Zasada zachowania pędu

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
6. Zasada zachowania pędu
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PĘD CIAŁA
 Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania mechanicznego
innych ciał na dane ciało.
 Energia to skalarna wielkość opisująca ruch.
(zalety i wady opisu skalarnego)
DEFINICJA:
 Pęd to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej:


p  mv
 Siła może być teraz zdefiniowana jako zmiana pędu w czasie:
 dp
F
dt
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
Zasady dynamiki Newtona
II. Zasada:
Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na
 
to ciało;
dp
 Fwyp
dt
Dla ciał o stałej masie:
a stąd:

 Fwyp
a
m



dp d mv 
dv


 m  ma
dt
dt
dt
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
 Historycznie: zasadę zachowania pędu można wyprowadzić z II i III zasady
dynamiki Newtona (podobnie jak zasadę zachowania energii) – jakkolwiek
można postąpić dokładnie odwrotnie…
 W rzeczywistości można wyprowadzić zarówno zasady Newtona jak i zasady
zachowania energii i pędu z praw jednorodności przestrzeni i czasu.
 Prawo jednorodności przestrzeni mówi, że wszystkie prawa fizyki są takie same
we wszystkich położeniach w przestrzeni.
 Prawo jednorodności czasu znaczy, że prawa fizyki nie zmieniają się w czasie (a
w konsekwencji: żadna stała fizyczna nie zmienia swej wartości w czasie).
 Pojęcie układu odosobnionego (zamkniętego, izolowanego): jest to układ, na
który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w
obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
 Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach m1, m2,...,mn.
Ciała te mają prędkości v1,v2,...,vn. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała
działają na siebie jako: Fik – siła, jaką ciało k-te działa na ciało i-te.
Z II zasady dynamiki Newtona:



d

m1v1   F12  F13  ...  F1n
dt



d

m2v2   F21  F23  ...  F2 n
dt




d
mnvn   Fn1  Fn 2  ...  Fn( n1)
dt
Dodając stronami powyższe równania:




d

mi vi   F12  F21   ...  Fn1n  Fnn1 

i 1 dt
n
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU




d

mi vi   F12  F21   ...  Fn1n  Fnn1 

i 1 dt
n
 Z III zasady dynamiki Newtona mamy:


Fik   Fki
 Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy:
n
d
d n


mi vi    mi vi   0

dt i 1
i 1 dt
 Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:
n
 n 

p    pi    mi vi 
i 1
i 1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
 Ostatecznie, otrzymujemy:
czyli:

p  const

dp
0
dt
Zasada zachowania pędu:
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z
upływem czasu.
ZA MAŁO!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
 Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły
zewnętrznej a dokładniej: układ sił zewnętrznych, których
wypadkową jest Fwyp, zewn .
Wtedy:
 
dp
 Fwyp , zewn
dt
Zmiana pędu układu jest równa wypadkowej
sił zewnętrznych, działających na układ.
(Ale to nie jest formalnie zasada zachowania pędu, tylko zależność między siłami i
pędami, która pozwala „coś” policzyć, w zależności od potrzeb – porównaj z
twierdzeniem o pracy i energii).
 Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa
się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.
(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE
 Rakieta kosmiczna: masa paliwa to większość masy całej rakiety,
stąd konieczność uwzględnienia zmiany masy ciała w czasie ruchu!
 Zastosujmy zasadę zachowania pędu do układu rakieta-spalane
paliwo:
muv  dmuu  mu  dmu v  dv 
pęd rakiety „przed” = pęd gazów „po”+ pęd rakiety „po”
UWAGA: dmu jest ujemne…
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE
mu v  dmuu  mu  dmu v  dv 
 Wprowadźmy prędkość względną rakiety i spalin vwzgl:
(vwzgl jest dodatnie, bo to prędkość rakiety względem spalin, ale u ma różny znak,
bo to bezwzględna predkośc spalin wobec Ziemi!)
 Wtedy:
v  dv   u  vwzgl
 dmu vwzgl  mu dv
dmu
dv

vwzgl  mu
dt
dt
Siła ciągu rakiety = zmiana jej pędu
dmu
R
0
dt
Szybkość spalania
paliwa
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE
 Policzmy prędkość rakiety (równanie różniczkowe!):
 dmu vwzgl  mu dv
dmu
dv  vwzgl
mu
vkonc
mu konc
v pocz
mu pocz
 dv  vwzgl
vkonc  v pocz  vwzgl ln
dmu
dv

vwzgl  mu
dt
dt
mupocz
mukonc

dmu
mu
 Im lepszy stosunek masy
początkowej do końcowej,
tym większa prędkość =
rakiety wielostopniowe.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZDERZENIA
 Zderzeniem doskonale sprężystym nazywamy takie zderzenie, w wyniku
którego energia mechaniczna układu zderzających się ciał nie zamienia się w
inne rodzaje energii (np. cieplnej).
Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń sprężystych stosujemy zasadę
zachowania energii i zasadę zachowania pędu.
Zderzenie centralne:
wektory prędkości skierowane są wzdłuż jednej prostej.
m2
m1
v1
m2
m1
v2
m1v1  m2v2  m1u1  m2u2
u1
u2
m1v12 m2v22 m1u12 m2u22



2
2
2
2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
m1
m2
v1
v2
ZDERZENIA SPRĘŻYSTE
m1
m2
u1
 Rozwiązanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch ciał:
v1 m1  m2   2m2v2
u1 
m1  m2
v2 m2  m1   2m1v1
u2 
m1  m2
 Przypadki szczególne:
- obie kule mają jednakowe masy (m1=m2), wtedy:
u1  v2
u2  v1
(kule „zamieniają się” prędkościami);
a co, gdy druga kula stoi?
- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie większą masę (v2=0 i m2>>m1),
wtedy:
u1  v1
u2  0
(pierwsza, mniejsza kula odbija się od nieruchomej i porusza się w przeciwnym kierunku z
tą samą, co do wartości, prędkością).
u2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE
 Układ rozpraszający (dyssypacyjny) to taki układ, w którym energia
mechaniczna stopniowo zmniejsza się na wskutek jej przemiany w inne
(niemechaniczne) rodzaje energii (np. ciepło).
 Przykładem jest układ ciał podlegający zderzeniu doskonale
niesprężystemu – występuje w nim odkształcenie zderzających się ciał
powodujące, że po zderzeniu poruszają się one razem z tą sama
prędkością.
Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń niesprężystych stosujemy tylko
zasadę zachowania pędu.
m2
m2
m1
v1
m1
u
v2
m1v1  m2v2  m1  m2 u
Rozwiązanie:
m1v1  m2v2
u
m1  m2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE
 Różnica energii obu ciał po i przed zderzeniem:
m1m2
E  E2  E1  
v1  v2 2  0
2m1  m2 
Energia została rozproszona – wykonana została jej kosztem praca L,
potrzebna na:
- „złączenie się” ciał;
- zmianę ich kształtu (kucie metali!);
- przezwyciężanie oporów (np. wbijanie gwoździ młotkiem, pali kafarem).
W przypadku, gdy drugie ciało przed zderzeniem było w spoczynku (v2=0):
L  E 
m1m2
m2
2
v1 
Ek1
2m1  m2 
m1  m2
Stąd:
•zmiana kształtu -> m2 jak największe (duża część energii kinetycznej pierwszego ciała „zużyta” na pracę);
•„wbijanie” -> m1 jak największe (duża energia kinetyczna układu po zderzeniu).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZDERZENIA
 Zderzenia w dwóch wymiarach wymagają uwzględnienia faktu, że prędkość
jest wielkością wektorową:




m1v1  m2v2  m1u1  m2u2
m1v12 m2v22 m1u12 m2u22



2
2
2
2
m1v1  m1u1 cos 1  m2u2 cos 2
0  m1u1 sin 1  m2u2 sin 2
m1v12 m1u12 m2u22


2
2
2
v1  v1 pocz
u1  v1konc u2  v2konc