STUDIA MATHEMATICA 165 (2) (2008) On coeHcients of vector

STUDIA MATHEMATICA 165 (2) (2008) On coeHcients of vector

!#"!%$$%&'"
(*),+.-/102+134/5)6879-;:=<;/5+>68-@?AB<DCFE!G/5HJI9EK-L+M,:NG)+>6834-;)7
OQP
Oscar Blasco RTSVU#WYX[Z]\Q^_Ua`
cb1dfeghije[klmfn
OmoqpNrBsct%uvmfwyxDoBz#ojp!{y|4t#ojpNmojz%}~uvmfn
}%mNz%rjn4mn4{%m|4t#ojpNm
Bloch(X)
oju„ƒ%mN}qojz#ojuvP…n4†„pX‡ƒ%z%pfn4†„rBz%|ˆrBzn4{%mƒ%z%†vnˆ}%†„|Kp|Kƒ%p‰{n4{#oŠn
2
0
Œ |4XmN[€‚ ƒ%mNz%pNm
rB5O8rBƒ%z%}%mN}ŽrBt8mf4ojn4rBK|Omfn‘DmNmNz=nTFrxFojz#sup
ojp‰{q|z|<1
|Kt#oBpf(1
mN| − |z|oBz%)kf
} (z)k
†v||4oj<†„}=∞n4r ‹
(Tn )n
X PY
O8mojzrQtmN4oŠn4rB oju„ƒ%mN}sƒ%uvn4†„t%u„†vmN@O8mfnTDmNmNz
ojz%}
†„.n4{%mscoBt
∞
n
`1 (Y )
}%mf’#z%€‚mN|ocOrQƒ%z%}%mf}qu„†„z%mNoB;rBt8mf4ojn4Bloch(X)
rBˆ‡KrBs
†„z[n4r
n†„|;n=0
|4{%rx@nzz n4{#→
oŠn
(Tn (xn ))n
†„
†„|;o”ˆ†„uvO8mN•n@|4t#ojpNmn4{%mNz
†v|;oVsƒ%uvn4†vt%u„†„mND‡KBloch(X)
rQs
†vz[`1n4(Y
r ) ‹#“ †„.ojz%}–rQz%u—P†„
X
(Tn )n
Bloch(X)
`1 (Y )
P2k+1
m mf4oBu1KmN|4ƒ%u—n4|LojO8rBƒn™1o
P…u„rBpfr…mfšcpf†„mNz[n4|rQ mNp‰n4rQ oBuvƒ%mN}›xœu„r…p!{
2
supk n=2k kTn k < ∞ ‹˜ 
 nTPtm
|4ƒ%p!{ oj|¢¡;oB}%mfs£ojp!{%mN£ojz%}~ ¤#rQƒ%K†vmN€Y¢
ojKm
‡ƒ%z%pfn4†„rBz%|c}%mft8mNz%}%†vz%žrBz~t%KrBt8mN•n4†vmN|crBz
XŸ
pŸ
t%KmN|4mfz[n4mN}
‹
rB
¥5¦.§Q¨œ©…ª%«@¬ˆ­ˆ®8©¯T«œ¨¦±°¢²1³
´8µ1¶8²1´8µ.·ˆ·²
³
·
´8³
´8½
²
X¸5U#¸¹X X º U#Z]»1º;¼ Uc\
¸1WYXQ¾q¿cU#Z5U\
³ ·
´8³·²
´
µ
·
µ · ´
´
º
¸5U\QXU#Z]»ÁÀVX¢À ^ X Bloch(X) ¼
X£ºN¸5U\QX ¼ X ÂKÃ8U#W X…»~U#Z5U#WÅÄ ^‚\¢¼ Z]\ ^ Z]º Z
·² µ ·
µ ²ž·² ·
U kf kBloch(X) = kf (0)k+sup|z|<1 (1−|z|2 )kf 0 (z)k < ∞.
Æ X Z1³ ^ · ».^‚º
\£º \
·
´
XÀ ^ X Bloch ^YZ]º XU» ¼ Bloch(C) Ç
È
³
´
´8³
WYXU WÅÄaÉ f ∈ Bloch(X) ^Y¼U#Z]» Z1WÅÄ*^Y¼ x∗ f (z) = hf (z), x∗ i ∈ Bloch ¼ U#WYW
x∗ ∈ X ∗ U#Z]» kf kBloch(X) ≈ supkx∗ k=1 kx∗ f kBloch Ç
Ê ´8³
´·
·²
´
µ
1 ≤ p, q ≤ ∞ ÀVXž».X[Z XÁË'Ä `(p, q, X) XÁº
¸5U\QX…º ¼º
X…Ì X[Z]\QX…º (xn )n
µ ²·² ·
² ³
k ) ∈ `q ÉÀ X X Ik = {n ∈ N : 2k−1 ≤ n < 2k }
^YZ X º \
U (k(kxn k)n∈I
Æ k `³p · k
´8³
´8³
¼ k ∈ N U#Z]» I0 = {0} Ç XÀ ^ X `p (X) ¼ `(p, p, X) Ç
Ê ´8³
³ ·
µ µ
1 ≤ p, q ≤ ∞ À¢XqÀ ^ X k(xn )kp,q = k(k(kxn k)n∈Ik k`p )k k`q . ͖º º U#WKÉ
²
½
³ ·
°¢²
³
³ · ·³
´ µ
´8³
À X[Z X = C À¢XqºN^ ¸1WÅÄÀ È ^ X `(p, q) Ç
X…º
Xq\QW_Uºº
X…º¢À¢X XqÎ º ^YZ
» \QX…»Ï¼
·²
³
µ
´8¶8¶
XŽº
\…U#W_U ÂKÃ8U#W X…»\…Uº
XqË'Ä
Ç]ЛÇ]Ñ=X[WYW
^YZÓÒvÔÕ#Ö4Ç
× ·µ ³
·²
´ ´
¶
´
·´ °
´8³ ´
· ´
´ ²
X
º X…\…U#WYW X¼ WYW À^YZ ÀVX[WYW5ØZ ÀZy¼•U\
Z U[Ä>W \ X[Ùy\Q^YX[Z º ¼D¿VW \
µ · ´
°c² ³
·
µ ²9·² ·
¼ Z]\ ^ Z]º[Ç
X X=XQ¾>^‚º C1 , C2 > 0 º \
U
¼
RNÚ`
´8³
C1 k(xn )k∞ ≤ kf kBloch(X) ≤ C2 k(xn )k1,∞
P∞
·²
U#Z'Ä f (z) = n=0 xn z n À£^ xn ∈ X Ç
ÛjÜBÜBÜcݛÞjßYàáfâ¢ÞjßYã‚äfåæ#ç#èÅé
áKäN߈ê1ëvÞjå!å!ã ìœä4Þj߂ãYíjî.ï#ðQñjò5ð[Ü ðQñ x ÛBÜ
ó áfô¢õœíŠö4÷ŠåÞjî8÷Lø#à[öKÞjåfáfåjï xDu„r[p‰{‡ƒ%z%pfn4†„rBz%| nTPtmojz%Ÿ }–pNrjn‘P…t8‹ m
‹
ù oj•n4†úoju„u—P|4ƒ%t%trB•n4mN}–O[P ù KrPQmNpfn4rcxDû=¤ ÛjÜBŸ ÜQÛ Üjð[Üü
ý
€
‹
þ ÿ Šÿ
ü
Ü[Û
‹
Z]».X[X…»DÉ]¼
´8³
XU\
xDuúoj|KpNr
²
n U#Z]» r ∈ (0, 1) É
π
1
n
xn r =
f (reiθ )e−inθ dθ.
2π −π
´8³
´
X[Z]\QX nkxn krn−1 ≤ sup|z|=r kf 0 (z)k ¼
U#WYW n ∈ N U#Z]» 0 <Ê r < 1 ÇÐ À
´ ·
´8³±·² ´·² ³
· ¶
X
X
º
X[WYX…\ ^YZ r = 1 − 1/n ÀVX Ë U#^YZ k(xn )k∞ ≤ Ckf kBloch(X) Ç
µ
· ´
³
·² ·
^YZ1X…Ì U#WY^ ÄaÉ Ë]ºNX ÃaX
U
X
XX
k(xn )n k1,∞
k
2k |z|2 −1 ≤ C
nkxn k |z|n−1 ≤ k(xn )n k1,∞
kf 0 (z)k ≤
.
1 − |z|
k
k n∈Ik
°¢² ³
³ ³ ³
³
·´
´8³;·² ¶
³ ·² ´8³ ´
´ ² µ · ´
X XU».X ^‚º X[¼TX X…»
ÒÅÚ8É8ÔÉ#Ö>¼
X X[Z1X U#W X Ä ¼5¿VW \ ¼ Z]\ ^ Z]º[Ç
× ·
·
·´
·² ·
´8³
X 1 ≤ p, q < ∞ Ç
^‚ºqXUºfÄ
ºNX[X
U (`(p, q, X))∗ = `(p0 , q 0 , X ∗ ) ¼
µ
c
³
·
²
·
1
µ
³
³
¶
1/p + 1/p0 = 1/q + 1/q 0 = 1 É Z]».X
XqZ5U
U#W;¸5U#^ ^YZ
X
R4Ô8`
h(xn ), (x∗n )i =
hxn , x∗n i
n
² ³
´~µ
´8³c·²
µ
³ ¶
µ ·´y·²
··² ·
TR À X q
X ÀVX›U#W‚º
º
X h·, ·i ¼
X›» U#Wˆ¸5U#^ ^YZ ^YZ X `jÇ X
XŽ¼•U\
U ˢX
8´ µ
·´
·
·²
·
µ · ´
·²·²
µ
´8³
³
´
¶
À
W‚»=WY^YØ8X
^‚».X[Z ^Y¼_Ä
XU#Z5U#WÅÄ ^‚\¼ Z]\ ^ Z]º;À^
Xº
X…Ì X[Z]\QX…º\
X…ºN¸ Z]».^YZ
·´ ·² ³q°
´8³ ´
·
·
´
·q·´
³ µ
´
X[^
U[Ä>W \ X[Ù~\Q^YX[Z ºQÉ;^ ^‚º=\ Z'ÃaX[Z1^YX[Z
Î1Z]» U~¸ X…» U#W ¼ Bloch(X ∗ )
µ
³c·²
³
´8µ
³ ¶
Z]».X
XŽ¸ XQÃ>^ º£¸5U#^ ^YZ Ç
Æ
²
´· ¶
·²
´
µ
·
µ · ´
X=º U#WYWF˹X».X[Z ^YZ Ë'Ä J1 (X) X=º
¸5U\QX ¼ X ÂKÃ8U#W X…»*U#Z5U#WÅÄ ^‚\=¼ Z]\ ^ Z]º
´ ·²
µ ²9·² · 1
² ³
0
XŽ».^‚º
\ D º \
U
X X
f Z
0 M1 (f , r) dr < ∞ É.À
2π
1/p
´8³
it p dt
Mp (f, r) =
¼ 1 ≤ p ≤ ∞Ç
kf (e )k
2π
0
1
´
¶y·²
·²9·²
´8³
½
´
kf kJ1 (X) = kf (0)k + 0 M1 (f 0 , r) dr Z1X
Z]» À^YZ
Xݼ
¸5U\QXŽÀ^
XŽZ
µ
³c·²
³ ¶
¶ ·
Xq¸5U#^ ^YZ
X º (J1 (X))∗ = Bloch(X ∗ ) Z]».X
∞
X
R a`
hx∗n , xn i
hf, gi =
´8³
n=0
P
P
x∗ z n ∈ Bloch(X ∗ ) U#Z]» f (z) = ∞
xn z n ∈ J1 (X) Ç
¼ U#Z'Ä g(z) = ∞
°¢² ³
³ ³ n=0³
³ n ·´
´8³@·²
µ
· ³ µ ·
·n=0
²
³
µ
X XU».X ^‚º X[¼TX X…»
ÒÅÚBÖ¼
^‚º» U#WY^ Ä X…º W ^YZ
Xº\…U#W_U ÂKÃ8U#W X…»Á\…Uº
X
·´
´8³ ·
·´8³
µ
·
´
´·² ³ ³ µ
´ ·
U#Z]»
Ò>É%Ö.¼ ^ ºÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…»žXQ¾ X[Z]º
^ ZFÇaÍZ
X ¸ X…» U#W]\…U#ZžË¹X Ë U#^YZ1X…»
· ³
½
´
³
¶8½
½
^YZ X
º ¼¿X
U#Z º
¸5U\QX…ºQÉLZ5U X[WÅÄ (A1 (X))∗ = Bloch(X ∗ ) R•º
X[X ÒvÔÉ֑`jÉ
² ³
´· ·²
´
µ
·
µ · ´
´ ·²
À X X A1 (X) ».X[Z X…º
X–º
¸5U\QX ¼ X ÂKÃ8U#W X…» U#Z5U#WÅÄ ^‚\¼ Z]\ ^ Z]º f Z
X».^‚º\
µ ² ·² ·
·
´8³¢·²
´8³
½
³
U D kf (z)k dA(z) < ∞ U#Z]» dA(z) º U#Z]»1ºc¼
X=Z
U#WY^[X…»ÏU XU
Dº \
½
µ1³ ´
·²1´8µ1¶8²
·²
µ
· ·²
³ ¶
³ · ³
´8½
XU º X Z D É5U#W
^YZ
^‚º» U#WY^ Ä
Xq¸5U#^ ^YZ ^‚º£».^œX X[Z ¼
R4Ô8`jÇ
³
´8½
´
µ
·² ·V·² ³
·
µ ²
X[Z]\QX–¼
RNÚ`U#Z]» Ra`À¢X–\…U#Z \ Z]\QW ».X
U
X X–XQ¾>^‚º C1 , C2 > 0 º \
·² ·
U
¼
R`
´8³
C1 k(xn )k∞,1 ≤ kf kJ1 (X) ≤ C2 k(xn )k1
·²Ï°
´8³ ´
·
U#Z'Ä f ∈ J1 (X) À^
U[Ä>W \ X[~
Ù \Q^YX[Z º (xn ) Ç
ê5íáäNã‚áfî%߂åLí@ëví
äfà!çîäNßYã‚íŠî#å
ü
ÜBý
·´8³
µ
´ ² µ · ´
²
µ
³ ·
³
´8³
SX…\
ÂKÃ8U#W X…» ¿VW \ ¼ Z]\ ^ Z]º U[ÃaX–˹X[X[Z º
X…»^YZ».^œX X[Z ¸5U#¸¹X º¢U#Z]»¼
Æ
³ ·~³
´
³ ³y·² ³
³±·´
´8³
».^œX X[Z
XUº Z]º*R•º
X[X Ò >É 1É ¹ÚÔ%֑`jÇ
X X[¼TX
X XU».X
ÒÉ£Ú #Ö£¼
Z1XQÀ
³ µ · ´ ·²
µ
·
X…º W º Z
Xqº Ë
fX…\ Ç
·²
³
²
·²·²
·´8³
µ
´8¶8µ
´ ·²
´
Z
^‚º=¸5U#¸¹X À¢X±º U#WYW».XU#WÀ^
X±ÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…» U#Z5U#W × X…º ¼
Xy¼ WÅÂ
´
¶*³ µ ·›´ ½Áµ ·
³
µ ·´
³ ´
²
W À^YZ
X…º W Z
W ^Y¸1WY^YX º›» X
Ç Ç;ÍZ]».X º Z U#Z]» Í›Ç Ç ^YX[W‚»1º R•º
X[X
ÒvÔ%֑` (Bloch, `1 ) = `(2, 1),
R 8`
² ³
·
´8³–·²
´
µ
µ ²·²
À X X (Bloch, `1 ) º U#Z]»1º¼
Xžº
¸5U\QX ¼P
ºNX…Ì X[Z]\QX…º λ = (λn ) º \
´ ³ ·´8³
´8³
´
8
µ
³
´8½
n
Tλ (f ) = (λn αn )n ¼
f (z) =
Z]».X…»¼
¸¹X U
n αn z ^‚º9Ë
·´
^YZ
`1 Ç
´
µ
´
´
¶ · ·²
´ ´
¶ ½ ³
´ ½
·´
ͺU=\ Z]º
X…Ì X[Z]\QX ¼LR 8` Z1X X º
X£¼ WYW À^YZ ^ ¸ ÃaX [X Z
¼LRNÚ`
·
´ · ·
µ ²9·² ·
XQ¾>^‚º ºUž\ Z]º U#Z C > 0 º \
U
U
·=·²
X
Bloch
°c² ³
X X
Ra`
´8³
k(αn )n k2,∞ ≤ CkφkBloch
P∞
Æ
³ ·Ž´
³
·² ·
´
´·Ž²1´
·²
¼
U#Z'Ä φ(z) = n=0 αn z n Ç XyÎ º
Ë]º
X ÃaX
U Ra`» X…ºqZ
W‚» ^YZ
X
·´8³
µ
·µ · ´
´· ·² ·
·
´8³–·²
´
´
ÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…» P
ºN^ U ^ ZFÇ@Ð
X
U ^Y¼ en º U#Z]»1º–¼
Xž\…U#Z Z1^‚\…U#WLË5UºN^‚º ¼ c0
·²
´8µ
µ
·
µ · ´
en z n = (z n )n ^‚ºŽU Ë
X[Z f (z) = ∞
Z]».X…» c0 ÂKÃ8U#W X…» U#Z5U#WÅÄ ^‚\y ¼ Z]\ ^ ZFÇ
n=1
³N· µ ³
´8³
Z¸5U ^‚\ W_U f ∈ Bloch(c0 ) É>U#Z]» (en ) ∈
U#Z'Ä p < ∞ Ç X[Z]\QXžR 8`
/ `(p, ∞, c0 ) ¼
´
´·²1´
´8³c¶
³
²
» X…º£Z
W‚»9¼
X[Z1X U#Wˆ¿cU#Z5U\ º
¸5U\QX…ºQÇ
°¢²
½ ´ ·²
³
·´Áµ
³ ·
² ·² ³
²
·µ1³
X=U#^
¼ ^‚ºV¸5U#¸¹X ^‚º
Z]».X º U#Z]»À X X Ra`U#Z]» R 8` U[ÃaX–Z5U
U#W
·
´
·´
·´8³
µ
µ · ´
²1´ ·² ³
·´8³
µ
´8¶8µ
XQ¾ X[Z]º
^ Z]º
ÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…» ¼ Z]\ ^ Z]ºcU#Z]»
À
X[^ ÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…»9U#Z5U#W
X…º
´
´8½
¶ ´8½ ·³
³
´ ³N·
´ ·²
²
».X[¸¹X[Z]» Z*º
X X
X ^‚\…U#W@¸ ¸¹X ^YX…º ¼
XŽ¿cU#Z5U\ ºN¸5U\QX X Ç
Ê ´8³ ² ²
²
´
·²
´ ´
¶~²1´
Problem 1 Ç
À ^‚\ ¿cU#Z5U\ º
¸5U\QX…º X » X…º
Xq¼ WYW À£^YZ
W‚»
∞
X
R 8`
xn z n ∈ Bloch(X) ⇒ (xn )n ∈ `(2, ∞, X)?
f (z) =
n=0
× · µ ¶
· ²
´ ´
¶
· ´
X
º ^ÅÃaX
X ¼ WYW À^YZ ».X[Î1Z1^ ^ ZFÇ
q
× ·
´8½
²
Úǂ"Ú ! X X ˹XUq\
¸1WYXQ¾y¿¢U#Z5U\ ºN¸5U\QX8Ç –X[Î1Z1X ΛBloch,`1 (X)
·²
´
³
µ
µ
µ ² ·² ·Ï·² ´ ³
Uº
X º
¸5U\QX ¼Áº\…U#W_U ÂKÃ8U#W X…» ºNX…Ì X[P
Z]\QX…º λ = (λn )n º \
U
X ¸¹X U%Â
·´8³
´8³
´8µ
³
´8½
∞
n
T (f ) = (λn xn )n ¼
f (z) =
Z]».X…»2¼
Bloch(X)
n=0 xn z ^‚º Ë
·´ λ
^YZ
`1 (X) Ç
#
´8µ
·
¶
² ³
´
¶ ·
Ë'Ã>^ º
WÅÄaÉ U#Ø^YZ f (z) = xφ(z) À X X x ∈ X U#Z]» φ ∈ Bloch Z1X X º
ΛBloch,`1 (X) ⊆ (Bloch, `1 ) = `(2, 1).
µ
³
¶8µ1½
· ²1´
·² · ´8³
·²
µ
·
Í » U#WˆU
X[Z º Àº
U É]¼ 1 < p ≤ 2 É Xq^YZ1X…Ì U#WY^ Ä
X
k(xn )n kp0 ,∞ ≤ Ck
xn z n kBloch(X)
µ
··´
^‚ºcX…Ì ^ÅÃ8U#WYX[Z
`(p, 1) ⊆ ΛBloch,`1 (X).
Ê ´8³ ² ²
³
´
½
³ ²1³
´ ´
²
X[Z]\Q%
X $ Ë1WYX
ڎ\…U#Z˹X X[¸ UºNX…» Uº¼ WYW À&º À ^‚\ ¿cU#Z5U\ º
¸5U\QX…º X É
ΛBloch,`1 (X) = `(2, 1)?
ü
ÜBð
‹
xDuúoj|KpNr
´· ´ ·
½
¶
· ³
²1´
·² ·
X QX ¾1U 1
¸ WYX ^ÅÃaX[Z U#¼ X Ra` º Àº
U `(p, 1) ^YZ Z
\ Z U#^YZ1X…» ^YZ
´8³
°c²
·µ
·´
½~´8³ ¶
³
µ · ´
#U Z'Ä p > 1 Ç
^‚ºU\ U#WYWÅÄ9WYXU»1º
U
X X[Z1X U#W;Ì X…º ^ ZFÇ
ΛBloch,`1 (c0 ) ¼
Ê
´8³ ¶
²
U ^ÅÃaX[Z¿¢U#Z5U\ ºN¸5U\QX X Ç
Problem 2 Ç ^YZ]» ΛBloch,`1 (X) ¼
³
½
³ ³
´
½
³ · ´
´8³
·´8³
µ
³
¶8½
^
^YW_U ¸ Ë1WYX º¢U#Z]»».X…º
\ ^Y¸ ^ Z]º¢¼ ÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…»
U »>ÄU#Z]»¿X
U#Z
³
´
³
³
´8µ
³
·²
µ.·²1´8³
º
¸5U\QX…ºcÀ¢X Xq\ Z]ºN^‚».X X…»*^YZ9¸ XQÃ>^ º¸5U#¸¹X º£Ë'Ä
XŽU
R•º
X[XÒ 1É;Ú 1É@Ú %֑`jÇ
´·² ³ ´
¶
³
· ´ ´
·´ ´
³
µ
´
´8µ
ÍZ
X ¸ º
º
^YË1WYX X[Z1X U#WY^ U ^ Z ¼ˆR 8`F^‚º
\ Z]º
^‚».X ºNX…Ì X[Z]\QX…º ¼1Ë
Z]».X…»
´ ³ ·´8³
·
· ´
²
·´
¸¹X U
º (Tn )n ^YZ L(X, Y ) ˹X ÀVX[X[Z À
¿cU#Z5U\ ºN¸5U\QX…º X U#Z]» Y U#Z]»
´ ³ ·´8³
µ
½Áµ ·
³ °¢²
³
´ ² ´8³
³ ·
´
».X[Î1Z1X ¸¹X U
ÂKÃ8U#W X…»
W ^Y¸1WY^YX º[Ç
^‚ºU#¸1¸ U\ ¼ ».^ œX X[Z ºN¸5U\QX…º ¼U#Z.Â
·
µ · ´
½Áµ ·
³
´8µ
U#WÅÄ ^‚\=¼ Z]\ ^ Z]º–U#Z]»
W ^Y¸1WY^YX º\…U#ZÏ˹Xq¼ Z]»9^YZ Ò >É ]
É >É@څÕ.É@ÚÔ>É@Ú #Ö4Ç
µ
·´
ÚÇú
Ô !ÁÍ ºNX…Ì X[Z]\QX (Tn )n ^YZ L(X, Y ) ^‚ºcºŠU#^‚»
˹Xq
U ³ ·
·
Bloch(X) `1 (Y ) ÉÀ ^ X[P
Z (Tn ) ∈ (Bloch(X), `1 (Y )) É%^Y¼ (Tn (xn ))n
´ ¶ ·´
²
³
´ ¶ ·´
°¢²
`1 (Y ) À X[Z1XQÃaX f (z) = ∞
x z n ˹X[W Z º
Bloch(X) Ç
˹X[W Z º
^‚º£^‚º
µ
··´ž
·²
·
´
´ · n=0
· n
µ ²Ï·² ·
X…Ì ^ÅÃ8U#WYX[Z
XqXQ¾>^‚º X[Z]\QX ¼Už\ Z]º U#Z C > 0 º \
U
°¢²
N
X
Ra`
n=0
¼
´8³
N
X
nxn z n−1 kTn (xn )k ≤ C sup (1 − |z|2 )
|z|<1
n=1
U#Z'Ä N ∈ N U#Z]» x0 , x1 , . . . , xN ∈ X Ç
°¢²
½Áµ1½ ´ ·²
´ · ·
·
¶
·²
X9^YZ1Î
¼
XÏ\ Z]º U#Z º C ºŠP
U ^‚ºN¼_Ä>^YZ
Ra`›^‚º
X
ÏÉ
² ² ´
·² ·²
´8³
½ ´
·² ´ ³ ·´8³
À ^‚\ \ ^YZ]\Q^‚».X…ºqÀ^
XyZ
¼ ΦT ( xn z n ) = (Tn (xn )) Uº
X ¸¹X U
³
´8½
¼
Bloch(X) U#Z]» `1 (Y ) Ç
Æ
²
³
·²
³ ´8½
³N·
³ ·´y·² ½~´8³ ¶
³
X›º U#WYWU»1» X…º
º^YZ
XŽ¸5U#¸¹X º
XŽ¸5U ^_U#WU#Z]ºfÀ¢X º
X
X X[Z1X U#W
³
´
½ ´
¶ ´
· ´
´ ·²
²
·´y²
¸ Ë1WYX
¼Î1Z]».^YZ \ Z]».^ ^ Z]º Z
XŽ¿¢U#Z5U\ ºN¸5U\QX…º X U#Z]» Y
U[ÃaX
Ra`
(Bloch(X), `1 (Y )) = `(2, 1, L(X, Y )).
× Ž
· µ
´
´
·
³
· ´
´
³
´ ³N·
´
²
·´
X
º=Z À \ WYWYX…\ ºNXQÃaX U#W».X[Î1Z1^ ^ Z]º ¼V¸ ¸¹X ^YX…º ¼¢¿¢U#Z5U\ º
¸5U\QX…º
µ
² · ´ ´
˹X ºNX…»Ï^YZ À U ¼ WYW Àº[Ç
× ·
·
´8½
ÚÇ ! X 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q < ∞ U#Z]» WYX X ˹XUÓ\
¸1WYXQ¾
²
·´~²
·² ³
·
´ · ·
¿cU#Z5U\ º
¸5U\QX8Ç X ^‚ººU#^‚»
U[ÃaX !"#
$%&' p ^Y¼
X XŽXQ¾>^‚º º–Uy\ Z]º U#Z C
µ ²9·² ·
º \
U
∞
0
X
0 1/p
≤ Ckf kLp (T,X)
kfˆ(n)kp
RNڅÕa`
´8³
n=−∞
µ
· ´
¼ U#WYWF¼ Z]\ ^ Z]º f ∈ Lp (T, X) Ç
·´=²
³
· ² ³
U[aà X)(*++,.-&/&0%' p É X…º
¸FÇ(*+.&1+-/#2-"%&' q É8^Y¼ X X
X ^‚ººŠU#^‚»
·
´ · ·
µ ²9·² ·
XQ¾>^‚º ºUž\ Z]º U#Z C º \
U
1 X
n
n
X
1/p
kxj kp
,
xj rj (t) dt ≤ C
0
j=1
j=1
ê5íáäNã‚áfî%߂åLí@ëví
äfà!çîäNßYã‚íŠî#å
³
X…º
¸FÇ
·
½
j=1
kxj kq
1/q
´
1 X
n
xj rj (t) dt,
≤C 0
·´8³
j=1
² ³
·
´8³·²
#U Z'Ä Î1Z1^ X ¼•U ^YWÅÄ x1 , . . . , xn ¼yÃaX…\
º ^YZ X À X X rj º U#Z]»,¼
X
½
² ³ µ · ´
´
U».X U\ X ¼ Z]\ ^ Z]º Z [0, 1] Ç
°¢²
´· ´ ´ Ê ´8µ1³ ³=·
³ ·
·³
´ µ
·³
X±Z ^ Z ¼
^YX Ä>¸¹X±À£UºÎ º ^YZ
» \QX…» Ë'Ä Ç$X[X X*R
ÒvÔ#֑`U#Z]»
³ ³Ž·² ³
³Ž·´*·²
µ1³
´8³
´8½
·
·µ
³
³
À¢X X[¼TX
X XU».X Æ
Xº ÃaXQÄ ÒÅÚ #Ö¼
UÏ\
¸1WYX X º »>Ä U#Z]» X[¼TX X[Z]\QX…º
Ê ´8µ1³ ³c·
´8µ.·£·²
³
´ ³N·
µ ·½
· ´ ² ³ ·² ·
²
U#Ë
^‚ºc¸ ¸¹X ÄaÇ X º
X[Z ^ Z X Ê X
U X Uº
^YX Ä>¸¹X p ^Y¼U#Z]»
´
²
8
´
1
µ
³
c
³
·
·
²
´
N
³
·
µ
³
^YX Ä>¸¹X p X[Z
Z1WÅÄ ^Y¼ X ∗ » X…º[Ç Zϸ5U ^‚\ W_U É5^Y¼ X Uº
∞
1/p
X
kfb(n)kp
.
kf kLp0 (T,X) ≤ C
RNÚ8Ú`
¼
´8³
n
X
ü
Ü
n=−∞
°¢²
´· ´
´ ½
² ³L·
´·
³
·³
´ µ
µ
X£Z ^ Z]º ¼ U».X U\ X Ä>¸¹X–U#Z]»±\ Ä>¸¹X£À¢X Xc^YZ
» \QX…»yË'ı¿–Ç U Â
³
³
³
²1´
·´
³ ·² ³ ½ ´8³N· ·
XQÄU#Z]»ÁÇ $^‚º
^YX R•º
X[X9ÒÅÚ >× É@Ô8Ô>ÉFÔ#֑`U#Z]»ÀVX Xžº ÀZ Ê Ë¹X U X ^ ¸
U#Z
²
·² ´8³
· µ
½
³
·² · ´8µ1³ ³·
½
^Y Z ¿¢U#Z5U\ º
¸5U\QX
X ÄaÇ X
ººN^ ¸1WÅÄ X…\…U#WYW
U
^YX
Ä>¸¹X p ^ ¸1WY^YX…º
½
² ³c·
·² ·
²
·
·²
²
´·
U».X U\ X Ä>¸¹X p U#Z]»
U ^Y¼ X ∗ Uº Ä>¸¹X p X[Z X Uº£\ Ä>¸¹X p0 Ç
°¢² ½
½
´
´ Ê ´8µ1³ ³–·
³
´8³
X
U#^YZXQ¾1U ¸1WYX…º ¼º
¸5U\QX…º ¼
^YX Ä>¸¹X p U X Lr (µ) ¼
U#Z'Ä p ≤ r
8
´
³
·
³
´
·
´
·
²
0
≤ p
^YZ X ¸ W_U ^ Z º
¸5U\QX…º [X0 , X1 ]θ ˹X À¢X[X[Z U#Z'Ä ¿¢U#Z5U\ ºN¸5U\QX X0 U#Z]»
³N·
² ³
U#Z'Ä
^YWY˹X ºN¸5U\QX X1 À X X 1/p = 1 − θ/2 Ç
´ž·² · r
²
½
² ³¢·
½
² ³
X…\…U#WYWˆU#W‚º
U L (µ) Uº U».X U\ X Ä>¸¹X min{p, 2} U#Z]»
U».X U\ X
´·
\ Ä>¸¹X max{p, 2} Ç
®a« '® ¯>¨¹©¦ Æ
· ³N·
½
· ´
¶
´8µ
´
½
X º U
~
Ë'Ä
X[Z ^ Z1^YZ U9\ ¸1WYX ¼VXQ¾1U ¸1WYX…º
´ ² µ · ´
· ´
µ
· ³£´
¼ˆÃaX…\
ÂKÃ8U#W X…»¿VW \ ¼ Z]\ ^ Z]º
˹X º
X…»9W_U X
ZFÇ
× ·
½
ÔÇ‚Ú R•P
ºNX[XÒÅÚ .É ¾1U ¸1WYX >ǂÚB֑` ! X 1 ≤ p ≤ ∞ U#Z]» ».X[Î1Z1X fp :
−1/p e z n ÉÀ ² X ³ X e º · U#Z]»1ºL¼ ´8³·² X£\…U#Z ´ Z1^‚\…U#W]Ë5UºN^‚º[Ç
D → `p Ë'Ä fp (z) = ∞
n
n
n=1 n
°c²
X[Z fp ∈ Bloch(`p ) Ç
P∞
´· ·² ·
·²
·² ·
Ð
X
U fp (z) =
U (xn ) ∈
xn z n À^
kxn k = n−1/p U#Z]»
n=1
´
`(2, ∞, `p ) ^Y¼LU#Z]» Z1WÅÄ ^Y¼ p ≥ 2 Ç
× ·
½
ÔÇúÔ R•ºNX[XÒÅÚ .É ¾1U ¸1WYX >ÇúÔ֑` ! X 1 ≤ p < ∞ U#Z]» ».X[Î1Z1X Fp :
¢
°
²
X[Z Fp ∈ Bloch(Lp (T)) Ç
D → Lp (T) Ë'Ä Fp (z)(ξ) = (1 − ξz)−1/p Ç
P∞ 0 n
´· ·² ·
·²
·² ·
0
Ð
X
U Fp (z) =
kx0n k ≈ n−1/p U#Z]»
U (xn ) ∈
n=1 xn z À^
´
`(2, ∞, Lp (T)) ^Y¼U#Z]» Z1WÅÄ ^Y¼ p ≤ 2 Ç
°¢²
½
²1´ ·² ·
X…º
X=XQ¾1U ¸1WYX…º£º À
U
´8³
´8³
ΛBloch,`1 (`p ) ( `(2, 1) ¼
p < 2, ΛBloch,`1 (Lp (T)) ( `(2, 1) ¼ p > 2.
Æ
´
²1´ ·² ·
²1´
´8³ ³N·
°¢²
³
´´ ·² ·
²
XŽZ ÀJº À
U R 8`
W‚»1º¼
^YWY˹X º
¸5U\QX…º[Ç
X›¸
¼
U À¢XŽº U#WYW
³
·
µ ´
³
´·²
µ
·
¸ X…º
X[Z ^‚ºcË5UºNX…» ¸ Z X[Z]».^YX…\ŠØ vº^YZ1X…Ì U#WY^ ÄaÇ
´
D¦
T«5ª
·´8³
µ
ü
ÜQñ
ÔÇ‚Ú ! C > 0 -//#"
‹
H
"!
xDuúoj|KpNr
2
&
'+-!/# /# "
-& k(x ) k
≤ Ckf kBloch(H)
n 2,∞
" f (z) = P∞ x zn ∈nBloch(H)
n
–^ÅÃaX[Z n=0
· ³N·
f ∈ Bloch(H) À¢Xº U
&- ΛBloch,`1 (H) = `(2, 1) ¶
·²
Ë'Ä ».X[Î1Z1^YZ Tf : A1 → H Ë'Ä
X
8´ ³
½Áµ
² ³
·
›
¶
·
²
·
´
¼
W_U Tf (un ) = xn , À X X un (z) = (n + 1)z n É>U#Z]»~XQ¾ X[Z]».^YZ
X–».X[Î1Z1^ ^ Z
·´
´
8´ ½
³ · °c² ·
U#WYWF¸ WÅÄ>Z
^_U#W‚º£Ë'Ä WY^YZ1XU ^ ÄaÇ
U ^‚ºQÉ
X xn αn
Tf (φ) =
= φ(z)f (z) dA(z)
n+1
n
D
PN
´8³
¼ φ(z) = n=0 αn z n Ç
º
^YZ ¶ž·² XŽ¼•U\ ·c·² U ·
∞
X
αn β n
hφ, ψi =
= φ(z)ψ(z) dA(z),
RNÚÔ8`
n+1
n=0
D
PN
P∞
´8³
¶
·²
µ
·
n
¼ U#Z'Ä φ(z) = n=0 αn z U#Z]» ψ(z) = n=0 βn z n É ^ÅÃaX…º
XV» U#WY^ Ä (A1 )∗ =
·´8¶ ·² ³
·² ·²
· ·² ·
X X À^
X¼•U\ º
U hT (φ), x∗ i = hx∗ f, φi U#Z]»
Bloch R•ºNX[X ÒvÔ %֑`jÉ
´
´8½
³
´ · µ1´8µ f
·
·´
A1 Uº9U
¸ WÅÄ>Z
^_U#W‚ºÏU X ».X[Z]º
X^YZ A1 ÉÀVX \…U#Z \ Z ^YZ
º
WÅÄ XQ¾ X[Z]» Tf
´8µ
´ ³ ·´8³
Ë # Z]».X…» ¸¹X U
U#Z]» kTf k ≤ Ckf kBloch(H) .
·² ´·² ³›²
·
´
´8³
·² ·
´8½y´8³ ²
Z
X
X
U#Z]»Ó^ ^‚ºŽØZ ÀZ R•º
X[X ÒvÔ #Ö
ÒvÔ %֑`
U A1 ^‚ºŽ^‚º
¸ ^‚\
·´
´
¶=·²
³
´·²
·² ´8³ ½
µ
·² ·
`1 Ç X[Z]\QXcË'ÄÁ^YZ'Ã Ø^YZ
X X[Z]».^YX…\ŠØ
X X
R•ºNX[X›ÒÅÚ %֑`;À¢Xc».X…» \QX
U
´ µ.·
µ1½y½
¶
^YZ Ç
Tf ^‚ºU#Ë]º W X[WÅÄ*º
× ·
· ´ ´
³
´8½
·² ·
X k(λn )k2,1 ≤ 1 Ç
¼ WYW Àºc¼
R 8`
U
X
sup
|hλn un , gi| ≤ C.
°c²
¼
^‚ºcWYXU»1º
´8³
kgk(A1 )∗ ≤1 n
·´
U#WYW k(λn )k2,1 ≤ 1 Ç
#
³
X
n
^YZ
|λn | kT (un )k ≤ C
´·² ³ 8´ ³
X À
» º (xn ) ∈ `(2, ∞, X) U#Z]»
1
k(xn )n k2,∞ ≤ CkTf k = Ckf kBloch(H) .
²1´
´8½
¶ ´8½ ·³
³
´ ³N·
´ ·²
²
Xº U#WYW Ä
º
X[X
À2º
X X
X ^‚\…U#WD¸ ¸¹X ^YX…º ¼ Xº
¸5U\QX X X[WY¸
·´
³
».X…º
\ ^Y˹X ΛBloch,`1 (X) Ç
Æ
³ · ½ ³
´
·²
· ½ ·
µ
³ ´8½
µ1½ · ´
´ ·²
X9Î º ^ ¸ ÃaX
X9X…º ^ U X…ºy^YZ R` Z]».X º
X*Uºº
¸ ^ Z]º Z
X
²
°;´ ´±·² ·
µ
·²
´ ´
¶ ½y½
¿cU#Z5U\ º
¸5U\QX X Ç
»
U À¢X ºNX
Xq¼ WYW À^YZ WYX
U>Ç
ÔÇúÔJR•º
X[X ÒÅÚ8ÚQÖ ´8³ ÒvÔ>ÚQ֑` !! (α ) - '."
"
n
# & " 0 < q, β < ∞ !/#
1
∞ X
∞
q
X
X
αn q
n
βq−1
αn r
dr ≈
(1 − r)
RNÚ a`
.
nβ
Æ
²
·³
·´
0
n=1
k=1
n∈Ik
ê5íáäNã‚áfî%߂åLí@ëví
äfà!çîäNßYã‚íŠî#å
R‘^T`
! !
1 ≤ p ≤ 2 X * +-/
'+-* !"#
%& p /# "
- "& C > 0 -//#"
kf kJ1 (X) ≤ Ck(xn )kp,1
P
n
(xn ) ∈ `(p, 1, X) f (z) = ∞
n=1 xn z $
R‘^Y^T`
ÔÇ ü
Ü
/# "
- "& C > 0 -//#"
k(xn )kp0 ,∞ ≤ Ckf kBloch(X)
$ f (z) = P∞ x zn ∈ Bloch(X) n=1 n
~R‘^T`¢Ð ´· X ·² U · É5Ë'Ä RNÚ8Ú`jÉ
1
0
kf kJ1 (X) ≤ kf (0)k+ M (f , r) dr ≤ C kf (0)k+
p0
0
×
´
1 X
0
n
np kxn kp rnp
1/p
dr .
½ ½
~
´8³
·´ž¶ ·
Ð ÀU#¸1¸1WÅÄ X
UÁÔÇúԛ¼ β = p U#Z]» q = 1/p
X kf kJ1 (X) ≤ Ck(xn )kp,1 Ç
¶·²
··² ·
´8½ ·³
µ
R‘^Y^T` ºN^YZ
XÁ¼•U\
U Bloch(X) ^‚º^‚º
X ^‚Ê\…U#WYWÅÄ*^YZ]\QW ».X…»^YZ (J1 (X ∗ ))∗
·´8¶ ·² ³
·²
·²
··² ·
´²
´8µ1³ ³£·
´
¶ ·
´8³
X X PÀ£^
R‘^T`U#Z]»
XŽ¼•U\
U X ∗ U#W‚º
Uº
^YX Ä>¸¹X p Z1X X º[ɹ¼
n
f (z) = ∞
n=1 xn z É
nX
o
k(xn )kp0 ,∞ = sup
hxn , x∗n i : k(x∗n )kp,1 = 1
n
≤ C sup{hf, gi : kgkJ1 (X ∗ ) = 1} ≤ Ckf kBloch(X) .
ÔÇ ! R‘^T` `(p, 1) ⊆ Λ
!
1 < p < 2 X "+-/
Bloch,`1 (X)
/& X /
'+- -"%& p0 R‘^Y^T` `(2, 1) = ΛBloch,`1 (X) /# X / -
'&%¹É!
/& $ "
&
P
P
C > 0 1/#" ( n kxn k2 )1/2 ≤ C supkx∗ k=1 n |hxn , x∗ i| Æ Xº ² U#WYWœºNX[X^YZ~Ë ´·² \…UºNX…º ·² U · `(p, 1) ⊆ Λ
½
·² ·
¸1WY^YX…º
U
Bloch,`1 (X) ^
P
P
·²
p0 < ∞ Ç °¢² ^‚º[É^YZ ·² X£\…UºNX p < 2 É
^Y¼ supkx∗ k=1 n |hxn , x∗ i| < ∞ X[Z
kx
k
n
n
µ
··´
²
¶ ´·
X U[Ã>^YZ \ Ä>¸¹X p0 R•º
X[XÒvÔ ]É¹Ô Ö‘`jÇ
^‚ºcX…Ì ^ÅÃ8U#WYX[Z
P
× ·
µ ²·² ·
°
∗
X x1 , . . . , xN ∈ X ˹X±º \
U supkx∗ k=1 N
U#Ø8X k
n=1 |hxn , x i| = 1 Ç
P
k
µ ²Ó·² · k−1
´
·
³
µ
·
+N
n
º \
U 2
\ f (z) = 2n=2
X[Z]\QX
≤ N < 2k U#Z]»Ó\ Z]º
k +1 xn−2k z Ç
´ ¶ ·´
µ
´8³
°c² ³
∗
∗
∗
f ˹X[W Z º
Bloch(X) R‘˹X…\…U º
X x f ∈ Bloch ¼
U#WYW x ∈ X `jÇ
X XQÂ
´8³ PN
´8³
µ ²J·² ·
¼ X
U#WYW (λn ) º \
U k(λn )n∈Ik kp = 1 Ç X[Z]\QX
k=1 kλn xn k ≤ C ¼
PN
p0 ≤ C Ç
kx
k
n
n=1
ÔÇ ! X +-/
'+- 1 ≤ p ≤ 2 #&
& %&' p ⇒ `(p, 1) ⊆ ΛBloch,`1 (X) ⇒ X /#
X /# 0
/&
-"%&' p0 ü
Ü
xDuúoj|KpNr
‹
D¦,­_©¯‘¯ª ¦
²
Z5U\ ´ ³
¸¹X
º ¸5U\QX…ºU#Z]»ÏÌ
· ¶ ·²
X[¸¹XU ^YZ
X
·´8³
´ ·
T À¢X Ë
U
µ
´
·²
À ÀVX–U#Z5U#WÅÄ [X
· ´
X…º ^ Z]º›R 8`cU#Z]»ÓRa`jÇ
³
¶8µ1½
·
°¢² ´8³
U
X[Z ^YZ
X X
·²
´ ´
¶~³ µ
U#^YZ
X=¼ WYW À^YZ
X…º
Ð
· ³
·
¶ ´8½ · ³ ´
X^YZ X ¸1W_U[Ä~˹X À¢X[X[Z X
X Ä ¼@¿cU%Â
½
·
W Ç
ÔÇ À^
·²
Tn = λ n T ¼
>ǂÚ"! 1 ≤ p ≤ 2 1 X Y
+-/
`(p, 1, L(X, Y )) ⊆ (Bloch(X), `1 (Y ))
´8³
U Î.¾>X…»
'+- /# Πp0 ,1 (X, Y ) = L(X, Y ) É /# Πp0 ,1 (X, Y ) & / ' +- 0 (p0 , 1) #
' " " ŽR ÁÒÅÚ %֑` >ÇúÔ
! X Y +-/ .- , ,,/" X
/# 0!"#
%& p !/#
¼
´8³
`(p, 1, L(X, Y )) ⊆ (Bloch(X), `1 (Y )).
³
´8½ °c² ´8³ ½
^‚ºc¼ WYW Àº£XUº
^YWÅÄ ¼
X X
ÔÇ >É5º
^YZ]\QX
∞
X
kTn (xn )k ≤ k(Tn )kp,1 k(xn )kp0 ,∞ ≤ Ckf kBloch(X)
°c²
´
´
n=1
f (z) =
P∞
n=1 xn z
n
Ç
Ç ! X ∗ -0 >
-"%& p0 " Y % +-/ ' +- /#
¼
+-/
.- (*++,+-/#
(Bloch(X), `1 (Y )) ⊂ `(p0 , 1, L(X, Y )).
× X · (T ) ˹X±UºNX…Ì µ X[Z]\QX ´ ¼ ´ ¸¹X ³ U ·´8³ º^YZ (Bloch(X), ` (Y )) Ç
1
½
µ
· n³
¶8µ1½
·
¶ ·
U±ºN^ ¸1WYXq» U#WY^ ÄÏU
X[Z ˢX X
∞
X
∗ ∗ n
εn Tn (yn )z ≤C
∗
n=1
kyn∗ k =
´8³
´8³
U#WYW εn ∈ {−1, 1} U#Z]»
´
³ · ¶
Ð À À ^ Y^ Z εn = rn (t) ¼
²
À¢X U[ÃaX
1
0
1 1
kft kJ1 (X ∗ ) dt =
=
ºN^YZ
¶
J1 (X )
1Ç
P
∗ ∗ n
t ∈ [0, 1] U#Z]» ft (z) = ∞
n=1 rn (t)Tn (yn )z É
|M1 (ft0 , r)| dr dt
00
1 2π
1 X
∞
0 0 0 n=1
1 X
≥C
0
n
dθ
dr
nrn (t)Tn∗ (yn∗ )rn−1 ei(n−1)θ dt
2π
0
0
np kTn∗ (yn∗ )kp rnp
0
1/p0
dr.
¶ × y
½ ½
´8³
´ ·
Í ¸1¸1WÅÄ>^YZ
X
U Ô ÇúÔ ¼
β = p0 U#Z]» q = 1/p0 ÉÀVX Ë U#^YZ (Tn∗ (yn∗ )) ∈
µ
´8³
½
´8³
ÅW Ä ¼ kyn∗ k = 1 Ç X[Z]\QX (Tn ) ∈ `(p0 , 1, L(X, Y )) Ç
`(p0 , 1, X ∗ ) Z1Y^ ¼
È ´8½
¶ ´
³ ´ ´ · ´
¶ ·£´8µ1³
´8³
´ ³
Ë1^YZ1^YZ Z À $ ¸ º
^ ^ Z]º >ÇúԞU#Z]» >Ç ÁÀ¢X X
Î1Z5U#Wˆ\
WYW_U Ä ê5íáäNã‚áfî%߂åLí@ëví
äfà!çîäNßYã‚íŠî#å
!/#
>Ç !! H 2
'+-
Y $
ü
Ü
+-/
'+- (Bloch(H), `1 (Y )) = `(2, 1, L(X, Y )).
g i d
û Œ z%}%mfK|4rBz u„ƒ%z%†„m–ojz%}
ù rBs¢scmNKmfzQm
î @ëví
äfà !ç…î8äf߂ãYíjî%å–Þjî8÷Žî8íjö‰â¢Þjë
!ç‹ îäNßY‹ ã‚íŠî#å ¡;mN†vŸ z%m ‹Œ z%Qm‰ ûqoŠn4{ ‹ Û jܕü Šð üۅŸý Û
û Œ z%}%Ÿ mNK‹ |4rBzojz%} Œ l ‹ {%†„mfu„}%| ‹ ê5íá äfã_á‰î#ß1Ÿ âçë ߂ã ø‹ë ã‚áfö‰åí@ëví
äfà !ç…î8äf߂ãYíjî#å ™.4ojz%|
Ÿ
‹
Œ ‹ scmf ‹ û=ojn4{ r…p ÛBÛjð‹ •ü‹jñ˜ ÛjñŸ Ûjñ
‹
#
‹
˜
‹
Ÿ
‹
ý
l Œ KKmfQƒ%†5oBz%}
xDu„oB|KpNr ê5íjîjíjë ç…ß‚ãYíjî~íßYà[ö4á!á‰ç…îäN߂ãYíjî%å£è‰ô–âcá4Þjî%åcí£è‰ã‡ë—ã‡îaáKÞjö
⢋ މø‹åÞjî8÷މøQø#ë—ãYä!ÞjßYãYíjî#‹ å u„u„†„z%rBŸ †„| ûqoŠn4{ ðQ
ý •ü Ûjñjð Û BÜ
ð !
Ýqç…ë—ßYã ø#ë—ã‚áfö‰å¢íj"
î Ÿ#“ BáKäNßTíŠ$ö #%jÞj‹ ë ç#á4÷ ‹ á‰ö &Bâ¢Þjîžå_øÞQŸ ä‰á‰å oBz#oj‹ } û=ojn4{ jð(_ÛjÜBÜQÛ Ÿ '
‹ ‹
‹
Ÿ
üBüñ Ÿ üBŸ ü Bñ
‹
!
ojp‰{% ÛBñü+BÛjñ[Û
ˆáfö&Bâ¢ÞjîÞjî8÷@ëví
äfàå_øÞQä‰á‰å@í)BáKäNßTíŠö$#%jÞjë ç#á4÷ ‰ç…îäN߂ãYíjî%å ûqoŠn4{
Ÿ ý Ÿ ý ÛBÛ
Ÿ
‹ *
‹
_ÛjÜQÜB
Ÿ
‹
ñ -, xDmNz%z%m‰nKn
Œ n4mfQmfz%[oLojz%}c¡ û ™@†vscrBz%mfP ê5íá äNã‚áfî%߂å;í @ëví
äfà£Þjî80
÷ /.ã ø#åfäfà[ã‡2ß 1
‹
Ÿ u„uv.
†„z%‹ rB†„| ‹… ˜ ûqoŠn4{ Û •ü ü‹ ‹ BÛBÜ jýü Ÿ
!çîäNßYã‚íŠî#å
xœuúoj|4pNr Ÿ#“ æBøÞQä‰á‰å¢í ‹ 3BáKäNßT튋 $ö #%jÞjë ç#á4÷=ފî8Ÿ Þjë ôjßYãY
ä !ç…î8‹ äf߂ãYíjî#å¢Þjî8÷=މøQøë ãYä!ÞjßYã‚íŠî#å †„z ï lrBz%}%rQz
‹
Ÿ
ûqoŠn4{ r[p lmNpfn4ƒ%Km rjn4m mN ü
ojsO%K†„}%B5
m 4ˆz%† ù Kmf|4| ojsO%K†„}%Bm Ÿ ü BÜ ýBý …ð
…
‹
˜
‹
*
˜
‹
Ÿ
!
ƒ QmžŸ û=ojn4{ Ÿ ñBñ ‹
ø%á‰öKÞjßTíjö‰å›íjîõDá‰7ã &jà[ßTá4÷ á‰8ö &jâ¢Þjîå‚øÞQä‰áfå›Þjî8÷ aމ‹ øQøë ãYä!ÞjŸ ßY゠íŠî#å
Ÿ
6
Ÿ
9
.
‹ ‹
•üQÛ ðBðQý…ðQñ
Ÿ
‹
!
ä‰àÞjöKÞQäfߑáfö‰<ã 1
ފ߂ãYíjî í >=ã‡ë„è!áfö‰ßå_øÞQä‰á‰å£ã‡îßTáfö‰âåí £âç…ë—ßYã ø#ë—ã‚áfö‰åè!áfßYõœá!áfî~å‚øÞQä‰áfåí Ÿ : ö jފë—ç#á4÷ފî8Þjë ôjßYãY
;
Bá4äfßTíj
ä !çîäNßYã‚íŠî#å û=†„p!{%†„Qojz–ûqoŠn4{ ð[
Û •ü jý jðQý
ü
Ü
!
á4äfßTíjö$#%ŠÞjë—ç#á4÷›ÞŠî8Þjë ôjßYãYä !ç…î8äf߂Ÿ ãYíjî#åí–è4íŠçî÷[á4÷q‹ âc‹á4Þjî íjåfäNã‡ë‡ëvÞj߂Ÿ ãYíjî Þjî8÷&…‹ á4íŠâcáf߂ö‰ôŽí
Ÿ ?
@
u„u„†„z%rB†„| û=oŠn4{ ð%>
ˆÞjîÞQäfàå_øÞQä‰á‰å
ü •ü jýQÛ üBü !
Ýqç…ë ߂ã øë ã_á‰ö‰åLŸ%íj“ îqå_øÞQä‰á‰å‹ í ފî8Þj‹ ë ôjßYãY
ä !çîäNßYゟ íŠî#å ojz#oj‹ } û=ojn4{ ð •ü ðBð ñjð
Ÿ
‹ t ‹ û=ojn4{ ‹ Ûjý[Û Œ scmNŸ  ûqoŠn4{ ‹
üÛ !
ê5íjBî Šíjë çßYãYíjî±èfôcâcá4Þjî#åí Vèfã‡ë—ã‡î8á4Þjöâ¢Þ‰øå †„z AŸ ï rBz[n4mfsc
Ÿr…p ù Kr †v}%mNz%pNm ¡ ü ü
ÜBý
Ÿ
‹
‹
Ÿ
‹
‹
˜
v
‹
Ÿ

Ÿ
!
“
Ÿ
Ÿ
‹
ü
ý !
áfâ¢ÞŠFö EŠå›íŠG
î Bá4äfßTíj$ö #%ŠÞjë—ç#á4
÷ DÝ
ÞjîI
÷ BáKäNßTíŠ$ö #%jÞjë ç#á4÷~âç…ë ߂ã øë ã_á‰ö‰å ù rB|4†vn4† †vnTP ð
Ÿ C Ü ýBý ý jñ
D
H:
Ÿ

_ÛjÜQÜB
Ÿ
‹
üNð
!
á4äNß_íjö$#%jފë—ç#á4÷3=LÞjöK÷jô¢ã‡îaáLKfç#ފë—ã‡ß‚ôފî8÷ J#•ä!íjîBáFMŠã‡ß‚ô Œ N û=ojn ý_ÛjÜBÜBÜ Ûü$…ýBñ
Ÿ xœ? uúoj|4pNr£ojz%} Œ ù m O‡Qp P‰P R%L| [† à%á4íjö4á‰âåí =ފö4÷Šô–ÞŠŸ î8
J
ü ÷ TFÞj‹ ë„áf
ô fíj‹ U
ö Bá4äfßTíj$ö #%ŠÞjŸ ë çáK÷Þjî8‹ Þ #
‹
‹
Ÿ
5
S
ë—ôŠß‚ãY
ä !ç…î8äNßYãYíjî#åVÞjî8÷ö4áfëvÞjߑáK÷äNëvÞjå!åNá‰åí ˆÞjîÞQäfà=å_øÞQä!áfå ™.4ojz%| Œ s¢mN ûqoŠn4{ r…p ýQÛjý
Ÿ
‹
‹
‹'˜ ‹
•üü ýBýýBñ
Ÿ
‹
ü
ñ †„mN|•n4mNu ” ojKp‰{%r
 oBz%} Œ ™.rBz%Bm
èfåfíjë ç…ß‘á‰ë—ôqæ#ç…ââã‡Vî & ø%áföKÞjß_íjö‰å ojsO%K†„}%Bm
‹ z%. † ù KmN|4Ÿ | ‹ oBsO%K†v}%Qm ü ‹
Ÿ :
;
Ÿ W
4ˆ'
a

‹
Ÿ
X
Ÿ
‹
ü ù l
ƒ%KmNz
 Y5rBN ü jÜ
à%áKíjö‰ôí p æBøÞQä!áfå Œ p
oj}%mNs¢†„p ù Kmf|4| mfZ
‹ oj. KQp [úo ƒ%)
Ÿ mNS  o
H
Ÿ
ü ‹ , B
o PNoBK†„oBz
rBuvP[oj}#oqojŸ z%* } l ™.Ÿ rBKKm
o ‹ á4äfßTíj$ö #%ŠÞjë çáK÷
‹
\€ Ÿ ã‡]V
‹ÞŠë—] ã‡ß‚ô Þjî÷ Þ!_
Ÿ øQ^
‹ ߂ãY] íjî%å ¡;ƒ%|4|K†úojz*ûq
‹ oŠn4‹ {
Ÿ mfP? | jýe•ü ƒ% >
=ފçå‰÷Qíjaö `Jbdcíjç…V
î  & W
îaLá ‹¹Kf˜8ç#H
øë ‹]ã‚ä4“!ÞjH
Ÿ
;
‹
˜

Ÿ
ðQý …ü
ý
‹
ü û
ù o uvr <† f ê5íá äfã_á‰î#ßFâç…ë ߂ã øë ã_á‰ö‰åVíjîÁå_øÞQä!áfåí ¢ÞjîÞjë ôjßYã‚
m n4<† fVojz%}Žû
ä !ç…î8äf߂ãYíjî#å
Ÿ
Œ pf‹ n!o  pN† ûqoŠn4{ ‹ PfmNB mN}  FñjŸg
ð •ü jý$ü Šð
˜
‹
‹
˜
Ÿ
‹
ÛjÜ
mfu„u„rBB
î áLMjßTáfî#å4ã‚íŠî~í¢ßYà%á3=Þjç…åf÷Bíjöa`ibjc8íŠçî&qßYà%á4íŠö!á‰â û=†„p!{%†„Qojzžû=ojn4{ _
‹ •*ü h
‹ …ü] üÛ$ü H
Ÿü: Û
Ÿ
‹ ‹
ü ۅü û ûqoŠn4mNu k•Ÿ m <† f;ojz%}cû ‹ ù o u„r <† f
Þ ãYíjç…öˆí @ßYà%á;ã‡î%ߑ8á &jö4ފëâcáKÞjî#å;í ÞjîÞjë ôjßYã‚ä !ç…î8ä #
p #Kè!á!à
߂ãYíj‹ î%Lå l n4ƒ%}% †„o¢ûqoŠn4{ ‹ •ü  jð V Ÿ ÛLü Ûjý
˜
‹
Ÿ
‹
ü
üBüÜ
‹
xDuúoj|KpNr
x ûqojƒ%KmfPm‰n , ù †„|4†vmN æfö‰ã‚á‰å÷[á jÞjö‰ãYÞ[è‰ëúá‰åÞjë4Þjß_íjã‡ö4áfåUjá4äNß_íjö‰ã‚áfë‡ë„áfåLã‡î8÷Tø%áfî÷QÞjî#ßTáfåVáfß
øöK‹ í‰øö‰ãfßfåi&4íjâ‰ß‹ ‚ö‰ã KNç#áfåŸ ÷[áfåá‰å_øÞQä‰á‰å÷[áˆÞjîÞQäfà †„O%†„} •üjñ ð VBÜ
‹ BáKäNßTíŠö‰ã_á‰ë‡ëúá‰åLl
Ûjý
ù mNm‰n4Km æ#ç…öqëvÞy߂öKÞjî%å fíjö‰â¢Þj߂ãYíjî÷[áíjç…ö‰ã‚áfö›÷QŸ áfå fíj‹ îäN߂ãYíjî%å
Ÿ ŠÞjë„áfç…ö‰åg
‹¡;mNz%} mNs Ÿ û=ojn 4ˆz%† ù oj}%r o ð[ەüBñ ü [ð[ñ
ۊð
û
™1oj‹8uú˜ojB4oB‹ z%} ê5‹ íj߂ô!ø%á8‹í í‰ø%áföK Þjß_íjö‰å !öKíj⠟
z ‹ mNzQn û=oŠn4{ ü
Ü •ü QÛ $ü [ð[Ü
C(K)
‹
Ÿ
Ÿ
“
Û !
ê5íj߂ô!ø%áÞjî÷
#Tå!ç…ââã‡V
î &cî8íjö‰â ã‡îŽÞ ;Þjî8ÞQä‰à– å‚øÞQ䉋 á †„O%†„} ‹ üQü
Ü •ü [Û Ÿ Šð ‹ jñ
(q,
1)
Ÿ
Ÿ
‹
Ûjñ
ù
rk‘n!oB|NPNpQPfPV ˆÞjî8ÞBäfàŽæjøÞQä‰á‰åNíŠö î8Þjë ôŠå!߂å oBsO%K†v}%Qm@4ˆz%† ù KmN|4| ŸojsO%K†„}%Bm ‹
‹ü ü
Ÿ
:
Ÿ _
a‹
Ÿ _
Ÿ
‹
Û {…ƒ
 Y5rQN ü BÜ
ø%á‰ö4ފßTíjö‰åLíjî á‰8ö &jâ¢Þjî=æBøÞBä‰áfå Qm VBmN m‰e
]¢‹
Ÿ ;
Ÿ .
Ÿ *
B
Ÿ
‹
mNt#oj•n!oBs¢mNzQn4r¢}%m Œ zju„†v|4†„|@ûqoŠn4mNsjn4†vpNr
.4ˆz%† mNK|4†v}#oB}}%m oBuvmNz%pN†úo
ðQñ%ü
ÜB Ü xDƒ%a kKoj|4|Krjn ^
oBuvmNz%pN†úo t#oB†vz
^
ò s£oj†„u ï rBŸO%˜ uúoj|4pNrˆƒ mN|
€
a‹
ÛBÛ
C
á4ä‰á‰2ã Bá4÷ݛÞjöKäfàl
á
ã‡C åNá4÷>Bá‰ö‰å!ãYíjî ç&Bç…å!ßl
:
…ü ü