Zad 6.

5.7. Przykład liczbowy
Wykonać obliczenia nośności belki podsuwnicowej ze stali S275 z przęsłami o długościach
l = 12 m
swobodnie podpartymi na słupach estakady obsługiwanej przez dwie suwnice natorowe o jednakowych
parametrach, usytuowanej w pomieszczeniu zamkniętym.
Parametry suwnicy:
udźwig
Qh = 320 kN ,
maksymalny nacisk koła od cięŜaru własnego suwnicy
PG = 135,1 kN ,
maksymalny nacisk koła od udźwigu PQ = 148,2 kN ,
maksymalne obciąŜenie poziome koła suwnicy
H S = 56,6 kN , H L = 15,6 kN ,
klasa podnoszenia suwnicy HC3,
rozpiętość mostu suwnicy
rozstaw kół
Ls = 24,0 m ,
a = 5,85 m ,
odległości między kołami sąsiednimi suwnic
c = 1,8 m .
Obliczenia wykonać dla belki z tęŜnikami pełnościennymi.
Pominąć obliczenia: nośności środnika pod obciąŜeniem skupionym, nośności na zmęczenie.
1. ObciąŜenia i momenty zginające od kół suwnic
ObciąŜenia pionowe od nacisku koła.
Przyjęto:
współczynnik dynamiczny
ϕ1 = 1,1 , ϕ 2 = 1,3 ,
Qr ,max = PG ϕ1 + PQ ϕ 2 = 135,1 ⋅ 1,1 + 148,2 ⋅ 1,3 = 341,3 kN .
Schemat obciąŜeń belki pokazano na rys. 5.12.
Usytuowanie kół suwnic generujące największe momenty zginające przyjęto według [38].
Wielkości przekrojowe.
ObciąŜenia pionowe, przy usytuowaniu kół jak na rys. 5.12a:
V A = 341,3 (6,45 + 4,65) / 12 = 315,7 kN ,
VB = 2 ⋅ 341,3 − 315,7 = 366,9 kN ,
M y = 315,7 ⋅ 5,55 = 1752,1 kNm .
ObciąŜenia poziome:
H A = 56,6 (6,45 + 4,65) / 12 = 52,4 kN ,
H B = 2 ⋅ 56,6 − 52,4 = 60,8 kN ,
M z = 52,4 ⋅ 5,55 = 290,8 kNm .
Reakcje pionowe przy usytuowaniu kół jak na rys. 5.12b (najniekorzystniejsze siły ścinające):
V A = 341,3 (1 + 0,5125 + 0,3625) = 639,9 kN ,
VB = 3 ⋅ 341,3 − 639,9 = 384,0 kN .
Maksymalny moment zginający odpowiadający temu ustawieniu kół suwnic:
M y = (639,9 − 341,3) ⋅ 5,85 = 1746,8 kNm .
2. ObciąŜenia od cięŜarów własnych belki
cięŜar szyny
0,8 kN/m
cięŜar własny belki i zamocowań 3,9 kN/m
cięŜar blachy tęŜnika
0,2 kN/m
______________
Razem:
g = 4,9 kN/m
Reakcje pionowe od cięŜarów własnych
V A = VB = 4,9 ⋅ 6,0 = 29,4 kN .
Moment zginający dla ustawienia kół jak na rys. 5.12a:
M y , g = 29,4 ⋅ 5,55 − 4,9 ⋅ 5,552 / 2 = 87,7 kNm .
Moment zginający od obciąŜenia zmiennego chodnika.
ZałoŜono ustawienie cięŜaru
Qk = 3,0 kN w środku rozpiętości belki:
V A = VB = 3,0 / 2 = 1,5 kN ,
M y ,Q = 1,5 ⋅ 5,55 = 8,3 kNm .
Rys. 5.1. Momenty zginające przy najniekorzystniejszym usytuowaniu kół suwnicy na belce
3. Przekrój poprzeczny belki głównej
Dla rozpiętości belki
l = 12 m przyjęto wstępnie wysokość belki h =
l 12
=
= 1,20 m .
10 10
Przekrój przyjęty pokazano na rys. 5.13.
Rys. 5.2. Przekrój poprzeczny belki: a) przekrój brutto, b) przekrój efektywny
Pole przekroju:
A = 40 ⋅ 3 + 34 ⋅ 3 + 104 ⋅ 1,0 = 326 cm 2 .
PołoŜenie osi obojętnej:
(40 − 34) ⋅ 3,0 ⋅ 52,0 = 2,87 cm .
z0 =
326
Momenty bezwładności względem osi obojętnej y − y :
I y = 1,0 ⋅ 1043 / 12 + 104 ⋅ 1,0 ⋅ 2,87 2 + 40,0 ⋅ 3,0 ⋅ 50,632 + 34,0 ⋅ 3,0 ⋅ 56,37 2 = 726316 cm 4 ,
I z = 3 ⋅ 403 / 12 + 3 ⋅ 34 3 / 12 = 16000 + 9826 = 25826 cm 4 ,
Iω =
I z1 I z 2 2 16000 ⋅ 9826
d =
⋅ 107 2 = 69696000 cm 3 ,
I z1 + I z 2
25826
IT =
1 3
1
(
t f 1 b f 1 + t 3f 2 b f 2 + tw3 hw ) = (3,03 ⋅ 40 + 3,03 ⋅ 34,0 + 1,0 ⋅ 104 ) = 700,7 cm 4 .
3
3
Klasa przekroju:
•
pas
c 40 − 1,0
=
= 6,5 < 9 ⋅ 0,91 = 7,29 , pas jest klasy 1.
t
2 ⋅ 3,0
•
środnik
λ=
hw 104,0
=
= 104 ,
tw
1,0
ψ=
− 56,37
= −1,11 ,
50,63
λ = 104 <
42 ε
42 ⋅ 0,92
=
= 127 .
0,67 + 0,33 ψ 0,67 + 0,33 (− 1,11)
Środnik jest klasy 3.
Wskaźnik wytrzymałości przy spręŜystym rozkładzie napręŜeń:
Wel ,1 =
726316
= 13933 cm 3 ,
52,0 − 2,87 + 3,0
Wel , 2 =
726316
= 12551 cm 3 .
52,0 + 2,87 + 3,0
PoniewaŜ pas ściskany belki jest klasy 1, a środnik klasy 3 (spręŜysty rozkład napręŜeń rys. 5.13a) obliczono
wskaźniki przekroju poprzecznego dla plastycznego rozkładu napręŜeń (rys. 5.13b).
PołoŜenie osi obojętnej przy plastycznym rozkładzie napręŜeń:
z0′ =
t f 1 bf 1 − t f 2 bf 2
3,0 (40,0 − 34,0)
+ t f 2 + 40 ε tw =
+ 3,0 + 40 ⋅ 0,92 ⋅ 1,0 = 57,8 cm.
tw
1,0
Wskaźnik plastyczności (rys. 5.13b):
t 
t 


2
W pl , y = b f 1 t f 1  h − z0′ − f 1  + b f 2 t f 2  z0′ − f 2  + 20 ε tw2 (h − z0′ − t f 1 ) + t w (z0′ − t f 2 ) / 2 =
2 
2 


= 40,0 ⋅ 3,0 (110,0 − 57,8 − 1,5) + 34,0 ⋅ 3,0 (57,8 − 1,5) +
+ 20 ⋅ 0,92 ⋅ 1,02 (110,0 − 57,8 − 3,0) + 1,0 (57,8 − 3,0) / 2 = 14233 cm3 .
2
4. Przekrój zastępczy pasa górnego
Przekrój tęŜnika pełnościennego z blachy o grubości 6 mm pokazano na rys. 5.14.
Rys. 5.3. Przekrój zastępczy belki hamownej
Pole przekroju:
At = 52,2 + 120,0 ⋅ 0,6 + 40 ⋅ 3,0 + 104 ⋅ 1 / 5 = 265,0 cm 2 .
PołoŜnie osi obojętnej
yo =
zo − z o :
52,2 (123,0 − 2,89 + 13,0) + 120 ⋅ 0,6 (60 + 13)
= 46,0 cm ,
265,0
1203 ⋅ 0,6
+ 120 ⋅ 0,6 ⋅ 302 + 40 ⋅ 3 ⋅ 462 + 20,8 ⋅ 462 = 872987 cm 4 ,
12
= 872987 / 66 = 13227 cm 3 ,
I z = 52,2 (3,0 − 2,89 + 90) +
2
Wz ,el , A
Wz ,el ,D = 13227 ⋅
66
= 9700 cm 3 .
90
5. Nośności obliczeniowe
M y ,Ed = 87,7 ⋅ 1,35 + 1752,1 ⋅ 1,5 + 8,3 ⋅ 1,5 ⋅ 0,9 = 2758 kNm ,
M z ,Ed = 290,8 ⋅ 1,5 ⋅ 0,9 = 392,6 kNm ,
M y ,Rk = 14233,0 ⋅ 27,5 = 391408 kNcm ,
M z ,Rk , A = 13227,0 ⋅ 27,5 = 363743 kNcm .
6. Współczynnik zwichrzenia
Współczynnik zwichrzenia
Stałe
χ LT
obliczono zgodnie ze wzorem (5.3).
zi przyjęto jak dla belki obciąŜonej siłą skupioną (stosunek c / l = 1,8 / 12 = 0,15 ), stąd zgodnie z
[35]:
z1 = 1,41 ,
z6 = 0,6 .
z7Q = 0,81 ,
Parametr monosymetrii belki obliczono zgodnie ze wzorem (3.47):
ky = d
I f1 − I f 2
2 Iy
= 107,0 ⋅
16000 − 9826
= 12,8 cm .
2 ⋅ 25826
PołoŜenie środka ścinania (rys. 5.13a):
zs = e −
If2
Iz
⋅ d = 50,63 −
9826
⋅ 107 = 9,92 cm ≈ 9,9 cm .
25826
Odległość między płaszczyzną poziomą tęŜnika a środkiem ścinania:
yb = 55,0 − 2,87 − 9,9 = 42,23 cm .
Odległość między punktem przyłoŜenia siły (styk koła z szyną), a środkiem ścinania:
g = 42,23 + 6,5 = 48,73 cm .
Sztywność bocznego podparcia obliczono zgodnie ze wzorami (5.4 – 5.6).
PoniewaŜ blacha tęŜnika będzie połączona z mało odkształcalnymi spoinami pachwinowymi, których
podatność moŜna pominąć, stąd
1/ K A = 0 .
Sztywność dystorsji belki:
K B = 5000 ⋅
tω3
1,0 3
= 5000 ⋅
= 48 kN .
hw
104
Sztywność giętna blachy tęŜnika (o dł. 1 cm):
I eff = 1 ⋅ 0,63 / 12 = 0,018 cm 4 /cm ,
KC =
k E I eff
s
=
3 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 0,018
= 9,45 kNcm/cm ,
120
rθ =
1
1
=
= 7,9 kNcm/cm ,
1
1
1
1
+
+
K B KC
48 9,45
2
2
2
π 
 π yb 
l
G IT + E I w   + E I z 
 + rθ  
l
 l 
π  =
M cr =
z5 y b − z 6 k y + z 7 q g
2
 3,14 
6
8000 ⋅ 700,7 + 2,1 ⋅ 104 ⋅ 69696000 ⋅ 
 ⋅ 10
 1,2 
=
+
1,4 ⋅ 42,23 − 0,6 ⋅ 12,8 + 0,81 ⋅ (− 48,73)
2
2
 3,14 ⋅ 42,23 
 1,2 
6
6
2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 25826 ⋅ 
 ⋅ 10 + 7,9 ⋅ 
 ⋅ 10
1,2


 3,14 
+
= 1150473 kNm,
1,4 ⋅ 42,23 − 0,6 ⋅ 12,8 + 0,81 ⋅ (− 48,73)
λLT =
f y W pl , y
M cr
=
27,5 ⋅ 14233
= 0,583 ,
1150473
φLT = 0,5 [1 + 0,76 (0,583 − 0,4 ) + 0,75 ⋅ 0,5832 ] = 0,697 ,
χ LT =
1
0,697 + 0,692 2 − 0,75 ⋅ 0,586 2
= 0,85 .
7. Nośność przekroju zginanego
•
pas górny
M y ,Ed
χ LT M y ,Rd (1)
•
+
M z ,Ed
275800
39260
=
+
= 0,829 + 0,108 = 0,937 < 1 ,
M z ,Ed , A 0,85 ⋅ 391408 363743
pas dolny (zakres spręŜysty)
M y ,Ed
χ LT M y ,Rd (2 )
=
275800
= 0,94 < 1 .
0,85 ⋅ 12251 ⋅ 27,5
8. Nośność przekroju na ścinanie
Nośność przekroju na ścinanie sprawdzono zgodnie ze wzorami (3.23) i (3.24).
Obliczeniowa siła ścinająca:
VEd = 315,7 ⋅ 1,5 = 473,6 kN .
Nośność obliczeniowa środnika:
Vc ,Rd = V pl ,Rd =
AV f y
3 γ MO
=
473,6
VEd
=
= 0,29 < 1 .
Vc ,Rd 1653
104 ⋅ 1,0 ⋅ 27,5
= 1653 kN ,
1,73 ⋅ 1
VEd
< 0,5 , nie jest wymagane sprawdzenie środnika z warunku na równoczesne zginanie i
Vc ,Rd
PoniewaŜ
ścinanie.
9. Ugięcie belki
Ugięcie belki sprawdzono wg wzorów (2.28 – 2.30).
•
pionowe
obciąŜenie od kół
Qr = 135,1 + 148,2 = 283,3 kN ,
ξ=
q = 4,9 kN/m ,
δ zQ =
r
=
δ zG =
1,8
= 0,15 ,
12
Qr l 3
2 − 3 (1 − ξ ) (ξ 2 − 2ξ 3 ) =
48E I y
[
]
[
]
283,3 ⋅ 12 3 ⋅ 10 6 2 − 3 (1 − 0,15) (0,152 − 2 ⋅ 0,153 )
= 1,31 cm,
48 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 726316
5 q l 4 5 ⋅ 4,910 −2 ⋅ 12,0 4 ⋅ 108
=
= 0,09 cm ,
384 E I y 384 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 726316
1200
l
=
= 2,0 cm .
600 600
δ z = 1,30 + 0,09 = 1,40 cm <
•
poziome
δ H = 1,31
726316 56,6
⋅
= 0,22 cm < 2,0 cm .
283,3 872987
10. Nośność pasa zewnętrznego tęŜnika
Pas zewnętrzny [300p, stal S235,
W y = 510 cm 3 ,
obciąŜenie:
cięŜar własny
0,41 kN/m
blacha tęŜnika
0,20 kN/m
______________
0,61 kN/m.
W środku rozpiętości pasa będzie zaprojektowana podpora (zastrzał)
M ytg = 0,1 ⋅ 0,61 ⋅ 1,5 ⋅ 6,0 2 = 3,29 kNm .
W odległości 3 m od słupa (1/2 przęsła pasa tęŜnika) obciąŜenie zmienne 3,0 kN
M ytg = 0,25 ⋅ 1,5 ⋅ 1,5 ⋅ 6,0 = 3,38 kNm ,
M yt = 3,29 + 3,38 = 6,67 kNm .
Nośność pasa zewnętrznego:
χ LT
M yt , Ed
Mz
6,67 ⋅ 102
290,8 ⋅ 102
+
=
+
= 0,06 + 0,13 = 0,19 < 1.
Wy f y / γ M 1 Wz f y / γ M 1 1,0 ⋅ 510 ⋅ 23,5 / 1 9700 ⋅ 23,5
Ze względów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych utrzymano przekrój pasa zewnętrznego tęŜnika.
5.8. Przykład liczbowy
Sprawdzić nośność belki głównej z przykładu 5.7, ze stęŜeniem kratownicowym, przy takich samych
warunkach obciąŜenia i rozpiętości
l = 12 m .
1. Dobór tęŜnika kratowego
Przyjęto zarys teoretyczny tęŜnika jak rys. 5.15.
Odległości międzywęzłowe
l1 = 120 / 6 = 2,0 m .
Słupki i krzyŜulce tęŜnika kratownicy zaprojektowano z kątowników 65 x 65 x 6,
A = 8,73 cm 2 ,
J y = I eff = 29,2 cm 4 .
2. Dane z przykładu 5.7
−
obciąŜenie
M y ,Ed = 2758 kNm , M z ,Ed = 392,6 kN , H S = 56,6 kN , H L = 15,6 kN ,
−
nośności obliczeniowe przekroju
M y ,Rk = 391408 kNcm .
3. Współczynnik zwichrzenia
Nośność zginanej belki głównej określono wg wzoru (5.5).
Moment krytyczny zwichrzenia obliczono wg przekształconego wzoru (5.3):
2
2
 l
 i π yb 
iπ 
G IT + E I z 
 + E Iw
 + rθ 
 l 
 l 
i π
M cr =
z5 y b − z 6 k y + z 7 Q g
2


 ,
gdzie
i - jest to liczba półfal linii wyboczenia i skręcenia pasa górnego belki, i = 6 , gdyŜ linia wyboczenia
moŜliwa między węzłami kratownicy tęŜnika (rys. 5.15a),
yb = 39,2 cm , g = (39,2 + 3,0 + 6,5) = 48,7 cm , k y = 12,8 cm ,
KC =
rθ =
k E I eff
=
s l1
1
1
1
+
29,2 48,0
2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4 ⋅ 29,2
= 29,2 kNcm/cm , K B = 48 kN ,
140 ⋅ 300
= 18,2 kNcm/cm , z5 = 1,42 , z6 = 0,6 , z7Q = 0,81 ,
2
 6 ⋅ 3,14 
−6
5,3 ⋅ 10 + 1,46 ⋅ 10 ⋅ 
 ⋅ 10
 1,2 
=
+
1,41 ⋅ 39,2 − 0,6 ⋅ 12,8 + 0,81 ⋅ (− 48,7 )
6
M cr
11
2
2
 6 ⋅ 3,14 ⋅ 39,2 
 1,2 
−6
6
5,4 ⋅ 108 ⋅ 
 ⋅ 10 + 18,2 ⋅ 
 ⋅ 10
1
,
2
6
⋅
3
,
14




+
=
1,41 ⋅ 39,2 − 0,6 ⋅ 12,8 + 0,81 ⋅ (− 48,7 )
5300000 + 35990000 + 37876000 + 73836000
=
= 3372000 kNcm,
55,27 + 7,68 − 39,44
λL =
f y W pl , y
M cr
=
27,5 ⋅ 14233
= 0,34 ,
3372000
z tablicy 3.3 dla krzywej d ,
χ LT = 0,894 .
Rys. 5.4. Belka podsuwnicowa z tęŜnikiem kratownicowym
4. Współczynnik wyboczenia
Współczynnik wyboczenia określono dla przekroju zastępczego składającego się z pasa górnego belki i 1/5
pola przekroju środnika (przekrój zakreskowany, rys. 5.15c).
Przekrój poprzeczny pasa zastępczego:
1
A f = 40,0 ⋅ 3,0 + ⋅ 104 ⋅ 1,0 = 140,8 cm 2 .
5
Moment bezwładności pasa zastępczego względem osi z − z :
I z, f =
3 ⋅ 40 3
= 16000 cm 4 .
12
Promień bezwładności:
iz , f =
λz , f =
16000
= 10,7 cm ,
140,8
l1
i f ,z
χ L = 0,93 .
1
300
1
=
⋅
= 0,32 ,
93,9 ε 10,7 93,9 ⋅ 0,92
5. Parametry interakcyjne
Parametry interakcji wyznaczono metodą 2, tabl. B1, norma [4]:
N H ,Ed =
M z ,E
bt
=
392,6
= 280,4 kN ,
1,4
H L ,Ed = 2 ⋅ 15,6 ⋅ 0,9 ⋅ 1,5 = 42,2 kN ,
N Ed = 280,4 + 42,2 = 322,6 kN ,
Cmz = 0,6 + 0,4 ψ z = 1,0 ,
przyjęto ψ z
= 1,


N Ed
322,6


k zz = Cmz 1 + (2 λz , f − 0,6 )
= 1,0 1 + (2 ⋅ 0,32 − 0,6)
≅ 1,

χ z N Rd / γ M 1 
0,93 ⋅ 140,8 ⋅ 27,5 


k yz = 0,6 k zz = 0,6 .
6. Nośność przekroju zginanego dwukierunkowo i ściskanego
M z , p ,Ed = 0,175 H S ,Ed l1 = 0,175 ⋅ 56,6 ⋅ 1,5 ⋅ 0,9 ⋅ 300 = 4012 kNcm .
Nośność obliczono zgodnie ze wzorem (5.6):
M y , Ed
M
N Ed
275800
k yz + z , p , Ed k zz +
=
⋅ 0,6 +
χ LT M y , Rd
M z , f , Rd
χ Lz Ap f y γ M 1 0,894391408
+
4012,0 ⋅ 20,0
322,6
+
= 0,47 + 0,18 + 0,09 = 0,74 < 1.
16000 ⋅ 27,5 0,93 ⋅ 140,8 ⋅ 27,5
7. Nośność belki obliczona dla przekroju zastępczego pasa
Af
Nośność obliczono zgodnie ze wzorem (5.7):
N Ed =
χ Lz
2758
+ 322,6 = 2900,2 kN ,
1,07
M
N Ed
2900,2
+ zp ,Ed k zz =
+ 0,18 = 0,81 < 1 .
A f f y γ M 1 M z , f ,Ed
0,93 ⋅ 140,8 ⋅ 27,5
Nośność pasa górnego zapewniona.
Nośność pasa dolnego sprawdzono w przykładzie 5.7.