Kompensacja wpływu charakterystyk częstotliwościowych - IME

Kompensacja wpływu charakterystyk częstotliwościowych - IME

Mirosław KOZIOŁ
Uniwersytet Zielonogórski, Instytut Metrologii Elektrycznej
Kompensacja wpływu charakterystyk częstotliwościowych
nieminimalnofazowych układów zniekształcających
Streszczenie. W artykule zaprezentowano różne możliwości przeprowadzenia kompensacji wpływu charakterystyk częstotliwościowych
nieminimalnofazowych układów zniekształcających przetwarzających sygnały niesinusoidalne. Kompensacja realizowana jest w układzie
kaskadowym przez dołączenie cyfrowego filtru korekcyjnego, będącego odwrotnością układu zniekształcającego lub jego quasi-odwrotnością
traktowaną jako układ nieprzyczynowy. Przedstawione podejście bazuje na założeniu, że dana jest dyskretna transmitancja układu
zniekształcającego.
Abstract. In this article compensation of a frequency response of a nonminimum-phase systems is presented. Compensation is realized in cascade
connection by an inversion of a distorting system or its quasi-inversion treated as an anticasual system. It was assumed that a system function of a
distorting system is known. (Frequency-Response Compensation of Nonminimum-Phase Distorting Systems).
Słowa kluczowe: kompensacja charakterystyk częstotliwościowych, układy nieprzyczynowe, układy nieminimalnofazowe, filtry
quasi-odwrotne.
1. Wstęp
Znacząca większość produkowanych obecnie urządzeń
pomiarowych dokonuje wyznaczenia wyniku na podstawie
dyskretnej reprezentacji sygnału będącego nośnikiem
informacji. Zamiana sygnału na reprezentację cyfrową
realizowana jest przez zastosowanie przetwornika
analogowo-cyfrowego, na którego wejście może być jednak
podawany tylko sygnał napięciowy o wartościach
mieszczących się w określonym zakresie. Stąd w
przypadku pomiaru wyższych napięć lub wielkości innego
typu dostarczanych np. z różnego rodzaju czujników
pomiarowych konieczne jest stosowanie tzw. obwodów
wejściowych. Jeśli sygnał jest niesinusoidalny, a w paśmie
częstotliwościowym
przetwarzanego
sygnału
charakterystyka amplitudowa takiego obwodu nie jest
równomierna, zaś charakterystyka fazowa co najmniej
liniowa, to przejście sygnału przez taki układ prowadzi do
zmiany jego widma, a przez to zniekształcenia informacji
jaką niesie. Również często same czujniki dostarczające
sygnał pomiarowy ze względu na swoje właściwości
fizyczne
i/lub
konstrukcyjne
wprowadzają
pewne
zniekształcenia.
2. Korekcja w połączeniu kaskadowym
Najprostszym sposobem pozbycia się zniekształceń jest
realizacja układu kompensacyjnego będącego dokładna
odwrotnością układu zniekształcającego i połączeniu go
kaskadowo
z
układem
zniekształcającym,
co
zaprezentowano na rysunku 1.
Rys.1. Ilustracja kompensacji zniekształceń przez kaskadowe
dołączenie układu korekcyjnego
Zakładając,
że
znana
jest
transmitancja
H(z)
przyczynowego i stabilnego układu zniekształcającego,
transmitancja X(z) filtru korekcyjnego powinna spełniać
następującą zależność
(1)
X (z ) =
1
H (z )
której wykorzystanie prowadzi do uzyskania idealnego
układu odwrotnego. Przetwarzając zniekształcony sygnał za
pomocą tak zaprojektowanego filtru osiąga się dokładną
kompensację zniekształceń, tj. si[n] = sx[n].
Jeśli układ zniekształcający nie jest minimalnofazowy,
otrzymany zgodnie z zależnością (1) filtr korekcyjny,
traktowany jako układ przyczynowy, nie będzie stabilny.
Stosowanym w takich przypadkach rozwiązaniem jest
aproksymacja
transmitancji
H(z)
przez
układ
minimalnofazowy Hmin(z) oraz układ wszechprzepustowy
Hal(z).
(2)
H (z ) = H min (z )H ap (z )
Transmitancja układu minimalnofazowego jest tworzona na
postawie zer i biegunów transmitancji H(z) leżących
wewnątrz koła jednostkowego oraz zer będących
sprzężonymi odwrotnościami zer transmitancji H(z)
leżących na zewnątrz koła jednostkowego. Natomiast układ
wszechprzepustowy Hal(z) budowany jest w oparciu o
rozkład zer układu zniekształcającego leżących na
zewnątrz koła jednostkowego [1]. W takim przypadku
transmitancja filtru korekcyjnego określana jest na
podstawie zależności
(3)
X (z ) =
1
H min (z )
dając stabilny i przyczynowy układ korekcyjny.
W wielu przypadkach (analiza sygnałów mowy lub
sygnałów w medycynie) ważnym zagadnieniem jest
korekcja zniekształceń fazowych, gdyż użyteczna
informacja odczytywana jest na podstawie kształtu sygnału.
Również w przypadku pomiarów mocy, zniekształcenia
fazowe mają duży wpływ na błąd pomiaru [2].
Przedstawiona powyżej metoda korekcji pozwala jedynie na
pełną korekcję charakterystyki amplitudowej układu
zniekształcającego. Wypadkowa charakterystyka fazowa
nie jest jednak zerowa.
3. Nieprzyczynowe układy kompensacyjne
W celu pełnej kompensacji zarówno charakterystyk
częstotliwościowych amplitudowych jak i fazowych, można
idealną
odwrotność
układu
nieminimalnofazowego
potraktować jako układ nieprzyczynowy. Przyjęcie takiego
założenia wymusza jednak podział transmitancji filtru
korekcyjnego na część przyczynową grupująca bieguny
leżące wewnątrz koła jedostkowego oraz część
antyprzyczynową grupująca bieguny leżące na zewnątrz
koła jednostkowego. Podział można dokonać zarówno na
równoległe jak i szeregowe połączenie obu części. W
przypadku części antyprzyczynowej wymagane jest również
przetwarzanie sygnału w kierunku malejących indeksów
próbek. Dzięki takiemu podejściu filtr kompensacyjny jest
stabilny asymptotycznie.
Wydaje się, iż konieczność przetwarzania sygnału przez
część antyprzyczynową od końca wymaga wcześniejszego
zapamiętania przetwarzanego sygnału i ogranicza
zastosowanie takich układów kompensacyjnych do
przypadków, gdzie korekcja sygnału nie musi odbywać się
na bieżąco.
Istnieją jednak metody (overlap-save i overlap-add),
które pozwalają na przetwarzanie bardzo długich lub
nieskończenie
długich
sygnałów
przez
układy
antyprzyczynowe poprzez ich sekcjonowanie. Bardzo
wygodna implementacja metody overlap-add przedstawiona
w [3] i stosowana przy realizacji filtrów NOI o liniowej
charakterystyce fazowej, może być również zastosowana w
tym przypadku do przetwarzania sygnału przez część
antyprzyczynową filtru korekcyjnego.
W wyniku zastosowania buforów LIFO do odwracania
kolejności próbek, sygnał wyjściowy jest opóźniony w
stosunku do sygnału wejściowego o czas równoważny
trzykrotnemu jego zapełnieniu. Długość L bufora może być
określana na podstawie algorytmu przedstawionego w [4] i
zależy od długości odpowiedzi impulsowej części
antyprzyczynowej filtra korekcyjnego (czym jest ona
krótsza, tym długość L bufora może być mniejsza).
4. Nieminimalnofazowy układu zniekształcający z
zerami na okręgu jednostkowym
Żadne z zaprezentowanych podejść kompensacji
charakterystyk
częstotliwościowych
układu
zniekształcającego nie umożliwia uzyskania asymptotycznie
stabilnego filtru korekcyjnego w przypadku, gdy układ
zniekształcający posiada zera leżące na okręgu
jednostkowym. W wyniku braku możliwości zastosowania
do kompensacji idealnego układu odwrotnego, należałoby
np. znaleźć stabilny asymptotycznie filtr korekcyjny, który
aproksymuje idealną odwrotność układu zniekształcającego
na pewnym założonym przez projektanta poziomie.
Przy poszukiwaniu rozwiązania przyjęto dwie drogi. W
jednej
z
nich,
nazwanej
pierwszym
zadaniem
optymalizacyjnym, poszukiwano filtru o minimalnym
wskaźniku aproksymacji
(4)
1
2πj
∫ H (z )X (z ) − 1
2
z −1dz → min
z =1
przy założonej wartości wskaźnika stabilności
∫ X (z )
2
z −1dz = q1
z =1
W drugiej, określanej mianem drugiego zadania
optymalizacyjnego, poszukiwano filtru o minimalnym
wskaźniku stabilności
(6)
1
2πj
∫ X (z )
2
z −1dz → min
z =1
przy założonym ograniczeniu związanym z wskaźnikiem
aproksymacji [6]
(7)
1
2πj
∫ H (z )X (z ) − 1
2
z −1dz = q 2
z =1
Obydwa wskaźniki optymalizacyjne reprezentują energię
bądź to samego filtra korekcyjnego, bądź różnicę pomiędzy
energią układu wypadkowego powstałego przez kaskadowe
połączenie układu zniekształcającego i filtra korekcyjnego a
energią układu tożsamościowego.
Stosując metody optymalizacyjne uzyskano nową klasę
filtrów określonych zależnością:
• dla pierwszego zadani optymalizacyjnego
(8)
Rys.2. Możliwa implementacja przetwarzania sygnału przez część
antyprzyczynową filtra kompensacyjnego
1
2πj
(5)
•
(9)
X λ (z ) =
( )
λ + H (z )H (z )
H z −1
−1
dla drugiego zadani optymalizacyjnego
X λ (z ) =
( )
( )
λH z −1
1 + λH z −1 H (z )
i
nazwanych
λ-rodziną
filtrów
quasi-odwrotnych.
Współczynnik λ jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z
zastosowaną metoda optymalizacyjną.
Uzyskana
rodzina
filtrów
charakteryzuje
się
specyficznym rozkładem biegunów. Mianowicie bieguny
zespolone występują zawsze czwórkami, tzn. jeśli p jest
biegunem transmitancji filtru quasi-odwrotnego, to istnieje
biegun p* sprzężony do niego oraz bieguny p-1 i (p*)-1
będące sprzężonymi odwrotnościami odpowiednio do
biegunów p* oraz p. Ilustruje to rysunek 3.
Rys.3. Przykładowy rozkład biegunów w filtrze quasi-odwrotnym
Zastosowanie podstawienia z=ejω na przykład w
transmitancji (8) umożliwia określenie charakterystyk
częstotliwościowych filtru quasi-odwrotnego dla pierwszego
zadania optymalizacyjnego
(10)
( )
X e jω =
( ) = H (e ω )
(e ω )H (e ω ) λ + H (e ω )
H ∗ e jω
λ+H
∗
∗
j
j
j
j
2
gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Przedstawiając
funkcję znajdującą się w liczniku wzoru (10) w postaci
modułu i argumentu, tj.
(11)
( )
( )
H ∗ e jω = H e jω e − j arg[H (e
jω
)]
uzyskuje się charakterystykę amplitudową
( )=
Xe
(12)
jω
( )
λ + H (e ω )
H e jω
j
2
(16)
H (z ) =
z − 1,25
z − 0,6
okazała się nieminimalnofazowa. W celu uzyskania
stabilnego filtru korekcyjnego w pracy [9] posłużono się
metodą przedstawioną w punkcie 2. Ponieważ w
przedstawionym
przykładzie
ważna
była
korekcja
zniekształceń
fazowych,
zaprojektowano
jeszcze
dodatkowy filtr wszechprzepustowy, który jednak musiał być
traktowany jako układ antyprzyczynowy.
Wydaje się, że prostszym rozwiązaniem jest
potraktowanie dokładnej odwrotności układu korygowanego
jako układu nieprzyczynowego i odpowiednie przetwarzanie
sygnału pomiarowego w sposób przedstawiony we
wcześniejszym punkcie. Przy zastosowaniu takiego
podejścia uzyskuje się idealną korekcję zarówno
charakterystyk amplitudowych, jak również fazowych w
pełnym zakresie przetwarzanych częstotliwości.
i fazową
(13)
[ ( )]
[ ( )]
arg X e jω = − arg H e jω
filtru quasi-odwrotnego. Jak można zauważyć, mnożnik λ
wpływa tylko na postać charakterystyki amplitudowej.
Charakterystyka fazowa jest niezależna od niego, będąc
dodatkowo dokładną odwrotnością charakterystyki fazowej
układu zniekształcającego. Dzięki tej właściwości, filtry
quasi-odwrotne umożliwiają dokładną korekcję przesunięć
fazowych wprowadzanych przez układ zniekształcający
niezależnie od przyjętej wartości mnożnika λ.
Rozwiązania (8) i (9) prezentują całą rodzinę filtrów. W
celu
uzyskania
jednego
rozwiązania
będącego
rozwiązaniem optymalnym należy wyznaczyć wartość
mnożnika λ posługując się uzyskanym rozwiązaniem
ogólnym i zależnością reprezentującą ograniczenie w
danym zadaniu, co prowadzi do następujących zależności
przedstawionych w dziedzinie pulsacji ω:
• pierwsze zadanie optymalizacyjne
(14)
•
1
2π
( )
∫
π 
ω
 λ + H (e )

π
H e jω
−
j
Rys.4. Charakterystyki częstotliwościowe dyskretnego modelu
czujnika GEMS
2
2



2
dω = q1
gdzie q1 reprezentuje założona wartość wskaźnika
stabilności,
drugie zadanie optymalizacyjne
(15)
1
2π
π
∫
−π
dω
( )

jω
1 + λ H e

2



2
= q2
gdzie q2 reprezentuje założona wartość wskaźnika
aproksymacji.
Przy
znajomości
transmitancji
H(z)
układu
zniekształcającego, poszukiwanie wartości λ może
odbywać się numerycznie metodą Newtona [8].
5. Przykłady symulacyjne
W pracy [9] koniecznym było zaprojektowanie układu
korekcyjnego
w
celu
usunięcia
zniekształceń
wprowadzanych
przez
czujnik
GEMS.
Najlepsza
aproksymacja transmitancji czujnika
Rys.5. Charakterystyki częstotliwościowe wypadkowe
Na rysunku 6 przedstawiono widma amplitudowe i
fazowe uzyskane w procesie symulacji dla przykładowego
sygnału wejściowego si[n]. Umiejscowienie pozostałych
sygnałów jest zgodne z rysunkiem 1. Przetwarzanie
sygnału sh[n] przez część antyprzyczynową filtru
korekcyjnego zrealizowano w oparciu o przetwarzanie
sekcjonowane metodą overlapp-add, co umożliwia
uzyskiwanie próbek sygnału na bieżąco z niewielkim
opóźnieniem czasowym.
Rys.8.
Charakterystyki
zniekształcającego
częstotliwościowe
układu
Na rysunku 9 b) przedstawiono graficznie zależność
mnożnika λ od przyjętej wartości współczynnika q2 dla
rozpatrywanego przykładu. Rysunek 9 a) przedstawia tą
samą zależność, jednak dla małych wartości λ.
Rys.6. Widma amplitudowe i fazowe przykładowego sygnału si[n]
przed czujnikiem GEMS, sygnału sh[n] za nim oraz sygnału sx[n] po
korekcji przez filtr nieprzyczynowy
W kolejnym przykładzie symulacyjnym przyjęto, że
układ zniekształcający również nie jest minimalnofazowy
dodatkowo
posiadając
zera
leżące
na
okręgu
jednostkowym.
Rys.9.
Graficzna
reprezentacja
współczynnikiem q2 i mnożnikiem λ
Stabilny asymptotycznie filtr
przyjmując wartość q2∈(0,1).
zależności
korekcyjny
pomiędzy
uzyskuje
się
Rys.7. Rozkład zer układu zniekształcającego
Do przeprowadzenia korekcji zastosowano więc filtr quasiodwrotny
uzyskany
dla
drugiego
zadania
optymalizacyjnego.
Rys.10. Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowe układu
4
5
wypadkowego dla wartości mnożnika λ∈〈5⋅10 ,5⋅10 〉
W celu obrazowego pokazania zmian charakterystyk
częstotliwościowych amplitudowych układu wypadkowego
dla szerokiego zakresu zmian mnożnika λ, na rysunku 10
dokonano
ich
prezentacji
w
postaci
wykresu
trójwymiarowego.
Przyjmowanie coraz większych wartości współczynnika
q2 (a tym samym coraz mniejszych wartości mnożnika λ)
prowadzi do uzyskania coraz gorszej kompensacji
charakterystyk
częstotliwościowych
układu
zniekształcającego.
Rys.12. Rozkłady biegunów filtra quasi-odwrotnego dla dwóch
wybranych wartości współczynnika q2
Przyjęcie określonej wartości współczynnika q2 zależy
wyłącznie od projektanta filtru i wymagań, jakie narzuca
jego zastosowanie w danej aplikacji.
Podsumowanie
W pracy przedstawiono skrótowy przegląd możliwości
kompensacji charakterystyk częstotliwościowych czujników
pomiarowych
lub
obwodów
wejściowych
mikroprocesorowych urządzeń pomiarowych. Oprócz
ogólnie
znanych
metod
zaprezentowano
również
możliwości
kompensacji
charakterystyk
układów
nieminimalnofazowych posiadających zera na okręgu
jednostkowym. Pomimo przynależności zastosowanych w
tym celu filtrów quasi-odwrotnych do klasy układów
nieprzyczynowych, możliwe jest przetwarzanie na bieżąco
sygnałów o bardzo długi czasie trwania dzięki metodzie
opublikowanej w pracy [3].
LITERATURA
Rys.11. Wypadkowe charakterystyki częstotliwościowe dla dwóch
wybranych wartości współczynnika q2
Umożliwia to jednak odsunięcie biegunów filtra
korekcyjnego od okręgu jednostkowego, co pozwala na
uzyskanie
układu
kompensacyjnego
stabilnego
asymptotycznie.
[1] O p p e n h e i m A.V., S c h a f e r R.W., Discrete-Time Signal
Processing, Prentice Hall, 1999
[2] Fu r m a n k i e w i c z L . , Możliwość programowej korekcji
błędów wnoszonych przez transformatorowe obwody
wejściowe w przetwornikach mocy przy pomiarze sygnałów
odkształconych,
Rozprawa
doktorska,
Politechnika
Zielonogórska, Zielona Góra, 1998
[3] P o w e l l S.R., C h a u P.M., A Technique for Realizing Linear
Phase IIR Filters, IEEE Trans. Signal Processing, 39 (1991),n.
11, 2425-2435
[4] L a a k s o T.I., V ä l i m ä k i V., Energy-Based Length of The
Impulse Response of a Recursive Filter, IEEE Trans.
Instrumentation and Measurement, 48 (1999), n.1, 7-17
[5] S i w c z y ń s k i M., K o z i o ł M., Synteza quasi-odwrotnych
filtrów korekcyjnych, XXIV SPETO, Gliwice 2001, 329-334
[6] S i w c z y ń s k i M., K o z i o ł M., Korekcyjne cyfrowe filtry
odwrotne i quasi-odwrotne, VI EPN, Zielona Góra 2002, 205212
[7] S i w c z y ń s k i M. K o z i o ł M., Synthesis of Optimised Digital
Filters to Signal Correction in Measurement Systems, IMEKO
TC7, Kraków 2002, 150-156
[8] S i w c z y ń s k i M., Metody optymalizacyjne w teorii mocy
obwodów
elektrycznych,
Wydawnictwa
Politechniki
Krakowskiej, Kraków 1995
[9] B u r n e t t G.C., The Physiological Basis of Glottal
Electromagnetic Micropower Sensor (GEMS) and Their Use in
Defining an Excitation Function for the Human Vocal Tract,
Rozprawa doktorska, University of California, 1999
Autor: mgr inż. Mirosław Kozioł, Uniwersytet Zielonogórski, Instytut
Metrologii Elektrycznej, ul. Podgórna 50, 65-246 Zielona Góra, Email: [email protected].