Elektrotechnika II [ Ćwiczenia ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II
Lp
Nazwisko i imię
1
109998
2
109999
3
97574
4
[ Ćwiczenia ] 2016/2017 Zimowy
Pkt
Kol
Suma
Popr
17
Ocena
Data
Egzamin
Db +
Db +
Dst
Dst
7
Dst -
Dst+
97581
10
Dst
Db
5
99555
2
Dst -
Dst -
6
97595
14
Db
Db
7
110000
18
Db +
Db +
8
110001
20
Bdb
Bdb
9
97600
11
Dst +
Db
10
69253
17
Db +
Bdb
11
110002
Dst
Dst
12
110003
Dst
Dst
13
110004
Dst
Dst
14
96589
8
Dst
Dst
15
85732
8
Dst
Db
16
89029
7
Dst -
Dst +
17
85737
14
Db
Db
18
100624
12/17
Db +
Bdb
19
100627
18
Db +
Bdb
20
99585
20
Bdb
Bdb
21
97627
9
Dst
Dst -
22
110005
23
110006
23
Bdb
Bdb
24
96929
10
Dst
Dst
25
99596
5
Dst -
Dst
+6
Np
+3
26
Osoby, które uzyskały pełną średnią 3,5 też są zwolnione z egzaminu. W razie nieusprawiedliwionej
nieobecności na ostatnich zajęciach (od 9:30) ocena z egzaminu będzie obniżona.
Zaliczenie: 8-10 pkt Dst; 11-13 pkt Dst+; 14-16 pkt Db; 17-19 pkt Db+; 20+ pkt Bdb;
Kolokwium za 25 pkt, dodatkowo punkty za zadania domowe i punkty za aktywność.
Termin kolokwium: 15.1.2017 o godz. 10:30. Sala 8 (2.1)
Termin egzaminu 29.1.2017 od godz. 8:00 do godz. 9:30. Studenci, którzy zaliczą ćwiczenia i laboratorium
na średnią 3,5 lub więcej są zwolnieni z egzaminu (ewentualne oceny są wpisane kolorem czerwonym)
pod warunkiem obecności na dalszej części zajęć w dniu 29.1 t.j. od godz. 9:40 do 13:00.
W przypadku zauważenia błędów w zadaniach kursu proszę zgłaszać mailowo - oczywiście to jest aktywność punktowana.
Proszę zarejestrować się na platformie e-learningowej Moodle ( moodle.utp.edu.pl ) i wg podanych kluczy dla grup wejść do kursu Statystyka Elektrotechnika II stopień. Termin: 6.10.2016
Proszę wydrukować ze strony tablice rozkładów: normalny, t-Studenta, chi-kwardat i Poissona i mieć je
na wszystkich zajęciach.
Przykładowe zadania na kolokwium - Laboratorium:
Zadanie 1. Zmienne losowe dyskretne
a)Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X przyjmującej wartości:
1, 2, 4, 6, 7.
b)Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X:
xi
1
2
3
4
5
pi
2
5
1
10
1
5
1
5
1
10
Zadanie 2: Dany jest rozkład:
Czas na 100 m Liczba osób
10-14
7
14-18
11
18-20
42
20-24
23
24-28
17
Obliczyć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
Zadanie 3: Dany jest rozkład:
Xi 14 18 22
26
30
32
33
36
40
42
pi 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,12 0,03 0,15 0,1 0,2
Obliczyć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
Zadanie 4. Badano wartość natężenia prądu i otrzymano dla losowej próby n=10 pomiarów następujące
wartości:
yi
4,8 4,3 3,4 3,5 4,8 3,0 3,2 3,5 4,0 4,5
Obliczyć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe natężenia prądu.
Zadanie 5: Takie jak zadania 5,6,7 i 8 Na zaliczenie Ćwiczeń, ale trzeba będzie obliczyć parametry z
tabelki rozkładu.
Zadanie 6: Dokonano pomiarów liczby spóźnień do pracy w ciągu kwartału u 100 osób i otrzymano
następujący rozkład:
Liczba spóźnień
Liczba osób
0
10
1
13
2
27
3
32
4
12
5
6
Na poziomie istotność α=0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład ten jest rozkładem Poissona.
Wcześniej obliczyć λ = E(X).
Zadanie 7: Dokonano 300 pomiarów czasu świecenia żarówek (w dniach) i otrzymano następujący rozkład:
Czas świecenia
Liczba sztuk
100 - 120
25
120 - 140
36
140 - 160
76
160 - 180
74
180 - 200
48
200 - 220
29
220 - 240
12
Na poziomie istotność α=0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład długości świecenia żarówek jest normalny.
Wcześniej obliczyć E(X) i D(X).
Zadanie 8 Zmienne losowe dyskretne 2-wymiarowe.
a)Obliczyć współczynnik korelacji dla zmiennej losowej (X,Y) o rozkładzie :
X \Y
0
1
2
1
0,2
0
0
2
0,1 0,2 0,1
3
0,1 0,1 0,2
b)Obliczyć współczynnik korelacji dla zmiennej losowej (X,Y) o rozkładzie :
X \Y
1
2
3
4
1
0,2
0
0
0
2
0,1 0,1 0,1
3
0,1 0,1 0,2 0,1
0
Zadanie 9: Badając zależność pomiędzy wielkością produkcji X pewnego wyrobu a zużyciem Y pewnego
surowca zużywanego w procesie produkcji tego wyrobu otrzymano dla losowej próby n=7 obserwacji
następujące wyniki (xi w tys. sztuk, yi w tonach):
xi
2
9
12
yi
13 15 14 15 14 16
17
3
4
5
8
Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę o braku korelacji między wielkością produkcji a
zużyciem surowca.
Zadanie 10. Badając zależność pomiędzy wielkością produkcji X pewnego wyrobu a ceną tego wyrobu
otrzymano dla losowej próby n=10 obserwacji następujące wyniki (xi w tys. sztuk, yi w tonach):
xi
1
yi
31 30 26 24
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18 17 16 15 12 10
Przedstawić na wykresie prostą regresji (linię trendu) wraz z jej równaniem.
Przykładowe zadania na kolokwium - Ćwiczenia:
Zadanie 1. Prawdopodobieństwo
a)Losujemy trzy liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będą to
liczby 4, 6 oraz 8.
b)Rzucamy 3 razy kostką. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie większa niż 16.
c)Jest 5 miejsc parkingowych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwa samochody zaparkują obok siebie.
d)W urnie jest 6 kul białych i 5 kul czarnych. Losujemy 4 kule. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będą
2 kule białe i 2 kule czarne?
Zadanie 2. Zmienne losowe ciągłe:
a)Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem f (x) =



0,
dla x < 1


2
,
x2
dla x > 1
Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
b)Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest wzorem
f (x) =



3
16
· x2 , dla |x| < 2
0,
dla |x| > 2
Znaleźć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.


c)Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ma wartość x dane jest wzorem
f (x) =



1
4
sin( x2 ), dla x ∈< 0, 2π >
0, dla x ∈<
/ 0, 2π >
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ma wartość większą niż 43 π.


Zadanie 3. Tablice rozkładów:
a)Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(320,2). Odczytać z tablic dystrybuanty standaryzowanego
rozkładu normalnego prawdopodobieństwo, że zmienna X nie przekroczy wartości 21,2.
b)Dla jakiej wartości tα zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta z 10 stopniami swobody zachodzi
równość: - P (|t| > tα ) = 0, 01
- P (t > tα ) = 0, 01.
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Obliczyć: c) P (X = 2), b)P (X 6 2).
Zadanie 4. Twierdzenie Lindeberga-Levy’ego:
a)64% Polaków uważa, że Prezydent nie jest samodzielny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 1000
wybranych losowo ludzi takiego zdania będzie ponad 600 osób.
b)Potrzebujemy 100 dobrych elementów do budowy urządzenia - inaczej urządzenie nie działa. Prawdopodobieństwo, że element zakupiony będzie dobry wynosi 90%. Ile należy kupić elementów aby z
prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 95% przedsięwzięcie się udało?
Zadanie 5. Przedział ufności dla średniej:
a)Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (m, σ).
W celu oszacowania nieznanej średniej m wytrzymałości tego materiału dokonano pomiarów wytrzymałości na wylosowanych niezależnie n = 120 sztukach tego materiału. Wyniki pomiarów były następujące:
średnia 21 ( kG/cm2 ) oraz odchylenie standardowe 0,4. Przyjmując współczynnik ufności 1 − α =0,99,
zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości m tego materiału.
Zadanie 6. Test dla średniej:
a)Napięcie nominalne powinno wynosić 220 V. Wiadomo, że rozkład napięcia jest normalny. Kontrola
techniczna pobrała w pewnym dniu próbę losową 20 wartości napięcia i otrzymała ich średnią 240 V
oraz odchylenie standardowe σ = 8 V . Czy można twierdzić, że napięcie jest istotnie większe niż nominalne? Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować odpowiednią hipotezę statystyczną.
Zadanie 7. Test dla dwóch średnich:
a)Pragniemy stwierdzić, czy słuszne jest mniemanie, że II zmiana pracuje mniej wydajnie niż I zmiana.
W tym celu wylosowano niezależnie próbę n1 =50 pracowników I zmiany i otrzymano z niej średnią
produkcję x1 =28 sztuk oraz wariancję s21 =16. Z II zmiany wylosowano niezależnie n2 =60 pracowników i
otrzymano dla nich średnią średnią produkcję x2 =26 sztuk oraz wariancję s22 =25. Na poziomie istotności
α=0,01 należy sprawdzić hipotezę, że II zmiana pracuje mniej wydajnie niż I zmiana
Zadanie 8. Test dla wariancji:
a)Dokonano 14 pomiarów woltomierzem pewnego napięcia prądu i otrzymano z tej próby m = 210 V
oraz ŝ2 = 2, 2V 2 . Należy na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić hipotezę, że wariancja pomiarów
napięcia tym woltomierzem wynosi 2V 2 .
Zadanie 9. Test dla korelacji:
a)Spośród studentów Elektrotechniki wylosowano niezależnie 11 studentów i sprawdzono dla nich oceny
z matematyki w I semestrze oraz oceny uzyskane ze statystyki na IV roku studiów. Korelacja tych ocen
wynosi r=0,8. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że istnieje korelacja między tymi
ocenami.
Zadanie 10. Zmienne losowe ciągłe 2-wymiarowe:
a)Zmiennalosowej (X,Y) ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem:


f (x, y) = 
3 2
x,
14
dla (x, y) ∈< 1, 2 > × < 0, 2 >
0 , dla (x, y) ∈<
/ 1, 2 > × < 0, 2 >
Znaleźć rozkłady brzegowe oraz prawdopodobieństwo P {1 6 X 6 1, 4; 0, 6 6 Y 6 11, 4}

b)Dla jakiej
 wartości A funkcja:
f (x, y) =


A · (x + y), dla (x, y) ∈< 0, 1 > × < 0, 2 >
0 , dla (x, y) ∈<
/ 0, 1 > × < 0, 2 >
jest gęstością prawdopodobieństwa?


Zadanie 11.∗ Zmienne losowe ciągłe 2-wymiarowe:
a) Obliczyć współczynnik korelacji dla zmiennej losowej (X,Y) gdzie gęstość prawdopodobieństwa dana
jest wzorem:

f (x, y) =




y
,
2
dla (x, y) ∈< 1, 2 > × < 0, 2 >
0 , dla (x, y) ∈<
/ 1, 2 > × < 0, 2 >
b)Obliczyć współczynnik korelacji dla zmiennej losowej (X,Y) gdzie gęstość prawdopodobieństwa dana
jest wzorem:

f (x, y) =




2x · cos(y), dla (x, y) ∈< 0, 1 > × < 0, π2 >
0 , dla (x, y) ∈<
/ 0, 1 > × < 0, π2 >
c)Sprawdzić niezależność zmiennych losowych X i Y o rozkładzie jak w zadaniu a):