β c a b

Zestaw IV
Wstęp do matematyki wyższej
Krzysztof Biedroń, Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/
warsztaty-z-fizyki/szkoly-ponadgimnazjalne
21 października 2014 r.
1
Funkcje trygonometryczne
Rozważmy trójkąt prostokątny (rys. 1). Wtedy:
b
c
cos α “ ac
sin α
tg α “ ab “ cos
α
α
ctg α “ ab “ cos
sin α
c
‚ sin α “
‚
‚
‚
“
α
1
tg α
a
Zadanie 1.
Korzystając z własności trójkąta prostokątnego pokazać, że sin2 α `
cos2 α “ 1.
1.1
b
Rysunek 1
Twierdzenie cosinusów
Dla danego trójkąta zachodzi: (oznaczenia na rys. 2):
Zadanie 2.
Udowodnić twierdzenie cosinusów (Wsk.: podzielić trójkąt na dwa trójkąty
prostokątne i skorzystać z twierdzenia Pitagorasa).
1.2
β
a
c2 “ a2 ` b2 ´ 2ab cos β
b
c
Wzory na funkcje trygonometryczne sumy kątów
Rysunek 2
sinpα ` βq “ sin α cos β ` cos α sin β
cospα ` βq “ cos α cos β ´ sin α sin β
Zadanie 3.
Udowodnić powyższe wzory (Wsk.: policzyć długości poszczególnych odcinków na rys. 3.)
α+β
α
1
Zadanie 4.
Korzystając z powyższych wzorów policzyć:
a) tgpα ` βq (w zależności od tg α i tg β),
b) ctgpα ` βq (w zależności od ctg α i ctg β),
c) sinp2αq,
d) cosp2αq.
β
α
Rysunek 3
2
Wektory
Skalary są to wielkości charakteryzowane liczbami rzeczywistymi (np. masa, moc, energia, temperatura). Wielkości, do których opisu potrzebujemy podać także kierunek i zwrot nazywami wektorami. Wektory zwykle oznacza
~ ), albo pogrubiając czcionkę (np. v, M). Długość wektora ~a
się umieszczając strzałkę nad symbol zmiennej (np. ~v , M
oznacza się przez |~a|.
Alternatywnie wektor możemy opisać podając jego składowe. Przykładowo, rozkład trójwymiarowego wektora
można zapisać jako:
~a “ pax , ay , az q “ ax x̂ ` ay ŷ ` az ẑ,
gdzie x̂, ŷ i ẑ to wersory (wektory o długości 1), skierowane odpowiednio wzdłuż osi x, y i z.
2.1
Dodawanie wektorów
Geometrycznie dodawanie wektorów ~c “ ~a ` ~b można zrealizować poprzez
ustawienie początku wektora ~b w miejscu zakończenia wektora ~a i utworzenie
wektora ~c o początku w początku ~a i końcu w końcu ~b. Po rozpisaniu wektorów na
składowe sprowadza się to po prostu do dodawania poszczególnych składowych:
pcx ,cy ,cz q “ pax ` bx ,ay ` by ,az ` bz q.
2.2
y
ay
Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów ~a i ~b nazywamy skalar określony wzorem:
~a ¨ ~b “ |~a||~b| cos α “ ax bx ` ay by ` az bz ,
b
bx
a
ax
c
by
x
Rysunek 4: dodawanie wektorów
gdzie α jest kątem pomiędzy wektorami ~a i ~b.
Można zapisać składowe wektora poprzez iloczyn skalarny tego wektora z poszczególnymi wersorami układu współrzędnych:
ax “ ~a ¨ x̂,
ay “ ~a ¨ ŷ,
az “ ~a ¨ ẑ,
2.3
Iloczyn wektorowy
Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów ~a i ~b jest taki wektor ~c “
~a ˆ ~b, że:
‚ Wektor ~c jest prostopadły zarówno do wektora ~a jak i wektora ~b.
‚ Wektory ~a, ~b i ~c tworzą układ prawoskrętny. Można to sobie wyobrazić jako
tzw. regułę prawej dłoni (gdzie kciukowi odpowiada ~a, palcowi wskazującemu ~b, a palcowi środkowemu ~c.
‚ Długość ~c jest określona wzorem: |~c| “ |~a||~b| sin α, gdzie α jest kątem pomiędzy ~a i ~b.
2.4
c
b
a
Rysunek 5: iloczyn wektorowy
Zadania
Zadanie 5.
Jaki jest kąt pomiędzy wektorami ~a “ p0,4,3q i ~b “ p2,5,1q?
Zadanie 6.
Znajdź wektor o długości 1 prostopadły jednocześnie do wektora o współrzędnych p1,2,3q i wersora ŷ.
Zadanie 7.
Jaką pracę wykonujemy wnosząc ważącą 10kg torbę po schodach o długości 5m nachylonych pod kątem 30˝ ?
3
3.1
Pochodne
Definicja
Definicja 1. (F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowayy, Warszawa 1978 )
Niech f będzie funkcją odwzorowującą przedział (a,b) w zbiór Ă R, x0 i x będą dwoma różnymi punktami przedziału,
a h “ x ´ x0 . Wyrażenie:
f px0 ` hq ´ f px0 q
h
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x i x0 .
y
Definicja 2.
Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę dla h Ñ 0, to granicę oznaczamy
f 1 px0 q i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 .
Geometrycznie f 1 px0 q można interpretować jako tangens kąta pomiędzy styczną do wykresu f pxq w punkcie x0 a osią OX. (rys. 6).
α
Notacja
d
,
Pochodną funkcji można też zapisać przy pomocy symbolu dx
gdzie dx określa po której zmiennej liczymy pochodną. Przykładowo:
pxq
d
f 1 pxq “ dx
pf pxqq “ dfdx
. Zapis z primem jest powszechnie stosowax
x0
x0+h1 x0+h2 x0+h3
ny, ale tylko do funkcji jednej zmiennej lub gdy z kontekstu wynika po
której zmiennej różniczkujemy. Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych, np. p “ ρgh, trzeba jawnie zaznaczyć, po czym różniczkujemy, Rysunek 6: geometryczna interpretacja ilorazu
różnicowego i pochodnej
np:
d
dpρghq
dp
“
ρgh “
dρ
dρ
dρ
3.2
Pochodne w fizyce
Poprzez pochodne definiuje się wiele wielkości fizycznych. Przykładowo, prędkość i przyspieszenie ciała, którego
położenie opisane jest przez xptq definiuje się jako:
dx
dt
dv
d2 x
a“
“ 2.
dt
dt
v“
Badanie przebiegu funkcji
Przy pomocy pochodnych w prosty sposób można znaleźć ekstrema (minima i maksima) funkcji, co jest przydatne
we wszelkiego rodzaju problemach optymalizacyjnych. Jeżeli pochodna f 1 px0 q “ 0 dla danego x0 , to w tym punkcie
funkcja posiada maksimum, minimum albo punkt przegięcia. Aby przekonać się, z którym z tych trzech mamy do
czynienia należy policzyć drugą pochodną f 2 px0 q. Jeżeli f 2 px0 q ă 0 funkcja ma w x0 maksimum, dla f 2 px0 q ą 0 ma
minimum, natomiast jeżeli f 2 px0 q “ 0, to x0 jest punktem przegięcia.
3.3
Podstawowe wzory
Funkcja f pxq
c
1{x
ex
ln x
sin x
tg x
?
x
Pochodna f 1 pxq
0
´1{x2
ex
1{x
cos x
1
cos2 x
1
?
2 x
Funkcja f pxq
x
xα
ax
loga x
cos x
ctg x
?
3
x
Pochodna f 1 pxq
1
axa´1
ax ¨ ln a
1
x ln a
´ sin x
´ sin12 x
3
1
?
3 2
x
Tabela 1: Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe.
Opis
Wyrażenie różniczkowe
Pochodna
1
1
(1) Suma funkcji
pf pxq ` gpxqq
f pxq ` g 1 pxq
(2) Iloczyn funkcji
pf pxqgpxqq1
´
¯1
f 1 pxqgpxq ` f pxqg 1 pxq
(3) Iloraz funkcji
f pxq
gpxq
f 1 pxqgpxq´f pxqg 1 pxq
pgpxqq2
(4) Funkcje złożone
pf pgpxqqq1
f 1 pgpxqq ¨ g 1 pxq
Tabela 2: Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie złożonych funkcji.
3.4
Zadania
Zadanie 8.
Obliczyć pochodne funkcji:
Zadanie 9.
a) y “ x4 ` 2x2 ,
a) f “ px3 ´ 2q4 ,
b) y “ x cos x,
c) y “
b) f “ sinp2x ` 3q,
x2
x`1 ,
d) y “ tg x “
c) f “
sin x
cos x ,
?
x2 ` 1,
d) f “ lnpsin xq.
e) y “ ctg x.
Zadanie 10. [KW, 6.27]
Dla pewnego gazu, znajdującego się w gumowym zbiorniku, związek pomiędzy ciśnieniem p i objętością V wyraża się
wzorem pV “ 60. Znaleźć prędkość zmian ciśnienia p w zależności od zmian objętości V dla V “ 1 i V “ 2.
Zadanie 11. [KW, 6.40]
Drabina o długości s “ 5m, oparta o ścianę budynku, zaczęła się obsuwać. Przy kązcie pochylenia drabiny α “
60˝ względem poziomu prędkość v obsuwania się podstawy drabiny od ściany wynosiła 0,5m{s. Obliczyć prędkość
obsuwania się wzdłuż ściany drugiego końca drabiny.
Zadanie 12. [KW, 10.24]
Jakie wymiary powinno mieć naczynie kształtu otwartego walca obrotowego o
danej pojemności V , gdy przy danej grubości ścianek a chcemy zużyć jak najmniej materiału? (rys. 7)
Zadanie 13. [FZR, 17]
Znaleźć prędkość i przyspieszenie w ruchu opisanym równaniami:
x “ A cospBt2 q,
y “ A sinpBt2 q,
gdzie A i B są stałymi. Znaleźć równanie toru. Jaki to jest ruch?
Zadanie 14. [FZR, 19]
Koło o promieniu r toczy się ruchem jednostajnym z prędkością kątową ω po prostej. Zbadać ruch dowolnego punktu leżącego na obwodzie koła. Podać zależność
prędkości v tego punktu od czasu t.
Literatura
[KW] W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach cz. I,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999.
[FZR] K. Jezierski, B. Kołoda, K. Sierański Fizyka, zadania z rozwiązaniami,
Oficyna Wydawnicza Scripta
Rysunek 7: rysunek do zadania 12.