Metody analizy struktury zbiorowości

Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka
Opisowa analiza struktury zjawisk
statystycznych
Aleksander Denisiuk
[email protected]
Elblaska
˛
Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna
ul. Lotnicza 2
82-300 Elblag
˛
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 1
Opisowa analiza struktury zjawisk statystycznych
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://denisjuk.euh-e.edu.pl/
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 2
Rozkład empiryczny
• przyporzadkowanie
˛
kolejnym wartościom zmiannej xj
odpowiadajaych
˛
im liczebnośi nj
◦ zamiast liczebnośi używane sa˛ także cz˛estotliwości
wzgledne
˛
wj , wj =
Pnj
nk
Pnj
nk
· 100%
• odzwierciadla strukture˛ badanej zbiorowości z punktu
widzenia określonej cechy
• ustalany na podstawie konkretnych obserwacji
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 3
Rozkład empiryczny
• cechy skokowej, cechy ciagłej
˛
◦ jednomodalny
◦ bimodalny
◦ wielomodalny
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 4
Rozkład jednomodalny
• symetryczny
• normalny
• asymetryczny
◦ prawostronny
◦ lewostronny
• zbiorowości jednorodne
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 5
Rozkład empiryczny
• skrajnie asymetryczny
• siodłowy
• zbiorowości skrajnie zróznicowane
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 6
Opisowe charakterystyki
• miary średnie
• miary rozproszenia
• miary asymetrii
• miary koncentracji
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 7
Opisowe charakterystyki
• sa˛ bardziej syntetycznymi sposobami opisu rozkładów, niż
forma graficzna lub tabelaryjna
• pozwalaja˛ w sposób syntetyczny określić właściwości
badanych rozkładów
• pozwalaja˛ porównać:
◦ dwie różne zbiorowości pod wzgledem
˛
tej samej cechy
badania
◦ różne cechy tej samej zbiorowości
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 8
Miary średnie
• klasyczne
◦ średnia arytmetyczna
◦ średnia harmoniczna
◦ średnia geometryczna
• pozycyjne
◦ dominanta (modalna, wartość najcz˛estsza)
◦ kwantyle
• kwartyle
• kwintyle
• decyle
• centyle (percentyle)
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 9
Średnia arytmetyczna
• średnia nieważona (zwykła)
• x̄ =
x1 +x2 +···+xN
N
N
P
=
xi
i=1
N
• średnia ważona
◦ wagi — liczebności wariantów
◦ x̄ =
x1 n1 +x2 n2 +···+xk nk
N
k
P
=
xi ni
i=1
N
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 10
Średnia arytmetyczna. Przykład
• osoba przepracowała w pieciu
˛
kolejnych dniach liczbe˛
godzin: 8, 3, 2, 10, 7.
◦ średnio 6 godzin
• oblicz średnia˛ arytmetyczna˛ liczby dzieci na utrzymaniu
zaobserwowanej w grupie liczacej
˛ 82 osób
liczba dzieci ilość pracowników
0
34
1
26
2
11
3
10
4
1
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 11
Średnia arytmetyczna. Przykład, cd
• osoba przepracowała w pieciu
˛
kolejnych dniach liczbe˛
godzin: 8, 3, 2, 10, 7.
◦ średnio 6 godzin
• oblicz średnia˛ arytmetyczna˛ liczby dzieci na utrzymaniu
zaobserwowanej w grupie liczacej
˛ 82 osób
liczba dzieci ilość pracowników xi ni
0
34
0
1
26
26
2
11
22
3
10
30
4
1
4
◦ średnio 1 dziecko
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 12
Szeregi rozdzielcze przedziałowe
• środki przedziałów x̂ =
• x̄ =
x̂1 n1 +x̂2 n2 +···+x̂k nk
N
x− +x+
2
k
P
=
• wskaźniki struktury wi =
• x̄ =
k
P
x̂i ni
i=1
N
ni
N
· 100
x̂i wi
i=1
100
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 13
Szeregi rozdzielcze. Przykład
• średnia liczb podmiotów publicznych w gminach wiejsckich
liczba podmiotów
5–9
10–14
15–19
20–24
25–29
liczba gmin
22
37
17
3
2
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 14
Szeregi rozdzielcze. Przykład, cd
• średnia liczb podmiotów publicznych w gminach wiejsckich
xD –xG
5–9
10–14
15–19
20–24
25–29
ni
22
37
17
3
2
x̂i
7
12
17
22
27
x̂i ni
154
444
289
66
54
◦ x̄ = 12, 4
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 15
Średnia arytmetyczna
• x̄i — średnia grupy i
• średnia dla wszystkich grup łacznie:
¯=
˛
x̄
k
P
x̄i ni
i=1
N
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 16
Średnia arytmetyczna. Właściwości
• jest wypadkowa˛ wszystkich wartości zmiennych, oraz
xmin 6 x̄ 6 xmax
• suma odchyleń poszczególnych wartości od średniej
arytmetycznej jest równa zeru
N
P
◦
(xi − x̄) = 0 (szereg wiliczajacy)
˛
i=1
◦
◦
k
P
(xi − x̄)ni = 0 (szereg rozdzielczy punktowy)
i=1
k
P
(x̂i − x̄)ni = 0 (szereg rozdzielczy przedziałowy)
i=1
• jeżeli wszystkie wartości pomniejszyć (powiekszyć,
˛
pomnożyć, podzielić) przez stała,
˛ to średnia arytmetyczna
zostanie pomniejszona (powiekszona,
˛
pomnożona,
podzielona) przez te˛ stała.
˛
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 17
Średnia arytmetyczna. Właściwości, cd
• jeżeli liczebności poszczególnych wariantów cechy sa˛
jednakowe, to średnia arytmetyczna równa sie˛ ilorazowi
sumy wartości wariantów i ich liczby
• suma wartości zmiennej jest równa iloczynowi średniej
arytmetycznej i liczebności zbiorowej,
N
P
xi = N x̄ (szereg
i=1
wiliczajacy)
˛
• jeżeli wszystkie wartości pomniejszyć (powiekszyć,
˛
pomnożyć, podzielić) przez stała,
˛ to średnia arytmetyczna
zostanie pomniejszona (powiekszona,
˛
pomnożona,
podzielona) przez te˛ stała.
˛
• na poziom śreniej arytmetycznej silny wpływ wywieraja˛
warości ekstremalne
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 18
Średnia arytmetyczna. Ograniczenia
• jest miara˛ prawidłowa˛ tylko w odniesieniu do zbiorowości
jednorodnych
• w miare˛ wzrostu asymetrii i zróżnicowania, dla rozkładów
bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna traci
poznawcza˛ wartość
• nie można obliczyć dla szeregu o przedniałach otwartycch
◦ można domykać przedziały otwarte, jeżeli liczba
jednostek w nich nie przekracza 5%
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 19
Średnia harmoniczna
• jest odwrotnościa˛ średniej arytmetycznej odwrotności
wartości zmiennych H =
N
N
P
1
i=1
xi
• dla szeregów rozdzielczych punktowych H =
k
P
N
1
xi
i=1
• dla szeregów rozdzielczych przedziałowych H =
ni
k
P
N
1
x̂i
i=1
ni
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 20
Średnia harmoniczna
• stosuje sie,
˛ jeżeli wartości podane sa˛ w jednostkach
wzglednych
˛
(km/h, kg/osobe),
˛ wagi — w jednostkach,
wystepuj
˛ acych
˛
w licznikach
◦ predkość
˛
(km/h), wagi w km
◦ gestość
˛
zaludnienia (obob/km2 ), wagi w osobach
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 21
Średnia harmoniczna. Przykład
• załóżmy, że gestość
˛
zaludnienia w dwu 60-tysiecznych
˛
miastach wynosi odpowiednio 400 osób/km2 oraz 600
osób/km2
• jaka jest przecietna
˛
gestość
˛
zaludnienia?
• (odp.: 480 osób/km2 )
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 22
Średnia geometryczna
√
• x̄g = n x1 x2 . . . xN =
s
N
p
• x̄g = N xn1 xn2 . . . xnk =
1 2
k
N
Q
xi
i=1
s
N
k
Q
i=1
xni i
• stosuje sie˛ przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 23
Dominanta (modalna, wartość najczestsza)
˛
• taka wartość zmiennej, która w danym rozkładzie wystepuje
˛
najcz˛eściej
◦ tylko dla rozkładów jednomodalnych
• w szeregach wyliczalnych i rozdzielczych punktowych jest
wartościa˛ cechy
• w szeregach rozdzielczych przedziałowych można określić
tylko przedział
◦ konkretna wartość dominanty oblicza sie˛ jako
nD −nD−1
D = xD + (nD −nD−1
)+(nD −nD+1 ) iD
◦ albo metoda˛ graficzna˛
• rozkład empiryczny jest jednomodalny
• asymetria rozkładu jest umiarkowana
• przedział w którym wystepuje
˛
dominanta oraz dwa
sasiaduj
˛
ace
˛ maja˛ jednakowe rozpietości
˛
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 24
Dominanta. Przykład
• w przykładzie 12 dominanta˛ jest 0 dzieci
• w przykładzie 14 dominanta˛ jest 12 podmiotów publicznych
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 25
Kwantyle
• wartości, które dziela˛ zbiorowość na kokreślone cz˛eści pod
wzgledem
˛
liczby jednostek
◦ szewregi musza˛ być uporzadkowane
˛
• kwartyle
• decyle
• centyle (percentyle)
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 26
Kwartyle
• kwartyl pierwszy (dolny) —25%
• kwartyl drugi (mediana, wartość środkowa) —50%
• kwartyl trzeci (górny) —75%
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 27
Mediana
• szeregi wyliczalne:
Me =
(
gdy N jest nieparzyste
x N +1 ,
1
2
2
x N + x N +1 ,
2
2
gdy N jest parzyste
• szeregi rozdzielcze punktowe: kumulacja
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 28
Mediana. Przykład
• czas dojazdu do pracy: 35, 5, 20, 15, 30, 10, 60, 20, 45, 60
◦ mediana: 25 minut
• w przykładzie 12
◦ mediana: 1 dziecko
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 29
Kwartyle. Szeregi rozdzielcze przedziałowe
• Q1 = xQ1 +
N
4
−
k−1
P
ni
i=1
nQ1
• Q2 = M e = x M e +
• Q3 = xQ3 +
3N
4
−
k−1
P
i=1
nQ3
iQ1
N
2
−
k−1
P
i=1
nM e
ni
iM e
ni
iQ3
• gdzie
◦ Q1 , Q2 , Q3 — odpowiednie kwartyle
◦ xQ1 , xM e , xQ3 — dolne granice przedziałów, w których
znajduja˛ sie˛ odpowiednie kwartyle
◦ nQ1 , nM e , nQ3 — liczebności tych przedziałów
◦ iQ1 , iM e , iQ3 — rozpietości
˛
przedziałów
◦
k−1
P
ni — sumy liczebności do klasy, w której znajduje sie˛
i=1
kwartyl
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 30
Uwagi o średnich
• kwartyle moga˛ być wykorzystywane we wszystkich
przypadkach
• decyle i centyle oreślane sa˛ w sposób podobny
• średnia arytmetyczna, dominanta i mediana sa˛ powiazane
˛
pewnymi zależnościami
◦ w przypadku umiarkowanie asymetrycznego rozkładu
x̄ − D = 3(x̄ − M e)
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 31
Miary zmienności
• dyspesja (rozproszenie) — zróżnicowanie jednostek ze
wzgledu
˛ na wartości badanej cechy
• miary pozycyjne
◦ empiryczny obszar zmienności (rozstep,
˛ amplituda
wachań)
◦ odchylenie ćwiartkowe
• miary klasyczne
◦ odchylenie standardowe
◦ wariancja
◦ odchylenie przecietne
˛
• współczynnik zmienności
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 32
Miary zmienności
• bezwzgledne
˛
(absolutne)
◦ obszar zmienności
◦ wariancja
◦ odchylenie stadardowe
◦ odchylenie przecietne
˛
◦ odchylenie ćwiartkowe
• wzgledne
˛
(relatywne)
◦ współczynnik zmienności
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 33
Empiryczny obszar zmienności
• R = xmax − xmin
◦ szereg wyliczalny
◦ szereg rozdzilczy — tylko przybliżono
◦ przedziały otwarte — niemożliwe
◦ wstepna
˛
orientacja
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 34
Odchylenie przecietne
˛
• d=
1
N
• d=
1
N
• d=
1
N
N
P
i=1
k
P
i=1
k
P
i=1
|xi − x̄|
|xi − x̄|ni
|x̂i − x̄|ni
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 35
Odchylenie ćwiartkowe
• Q=
Q3 −Q1
2
• typowy obszar zmienności
◦ M e − Q 6 xtyp 6 M e + Q
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 36
Wariancja
• s2 =
1
N
• s2 =
1
N
s2
1
N
•
=
N
P
(xi − x̄)2
i=1
k
P
(xi − x̄)2 ni
i=1
k
P
(x̂i − x̄)2 ni
i=1
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 37
Wariancja. Właściwości
• s2 = x2 − x̄2
i
• jeżeli zbiorowość podzielić na k grup, to
s2 = s2i + s2 (x̄i ) =
k
P
i=1
s2i ni
N
k
P
+
(x̄i −x̄)2 ni
i=1
N
• nieujemna i mianowana
• wariancja obliczona na podstawie szeregów rozdzielczych
przedziałowych jest zawyżona
◦ poprawka Shepparda
s2
=
1
N
k
P
(x̂ − x̄)2 ni −
i=1
i2
12
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 38
Odchylenie standardowe
√
• s = s2
• obszar typowy x̄ − s < xtyp < x̄ + s
• odchylenia standardowe, ćwiartkowe oraz przecietne:
˛
Q<d<s
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 39
Odchylenie standardowe. Właściwości
• obliczane na podstawie wszystkich obserwacji w danym
szeregu
• nie zmienia sie,
˛ jeżeli liczebności szeregu wyrazić
w liczbach wglednych
˛
(procentach)
• nie zmienia sie,
˛ jeżeli do wszystkich wartości zmiennej
dodać pewna˛ stała˛
• jeżeli wszystkie wartości zmiennej pomnożyć przez pewna˛
dodatnia˛ stała,
˛ to odchylenie standardowe pomnoży sie˛
przez te˛ sama˛ stała˛
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 40
Reguła trzech sigm
• wprzypadku rozkładu normalnego (zbliżonego do
normalnego)
◦ blisko trzecia cz˛eść obserwacji różni sie˛ od średniej
arytmetycznej o wiecej
˛
niż ±s
◦ około jedna na 20 obserwacji przekracza te˛ średnia˛ od
wielkość ±2s
◦ tylko jedna na 370 obserwacji przekracza średnia˛
arytmetyczna˛ o ±3s
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 41
Współczynnik zmienności
• miara bezwzgledna
˛
• jest ilorazem bezwzglednej
˛
miary dyspersji oraz
odpowiednich średnich
◦ klasyczne:
• Vs = s · 100%
x̄
• Vd = d · 100%
x̄
◦ pozycyjne:
• VQ = Q · 100%
Me
• VQ1 Q3 =
Q3 −Q1
Q3 +Q1
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 42
Współczynnik zmienności. Przykład
• średnie miesieczne
˛
wpływy za świadczenie usług
nolcegowych w trzech hotelach A, B i C były równe:
x̄A = 600 000 zł., x̄B = 300 000 zł., x̄C = 500 000 zł.
• odchylenia standardowe wynosiły sA = 110 000 zł.,
sB = 90 000 zł., sA = 120 000 zł.
• w którym hotelu wystepuje
˛
najmniejsza dyspersja?
◦ Vs (A) = 110 · 100% = 18,3%
◦ Vs (B) =
◦ Vs (C) =
600
90
300
120
500
· 100% = 30,0%
· 100% = 24,0%
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 43
Miary asymetrii
• w rozkładach symetrycznych trzy średnie sa˛ równe:
x̄ = D = M e
• jeżeli x > M e > D, to rozkład charakteryzuje sie˛ asymetria˛
prawostronna˛
• jeżeli x < M e < D, to — asymetria˛ lewostronna˛
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 44
Wskaźnik skośności (asymetrii)
• Ws = x̄ − D
◦ w przypadku symetrii Ws = 0
◦ w przypadku asymetri lewostronnej Ws < 0
◦ w przypadku asymetri prawostronnej Ws > 0
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 45
Wskaźnik skośności a kwartyle
• w przypadku symetrii (Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) = 0
• w przypadku asymetri lewostronnej
(Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) < 0
• w przypadku asymetri prawostronnej
(Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) > 0
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 46
Wskaźnik skośności
• jest bezwzgledn
˛ a˛ miara˛ aymetrii
• określa jedynie kirunek asymetrii
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 47
Współczynnik asymetrii (skośności)
• jest miara˛ niemieanowana˛ i unormowana˛
1. As =
2. As =
3. As =
x̄−D
s
x̄−D
d
(Q3 −Q2 )−(Q2 −Q1 )
(Q3 −Q2 )+(Q2 −Q1 )
=
Q3 +Q1 −2M e
2Q
• współczynniki 1 i 2 sa˛ wzajemie zamienne
• (pozycyjny) współczynnik 3 jest stosowany, gdy nie możńa
obliczyć dominanty czy średniej arytmetycznej
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 48
Współczynnik asymetrii. Przykład
Wiek w latach
xi−1 − xi
15–25
25–35
35–45
45–55
55–65
Razem:
Liczba zatrudnionych
ni
14
32
26
7
3
82
x̂i
20
30
40
50
60
×
• D = 32,5
• As = 0,182
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 49
Współczynnik asymetrii. Przedział otwarty
Miasta o liczbie ludności
Liczba miast
Skumulowana liczba miast
xi−1 − xi
ni
ns i
<2 000
43
43
2 000–4 999
235
278
5 000–9 999
181
459
10 000–19 999
179
638
20 000–49 999
139
777
50 000–99 999
51
828
100 000–199 999
22
850
200 000 i wiecej
˛
20
870
Razem:
870
×
• A(Q) = 0,463
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 50
Moment centralny rzedu
˛ trzeciego
• moment trzeci
• m3 =
1
N
N
P
(xi − x̄)3 ni
i=1
◦ dla szeregów symetrycznych m3 = 0
◦ dla lewostronnej asymetrii m3 < 0
◦ dla prawostronnej asymetrii m3 > 0
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 51
Moment standardyzowany rzedu
˛ trzeciego
• moment wzgledny
˛
• a3 =
m3
s3
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 52
Moment trzeci. Przykład
• w przykładzie 12:
◦ x̄ = 1
◦ s = 1,07
◦ m3 = 1,02
◦ a3 = 0,833
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 53
Miary koncentracji
• nierównomierny podział zjawiska w zbiorowości
◦ nierównomierny podział łacznego
˛
funduszu cechy
pomiedzy
˛
poszczególne jednostki zbiorowości
• koncentracja zbiorowości wokół średniej (kurtoza)
• brak koncentracji
• zupełna koncentracja
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 54
Wielobok koncentracji Lorenza
• na osi odcietych
˛
— skumulowane czestości wzgledne
˛
(w %)
• na osi rz˛ednych — procentowe skumulowane cz˛estości
wzgledne
˛
łacznego
˛
funduszu cechy
• krzywa Lorenza
• przekatna
˛
kwadratu: linia równomiernego rozdziału
• powierzchnia koncentracji
• współczynnik koncentracji Lorenza k =
a
5000 ,
gdzie a jest
polem powierzchni koncentracji
◦ jest miara˛ niemianowana,
˛ 06k61
◦ jeżeli k = 0, brak koncentracji
◦ jeżeli k = 1, to koncentracja zupełna
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 55
Wielobok koncentracji. Przykład
Gminy o liczbie ludności (w tys.)
Liczba gmin
Łaczna
˛
liczba ludności
poniżej 2
15
23,4
2–5
490
1 972,5
5–7
663
3 951,3
7–10
551
4 551,0
powyżej 10
351
4 364,3
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 56
!" #
$
Wielobok koncentracji. Przykład
• a = 1055, 395, k = 0,21
• koncentracja nie jest duża
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 57
Koncentracja obserwacji wokół średniej
• należy porównać rozkład z normalnym
• wykres bardziej wysmukły, niż krzywa normalna
◦ wieksze
˛
skupienie wartości wokół średniej
◦ leptokurtyczny rozkład
• wykres bardziej spłaszczony, niż krzywa normalna
◦ mniejsza koncentracja wartości wokół średniej
◦ platokurtyczny rozkład
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 58
Miara nateżenia
˛
koncentracji wokół średniej
• moment centralny czwartego rz˛edu m4 =
1
N
k
P
(xi − x̄)4 ni
i=1
• standardyzowany moment centralny czwartego rz˛edu
a4 =
m4
a4
◦ dla rozkładu normalnego a4 = 3
◦ dla rozkładu spłaszczonego a4 < 3
◦ dla rozkładu wysmukłego a4 > 3
• dla rozkładów jednomodalnych określany jest eksces: a4 − 3
Statystyka Opisowa z Demografia˛ oraz Biostatystyka – p. 59