Tensory - WFiIS

Transkrypt

Tensory - WFiIS

Wektor i jego współrzędne
Tensory – drugiego rzędu
Tensory – mały niezbędnik
Andrzej Lenda
28 października 2013
Andrzej Lenda
Rozkład wektora V na współrzędne:
α = ∠(0x, V ), β = ∠(0y, V ), γ = ∠(0z, V ).
Andrzej Lenda
Andrzej Lenda
Rozkład wektora r, r = (x, y) na współrzędne w dwóch różnych
układach współrzędnych.
x0
y0
=
x cos θ
= −x sin θ
Andrzej Lenda
+ y sin θ
+ y cos θ.
Wektorem A nazywamy wielkość, której współrzędne Ax , Ay (w
układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według
A0x
A0y
=
Ax cos θ
= −Ax sin θ
+ Ay sin θ
+ Ay cos θ.
(A0x , A0y to współrzędne w układzie Σ0 , powstałym w wyniku obrotu Σ.)
Andrzej Lenda
A0x
A0y
=
Ax cos θ
= −Ax sin θ
+ Ay sin θ
+ Ay cos θ.
Ogólnie (3 wymiary):
A01
A02
A03
=
=
=
a11 A1 + a12 A2 + a13 A3
a21 A1 + a22 A2 + a23 A3
a31 A1 + a32 A2 + a33 A3 .
Andrzej Lenda
A0x
A0y
=
Ax cos θ
= −Ax sin θ
+ Ay sin θ
+ Ay cos θ.
A01
A02
A03
A0n
=
=
=
=
a11 A1 + a12 A2 + a13 A3
a21 A1 + a22 A2 + a23 A3
a31 A1 + a32 A2 + a33 A3 .
3
X
ank Ak ,
n = 1, 2, 3.
k=1
Andrzej Lenda
A0x
A0y
=
Ax cos θ
= −Ax sin θ
+ Ay sin θ
+ Ay cos θ.
A01
A02
A03
A0n
=
=
=
=
a11 A1 + a12 A2 + a13 A3
a21 A1 + a22 A2 + a23 A3
a31 A1 + a32 A2 + a33 A3 .
3
X
ank Ak ,
n = 1, 2, 3.
k=1
zapisujemy prościej:
Andrzej Lenda
A0n = ank Ak ,
n = 1, 2, 3.
Co to są współczynniki
Andrzej Lenda
ank ???
ank ???
A = e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
Andrzej Lenda
ank ???
A = e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
A = e0 1 A01 + e0 2 A02 + e0 3 A03
albo – w naszej notacji bez znaku sumy –
A = e0 n A0n = ek Ak
Andrzej Lenda
ank ???
A = e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
A = e0 1 A01 + e0 2 A02 + e0 3 A03
Wystarczy teraz pomnożyć obie strony przez ·e0 n
A0n = e0 n ·ek Ak ≡ ank Ak
Andrzej Lenda
stąd
ank ???
A = e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
A = e0 1 A01 + e0 2 A02 + e0 3 A03
stąd
ank = e0 n ·ek = cos ∠ (oś n w Σ0 , oś k w Σ)
Andrzej Lenda
ank ???
A = e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
A = e0 1 A01 + e0 2 A02 + e0 3 A03
stąd
Macierz a nk to macierz kosinusów kątów,
określających wzajemne zorientowanie osi obu wykładów
Andrzej Lenda
ank ???
A = e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
A = e0 1 A01 + e0 2 A02 + e0 3 A03
stąd
Macierz a nk to macierz kosinusów kątów,
określających wzajemne zorientowanie osi obu wykładów
Nieco uproszczona definicja tensora drugiego rzędu:
Andrzej Lenda
Tensorem drugiego rzędu T nazywamy wielkość, której 3 × 3 = 9
współrzędnych Tik (w układzie Σ) transformują się przy obrocie
układu o kąt θ według
0
Tik → Tmn
= ami ank Tik .
Pewne własności:
Andrzej Lenda
0
Tik → Tmn
= ami ank Tik .
Pewne własności:
Tensory symetryczne Sik = Ski – tylko sześć współrzędnych!!
Andrzej Lenda
0
Tik → Tmn
= ami ank Tik .
Pewne własności:
Tensory antysymetryczne Aik = −Aki – tylko trzy współrzędne!!
Andrzej Lenda
0
Tik → Tmn
= ami ank Tik .
Pewne własności:
Np. iloczyn wektorowy to nic innego jak antysymetryczny tensor 2.
rzędu!!
A × B = C;
Ci = ijk Aj Bk .
Andrzej Lenda
0
Tik → Tmn
= ami ank Tik .
Pewne własności:
Np. iloczyn wektorowy to nic innego jak antysymetryczny tensor 2.
rzędu!!
A × B = C;
Ci = ijk Aj Bk .
Tutaj
εijk =





0
+1




−1
i=j ∨ j=k ∨ i=k
(i, j, k) = P + (1, 2, 3) ,
(i, j, k) = P − (1, 2, 3)
Andrzej Lenda
Tensory drugiego rzędu w fizyce
. . . w dielektryku powstaje wektor polaryzacji elektrycznej P , który w
zdecydowanej większości materiałów jest proporcjonalny do pola
elektrycznego:
P = χE, Pi = χEi , i = 1, 2, 3,
gdzie χ to tzw. polaryzowalność elektryczna. Oba wektory mają wspólny
kierunek i zwrot, a stała materiałowa χ mówi tylko o „skuteczności”
uporządkowania dipoli.
Andrzej Lenda
elektrycznego:
P = χE, Pi = χEi , i = 1, 2, 3,
W dielektrykach anizotropowych mamy bardziej skomplikowane
P1 = χ11 E1 + χ12 E2 + χ13 E3 ,
P2 = χ21 E1 + χ22 E2 + χ23 E3 ,
P3 = χ31 E1 + χ32 E2 + χ33 E3 .
Andrzej Lenda
elektrycznego:
P = χE, Pi = χEi , i = 1, 2, 3,
W dielektrykach anizotropowych mamy bardziej skomplikowane
P1 = χ11 E1 + χ12 E2 + χ13 E3 ,
P2 = χ21 E1 + χ22 E2 + χ23 E3 ,
P3 = χ31 E1 + χ32 E2 + χ33 E3 .
Fizycznie oznacza to, że natężenie wektora polaryzacji w kierunku osi 0x
(P 1 ) zależy nie tylko od x-owej składowej natężenia pola elektrycznego
(E 1 ), ale również od składowych tego pola w kierunku osi 0y i 0z
(E 2 i E 3 ). Matematycznie – zastąpienie jednej stałej materiałowej,
polaryzowalności χ, dziewięcioma liczbami χik oznacza, że charakter tej
stałej jest już inny. Nie jest już ona skalarem, ale tensorem drugiego
rzędu.
Andrzej Lenda
Tensor momentu bezwładności
Ciało sztywne: układ mas (mi ), odległych o (ri ) od osi obrotu; każda z
mas porusza się z prędkością
Andrzej Lenda
v i = ω × r i , ω – prędkość kątowa c. s.
Andrzej Lenda
Całkowity moment pędu
L=
n
X
i=1
mi r i × v i =
n
X
mi [r i × (ω × r i )] =
i=1
n
X
mi [ωri2 − r i (ω · r i )].
i=1
Andrzej Lenda
Całkowity moment pędu
L=
n
X
mi r i × v i =
i=1
n
X
mi [r i × (ω × r i )] =
i=1
Lx
=
Ly
=
Lz
=
n
X
mi [ωri2 − r i (ω · r i )].
i=1
n
X



− xi (ω · r i )] 




i=1



n

X
2
mi [ωy ri − yi (ω · r i )]


i=1



n

X


2
mi [ωz ri − zi (ω · r i )]. 


mi [ωx ri2
i=1
Andrzej Lenda
Wprowadzamy

Bxx
B ≡  Byx
Bzx
Bxy
Byy
Bzy

Bxz
Byz 
Bzz
Andrzej Lenda
Wprowadzamy
Bxx
Byy

Bxx
B ≡  Byx
Bzx
Bxy
Byy
Bzy

Bzz
Bxz
Byz 
Bzz
Bxy = Byx
n
X




=
+




i=1



n

X


2
2
=
mi [xi + zi ], 




i=1



n

X


2
2
=
mi [xi + yi ], 



mi [yi2
zi2 ],
i=1
= −
n
X
mi xi yi ,
i=1
Byz = Bzy
Bzx = Bxz
= −
= −
n
X
i=1
n
X
i=1
Andrzej Lenda
mi yi zi ,
mi zi xi .




























Związek pomiędzy momentem pędu a momentem bezwładności
zapiszemy teraz


 

Bxx Bxy Bxz
ωx
Lx
 Byx Byy Byz   ωy  =  Ly  .
Bzx Bzy Bzz
ωz
Lz
Bxx , Byy , Bzz – momenty bezwładności względem głównych osi (osi
układu kartezjańskiego); Bxz = Bzx ; Bzy = Byz , . . . – momenty dewiacji.
Andrzej Lenda
Związek pomiędzy momentem pędu a momentem bezwładności
zapiszemy teraz


 

Bxx Bxy Bxz
ωx
Lx
 Byx Byy Byz   ωy  =  Ly  .
Bzx Bzy Bzz
ωz
Lz
Bxx , Byy , Bzz – momenty bezwładności względem głównych osi (osi
układu kartezjańskiego); Bxz = Bzx ; Bzy = Byz , . . . – momenty dewiacji.
Tensor bezwładności jest tensorem symetrycznym, a
osi własnych, w którym


 
Bxx
0
0
ωx
 0
  ωy  = 
Byy
0
0
Bzz
ωz
więc istnieje układ

Lx
Ly  ,
Lz
.
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Tensor – na przykład – czwartego rzędu: 34 = 81 liczb (współrzędnych)
Vijkl
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Vijkl
0
Vijkl → Vmnpq
= ami anj apk aql Vijkl
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Vijkl
0
Vijkl → Vmnpq
Kontrakcja względem dwóch (np. pierwszych) wskaźników to
Viikl = V11kl + V22kl + V33kl ≡ Ukl
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Vijkl
0
Vijkl → Vmnpq
– tensor drugiego rzędu.
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Vijkl
0
Vijkl → Vmnpq
– tensor drugiego rzędu. Kontrakcja obniża więc rząd tensora o 2;
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Vijkl
0
Vijkl → Vmnpq
– tensor drugiego rzędu. Kontrakcja obniża więc rząd tensora o 2; na
przykład ślad tensora – suma składowych diagonalnych – tensora 2. rzędu
Tii = T11 + T22 + T33 = skalar
Andrzej Lenda
Kontrakcja tensora
Vijkl
0
Vijkl → Vmnpq
– tensor drugiego rzędu. Kontrakcja obniża więc rząd tensora o 2; na
przykład ślad tensora – suma składowych diagonalnych – tensora 2. rzędu
Tii = T11 + T22 + T33 = skalar
albo
ai bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = a · b.
(zauważ ai bi to kontrakcja tensora drugiego rzędu ai bk .)
Andrzej Lenda
Operatory Różniczkowe i Tensory
Okazuje się, że operator pochodnej cząstkowej
∇i =
∂
∂xi
formalnie jest też tensorem pierwszego rzędu.
Wynika stąd
Andrzej Lenda
∇i =
∂
∂xi
Wynika stąd
∂a1
∂a2
∂a3
∂ai
=
+
+
= diva
∂xi
∂x1
∂x2
∂x3
Andrzej Lenda
∇i =
∂
∂xi
Wynika stąd
∂a1
∂a2
∂a3
∂ai
=
+
+
= diva
∂xi
∂x1
∂x2
∂x3
jest skalarem (o czym zawsze wiedzieliśmy)
Andrzej Lenda
∇i =
∂
∂xi
Wynika stąd
∂a1
∂a2
∂a3
∂ai
=
+
+
= diva
∂xi
∂x1
∂x2
∂x3
Tw. Ostrogradskiego-Gaussa
I
I
Z
Z
∂ak
a · dσ =
ak dσk =
diva dV =
dV
∂x
k
Σ
Σ
V
V
Formalnie więc mamy przyporządkowanie
Z
I
∂
(1)
{. . .}dV → {. . .}dσk
V ∂xk
Σ
Andrzej Lenda
∇i =
∂
∂xi
Wynika stąd
∂a1
∂a2
∂a3
∂ai
=
+
+
= diva
∂xi
∂x1
∂x2
∂x3
Tw. Ostrogradskiego-Gaussa
I
I
Z
Z
∂ak
a · dσ =
ak dσk =
diva dV =
dV
∂x
k
Σ
Σ
V
V
Formalnie więc mamy przyporządkowanie
Z
I
∂
(1)
{. . .}dV → {. . .}dσk
V ∂xk
Σ
czyli całka objętościowa ze skalara będącego dywergencją wektora może
być zastąpiona całką powierzchniową z wektora.
Andrzej Lenda
a całka całka objętościowa z wektora ??
Andrzej Lenda
a całka całka objętościowa z wektora ?? może być zastąpiona całką
powierzchniową z tensora drugiego rzędu.
Andrzej Lenda
powierzchniową z tensora drugiego rzędu. Spróbujmy to sprawdzić.
Całka objętościowa z wektora (konkretnie: jego i-tej składowej
(współrzędnej) niech będzie miała postać
Z
Fi dV
V
Andrzej Lenda
Z
Fi dV
V
Jeżeli
Fi ≡
∂τik
∂τi1
∂τi2
∂τi3
=
+
+
∂xk
∂x1
∂x2
∂x3
∂τik
to tensor trzeciego
∂xl
rzędu, poddany zwężeniu – daje to tensor 3 − 2 = 1. rzędu, wektor.
– tzn. siła jest dywergencją tensora — zauważ
Andrzej Lenda
Z
Fi dV
V
Jeżeli
Fi ≡
∂τik
∂τi1
∂τi2
∂τi3
=
+
+
∂xk
∂x1
∂x2
∂x3
∂τik
to tensor trzeciego
∂xl
rzędu, poddany zwężeniu – daje to tensor 3 − 2 = 1. rzędu, wektor.
Z równania (1)
I
Z
Z
∂τik
Fi dV =
dV =
τik dσk .
V
V ∂xk
Σ
– tzn. siła jest dywergencją tensora — zauważ
Andrzej Lenda
Dodatkowa literatura
“MMF – algebra liniowa; elementy rachunku tensorowego”, A.L
http://www.ftj.agh.edu.pl/%7Elenda/mmf1.html
Każdy sensowny podręcznik, polecam: Arfken, Mathematical
Methods For Physicists, jest w naszej bibliotece WFiIS.
Andrzej Lenda
Równania hydrodynamiki – krótkie wprowadzenie
Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach)
traktujemy „makroskopowo” – płyn jest ośrodkiem ciągłym. Do opisu
formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych
przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech)
parametrów stanu – np. ciśnienia p i gęstości ρ.
Andrzej Lenda
Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i
powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego
elementu to
(2)
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
Andrzej Lenda
Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i
powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego
elementu to
(2)
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
Warto zauważyć, że siły objętościowe (F obj ) są proporcjonalne do
objętości elementu, a więc do drugiej potęgi jego charakterystycznego
wymiaru (L3 ), a siły powierzchniowe do powierzchni (L2 ). Przy L → 0
dominują więc te drugie.
Andrzej Lenda
Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące
pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno
dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i
zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ).
Andrzej Lenda
Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące
pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno
dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i
zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ).
Tak jak widzieliśmy – reguły rachunku tensorowego wymagają aby
(3)
Fi ≡
∂τik
∂τi1
∂τi2
∂τi3
=
+
+
.
∂xk
∂x1
∂x2
∂x3
Przy tak określonej i-tej składowej siły możemy zastosować twierdzenie
O-G w postaci tensorowej
Z
Z
I
∂τik
(4)
Fi dV =
dV =
τik dσk .
V
V ∂xk
Σ
Wyrażenie pod całką powierzchniową
τik dσk ≡ τi1 dσ1 + τi2 dσ2 + τi3 dσ3
to „iloczyn skalarny” składowych tensora τik (pierwszy wskaźnik
ustalony) i wektora dσ = (dσ1 , dσ2 , dσ3 ) – skierowanego elementu
powierzchni całkowania Σ.
Andrzej Lenda
Interpretacja τik
Z formalnych dezyderatów – zapisania siły powierzchniowej w postaci
całki po powierzchni – pojawia się „potrzeba istnienia” tensora τik .
Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym
powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych
ośrodków ciągłych. Z równania (4) wynika jego prosta interpretacja –
τik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni,
prostopadły do osi k.
Andrzej Lenda
Interpretacja τik
Tensor ten musi być tensorem symetrycznym.
Andrzej Lenda
Interpretacja τik
Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę
powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej całki.
Andrzej Lenda
Interpretacja τik
Ml = lki xk Fi
Andrzej Lenda
Interpretacja τik
Ml = lki xk Fi
Oczekujemy, że składowa l (gdzie l 6= i, l 6= k, i 6= k momentu siły
powinna dać się zapisać w postaci całki
Z
Z ∂τil
∂τkl
(Fi xk − Fk xi )dV =
xk −
xi dV.
∂xl
∂xl
V
V
Andrzej Lenda
Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części)
Z
Z ∂τkl
∂
∂τil
xk −
xi dV =
[τil xk − τkl xi ] dV
∂x
∂x
∂x
l
l
l
V
V
Z ∂xi
∂xk
− τkl
dV.
−
τil
∂xl
∂xl
V
Andrzej Lenda
Z
Z ∂τkl
∂
∂τil
xk −
xi dV =
∂x
∂x
∂x
l
l
l
V
V
Z ∂xi
∂xk
− τkl
dV.
−
τil
∂xl
∂xl
V
Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji – a więc można ja
przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to
Z Z
Z
∂xk
∂xi
τil
− τkl
dV =
(τil δkl − τkl δil ) dV =
(τik −τki )dV.
∂xl
∂xl
V
V
V
Andrzej Lenda
Z
Z ∂τkl
∂
∂τil
xk −
xi dV =
∂x
∂x
∂x
l
l
l
V
V
Z ∂xi
∂xk
− τkl
dV.
−
τil
∂xl
∂xl
V
Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji – a więc można ja
przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to
Z Z
Z
∂xk
∂xi
τil
− τkl
dV =
(τil δkl − τkl δil ) dV =
(τik −τki )dV.
∂xl
∂xl
V
V
V
Aby moment siły dał się przedstawić w postaci wyłącznie całki
powierzchniowej tensor τik musi być tensorem symetrycznym. Zawsze
może być on przedstawiony w odpowiednim układzie – układzie osi
własnych – w którym tylko diagonalne składowe są różne od zera, a
składowe poza przekątną główną znikają. Suma składowych diagonalnych
jest to tzw. ślad tensora
τii ≡ τ11 + τ22 + τ33
– skalarna wielkość, będąca niezmienikiem transformacji.
Andrzej Lenda
Tensor τik a hydrostatyka
Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez
ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z
prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi
własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one siły działające na
jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy
(5)
τ11 = τ22 = τ33 =
1
τii = −p
3
(ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku –
skierowanego na zewnątrz – wektora dσ).
Andrzej Lenda
Tensor τik a hydrostatyka
Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez
ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z
prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi
własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one siły działające na
jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy
(5)
τ11 = τ22 = τ33 =
1
τii = −p
3
(ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku –
skierowanego na zewnątrz – wektora dσ).
Przypadek ogólny; składowe ścinania
W przypadku, kiedy ma czynienia z ruchem względnym warstw płynu
tensor τik zapisujemy w postaci
(6)
τik = −pδik + dik .
Pierwszy składnik po prawej stronie to przyczynek od sił ciśnienia;
drugi – tensor dik związany jest właśnie z ruchem cieczy.
Andrzej Lenda
Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera,
to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica
prędkości.
Andrzej Lenda
prędkości.
Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x1 ),
możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w
∂u1
kierunku osi 0y (albo x2 ) i wyrażenie
będzie różne od zera.
∂x2
Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni)
d12 = d21 = µ
Andrzej Lenda
∂u1
,
∂x2
prędkości.
∂u1
∂x2
d12 = d21 = µ
∂u1
,
∂x2
gdzie współczynnik µ jest „stałą materiałową” i zależy, w pierwszym
rzędzie, od rodzaju płynu.
Andrzej Lenda
prędkości.
∂u1
∂x2
d12 = d21 = µ
∂u1
,
∂x2
gdzie współczynnik µ jest „stałą materiałową” i zależy, w pierwszym
rzędzie, od rodzaju płynu.
Tensor dij jest oczywiście symetryczny, bo stanowi część symetrycznego
tensora τik ; symetria zresztą wynika z założenia o izotropowych
własnościach płynu.
Andrzej Lenda
Formalnie zapisujemy tensor dik w postaci nieco bardziej skomplikowanej
(7)
1
dik = 2µ(eik − δik ∆),
3
Andrzej Lenda
(7)
1
3
gdzie tensor eik
eik
1
=
2
∂ui
∂uk
+
∂xk
∂xi
to „naocznie symetryczny” tensor, w którym występują pierwsze
pochodne składowych wektora prędkości; natomiast
Andrzej Lenda
(7)
1
3
gdzie tensor eik
eik
1
=
2
∂ui
∂uk
+
∂xk
∂xi
(8)
∆=
∂ui
= div u = eii
∂xi
to ślad tego tensora (skalar).
Andrzej Lenda
(7)
1
3
gdzie tensor eik
eik
1
=
2
∂ui
∂uk
+
∂xk
∂xi
(8)
∆=
∂ui
= div u = eii
∂xi
to ślad tego tensora (skalar). Dodanie takiego (formalnie
przekształconego do wielkości tensorowej – mnożnik δik ) skalara niewiele
zmienia – określenie sił (pochodne tensora τik ) pozostaje bez zmian.
Natomiast tak określony tensor ma ślad (sumę składowych diagonalnych)
równy zeru – łatwo to sprawdzić, o ile uzmysłowimy sobie że ślad delty
Kroneckera (też tensor!) δii = 3. Takie zerowanie się dywergencji tensora
pozwala na formułowanie dodatkowych wniosków
Andrzej Lenda
Równanie Naviera-Stokesa
Powracamy do równania
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
Andrzej Lenda
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
masa elementu objętości dV to ρdV
Andrzej Lenda
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
(9)
ρdV
∂τik
dui
= Fi ρdV +
dV,
dt
∂xk
i = 1, 2, 3
gdzie Fi to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły
powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń. Dzielimy przez dV i
podstawiamy jawną postać tensora naprężeń
Andrzej Lenda
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
(9)
ρdV
∂τik
dui
= Fi ρdV +
dV,
dt
∂xk
i = 1, 2, 3
gdzie Fi to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły
powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń. Dzielimy przez dV i
podstawiamy jawną postać tensora naprężeń
dui
∂p
∂
1
(10)
ρ
= ρFi −
+
2µ(eik − δik ∆) .
dt
∂xi
∂xk
3
To właśnie równanie nazywamy równaniem Naviera-Stokesa.
Andrzej Lenda
Równanie Naviera-Stokesa c.d.
Dla gęstości ρ stałej w czasie i przestrzeni mamy (równanie ciągłości !)
divu =
∂ui
= ∆ = 0.
∂xi
Mamy wówczas też
2
∂eik
∂
∂ui
∂uk
∂ ui
∂ ∂uk
∂ 2 ui
2µ
=µ
+
+
=µ
=µ
2
∂xk
∂xk
∂xk
∂xi
∂xk
∂xi ∂xk
∂x2k
(wymieniamy szyk liczenia pochodnych mieszanych i jeszcze raz
korzystamy z zerowania się dywergencji prędkości). Równanie (10) – w
zapisie wektorowym – przybiera wówczas postać
(11)
ρ
du
= ρF − ∇p + µ4u.
dt
Andrzej Lenda
Równanie N-S – bez tensorów
Równanie N-S można też wyprowadzić „bez tensorów”, stosując proste
rachunki, z których wynikają „te same” postacie przyczynków do sił
powierzchniowych. Zobaczmy
Andrzej Lenda
Równanie N-S – bez tensorów
Równanie N-S można też wyprowadzić „bez tensorów”, stosując proste
rachunki, z których wynikają „te same” postacie przyczynków do sił
powierzchniowych. Zobaczmy
Rysunek: Siły powierzchniowe – ciśnienia (a) i lepkości(b)
Andrzej Lenda
Tak jak pokazane jest to w części (a) rysunku na nieskończenie mały
element objętości cieczy, o rozmiarach dxdydz działa „z lewej” siła o
składowej Fx (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama
składowa ma postać Fx (x + dx, y, z) = −p(x + dx, y, z)dydz.
Andrzej Lenda
Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy
nieskończenie małe pierwszego rzędu
∂p
Fx = −p(x + dx, y, z)dydz ≈ − p(x, y, z) +
dx dydz.
∂x
Andrzej Lenda
Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy
nieskończenie małe pierwszego rzędu
∂p
Fx = −p(x + dx, y, z)dydz ≈ − p(x, y, z) +
dx dydz.
∂x
Za ruch w kierunku osi 0x odpowiedzialna jest różnica tych dwóch
składowych
∂p wypadkowa
Fx
dxdydz,
=−
∂x (x,y,z)
a więc na jednostkę objętości
∂p Fxwypadkowa /dV = −
∂x
Andrzej Lenda
.
(x,y,z)
Analogicznie możemy wyprowadzić przyczynek do x-owej składowej siły
lepkości (część (b) rysunku). Na dolną podstawę elementu działa ze
strony „dolnej” warstwy płynu – zgodnie z założeniem Newtona – siła
µ
∂ux (x, y, z)
dxdy
∂z
Andrzej Lenda
µ
∂ux (x, y, z)
dxdy
∂z
na górną
Andrzej Lenda
µ
∂ux (x, y, z)
dxdy
∂z
na górną
µ
∂ux (x, y, z + dz)
=µ
∂z
∂ux (x, y, z)
∂ ∂ux (x, y, z)
+
dz dxdy;
∂z
∂z
∂z
ich różnica (! – zastanów się dlaczego) – odniesiona do elementu o
rozmiarach dxdydz to
Andrzej Lenda
µ
∂ux (x, y, z)
dxdy
∂z
na górną
µ
∂ux (x, y, z + dz)
=µ
∂z
∂ux (x, y, z)
∂ ∂ux (x, y, z)
+
dz dxdy;
∂z
∂z
∂z
ich różnica (! – zastanów się dlaczego) – odniesiona do elementu o
rozmiarach dxdydz to
µ
∂ 2 ux (x, y, z)
dxdydz.
∂z 2
Andrzej Lenda
Pochodna śledcza
Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu
względem czasu, występującej po lewej stronie równania
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
Ta zmiana ma charakter „globalny” i związana jest zarówno z upływem
czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również
może zmieniać jego prędkość.
Andrzej Lenda
Pochodna śledcza
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną
prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t)
Andrzej Lenda
Pochodna śledcza
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
∂u
∂u dx
∂u dy
∂u dz
∂u
∂u
∂u
∂u
du
=
+
+
+
=
+
ux +
uy +
uz
dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Andrzej Lenda
Pochodna śledcza
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
∂u
∂u dx
∂u dy
∂u dz
∂u
∂u
∂u
∂u
du
=
+
+
+
=
+
ux +
uy +
uz
dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
∂t
∂x
∂y
∂z
dui
∂ui
∂ui
=
+ uk
,
dt
∂t
∂xk
i = 1, 2, 3.
W „żargonie” mechaniki ośrodków ciągłych mamy pochodną śledczą.
Andrzej Lenda

Tensory - WFiIS

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rachunek Tensorowy

(-2,4) i B=(6,2)

Sunny Fitness - Judo, Boks, Zapasy

Zestaw 3 - Wydział Chemii UJ

Stacyjka - Wózki widłowe Blachdeker

Zadanie 20. Współrzędne wierzchołka paraboli będącej

Przekształcenia geometryczne. Przesunięcie równoległe.