MATEMATYKA FINANSOWA

Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Andrzej Spakowski
MATEMATYKA FINANSOWA
matematyka finansów i ubezpieczeń.
Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego
Wspólczesna, szeroko rozumiana MF opisuje i bada
losowy charakter rynków finansowych i ubezpieczeniowych.
Co obejmuje MF? Jak jest jej struktura?
1
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
2
Struktura MF
Analiza matemat.
MATEMATYKA
FINANSOWA
Rach.prawd.
Anal.matemat..
Teoria
ryzyka
Ubezpiecz.
na ¿ycie
Rach. prawdop.
Procesy stochast.
Analiza matemat.
Algebra liniowa
Topologia
Anal. funkcj., . . .,
Statystyka mat.
rachunek
procentowy
Symulacje
komputerowe
Monte Carlo
Matematyka
finansowa
stochastyczna
Matematyka
ubezpieczeñ
portfele
inwestycyjne
Ubezpiecz.
maj¹tkowe
Rynki
finansowe
In¿ynieria
finansowa
Szeregi
czasowe
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Jaka matematyka dla finansów i ubezpieczeń ?
Niezbedne narzedzia:
‘
‘
zmienne losowe oraz procesy stochastyczne.
Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych Xt , t ∈ T .
inaczej: funkcja, której wartościami sa zmienne losowe,
‘
X(t) = Xt (ω) cena akcji w chwili t ≥ 0, ω ∈ Ω.
Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego
Trajektoria procesu stochastycznego.
3
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Dlaczego i kiedy powstala MF ?
1929 4-letni światowy krach systemów finansowych
opartych na wymienialności pieniadza na zloto.
‘
1944 Konferencja w Bretton Woods (USA) - parytety
1973 Koniec parytetów - zmienne kursy walutowe.
Ryzyko finansowe staje sie mocno losowe.
‘
Losowy charakter cen na gieldach.
Potrzeba redukcji ryzyka wywoluje popyt na nowe produkty
finansowe (instrumenty finansowe) oraz nowe narzedzia
‘
matematyczne (calka stochastyczna, stochastyczne r.r.):
Rb
a
X(t, ω) dB(t, ω),
dS(t) = µS(t) dt + σS(t) dB(t).
4
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Dlaczego i kiedy powstala MU ?
Świat starożytny, średniowiecze: idea wspólnego ponoszenia ryzyka,
karawany kupieckie, wyprawy morskie, renty dożywotnie (klasztory).
1347 Genua, pierwsze ubezpieczenia morskie.
1583 Londyn, pierwsze (Insurance Office).
1693 Halley: Breslau Mortality Tables, poczatek
‘
matematyki aktuarialnej (rachunek prawdop.).
1906 San Francisco earthquake, rozwój mat.teorii ryzyka.
1929 Światowy kryzys systemów finansowych,
wzrost zapotrzebowania na rozmaite ubezpieczenia:
biznesowe, majatkowe, komunikacyjne, zdrowotne,
‘
etc.,
nowe metody matematyczne.
5
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Rozwój narzedzi matematycznych (1)
‘
XVII gry hazardowe, statystyki urodzeń i zgonów,
poczatki rachunku prawdopodobieństwa,
‘
Fermat, Pascal, Bernoulli.
1733, 1809 Abraham de Moivre, Carl Gauss odkrywaja
‘
2
i stosuja rozklad normalny N (µ, σ ) o gestości
‘
‘
1
2
2
−(x−µ)
/(2σ
)
f (x) = √ e
krzywa Gaussa.
σ 2π
1999
6
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Rozwój narzedzi matematycznych (2)
‘
1827 Robert Brown opisuje bladzenie losowe
‘
czasteczek w plynie (ruchy Browna).
‘
7
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
8
Rozwój narzedzi matematycznych (3)
‘
1900 Louis Bachelier: ruchy Browna modeluja
ceny akcji na gieldzie paryskiej,
S(t) = S(0) + σB(t), B(t) ∈ N (S(0), σ 2 t).
1923 Norbert Wiener: ścisly opis ruchu Browna,
Rb
calka stochastyczna a f (t) dB(t, ω).
Louis
Bachelier
Norbert
Wiener
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Rozwój narzedzi matematycznych (4)
‘
1944 Kiyosi Itô: wspólczesna calka stochastyczna.
Rb
X(t, ω) dB(t, ω)
a
=lim
n
k(n)
P
i=1
Xn (tin , ω)(B(tin , ω) − B(t(i−1)n , ω)).
9
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
10
Rozwój narzedzi matematycznych (5)
‘
Rynki finansowe opisuja stochastyczne r.r.
‘
dS(t) = µS(t) dt + σS(t) dB(t),
ściślej, stochastyczne równania calkowe:
S(t + h) − S(t)
=
R t+h
t
µS(t) dt +
R t+h
t
σS(t) dB(t).
Fischer Black i Myron Scholes podaja (1973) efektywne
‘
rozwiazanie s.r.r.
‘
i wzór na cene opcji europejskiej.
‘
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Wzór za 1 mln $.
Sprawiedliwa cene opcji określa wzór:
‘
‘
√
rT
c = S(0) · N (d) − e K · N (d − σ T ),
gdzie
rT
2
1
S(0)e
σ T
d= √
ln
+
,
K
2
σ T
Rd 1 −x2 /2
√ e
N (d) =
dx = P (X < d).
2π
−∞
r stopa procentowa, T okres rozliczenia,
K cena rozliczenia,
σ wspólczynnik zmienności cen akcji,
N dystrybuanta rozkladu normalnego N (0, 1).
11
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
12
Lata 1973 - 1997.
1976
1997
Robert Merton i inni: rozwój metod MF.
Nagroda Nobla za stochastyczne metody wyceny,
- Robert Merton i Myron Sholes (1 mln $)
Myron Scholes
(Fischer Black, † 1995).
Fischer Black
Robert Merton
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Wspólczesna MF i MU
tworzy narzedzia matematyczne dla rzeczywistych
rynków finansowych i rynków ubezpieczeniowych:
narzedzia elementarne jak i bardzo zaawansowane
‘
Różne dzialy matematyki:
rachunek prawdopodobieństwa, procesy stochastyczne,
analiza matematyczna, równania różniczkowe,
algebra liniowa, programowanie matematyczne,
topologia, analiza funkcjonalna,
itd.
Inżynieria finansowa,
konstruowanie i wycena instrumentów (produktów)
finansowych i ubezpieczeniowych.
13
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Europejska opcja kupna (1).
to prawo (ale nie obowiazek) do zakupu akcji
‘
po ustalonej cenie w ustalonym terminie.
Przyklad
symulacji dla opcji europejskiej.
Cena pakietu akcji = 1 000 zl
Cena rozliczenia opcji = 990 zl
Cena opcji 10-dniowej = 20 zl
Kto zdecyduje sie na zakup takiej opcji ?
‘
14
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Europejska opcja kupna (2).
Problem.
Jaka jest sprawiedliwa cena opcji europejskiej ?
Rozwiazanie teoretyczne: sprawiedliwa cene jest
‘
‘
‘
wartość oczekiwana zysku.
Rozwiazanie dokladne: wzór Blacka-Scholesa (1973).
‘
Rozwiazania przybliżone:
‘
proste algorytmy (drzewko dwumianowe),
specjalne kalkulatory finansowe,
symulacje komputerowe Monte Carlo.
15
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Symulacja Monte Carlo.
Klasyczna metoda Monte Carlo oparta jest na twierdzeniu
rachunku prawdopodobieństwa (Prawo Wielkich Liczb):
X1 + X2 + ... + Xn
→ E(X) z prawdop.1.
n
Przyklad.
Wyznaczyć sprawiedliwa cene
‘
‘
10-dniowej opcji (azjatyckiej)
na pakiet akcji:
cena poczatkowa - 1 000 zl,
‘
cena rozliczenia = średnia arytmetyczna cen z 10 dni.
Przyklad symulacji Monte Carlo:
16
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Modele ubezpieczeń na życie (1).
Tx zmienna losowa, czas dalszego życia x-latka. Skladke
‘
ubezpieczenia określa wzór:
∞
R
E(b(Tx )v Tx ) = b(t)t px µ[x]+t dt.
0
gdzie: b(t) wartość ubezpieczenia wyplacana w chwili t,
b(t) = 1 ubezpieczenie dożywotnie,
b(t) = I(t ≤ n) ubezpieczenie terminowe na n lat,
v = 1/(1 + i) = e−δ czynnik dyskontujacy,
‘
p
=
P
(T
>
t),
t x
x
µ[x]+t nateżenie śmiertelności.
‘
Ryzyko skladki określa wariancja: Var (b(Tx )v Tx ).
17
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Modele ubezpieczeń na życie (2).
Czy skladka E(b(Tx )v Tx ) gwarantuje wyplacalność?
Tak, ale tylko z prawdop. 1/2.
Bardzo duże ryzyko niewyplacalności.
Jak zagwarantować wyplacalność z prawdop. 0,95 ?
Problem sprowadza sie do postaci:
‘
n
P
min{h > 0 : P (
Zk ≤ h) ≥ 0, 95},
k=1
gdzie: h kwota gwarantujaca wyplaty Z1 , ..., Zn .
‘
Dokladne wyznaczenie minimum jest bardzo trudne.
Stosuje sie metody przybliżone: Centralne Tw. Graniczne.
‘
18
Matematyka Finansowa, 05 06 2006
Literatura polska.
1999 A. Weron, R. Weron,
Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa.
2001 J.Jakubowski, R.Sztencel,
Wstep do teorii prawdopodobieństwa,
‘
Script, Warszawa.
2003 J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski,
L. Stettner,
Matematyka finansowa, WNT, Warszawa.
2004 B. Blaszczyszyn, T. Rolski,
Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie,
WNT, Warszawa.
19