12. Problemy mini-maksowe Definicja 12.1 Niech (P,) będzie

12. Problemy mini-maksowe Definicja 12.1 Niech (P,) będzie

12. Problemy mini-maksowe
Definicja 12.1
Niech (P, ¬) będzie skończonym zbiorem uporządkowanym. Podzbiór L ⊂ P nazywamy łańcuchem, jeśli L jest uporządkowany liniowo. Podzbiór A ⊂ P nazywamy
antyłańcuchem, jeśli A jest uporządkowany antyliniowo.
Długość łańcucha L jest równa |L| − 1.
Definicja 12.2
Niech dana będzie rodzina C1 , . . . , Cn podzbiorów zbioru P . Taką rodzinę nazywamy
pokryciem zbioru P , jeśli
P =
n
[
Ci
i=1
Pokrycie nazywamy zupełnym, jeśli Ci ∩ Cj = Ø, gdy i 6= j
Twierdzenie 12.1 (Twierdzenie Dilwortha)
Jeśli (P, ¬) jest skończonym zbiorem uporządkowanym, to maksymalna liczność antyłańcucha w zbiorze P jest równa minimalnej liczbie łańcuchów potrzebnych do
pokrycia zbioru P .
Dowód:
Niech m oznacza maksymalną liczność łańcucha w zbiorze P , a n - minimalną liczbą
łańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .
Oczywiście m ¬ n, gdyż aby pokryć zbiór P każdy element antyłańcucha musi należeć do innego łańcucha. Pokażemy,że n ¬ m. Indunkcja względem k = |P |. Załóżmy,
że każdy zbiór uporządkowany, który ma mniej niż k elementów spełnia twierdzenie
Dilwortha.
Niech L ⊂ P będzie łańcuchem maksymalnym. Weźmy pod uwagę zbiór P \ L (który
jest uporządkowany) i rozpatrzmy dwa przypadki:
1◦
Każdy antyłańcuch w zbiorze P \ L zawiera co najwyżej m − 1 elementów, a więc
istnieje antyłańcuch zawierający dokładnie m − 1 elementów. Do zbioru P \ L stosujemy założenie indukcyjne: istnieje rodzina łańcuchów L1 , . . . , Lm−1 pokrywająca
zbiór P \ L. Stąd P = L ∪ L1 ∪ . . . ∪ Lm−1 . Istnieje zatem pokrycie zbioru P rodziną
złożoną z m łańcuchów, czyli n ¬ m
2◦
W zbiorze P \L istnieje antyłańcuch A mający m elementów. Zdefiniujmy dwa zbiory:
(
D = x ∈ P:
)
_
a∈A
x¬a
(
∧
G = x ∈ P:
)
_
x­a
a∈A
Zbiory D i G mają następujące (istotne dla dowodu twierdzenia) własności:
(a) P = D ∪ G
Załóżmy, że x ∈ P . A ∪ {x} nie jest antyłańcuchem, gdy x ∈
/ A. Wtedy x jest
porównywalny z jednym z elementów antyłańcucha a ∈ A. Jeśli x ¬ a, to x ∈ D.
Jeśli a ¬ x, to x ∈ G. Ostatecznie x ∈ D ∪ G.
(b) D ∩ G = A
Oczywiście A ⊆ D ∩ G. Jeśli zaś x ∈ D ∩ G, to x ∈ D i x ∈ G. Wobec tego istnieje
a ∈ A takie, że x ¬ a oraz istnieje b ∈ A takie, że b ¬ x. A więc b ¬ x ¬ a, skąd
wynika, że b ¬ a. Ponieważ jednak a, b są elementami antyłańcucha, to a = b = x.
(c) Element maksymalny łańcucha L nie należy do zbioru D
Ponieważ A ⊂ P \ L, to A ∩ L = Ø. Niech b ∈ L będzie elementem maksymalnym
łańcucha L. A więc b ∈
/ A. Przypuśćmy niewprost, że b ∈ D. Wobec tego istnieje
a ∈ A takie, że b ¬ a. Ale ponieważ b ∈
/ A, to b < a. Wynika stąd, że L ∪ {a} jest
łańcuchem - sprzeczność z maksymalnością łańcucha L.
(d) Element minimalny łańcucha L nie należy do zbioru G
Dowód analogiczny jak w punkcie (c).
Z powyższych rozważań wynika, że zbiory D i G są niepuste, są właściwymi podzbiorami zbioru P oraz |D| < k i |G| < k. Z założenia indukcyjnego wynika, że istnieją
pokrycia D1 , . . . , Dm oraz G1 , . . . , Gm zbiorów D i G. Niech A = (a1 , . . . , am ). Wtedy
każdy element ai należy tylko do jednego z łańcuchów Di i tylko jednego z łańcuchów
Gi . Zdefiniujmy łańcuchy L1 = D1 ∪ G1 , . . . , Lm = Dm ∪ Gm . Tak określona rodzina
m łańcuchów jest pokryciem zbioru P . A więc n ¬ m
Twierdzenie 12.2 (II twierdzenie Dilwortha)
Jeśli (P, ¬) jest skończonym zbiorem uporządkowanym, to maksymalna liczność antyłańcucha w zbiorze P jest równa minimalnej liczbie rozłącznych łańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .
Dowód:
Niech m oznacza maksymalną liczność antyłańcucha i niech L1 , . . . , Lm będzie pokryciem zbioru P . Skonstruujemy nową rodzinę łańcuchów.
S1 = L1
S2 = L2 \ L1
...
Si+1 = Li+1 \
i
[
k=0
Lk
...
S m = Lm \
m−1
[
Lk
k=0
Oczywiście każdy ze zbiorów Si jest zbiorem niepustym. Gdyby Si+1 = Ø, to musiałoby być Li+1 ⊂ (L1 ∪ . . . ∪ Li ). Wobec tego łańcuch Li+1 byłby zbędny do pokrycia
zbioru P , co jest sprzeczne z wyborem liczby m.
Zatem rodzina S1 , . . . , Sm łańcuchów jest rozłącznym pokryciem zbioru P .
Twierdzenie 12.3 (Twierdzenie dualne Dilwortha)
Jeśli (P, ¬) jest skończonym zbiorem uporządkowanym, to maksymalna liczność łańcucha w zbiorze P jest równa minimalnej liczbie rozłącznych antyłańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .
Dowód:
Niech m oznacza maksymalną liczność łańcucha, zaś k - minimalną liczbę antyłańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .
Utwórzmy rodzinę zbiorów Ai = {x ∈ P : ranga(x) = i}. Zauważmy, że każdy ze
zbiorów Ai jest antyłańcuchem oraz Ai ∩ Aj = Ø, gdy i 6= j. Zbiory A0 , . . . , Am−1
tworzą m-elementowe pokrycie zbioru P .
Niech x1 , . . . , xm będzie maksymalnym łańcuchem. Zauważmy, że każdy element xi
musi należeć do innego antyłańcucha, a więc tych antyłańcuchów musi być co najmniej m. Zatem m ¬ k. Ponieważ wcześniej zbudowaliśmy pokrycie zbioru P dokładnie m antyłańcuchami, to m = k
Copyright
c
Grzegorz Gierlasiński