniewaŜ g jest takie samo dla wszystkich przedmiotów, to cięŜar ciała musi być proporcjonalny do
r
jego masy. Wektor g określa jednocześnie cięŜar jednostki masy przyciąganej przez Ziemię i dlatego
określa równieŜ natęŜenie pola grawitacyjnego Ziemi. W pobliŜu powierzchni Ziemi g ma wartość
g = 9,81N/kg = 9,81m/s2
Dokładne pomiary
r
g pokazują, Ŝe zmienia się ono w zaleŜności od połoŜenia. Wraz z wysokością g
zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości od środka Ziemi. ZaleŜy ono równieŜ od
szerokości geograficznej, poniewaŜ Ziemia nie jest idealną sferą, ale jest lekko spłaszczona na biegunach.
Pomimo tych zmian cięŜaru wraz z g moŜna je na ogół pominąć w większości zastosowań ( ze względu na
ich małość), jeŜeli ciało znajduje się na (lub w pobliŜu) powierzchni Ziemi.
PoniŜszy przykład powinien wyjaśnić róŜnicę między masą, a cięŜarem. RozwaŜmy kulę do kręgli na
KsięŜycu. Jej cięŜar jest równy sile, z jaką KsięŜyc działa na nią, ale siła ta jest zaledwie jedną szóstą siły, z
jaką Ziemia przyciąga tę kulę, gdy znajduje się ona na jej powierzchni. CięŜar kuli na KsięŜycu jest równy
jednej szóstej cięŜaru na Ziemi, a zatem do jej podniesienie na KsięŜycu potrzeba jednej szóstej siły, którą
naleŜałoby uŜyć na Ziemi. Jednak, poniewaŜ masa na KsięŜycu i na Ziemi jest taka sama, to do rzucenia
tej piłki w kierunku poziomym, z tym samym przyspieszeniem, zarówno na Ziemi, jak i na KsięŜycu, i
gdzieś w kosmosie, potrzebna jest taka sama siła.
Nasze odczucie własnego cięŜaru bieŜę się stąd, Ŝe inne siły równowaŜą ten cięŜar. Kiedy siedzimy na
krześle czujemy siłę wywieraną przez krzesło, która to siła równowaŜy nasz cięŜar i tym samym powoduje,
Ŝe nie spadamy w dół. JeŜeli stoimy na wadze spręŜynowej, czujemy siłę wywieraną przez wagę na nasze
stopy. Waga jest tak wyskalowana, Ŝe pokazuje siłę, która musi być wywierana (poprzez ściśnięcie
spręŜyny), aby zrównowaŜyć nasz cięŜar. Siła ta nosi nazwę cięŜaru pozornego. JeŜeli nie ma siły, która
równowaŜy nasz cięŜar, jak to ma miejsce w swobodnym spadku, nasz cięŜar pozorny wynosi zero. Takie
warunki, zwane niewaŜkością, doświadczają na przykład astronauci w orbitujących satelitach.
4-4 Trzecia zasada dynamiki Newtona.
Słowo siła uŜywa się do opisania oddziaływania między dwoma ciałami. Kiedy dwa ciała oddziaływają
między sobą to wywierają wzajemnie na siebie siły. Trzecia zasada dynamiki stwierdza, Ŝe siły te są równe
co do wartości i przeciwne co do kierunku. JeŜeli ciało A wywiera siłę na ciało B, to ciało B wywiera siłę na
ciało A równą co do wartości, ale przeciwnie skierowaną. Tak, więc siły zawsze występują parami.
Przyjęło nazywać jedną z sił danej pary akcją, a drugą reakcją. Terminologia ta nie jest zbyt fortunna,
poniewaŜ brzmi to tak jak gdyby jedna siła „reagowała” na drugą, co nie jest prawdą. Obie występują
r
Fn'
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
26
r
P
jednocześnie. Siły akcji i reakcji
nigdy nie mogą zrównowaŜyć się
nawzajem, poniewaŜ są przyłoŜone do
róŜnych ciał. Na rysunku 4-1 klocek
r
Fn
spoczywa na stole. Siła, która działa
na klocek do dołu jest siłą cięŜkości
r
P i jest, oczywiście, spowodowana
Rysunek 4-1
r
P'
przyciąganiem Ziemi. Równa, ale
przeciwna
siła
r
r
P' = −P jest
wywierana przez klocek na Ziemię. Te siły stanowią parę sił akcji i reakcji. JeŜeli byłyby one tylko
jedynymi występującymi siłami, to klocek poruszałby się z przyspieszeniem do dołu, poniewaŜ działałaby
na niego tylko jedna, niezrównowaŜona siła ( i Ziemia przyspieszałaby w kierunku klocka). Jednak stół
r
Fn i tym samym równowaŜy cięŜar klocka. Klocek równieŜ działa na stół siłą
r
r
r
r
Fn' = − Fn skierowaną do dołu. Te dwie siły Fn' i Fn takŜe są siłami akcji i reakcji.
oddziaływa na klocek siłą
4-5 Siły występujące w przyrodzie.
Cała moc drugiego prawa dynamiki Newtona objawia się, jeŜeli połączyć je z prawami opisującymi
oddziaływania między ciałami. Na przykład prawo powszechnego ciąŜenia, omawiane w jednym z
dalszych wykładów, określa siłę wywieraną przez jedną masę na drugą, w zaleŜności od odległości między
nimi. To, w połączeniu z drugą zasadą dynamiki, umoŜliwia np. obliczenie orbit planet krąŜących wokół
Słońca, ruchu KsięŜyca, lub zmian g związanych z wysokością ciała.
Podstawowe siły.
Wszystkie rodzaje sił obserwowane w przyrodzie mogą być objaśnione na bazie czterech podstawowych sił
oddziaływań między cząstkami elementarnymi. Są to:
1.
Siły grawitacji
2.
Siły elektromagnetyczne
3.
Siły oddziaływań silnych
4.
Siły oddziaływań słabych
Siły, które obserwujemy na co dzień, występujące między obiektami makroskopowymi są spowodowane
oddziaływaniami grawitacyjnymi lub elektromagnetycznymi.
Oddziaływanie na odległość.
Fundamentalne siły grawitacji i elektromagnetyzmu działają między cząsteczkami znajdującymi się w
pewnej odległości od siebie. To rodzi filozoficzny dylemat dotyczący oddziaływania na odległość. Newton
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
27
traktował oddziaływanie na odległość jako pewnego rodzaju niedociągnięcie swojej teorii grawitacji, ale
unikał wysuwania jakiś dalszych hipotez. Obecnie problem ten jest „obchodzony” poprzez wprowadzenie
pojęcia pola, które działa jako czynnik pośredniczący w oddziaływaniu ciał. Na przykład, przyciąganie
Ziemi przez Słońce rozkładamy na dwa etapy. Słońce wytwarza w przestrzeni coś co nazywamy polem
grawitacyjnym. Następnie to pole oddziaływa siłą na Ziemię. Podobnie Ziemia wytwarza pole, które działa
z określoną siłą na Słońce. Nasz cięŜar jest siłą grawitacyjnego oddziaływania ziemskiego pola na nas.
Podobnie jest z polem elektrycznym, czy magnetycznym.
Siły kontaktowe.
Wiele sił, z którymi spotykamy się na co dzień pojawia się w wyniku bezpośredniego kontaktu. Siły te
mają elektromagnetyczne pochodzenie i działają między cząsteczkami lub atomami tych ciał.
Ciało stałe
RozwaŜmy ksiąŜkę spoczywającą na stole. CięŜar ciała ciągnie ją do dołu powodując
ściskanie cząsteczek stołu, które z kolei opierając się ściskaniu, wywierają siłę na ksiąŜkę. Siłę takiego
rodzaju nazywamy normalną ( w tym wypadku oznaczającą prostopadłą do powierzchni). Powierzchnia
podtrzymująca ciało wygina się przy tym lekko, ale jest to raczej rzadko zauwaŜalne gołym okiem.
Siły normalne mogą się bardzo róŜnić co do wartości. Stół, na przykład, będzie wywierać siłę
skierowaną do góry na kaŜde ciało spoczywające na nim. Dopóki stół nie złamie się, siła normalna będzie
równowaŜyć cięŜar ciała. Co więcej, jeŜeli naciskać na ciało, to stół będzie oddziaływał z dodatkową siłą,
która będzie sprzeciwiać się tej sile i nie pozwoli na upadek ciała.
Ciała będące ze sobą w kontakcie mogą równieŜ oddziaływać na siebie siłami, które są równoległe do
stykających się powierzchni. Takie składowe sił kontaktowych są nazywane siłami ścinającymi.
SpręŜyna Stwierdzono eksperymentalnie, Ŝe jeŜeli spręŜyna jest ściskana lub rozciągana o niewielką
wartość
∆x , to siła wywierana przez nią ma postać:
r
Fx = −k∆x
4-4
Prawo Hooke’a
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, zwanym stałą spręŜystości i określa sztywność spręŜyny
(Rysunek 4-2). Znak minus w równaniu 4-4 oznacza, Ŝe jeŜeli spręŜyna jest rozciągnięta lub ściśnięta to
siła działa w kierunku przeciwnym do deformacji. Ta zaleŜność, zwana prawem Hooke’a, ma, okazuje się,
duŜe znaczenie. Siły molekularne oddziaływania między atomami w cząsteczce lub ciele stałym zmieniają
się w przybliŜeniu liniowo wraz ze zmianą odległości (przy małych zmianach); siły zmieniają się jak w
spręŜynie. Dlatego teŜ, jako modelu cząsteczki dwuatomowej moŜemy uŜyć dwie masy połączone
spręŜyną, modelem ciała stałego moŜe być układ składający się z wielu cząsteczek połączonych
spręŜynkami (Rysunku 4-3).
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
r
Fx = − k∆x
28
jest ujemne, poniewaŜ ∆x jest ddodatnie
r
Fx = − k∆x
Rysunek 4-3
jest dodatnie, poniewaŜ ∆x jest
ujemne
Rysunek 4-2
4-6 Rozwiązywanie zadań – diagram sił.
Wyobraźmy sobie sanie ciągnione po śniegu. Pies ciągnie za lekką linę przymocowaną do sań z siłą
r
F
(Rysunek 4-4a). Wtedy napięta lina powoduje przesuwanie się sań do przodu. Jaka siła działa na
sanie? Zarówno lina jak i lód dotykają sań, czyli wiemy, Ŝe obie oddziaływają na sanie siłami
kontaktowymi. Wiemy, równieŜ, Ŝe Ziemia działa na sanie siłą grawitacyjną (sanie mają cięŜar). Tak, więc
trzy siły działają na sanie (zakładamy, Ŝe tarcie jest
Rysunek 4-4(a) Pies ciągnie sanie.
zaniedbywalnie małe):
Pierwszym krokiem, w celu
rozwiązania zadania, jest
wyizolowanie układu do analizy. W
tym przypadku kształt owalny
wydziela sanie z ich otoczenia. (b) Siły
działające na sanie.
r
1. CięŜar sań P
2. Siła kontaktowa wywierana przez śnieg
3. Siła kontaktowa
Siły
działające
r
Fn
r
T wywierana przez linę
na
dany
układ
moŜemy
przedstawić
schematycznie za pomocą diagramu sił. Zwróćmy uwagę, Ŝe
r
P
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
29
r r
P i Fn na diagramie mają tę samą wartość. Wartości muszą być równe, poniewaŜ sanki nie przyspieszają
w kierunku pionowym (znajdują się w spoczynku, a zatem musi być spełniona pierwsza zasada dynamiki).
Określone warunki nakładane na ruch obiektu, takie jak na przykład, Ŝądanie, aby pozostawał on w
spoczynku na lodzie, nazywają się węzłami.
Drugą zasadę dynamiki dla składowych y-owych moŜemy zapisać:
Py
lub
P
P
a dla składowych x-owych:
P
Rysunek 4-5 Diagram sił dla małego wycinka ∆ms liny.
Druga zasada dynamiki zastosowana do tego wycinka
daje T1 – T2 = (∆ms)ax. JeŜeli masa jest pomijalnie mała
to T1 = T2. Napięcie T jest równe wartości siły z jaką
kaŜdy wycinek działa na sąsiedni kawałek. Siły te
działają wzdłuŜ liny, dlatego teŜ lekka lina łącząca dwa
punkty ma stałe napięcie wzdłuŜ całej liny.
Napięcie jest jednakowe wzdłuŜ liny, dlatego siła
r
F wywierana przez psa na linę jest równa sile
r
T wywieranej przez linę na sanie (Rysunek 4-5).
PRZKŁAD
Człowiek ciągnie sanie po lodzie trzymając napręŜoną linę
z siłą 150N pod kątem 25o do poziomu. Masa sań wynosi
80kg. a tarcie jest zaniedbywalne (Rysunek 4-6). Znajdź (a)
przyspieszenie sań po śniegu i (b) składową normalną
r
Fn wywieraną przez powierzchnię na sanki.
Analiza zadania. Trzy siły działają na sanie: cięŜar sań
r
r
mg działający do dołu, siła normalna Fn działająca do
r
góry i napięcie liny T skierowane pod kątem 25o do
Rysunek 4-6
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
30
poziomu. PoniewaŜ siły nie leŜą na jednej prostej musimy do rozwiązania zadania, zastosować drugą
zasadę dynamiki oddzielnie dla składowych xowych i oddzielnie dla składowych y-owych.
Wybieramy oś x wzdłuŜ kierunku ruchu, y w
kierunku prostopadłym do lodu. Następnie
rysujemy diagram sił dla sań.
(a) Zastosuj
r
r
F
∑ i = ma do ruchu wzdłuŜ osi x aby
określić przyspieszenie sań ax:
r
(b) W kierunku pionowym nie ma przyspieszenia. Zastosuj
r
∑ F = ma do ruchu wzdłuŜ osi y aby obliczyć
i
Fn:
Uwagi Zwróć uwagę, Ŝe tylko składowa x-owa napręŜenia T cos α powoduje, Ŝe sanie ślizgają się. Zwróć
równieŜ uwagę, Ŝe lód tylko częściowo podtrzymuje cięŜar sań, poniewaŜ część cięŜaru T sin α jest
podtrzymywana przez linę.
Sprawdź wynik JeŜeli θ = 0, sanki poruszają się z przyspieszeniem pod wpływem siły T i lód równowaŜy
cały cięŜar sań. Wyniki te zgadzają się: ax = T/m i Fn = mg. Dla θ = 90O ; ay = 0 a Fn = mg – T, tak jak się
spodziewaliśmy.
Ćwiczenie Ile wynosi największe napręŜenie jakie moŜe być przyłoŜone do liny tak aby sanie nie oderwały
się od powierzchni lodu? (Odpowiedź T = 1,86kN)
PowyŜszy przykład ilustruje ogólną metodę rozwiązywania zadań z uŜyciem praw Newtona:
1.
Wykonaj przejrzysty rysunek
2.
Wydziel przedmiot zainteresowania (punkt materialny) i wykonaj diagram sił zaznaczając wszystkie
zewnętrzne siły działające na ciało. JeŜeli istnieje kilka ciał, narysuj oddzielne diagramy dla kaŜdego
ciała.
3.
Wybierz wygodny układ współrzędnych dla kaŜdego ciała i zastosuj drugie prawo Newtona
r
r
∑ Fi = ma
w postaci rozpisanej na składowe. JeŜeli kierunek przyspieszenia jest znany, wybierz oś
poziomą równoległą do kierunku przyspieszenia. Dla ciał ślizgających się po powierzchni wybierz jedną
oś współrzędnych równoległa do powierzchni, a drugą prostopadłą do niej.
4.
Znajdź niewiadome w otrzymanych równaniach.
5.
Sprawdź czy otrzymane wyniki mają prawidłowe jednostki. Sprawdź czy wynik ma sens; w tym celu do
ostatecznych wzorów dobrze jest podstawić ekstremalne wartości.
4-7 Rozwiązywanie zadań – dwa lub więcej ciał.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
31
W niektórych zadaniach, dwa lub więcej ciał jest połączonych w jakiś sposób ze sobą ( stykają się, są
połączone nicią czy spręŜyną). Tego rodzaju zadania rozwiązujemy rysując np. dwa oddzielne diagramy
sił i stosujemy drugą zasadę dynamiki do kaŜdego ciała. Następnie rozwiązujemy otrzymane równania
wraz z równaniami opisującymi węzły znajdując poszukiwane siły i przyspieszenia. Przykładem węzłów
moŜe być przypadek dwu ciał połączonych nierozciągliwą liną. W tym przypadku ciała muszą mieć tę
samą co do wartości prędkość i przyspieszenie. JeŜeli ciała stykają się to siły, z którymi na siebie działają
muszą mieć tę samą wartość i być przeciwnie skierowane jak stwierdza to trzecia zasada dynamiki.
PRZYKŁAD
Paweł (o masie
Staszka ( o masie
mP) poślizgnął się na krawędzi skały. Na szczęście był przywiązany długą liną do
mS), który miał czekan. Zanim Staszek wbił czekan aby się zatrzymać, ślizgał się bez
tarcia wzdłuŜ powierzchni lodu przywiązany do Pawła (Rysunek 4-7). ZałóŜmy, Ŝe nie było tarcia między
liną a skałą. Znajdź przyspieszenie kaŜdej osoby i
napręŜenie liny.
Staszek
r
r
Analiza zadania NapręŜenia liny T1 i T2 mają tę
Rysunek4-7
samą wartość, poniewaŜ zakładamy, Ŝe lina jest
niewaŜka i nie ma tarcia między nią, a krawędzią
skały.
PoniewaŜ
lina
nie
ulega
Paweł
rozciągnięciu,
prędkości Pawła i Staszka w kaŜdej chwili są jednakowe. Dlatego teŜ ich przyspieszenia aS i aP muszą być
równe co do wartości ( ale nie kierunku). PoniewaŜ Staszek nie ma przyspieszenia w kierunku pionowym to
siły pionowe
Fn i mSg muszą się równowaŜyć.
Przyspieszenie kaŜdej z osób jest związane z siłami
Rysunek 4-8
działającymi na nie poprzez drugą zasadę Newtona
Staszek
1.
Narysuj diagram sił dla Staszka i Pawła
2. Zastosuj
Paweł
r
r
PS = mS g
r
r
PP = mP g
r
r
F
∑ i = ma w kierunku poziomym do
Staszka przyjmując T1
= T:
r
r
3. Zastosuj ∑ Fi = ma do Pawła. Jego przyspieszenie jest skierowane do dołu, siła mPg do dołu i T2 = T do
góry. Przyjmij kierunek dodatni do góry.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
4.
32
PoniewaŜ obaj są związani liną, przyspieszenie Pawła i Staszka musi
być równe co do wartości. Niech a
5.
RozwiąŜ ten układ równań z
= aS = aP :
a i T poprzez wyeliminowanie jednej z
niewiadomych.
T jest wyeliminowana poprzez podstawienie
mSa zamiast T w drugim
równaniu:
6.
Znajdź a:
7.
WyraŜenie na
a podstawiamy do pierwszego równania w punkcie 4 i
obliczamy T
Uwaga W punkcie 3 wybraliśmy kierunek do dołu jako dodatni, aby otrzymać rozwiązanie w postaci jak
najprostszej. Przy takim wyborze, gdy Staszek porusza się w kierunku dodatnim (na prawo), Paweł
równieŜ porusza się w kierunku dodatnim ( do dołu). Zwróć uwagę, Ŝe przyspieszenie a jest takie same jak
w przypadku gdy na masę m =
mS + mP działa siła mPg.
Sprawdź wynik JeŜeli mP jest znacznie większe niŜ mS, to moŜemy oczekiwać, Ŝe przyspieszenie będzie w
przybliŜeniu równe g, a napięcie liny T
= 0. Podstawiając mS = 0, rzeczywiście otrzymamy a = g i T = 0.
JeŜeli mP jest znacznie mniejsze niŜ mS, naleŜy oczekiwać, Ŝe przyspieszenie będzie w przybliŜeniu równe
zero, a napręŜenie wyniesie
mPg. JeŜeli zaniedbać mP w mianowniku w punkcie 6 i 7 to otrzymamy a ≅
(mP/ mS)g ≅ 0 i T ≅ mPg.
Ćwiczenie (a) Znajdź przyspieszenie jeŜeli masy są odpowiednio równe mS = 78kg i mP = 92kg. (b) Znajdź
przyspieszenie jeŜeli zamienić masy.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
33