xy - Akademia Marynarki Wojennej

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ
ROK LII NR 1 (184) 2011
Janusz Kolenda
Akademia Marynarki Wojennej
WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA
ZMĘCZENIOWEGO WAŁÓW
PRZY LOSOWYM ZGINANIU I SKRĘCANIU
STRESZCZENIE
Artykuł dotyczy bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów poddanych równoczesnemu
działaniu momentów gnących i skręcających o losowym charakterze i stacjonarnych w szerszym
sensie. Zakłada się, że wynikające stąd naprężenia normalne i tnące są nieskorelowane oraz że
mają znane wartości średnie i gęstości widmowe mocy. Pozwala to oba te naprężenia rozpatrywać oddzielnie i wykorzystywać znany wzór na współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego
wałów na podstawie obliczeń cząstkowych współczynników bezpieczeństwa zmęczeniowego przy
zginaniu i skręcaniu. W tym celu wyznaczono ekwiwalentne naprężenia normalne i tnące jako
procesy Gaussa oraz wartości oczekiwane cząstkowych współczynników bezpieczeństwa. Przeprowadzono obliczenia przykładowe.
Słowa kluczowe:
wały, obciążenia losowe, wytrzymałość zmęczeniowa.
WSTĘP
Na skutek obciążeń zewnętrznych w poprzecznych przekrojach wałów powstają naprężenia:
⎯
normalne σ x od momentów gnących;
⎯
tnące σ xy od momentów skręcających;
⎯
tnące σ xy od sił poprzecznych;
⎯
normalne σ x od sił wzdłużnych (ściskających bądź rozciągających).
67
Janusz Kolenda
Zazwyczaj naprężenia tnące od sił poprzecznych nie są uwzględniane w obliczeniach wytrzymałościowych wałów z powodu ich małej wartości w porównaniu
do naprężeń wywołanych zginaniem i skręcaniem. Również obciążenia wzdłużne
wałów poddanych znacznym momentom skręcającym i gnącym są zwykle pomijane
w tego typu obliczeniach [5]. To samo dotyczy obliczeń zmęczeniowych, przy czym
w najbardziej „zgrubnym” algorytmie rzeczywiste współczynniki bezpieczeństwa
zmęczeniowego na zginanie δ x i na skręcanie δ xy liczy się dla każdego rodzaju
naprężeń osobno, a następnie określa łączny rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego δ ze wzoru [1, 2, 5]:
δ=
δ xδ xy
δ x2 + δ xy2
.
(1)
Wzór (1) jest ważny dla ogólnego przypadku płaskiego stanu naprężenia ze
składowymi σ x i σ xy , a zatem również dla cykli niesymetrycznych. Nie zachodzi
przy tym konieczność spełnienia założenia o zgodności faz i częstości naprężeń
składowych [2].
Z uwzględnieniem takich czynników wpływających na wytrzymałość zmęczeniową, jak działanie karbu, wielkość przedmiotu i wrażliwość materiału na asymetrię cyklu, występujące w (1) współczynniki wyznaczane są za pomocą wzorów:
δx =
Z go
βx
σ + ψ xσ xm
ε x xa
, δ xy =
Z so
β xy
σ + ψ xyσ xym
ε xy xya
,
(2)
gdzie:
σ xa , σ xya — nominalne amplitudy naprężeń składowych;
σ xm , σ xym — wartości średnie naprężeń składowych;
β ,ε
— współczynniki działania karbu i wielkości przedmiotu, których wartości
ψ
określone są w literaturze specjalistycznej [2, 5];
— współczynniki wrażliwości materiału na asymetrię cyklu definiowane jako
ψx =
2Z go − Z gj
Z gj
, ψ xy =
2Z so − Z sj
Z sj
,
(3)
gdzie:
Z go , Z so — granice zmęczenia przy cyklach wahadłowych;
Z gj , Z sj
68
— granice zmęczenia przy cyklach odzerowo tętniących.
Zeszyty Naukowe AMW
Współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów przy losowym zginaniu i skręcaniu
W przypadku gdy naprężenia składowe σ x = σ~x i σ xy = σ~xy mają charakter
procesów losowych z amplitudami o rozkładach normalnych, prawdopodobieństwo
zniszczenia zmęczeniowego można odczytać z wykresów, korzystając z algorytmu
obliczeń opisanego w [2]. W niniejszej pracy przedstawiono możliwość wykorzystania wzorów (1) — (3) do oszacowania wartości oczekiwanej współczynnika bezpieczeństwa zmęczeniowego przy łącznym występowaniu losowego zginania i skręcania.
Założono przy tym, że naprężenia składowe σ~x i σ~xy są nieskorelowanymi procesami
stacjonarnymi (w szerszym sensie) o znanych wartościach średnich i gęstościach
widmowych mocy, które zamodelowano równoważnymi w sensie wytrzymałości
zmęczeniowej naprężeniami ekwiwalentnymi σ~xe i σ~xye .
EKWIWALENTNE NAPRĘŻENIA SKŁADOWE
Rozpatrywane naprężenia normalne σ~x (t ) i tnące σ~xy (t ) można zapisać jako:
σ~x (t ) = σ xm + σ x (t )
,
σ~xy (t ) = σ xym + σ xy (t )
(4)
gdzie:
σ xm i σ xym
— naprężenia średnie;
σ x (t ) i σ xy (t ) — procesy stochastyczne.
Przy założeniu stacjonarności tych procesów oraz znajomości wartości
oczekiwanych naprężeń średnich E{σ xm } i E σ xym poszukiwać będziemy ekwiwa-
{ }
lentnych naprężeń składowych w postaci dogodnej do obliczeń zmęczeniowych [3]:
σ~xe (t ) = E{σ xm } + σ xe (t )
,
σ~xye (t ) = E{σ xym }+ σ xye (t )
(5)
σ xe (t ) = a sin (ω xt + α x ) = a1 exp( jω xt ) + a−1 exp(− jω x t )
σ xye (t ) = b sin (ω xy t + α xy ) = b1 exp( jω xy t ) + b−1 exp(− jω xy t )
(6)
gdzie
to procesy Gaussa spełniające warunki:
1 (184) 2011
69
Janusz Kolenda
K xe (τ ) = K x (τ )
K xye (τ ) = K xy (τ )
.
(7)
W zależnościach (6) i (7) oznaczono:
a, b
— amplitudy ekwiwalentnych naprężeń składowych (zmienne losowe);
α x , α xy — kąty fazowe ekwiwalentnych naprężeń składowych (zmienne losowe);
ω x , ω xy — częstości ekwiwalentnych naprężeń składowych;
a
exp( jα x ) , a−1 = a1*
2j
;
b
*
b1 =
exp( jα xy ) , b−1 = b1
2j
a1 =
j
— jedność urojona;
(⋅)*
— wielkość zespolona sprzężona;
(8)
K xe (τ ), K xye (τ ) — funkcje autokorelacji procesów σ xe (t ) i σ xye (t ) ;
K x (τ ) , K xy (τ ) — funkcje autokorelacji procesów σ x (t ) i σ xy (t ) ;
τ
— odstęp czasu,
przy czym
{ } { }
E{b } = E{b } = E {b b } = E {b b } = 0
E{a1} = E{a−1} = E a1*a−1 = E a−*1a1 = 0
*
1 −1
−1
1
*
−1 1
;
(9)
E{}
⋅ — wartość oczekiwana.
Warunki (7) prowadzą do relacji:
{[
][
= E {σ (t )σ (t )}
t ) + b exp( jω t )][b exp( jω t ) + b
= E {σ (t )σ (t )}
]} =
E a1* exp(− jω x t1 ) + a−*1 exp( jω x t1 ) a1 exp( jω x t 2 ) + a−1 exp(− jω x t 2 )
{[
E b exp(− jω xy 1
*
1
*
x
1
x
*
−1
2
xy 1
*
xy
1
xy
1
xy 2
−1
]} ,
exp(− jω xy t 2 )
(10)
2
czyli z uwzględnieniem (8) i (9):
70
Zeszyty Naukowe AMW
Współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów przy losowym zginaniu i skręcaniu
{ }
1
E a 2 [exp( jω xτ ) + exp(− jω xτ )] = K x (τ )
4
.
1
2
E b exp( jω xyτ ) + exp(− jω xyτ ) = K xy (τ )
4
{ }[
(11)
]
Oznaczono tu:
{ } { }
E a 2 , E b 2 — wartości średniokwadratowe amplitud ekwiwalentnych naprężeń
składowych;
τ = t 2 − t1 .
W wyniku transformacji Fouriera równań (11) otrzymuje się:
{ }
1
E a 2 [δ (ω − ω x ) + δ (ω + ω x )] = S x (ω )
4
,
1
2
E b δ (ω − ω xy ) + δ (ω + ω xy ) = S xy (ω )
4
{ }[
(12)
]
gdzie:
S x (ω ), S xy (ω ) — gęstości widmowe mocy procesów σ x (t ) i σ xy (t ) ;
δ
— funkcja delta Diraca.
Na podstawie równań (12) można sformułować następujące warunki rów-
noważności naprężeń σ xe (t ) i σ x (t ) oraz σ xye (t ) i σ xy (t ) [3, 4]:
∞
∞
{ }∫ [δ (ω − ω ) + δ (ω + ω )]dω = ∫ S (ω )dω
1
E a2
4
x
x
x
−∞
−∞
∞
∞
{ }∫ [δ (ω − ω ) + δ (ω + ω )]dω = ∫ S (ω )dω
1
E b2
4
xy
xy
.
(13)
xy
−∞
−∞
Zatem
{ }
∞
E a = 2 ∫ S x (ω )dω
2
−∞
{ }
∞
.
(14)
E b = 2 ∫ S xy (ω )dω
2
−∞
1 (184) 2011
71
Janusz Kolenda
Zważywszy, że amplitudy a i b procesów (6) jako wąskopasmowych procesów Gaussa mają rozkład Rayleigha, ich momenty statystyczne wynoszą [6]:
{ }
⎛ k⎞
E a k = 2 k / 2 Γ⎜1 + ⎟ s xk , k = 1,2,...
⎝ 2⎠
,
k
⎛
⎞
E b k = 2 k / 2 Γ⎜1 + ⎟ s xyk
⎝ 2⎠
(15)
{ }
gdzie:
Γ
— funkcja gamma;
s x , s xy — odchylenia standardowe amplitud a i b.
Stąd
E{a} = (0,5π ) s x , E{b} = (0,5π ) s xy ;
1/ 2
{ }
1/ 2
E a 2 = 2 s x2 ,
(16)
{ }
E b 2 = 2 s xy2 .
(17)
Porównując prawe strony wyrażeń (14) i (17), otrzymuje się:
⎡∞
⎤
s x = ⎢ ∫ S x (ω )dω ⎥
⎣ −∞
⎦
1/ 2
⎡∞
⎤
, s xy = ⎢ ∫ S xy (ω )dω ⎥
⎣ −∞
⎦
1/ 2
.
(18)
WARTOŚCI OCZEKIWANE WSPÓŁCZYNNIKÓW BEZPIECZEŃSTWA
Na podstawie wzorów (2) wartości oczekiwane cząstkowych współczynników bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów poddanych działaniu ekwiwalentnych
naprężeń składowych (5) wynoszą:
E{δ x } =
E {δ xy } =
72
Z go
βx
E{a} + ψ x E{σ xm }
εx
Z so
,
(19)
β xy
E{b} + ψ xy E{σ xym }
ε xy
Zeszyty Naukowe AMW
Współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów przy losowym zginaniu i skręcaniu
czyli z uwzględnieniem (16) i (18):
E{δ x } =
E {δ xy } =
Z go
βx
εx
∞
⎤
⎡
π
0
,
5
S x (ω )dω ⎥
⎢
∫
−∞
⎦
⎣
Z so
β xy
ε xy
1/ 2
∞
⎤
⎡
(
)
0
,
5
π
S
ω
d
ω
⎥
⎢
xy
∫
−∞
⎦
⎣
+ ψ x E{σ xm }
.
1/ 2
(20)
+ ψ xy E{σ xym }
Wyrażenia (1) i (20) umożliwiają wyznaczenie wartości oczekiwanej łącznego współczynnika bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów w przypadku równoczesnego działania momentów gnących i momentów skręcających o losowym
charakterze ze wzoru:
E{δ } =
E{δ x }E{δ xy }
[E{δ x }]2 + [E{δ xy }]
2
.
(21)
Przykład
Wał poddany jest równoczesnemu działaniu stacjonarnych momentów gnących i skręcających. W analizowanym przekroju wywołują one naprężenia
σ~x (t ) = σ mx + σ x (t )
,
σ~xy (t ) = σ mxy + σ xy (t )
gdzie σ mx i σ mxy to wartości średnie o charakterze losowym oraz
p
σ x (t ) = ∑ ( Axk cos ω xk t + Bxk sin ω xk t )
k =1
σ xy (t ) = ∑ (Axyl cos ω xyl t + Bxyl sin ω xyl t )
r
.
(22)
l =1
W wyrażeniach (22) Axk , Bxk , Axyl i Bxyl są zmiennymi losowymi o zerowych wartościach średnich, statystycznie niezależnymi od siebie. Wyznaczyć wartość oczekiwaną łącznego współczynnika bezpieczeństwa zmęczeniowego przy
założeniu, że znane są wartości oczekiwane E{σ xm }i E σ xym oraz wartości śred-
{ } { } { } { }
{ }
2
2
niokwadratowe E Axk2 , E Bxk2 , E Axyl
i E Bxyl
.
1 (184) 2011
73
Janusz Kolenda
Rozwiązanie
Formuły Eulera
1
[exp( jω t ) + exp(− jωt )]
2
1
sin ω t = [exp( jω t ) − exp(− jωt )]
2
cos ω t =
pozwalają zapisać wyrażenia (22) w postaci:
p
σ x (t ) = ∑ [C xk exp( jω xk t ) + Dxk exp(− jω xk t )]
k =1
σ xy (t ) = ∑ [C xyl exp( jω xyl t ) + Dxyl exp(− jω xyl t )]
r
,
(23)
l =1
gdzie:
1
1
Axk +
Bxk , Dxk = C xk*
2
2j
.
1
1
*
= Axyl +
Bxyl , Dxyl = C xyl
2
2j
C xk =
C xyl
(24)
Oznaczając
− ω xk = ω− xk
, − ω xyl = ω− xyl ,
otrzymuje się z (23)
σ x (t ) =
p
∑G
k =− p
xk
exp( jω xk t )
σ xy (t ) = ∑ Gxyl exp( jω xyl t )
r
,
(25)
l =− r
gdzie:
Gxk = C xk dla k = 1,2,..., p
Gxk = Dxk dla k = −1,−2,...,− p
Gxyl = C xyl dla l = 1,2,..., r
Gxyl = Dxyl dla l = −1,−2,...,− r
74
Zeszyty Naukowe AMW
Współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów przy losowym zginaniu i skręcaniu
Funkcje autokorelacji naprężeń (25) wyrażają się następująco:
p
⎧ p
⎫
K x (t1 , t 2 ) = E ⎨ ∑ Gxk* exp(− jω xk t1 ) ∑ Gxm exp( jω xmt 2 )⎬ =
m=− p
⎩k = − p
⎭
=
∑ ∑ E{G
p
p
k =− p m=− p
*
xk
}
Gxm exp[ j (ω xmt 2 − ω xk t1 )]
⎧
⎫
*
K xy (t1 , t 2 ) = E ⎨ ∑ Gxyl
exp(− jω xyl t1 )∑ Gxyn exp( jω xynt 2 )⎬ =
n =− r
⎩l =− r
⎭
r
r
=∑
.
(26)
r
∑ E{G
r
l =− r n =− r
*
xyl
} [
]
Gxyn exp j (ω xynt 2 − ω xyl t1 )
Na podstawie założeń i relacji (24) zachodzą związki:
{
*
xk
E G Gxm
{
}
*
E Gxyl
Gxyn
( { } { })
1
⎧
2
2
⎪ H xk dla k = m , H xk = E Axk + E Bxk
=⎨
4
⎪⎩0 dla k ≠ m
.
1
⎧
2
2
⎪ H dla l = n , H xyl = E Axyl + E Bxyl
= ⎨ xyl
4
⎪⎩0 dla l ≠ n
( { } { })
}
(27)
Stąd
K x (τ ) =
p
∑H
k =− p
xk
exp( jω xkτ )
K xy (τ ) = ∑ H xyl exp( jω xylτ )
r
.
(28)
l =− r
Poddając funkcje (28) transformacji Fouriera, otrzymuje się gęstości widmowe mocy naprężeń składowych:
S x (ω ) =
p
∑ H δ (ω − ω )
k =− p
xk
xk
S xy (ω ) = ∑ H xylδ (ω − ω xyl )
r
.
(29)
l =− r
1 (184) 2011
75
Janusz Kolenda
Zatem
∞
p
p
−∞
k =− p
k =1
∞
r
∫ S x (ω )dω = 2 ∑ H xk = 4∑ H xk
∫ S (ω )dω = 2 ∑ H
xy
l =− r
−∞
r
xyl
,
(30)
.
(31)
= 4∑ H xyl
l =1
czyli z uwzględnieniem oznaczeń H xk i H xyl w (27)
∞
p
−∞
k =1
∞
r
( { } { })
2
2
∫ S x (ω )dω = ∑ E Axk + E Bxk
∫ S (ω )dω = ∑ (E{A }+ E{B })
xy
−∞
2
xyl
l =1
2
xyl
Oznacza to, że rozwiązanie postawionego zadania sprowadza się do podstawienia do wzoru (21) następujących wartości oczekiwanych cząstkowych współczynników bezpieczeństwa zmęczeniowego wału:
E{δ x } =
Z go
1/ 2
p
⎤
Bx ⎡
0
,
5
π
E Axk2 + E Bxk2 ⎥ + ψ x E{σ xm }
∑
⎢
εx ⎣
k =1
⎦
.
Z so
E {δ xy } =
1/ 2
r
Bxy ⎡
⎤
2
2
0,5π ∑ E Axyl + E Bxyl ⎥ + ψ xy E{σ xym }
ε xy ⎢⎣
l =1
⎦
( { } { })
(32)
( { } { })
WNIOSKI
Projektowanie wałów napędowych i pośrednich w układach maszynowych
jest zadaniem odpowiedzialnym, mającym istotny wpływ na trwałość i niezawodność układu. Stąd wynika duże znaczenie obliczeń mających na celu ocenę wartości
współczynnika bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów. Podobnie jak ocena współczynnika bezpieczeństwa zmęczeniowego w najbardziej obciążonych elementach
czy węzłach układu powinna ona wchodzić w zakres obliczeń sprawdzających
układ. W odniesieniu do elementów pracujących w złożonym stanie naprężenia
76
Zeszyty Naukowe AMW
Współczynnik bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów przy losowym zginaniu i skręcaniu
o zdeterminowanych składowych normalnych i tnących służy temu wzór (1). Niniejszy artykuł jest próbą rozszerzenia zakresu zastosowań tego wzoru na stacjonarne
obciążenia losowe. Jak ukazano w przykładzie, może on w szczególności służyć do
oceny bezpieczeństwa zmęczeniowego wałów w stosunkowo obszernej klasie układów maszynowych, gdzie obciążenia wykazują losowe fluktuacje i naprężenia są
okresowe w sensie średniokwadratowym.
BIBLIOGRAFIA
[1]
Dąbrowski Z., Maksymiuk M., Wały i osie, PWN, Warszawa 1984.
[2]
Kocańda S., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN, Warszawa
1997.
[3]
Kolenda J., On fatigue safety of metallic elements under static and dynamic
loads, Politechnika Gdańska, Gdańsk 2004.
[4]
Kolenda J., O wyznaczaniu warstwic bezpieczeństwa zmęczeniowego elementów
konstrukcyjnych przy jednoosiowych obciążeniach stochastycznych, „Zeszyty
Naukowe” AMW, 2010, nr 1.
[5]
Kyzioł L., Podstawy konstrukcji maszyn, cz. II, AMW, Gdynia 2008.
[6]
Pacut A., Prawdopodobieństwo. Teoria. Probabilistyczne modelowanie w technice, PWN, Warszawa 1985.
COEFFICIENT OF FATIGUE SAFETY
OF SHAFTS UNDER RANDOM BENDING
AND TORSION
ABSTRACT
The paper deals with fatigue safety of shafts subjected to simultaneous bending and torsional loads of random character, stationary in the wide sense. It is assumed that the resulting
normal and shear stresses are not correlated with each other, and that their mean values and power
spectral densities are known. Consequently, both these stresses can be considered separately
and the known formula for the coefficient of fatigue safety of shafts based on the calculations
1 (184) 2011
77
Janusz Kolenda
of partial coefficients of fatigue safety under bending and torsion can be applied. For this purpose
equivalent normal and shear stresses as Gaussian processes and expected values of the partial
coefficients of fatigue safety are determined. Exemplary calculations are carried out.
Keywords:
shafts, random loads, fatigue strength.
Recenzent dr hab. inż. Janusz Kozak
78
Zeszyty Naukowe AMW