Bryła sztywna

Bryła sztywna
Zadanie domowe
1. Podczas ruszania samochodu, w pewnej chwili prędkość środka przedniego koła wynosiła
.
Sprawdź, czy pomiędzy kołem a podłożem występował poślizg, jeżeli średnica tego koła wynosiła
. [1 pkt.]
a jego prędkość kątowa
2. Koło zamachowe o momencie bezwładności
, obraca się w wokół poziomej osi
przechodzącej przez jego środek. W pewnej chwili zaczęto je hamować (ruchem jednostajnie
opóźnionym, wskutek czego zatrzymało się po upływie 20 sekund. Oblicz wartość momentu siły
hamującej, jeżeli w chwili rozpoczęcia hamowania koło wykonywało
[2 pkt.]
3. Oblicz współrzędne środka masy zgiętego, jednorodnego pręta o stałym przekroju, przedstawionego
na poniższym rysunku. Każda z dwóch części pręta ma masę
i długość . Nie uwzględniaj
grubości pręta. [2 pkt.]
Y
X
4. Oblicz długość zewnętrznego promienia koła zamachowego, jeżeli podczas jego ruchu obrotowego
ze stałą prędkością kątową, wartość prędkości liniowej dowolnego punktu na jego obwodzie wynosi
, natomiast dowolnego punktu, który znajduje się o
bliżej jego osi obrotu
. [2 pkt.]
wynosi
5. Jednorodna belka o stałym przekroju, ma długość
i masę
. Belka ta podparta w punktach A i B
znajduje się w równowadze. Wyprowadź wzór na wartość sił reakcji w miejscach podparcia.
Wskazówka: muszą się równoważyć zarówno siły działające na belkę, jak i ich momenty liczone
względem dowolnego punktu belki. [2,5 pkt.]
A
Zadanie domowe - Bryła sztywna
B
Strona 1
6. Bryła sztywna składa się z jednorodnej kuli i czterech jednorodnych prętów o takim samym i stałym
polu przekroju (patrz rysunek). Masa kuli wynosi
, ich długość
a promień przekroju
a jej promień
. Masa każdego z prętów wynosi
. Wyprowadź wzór na moment bezwładności bryły
względem:
2
a. osi przechodzącej przez środek kuli i prostopadłej do
płaszczyzny, w której znajdują się pręty (oś 1),
[2 pkt.]
1
b. osi przechodzącej przez środek kuli i biegnącej przez
środki masy prętów ustawionych na rysunku pionowo
(oś 2). [2 pkt.]
7. Na wygiętym pręcie (składającym się z dwóch prętów o długościach
masie
) podwieszono obciążnik o
(patrz rysunek). Ten układ ciał może się obracać wokół osi przechodzącej przez punkt
prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Wyprowadź wzór na wartość siły
prostopadle do końca pręta
i
, jaką trzeba przyłożyć
, aby układ był w równowadze Wskazówka: muszą się równoważyć
momenty odpowiednich sił liczone względem punktu O. [2 pkt.]
Zadanie domowe - Bryła sztywna
Strona 2
8. Drabina o długości i masie
, stoi oparta o gładką ścianę (brak sił tarcia w miejscu styku drabiny
ze ścianą). Maksymalny kąt jaki może tworzyć drabina ze ścianą, aby nie upaść, wynosi
.
Wyprowadź wzór na wartość współczynnika tarcia między drabiną a podłogą. Wskazówka: muszą
się równoważyć zarówno siły działające na belkę, jak i ich momenty liczone względem dowolnego
punktu belki. [3 pkt.]
9. Cienką żyłkę (nierozciągliwą i o pomijalnie małej masie) nawinięto na rurę o masie M. Grubość
ścianki rury jest wielokrotnie mniejsza od jej promienia zewnętrznego. Oznacza to, że można ją
potraktować jako obręcz cienkościenną. Koniec żyłki zamocowano do sufitu, po czym (przy napiętej
żyłce) rurę puszczono swobodnie. Wyprowadź wzór na przyspieszenie, z jakim opadać będzie w dół
rura oraz na wartość siły naciągu żyłki. [4 pkt.]
M
10. W przypadku, gdy siła tarcia (statycznego), jest odpowiednio duża, walec stacza się z równi
pochyłej bez poślizgu, natomiast w przypadku, gdy nie ma żadnych sił tarcia ześlizguje się z niej
swobodnie. Wyprowadź wzór na wartość szybkości w obu przypadkach, jeżeli w chwili początkowej
walec był nieruchomy i podczas ruchu jego środek ciężkości przebył w pionie odległość h. Która z
szybkości była większa i ile razy? Wskazówka: najszybciej rozwiążesz zadania korzystając z
zasady zachowania energii mechanicznej. [4 pkt.]
Zadanie domowe - Bryła sztywna
Strona 3
11. Jednorodna bryła o obrotowa (kula, walec, obręcz cienkościenna) ma masę m i promień r. Moment
bezwładności tej bryły względem jej środka masy wynosi
odległości od podstawy równi pochyłej o kącie nachylenia
. Bryłę tę położono w tej samej
i puszczono swobodnie, wskutek czego
zaczęły się toczyć bez poślizgu. Wyprowadź wzór na wartość prędkości liniowej środka ciężkości tej
bryły na dole równi pochyłej. Która z wymienionych powyżej brył miała prędkość o największej
wartości - w wyprowadzonym wzorze uwzględnij zależności określające momenty bezwładności
tych brył. Wskazówka: najszybciej rozwiążesz zadania korzystając z zasady zachowania energii
mechanicznej. [4 pkt.]
12. W pewnej chwili na jednorodnej tarczy (o pewnym promieniu) wirującej swobodnie w płaszczyźnie
poziomej ze stałą prędkością kątową
usiadł żuczek (na osi obrotu tej tarczy). Po pewnym czasie
żuczek przeszedł na skraj tarczy i tam się zatrzymał. Oblicz zmianę prędkości kątowej tarczy, jeżeli
masa tarczy wynosiła M, masa żuczka m. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania momentu
pędu. [5 pkt.]
13. Uczeń siedzi (z wyprostowanymi w bok rękoma) na krześle obrotowym, które może się obracać
swobodnie wokół osi pionowej. W tej sytuacji całkowity moment bezwładności układu krzesło-uczeń
Uczniowi dano do trzymania do każdej dłoni obciążnik o masie
wynosi
, po czym wprawiono go ruchu obrotowy, tak że częstotliwość jego obrotów wynosiła
. W tej sytuacji każdy z obciążników znajdował się w odległości
od osi
obrotu. Ile wynosić będzie częstotliwość obrotów, jeżeli uczeń zginając ręce spowoduje, że
obciążniki znajdą się w odległości
od osi obrotu. Potraktuj obciążniki jako masy
punktowe oraz przyjmij, że po zgięciu rąk całkowity moment bezwładności układu uczeń-krzesło
(bez obciążników!) zmalał do
Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania
momentu pędu. [4 pkt.]
Zadanie domowe - Bryła sztywna
Strona 4
14. Na jednorodnym walcu o masie M i pewnym promieniu, nawinięto długi cienki sznurek, na końcu
którego zamocowano obciążnik o masie m. Walec może się obracać swobodnie wokół osi
przechodzącej przez jego oś wzdłużną . W chwili początkowej obciążnik był nieruchomy i znajdował
się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi. Wyprowadź wzór na czas, po upływie którego
obciążnik uderzy o powierzchnię Ziemi. Pomiń masę sznurka i siły tarcia. [5 pkt.]
Chwila początkowa
15. Drewniany, jednorodny pręt o stałym przekroju ustawiony jest poziomo i może się obracać wokół
pionowej osi przechodzącej przez jego środek masy. Masa tego pręta wynosi M. W pewnej chwili w
jednym z końców tego pręta ugrzęzła kula karabinowa o masie m lecąca z prędkością
na
kierunku prostopadłym do osi obrotu i do pręta. W chwili uderzenia kuli pręt był nieruchomy.
Wyprowadź wzór na wartość zmiany energii kinetycznej układu pocisk-pręt. Wskazówka: skorzystaj
z zasady zachowania momentu pędu. [6 pkt.]
"Widok z góry"
m
M
SM
Zadanie domowe - Bryła sztywna
Strona 5