l, l

1
Szereg i transformata Fouriera.
Transformata Laplace’a.
Całka podwójna.
Proponowana literatura:
1. W.Żakowski, W.Kołodziej, Matematyka, część II, WNT, Warszawa,
2. W.Żakowski, W.Leksiński, Matematyka, część IV, WNT, Warszawa,
3. Franciszek Bierski, Funkcje zespolone - Szeregi i przekształcenie Fouriera, przekształcenie
całkowe Laplace’a, przekształcenie Laurenta, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne,
Kraków, 1999.
4. R.Leitner, J.Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, Warszawa, 1994,
5. Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, PWN, Warszawa, 2005,
1.1
Szereg Fouriera
(czyli krótki wstęp do jeszcze krótszej informacji o transformacie Fouriera)
Wstęp do wstępu,
który warto przeczytać, by z grubsza wiedzieć, o co chodzi w szeregach Fouriera
W kursie Analizy Matematycznej poznaliśmy rozwinięcie Maclaurina (czy ogólniej -rozwinięcie Taylora), które daje pewien
sposób przybliżania (aproksymowania) funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnej w danym przedziale za pomocą
ciągu wielomianów. W konsekwencji, przy pewnych dodatkowych założeniach, otrzymujemy możliwość przedstawienia takiej funkcji w postaci szeregu, którego wyrazy są jednoznacznie wyznaczone przez zadaną funkcję (szereg Taylora czy
Maclaurina).
Wiele zjawisk fizycznych jest jednak opisywanych przez funkcje mniej regularne, często - nawet nieciągłe. Mają one
natomiast dodatkową własność - są okresowe. Poznane w kursie Algebry liniowej pojęcia pozwalają na ”przybliżanie” takich
funkcji za pomocą ciągu tzw. wielomianów trygonometrycznych, czyli skończonych kombinacji liniowych funkcji sin x
i cos x.
Przypomnijmy jednak parę definicji i faktów z elementarnej algebry liniowej.
Niech V będzie przestrzenią liniową. Funkcję (·, ·) określoną na przestrzeni V × V nazywamy iloczynem skalarnym, jeżeli
dla dowolnych wektorów v~1 , v~2 , u
~, ~
v ∈ V spełnione są warunki:
1)
2)
3)
4)
(~
u, ~
v ) = (~
v, ~
u),
(v~1 + v~2 , u
~ ) = (v~1 , u
~ ) + (v~2 ), u
~ ),
(α~
u, ~
v ) = α(~
u, ~
v ),
(~
u, u
~ ) ­ 0 dla wszystkich u
~ ∈ V oraz (~
u, u
~ ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u
~ = 0.
Przestrzeń liniową z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową, gdy jest skończenie wymiarowa, a przestrzenią unitarną w ogólnym przypadku. Za pomocą iloczynu skalarnego można określić tzw. normę wektora wzorem
k~
uk =
Z warunków 1) - 4) wynikają następujące własności normy
• Fakt 1.1.
1. dla wszystkich ~
u, ~v ∈ V prawdziwa jest
p
(~
u, u
~ ).
(1)
nierówność Schwarza
|(~
u, ~
v )| ¬ k~
uk k~v k ;
2. dla wszystkich ~v ∈ ~
v mamy k~
v k ­ 0, przy czym k~
v k = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~v = 0;
3. dla wszystkich ~
u ∈ V, λ ∈ IR jest kλ~
uk = |λ| k~
uk;
4. dla wszystkich ~
u, ~v ∈ V mamy k~
u+~
v k ¬ k~
uk + k~vk,
1
(2)
5. dla wszystkich ~
u, ~v ∈ V zachodzi tzw.
regul6 6 a równolegl6 6 oboku
k~
u + ~vk2 + k~
u−~
v k2 = 2(k~
uk2 + k~
v k2 )
(3)
Mając zadaną w przestrzeni normę można określić odległość dwu wektorów wzorem
d(~
u, ~v) = k~
u−~
vk .
(4)
Wówczas naturalna jest następująca definicja zbieżności ciągu wektorów
lim v~n = ~v
←→
n→∞
lim d(v~n , ~
v ) = 0.
n→∞
(5)
Przykłady
1) IRn ,
2) l2
3) C([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest ciągła},
Rb
L1 ([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest całkowalna oraz
L2 ([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest całkowalna oraz
a
b
R
a
|f (t)|dt < ∞},
f 2 (t)dt < ∞}.
W tych przestrzeniach standardowy iloczyn skalarny zdefiniowany jest wzorem
(f, g) =
Zb
f (t)g(t)dt.
(6)
a
W kursie Algebry dowodzi się, że w przestrzeni euklidesowej istnieje baza ortogonalna {e~1 e~2 , . . . , e~n }, a przedstawienie
dowolnego wektora ~v w takiej bazie jest szczególnie proste: ~v = (~
v , e~1 )e~1 + (~
v , e~2 )e~2 + . . . + (~
v , e~n )e~n .
Łatwoteż sprawdzić,
że dla dowolnych parami prostopadłych wektorów v~1 , v~2 , . . . v~k zachodzi Twierdzenie Pitagorasa,
tzn.
n
n
P
2
v~j = P kv~j k.
j=1
j=1
Jeżeli V nie jest przestrzenią skończenie wymiarową, to sytuacja jest o wiele bardziej skomplikowana, jednak w dalszym
ciągu współczynniki postaci (~
v , e~j ) grają dużą rolę. Oczywiste jest, że jeżeli
~v = (~
v , e~1 )e~1 + (~
v , e~2 )e~2 + . . . + (~
v , e~n )e~n ,
(7)
to w dalszym ciągu zachodzi równość
k~
v k2 =
n
X
k(~
v , e~j )e~j k2 =
j=1
n
X
|(~
v , e~j )|2 .
(8)
j=1
Podstawowy związek między wektorem ~v, a rozwinięciem (7) daje następujące twierdzenie.
• Twierdzenie 1.1.
Jeżeli {e~1 , e~2 , . . . , e~n } jest zbiorem ortonormalnym w przestrzeni euklidesowej V , to dla dowolnego
wektora ~
v ∈ V i dowolnych skalarów λ1 , λ2 , . . . λn prawdziwa jest nierówność
n
n
X
X
(~
v , e~j )e~j ¬ ~v −
λj e~j .
~v −
j=1
j=1
W powyższej nierówności równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy λj = (~
v , e~j ).
Wektor u
~ =
n
P
j=1
(~
v , e~j )e~j jest rzutem ortogonalnym wektora ~
v na podprzestrzeń lin{e~1 , e~2 , . . . , e~n }, tzn. u
~ ∈
lin{e~1 , e~2 , . . . , e~n } oraz ~
u ⊥ ~
v−u
~ . Liczby (~
v , e~j ) nazywamy współczynnikami Fouriera wektora ~v względem układu
ortonormalnego {e~1 , e~2 , . . .}.
Zauważmy, że twierdzenie powyższe mówi, iż spośród wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu {e~1 , e~2 , . . . , e~n }
najlepsze przybliżenie (w sensie zbieżności (5)) daje kombinacja, w której współczynnikami są współczynnikami Fouriera
wektora ~v.
Odpowiedź na pytanie o istnienie jakiegoś odpowiednika bazy ortogonalnej w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych
daje następujące twierdzenie. Podkreślmy tylko, że w interesujących nas przestrzeniach funkcyjnych wystarczy rozważać
przeliczalne zbiory wektorów parami ortogonalnych i do takich się ograniczymy.
2
• Twierdzenie 1.2. Jeżeli {e~ , e~ , . . .} jest zbiorem ortonormalnym w przestrzeni unitarnej V ,to następujące warunki są
1
2
równoważne:
~ V można przedstawić w postaci ~v =
1) każdy wektor ∈
∞
P
(~
v , e~j )e~j ,
j=1
2) {e~1 , e~2 , . . .} jest maksymalnym zbiorem wektorów parami prostopadłych (tzn. jedynym wektorem prostopadłym do wszystkich wektorów e~j jest wektor zerowy)
3) lin{e~1 , e~2 , . . .} jest zbiorem gęstym w H, tzn. każdy wektor przestrzeni V jest granicą (w sensie zbieżności (5)) pewnego
ciągu skończonych kombinacji liniowych wektorów e~1 , e~2 , . . .
4) prawdziwa jest tzw.
równość Parsevala
∞
X
k~v k2 =
|(~
v , e~j )|2
(9)
j=1
Niech w dalszym ciągu {ϕ1 , ϕ2 , . . .} będzie ciągiem funkcji całkowalnych parami ortogonalnych. Można udowodnić, że
jeżeli szereg ortogonalny
n
P
cj ϕj jest zbieżny jednostajnie (to duuużo więcej niż zbieżny punktowo) do funkcji całkowalnej
j=1
(f, ϕn )
. Oznacza to, że istnieje co najwyżej jeden szereg ortogonalny zbieżny do danej funkcji
kϕn k2
jednostajnie na [a, b]. W tym miejscu powinniśmy przypomnieć sobie analogiczne twierdzenie dla szeregu Taylora!
na przedziale [a, b], to cn =
Dla dowolnej funkcji całkowalnej na danym przedziale [a, b] można zdefiniować czysto formalnie pewien szereg tzw.
szereg Fouriera
∞
X
(10)
c n ϕj ,
n=1
gdzie współczynniki Fouriera zadane są wzorem
(f, ϕn )
cn =
(11)
kϕn k2
Będziemy wtedy pisać
f (x)
∼
∞
X
(f, ϕn )
n=1
kϕn k2
(12)
ϕn
Powstaje pytanie, czy szereg po prawej stronie jest w jakimś sensie zbieżny i do czego!
Zajmiemy się teraz najważniejszym z punktu widzenia zastosowań technicznych szeregiem ortogonalnym - tzw. trygonometrycznym szeregiem Fouriera. Mówiąc o iloczynie skalarnym będziemy już zawsze mieć na myśli wyżej określony standardowy iloczyn
skalarny w przestrzeniach funkcyjnych.
Rozważmy zdefiniowany na przedziale [−l, l] ciąg funkcji określonych wzorami:
ϕ0 ≡ 1,
ϕ2n−1 = cos
nπt
,
l
ϕ2n = sin
nπt
l
• Łatwo sprawdzić, że ciąg ten jest ortogonalny, bo:
(ϕ0 , ϕ2n−1 ) =
(ϕ0 , ϕ2n ) =
Rl
−l
Rl
−l
dt = .....,
1 · cos nπt
l
dt = .....,
1 · sin nπt
l
(ϕ2m−1 , ϕ2n−1 ) =
(ϕ2m , ϕ2n ) =
Rl
−l
Rl
−l
· cos nπt
dt = .....,
cos mπt
l
l
sin mπt
· sin nπt
dt = .....,
l
l
3
dla
n = 1, 2, . . .
(13)
(ϕ2m−1 , ϕ2n ) =
Rl
−l
cos mπt
· sin nπt
dt = .....,
l
l
Policzmy jeszcze kwadraty norm powyższych funkcji traktowanych jako elementy przestrzeni L2 ([a, b]).
Ponieważ
Rl
cos2
−l
mπt
dt
l
=
Rl
sin2
−l
mπt
dt
l
= l, więc kϕ0 k2 = 2l, kϕm k2 = l, dla n = 1, 2, . . .
• Można też udowodnić, ale to jest trudniejsze, że ciąg ten jest zupełny w przestrzeni
L2 ([a, b]).
Współczynniki Fouriera funkcji f względem wyżej zdefiniowanego układu ortogonalnego
mają postać
1
c0 = ,
2l
c2n−1
1
=
l
Zl
−l
nπt
dt,
f (t) cos
l
c2n
1
=
l
Zl
f (t) sin
−l
nπt
dt.
l
(14)
Zgodnie z tradycją trygonometryczny szereg Fouriera funkcji f względem rozważanego
trygonometrycznego układu ortogonalnego zapisujemy w postaci
∞
nπt
nπt
a0 X
an cos
,
+
+ bn sin
2
l
l
n=1
(15)
gdzie
1
a0 =
l
Zl
1
an =
l
f (t)dt,
−l
Zl
−l
1
bn =
l
nπt
dt,
f (t) cos
l
Zl
f (x) sin
−l
nπt
dt.
l
(16)
Dla l = π mamy wówczas
∞
a0 X
(an cos nt + bn sin nt),
+
2
n=1
(17)
gdzie
1
a0 =
π
Zl
f (t)dt,
−l
1
an =
π
Zl
f (t) cos ntdt,
−l
1
bn =
π
Zl
f (x) sin ntdt.
(18)
−l
Z twierdzenia (1.2) wynika zatem, że
dla f ∈ L2 ([−l, l]) zachodzi równość f =
Oznacza to jednak tylko, że
lim
N →∞
Zl
−l
a0
2
+
∞ P
n=1
N
nπt
a0 X
nπt
an cos
f (t) −
−
+ bn sin
2
l
l
n=1
an cos nπt
.
+ bn sin nπt
l
l
!2
dt = 0
i nie ma wiele wspólnego z równością punktową funkcji i jej szeregu Fouriera !
W zastosowaniach szczególnie ważna jest punktowa aproksymacja funkcji wielomianami trygonometrycznymi i warunki wystarczajace na to, by taka aproksymacja była
możliwa zawarte są w następującym twierdzeniu.
4
• Twierdzenie 1.3. Jeżeli funkcja f
spełnia w przedziale [−l, l] tzw. warunki Dirichleta:
1. f jest przedziałami monotoniczna na (−l, l),
2. f jest ciągła w przedziale (−l, l), z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości x0
spełniony jest warunek
1
f (t0 ) = [f (t0 −) + f (t0 +)]
2
3. f (a) = f (b) = 21 [f (a−) + f (b+)],
to w każdym punkcie tego przedziału zachodzi równość
∞
nπt
a0 X
nπt
an cos
.
f (t) =
+
+ bn sin
2
l
l
n=1
Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l, to równość ta jest prawdziwa dla
każdego t z dziedziny funkcji.
Oczywiste jest, że jeżeli funkcja f , spełniająca w przedziale [−l, l] warunki Dirichleta:
1) jest parzysta, to
1
a0 =
l
Zl
f (t)dt,
−l
Zl
2
an =
l
więc jej szereg Fouriera ma postać f (t) =
f (t) cos
0
a0
2
∞ P
+
n=1
2) jest nieparzysta, to
1
a0 =
l
Zl
f (t)dt,
−l
a0
2
+
∞ P
n=1
bn = 0,
an cos nπt
.
l
2
bn =
l
an = 0,
więc jej szereg Fouriera ma postać f (t) =
nπt
dt,
l
Zl
f (t) sin
0
nπt
dt,
l
bn sin nπt
.
l
Przypomnijmy, że eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ oraz e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ. Dodając i odejmując te
równości stronami otrzymujemy wzory Eulera:
1
cos ϕ = (eiϕ + e−iϕ ),
2
sin ϕ =
1 iϕ
(e − e−iϕ )
2i
Zastosujemy te tożsamości do otrzymania tzw. zespolonej postaci szeregu Fouriera.
nπt
nπt
nπt
nπt
1 i nπt
1 i nπt
oraz
sin
e l + e−i l
e l − e−i l .
=
=
l
2
l
2i
Stąd po przegrupowaniu wyrazów otrzymujemy
cos
an cos
nπt
nπt
an − ibn i nπt an + ibn −i nπt
+ bn sin
=
e l +
e l
l
l
2
2
i wprowadzając oznaczenia
c0 = a0 ,
cn =
an − ibn
,
2
5
c−n =
an + ibn
2
mamy następującą, zespoloną postać szeregu Fouriera
f (t)
∞
X
∼
cn ei
nπt
l
,
−∞
gdzie współczynniki cn wyrażają się wzorem
1
cn =
2l
Zl
f (t)e−i
∼
∞
X
dt.
−l
Dla l = π mamy oczywiście:
f (t)
nπt
l
gdzie
1
cn =
2π
Zπ
cn eint .
−∞
f (t)e−int dt.
−π
Współczynniki cn są liczbami zespolonymi i wiążą się z nimi ważne w zastosowaniach (np.
w teorii obwodów elektrycznych) pojęcia. Dla funkcji okresowej u(t) =
liczba ω =
2π
T
oznacza tzw. pulsację funkcji u(t) ciąg liczb:
∞
P
−∞
cn einωt , gdzie
1) An = |cn | nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej
2) argcn nazywamy widmem fazowym funkcji
okresowej u(t) =
∞
P
−∞
cn einωt , gdzie liczba ω =
2π
T
oznacza pulsację funkcji u(t).
Przykłady
Wyznaczamy szereg Fouriera, szereg Fouriera w postaci zespolonej oraz widmo amplitudowe i fazowe następujących funkcji:
a)f (t) =



1
dla 0 < t < 1},
dla t = 0 lub t = 1,


f (t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1),
1
1
2



t
dla |t| < 1,
dla t = 2n + 1,
b)f (t) =  0

f (t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1),
6
−1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
−1
(
c)f (t) =
1 − |t|
dla |t| < 1,
f (t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1),
1
1
−1
2
3
4
R o z w i ą z a n i e.
a) a0 =
an =
1
1
bn =
1
1
1
1
R1
f (t)dt =
1
2
0
−1
R1
−1
R1
R1
∞
P
n=1
R1
(
0
tdt = 0, oraz an =
−1
2
π
R1
∞
P
n=1
(−1)n+1
n
R1
−1
−1
φn =
cn =
R1
i
(e−inπ
2nπ
− 1), więc c2n = 0 oraz c2n−1 =
φn =



0
π
2
3π
2


−2i
.
(2n−1)π
dla n parzystych,
dla n ¬ −1, nieparzystych
dla n ­ 0, nieparzystych
t cos nπtdt = 0 bo f jest nieparzysta,
−1
(
sin nπt
te−inπt dt =
π
2
3π
2
1
2
h
−
e−inπ
inπ
+
einπ
inπ
dla parzystych,
dla nieparzystych,
(1 − |t|)dt = 1, bn =
R1
R1
−1
−
1
i2 n2 π 2
n
i
(e−inπ − einπ ) = 2 (−1)
i.
nπ
(1 − |t|) sin nπtdt = 0, bo f jest parzysta,
(1 − |t|) cos nπtdt = 2 (1 − t) cos nπtdt = − n21π2 ((−1)n − 1),
0
więc a2n = 0, a2n+1 =
1
2
R1
−1
−1
R1
2
.
(2n−1)π
2
(−1)n+1 ,
nπ
f (t)e−inπt dt =
2
,
nπ
− 0) = 0
sin (2n − 1)πt
dla n n = 2k,
dla n = 2k − 1,
2
(2k−1)π
t sin nπtdt =
c) a0 =
1
2n−1
0
Stąd An =
an =
2
π
R1
−1
1
2
+
1
(sin nπ
nπ
− 1), więc b2n = 0 oraz b2n−1 =
f (t)e−inπt dt = e−inπt dt =
Zatem f (t) ∼
cn =
1
2
−1
b) a0 =
−1
(cos nπ
nπ
f (t) sin nπtdt =
Stąd An =
bn =
R1
f (t) cos nπtdt = cos nπtdt =
Zatem f (t) ∼
cn =
1dt = 1
0
−1
R1
R1
R1
−inπt
f (t)e
−1
Stąd An =
(
0
1
nπ
4
(2n+1)2 π 2
dt =
1
2
R1
−1
4
π2
i mamy f (t) ∼
−inπt
(1 − |t|)e
dla n parzystych,
dla n nieparzystych,
dt =
1
2
φn =
"
R0
−1





7
∞
P
n=1
(1)
(2n+1)2
cos (2n + 1)πt
−inπt
(1 + t)e
R1
dt + (1 − t)e
0
0
π
2
3π
2
−inπt
dla n parzystych,
dla n ¬ −1,
dla n ­ 0,
#
dt =
1.2
Transformata Fouriera
Szeregi Fouriera są dobrym narzędziem przy badaniu funkcji opisujących zjawiska o charakterze okresowym. Pytanie o analogon szeregu Fouriera dla funkcji nieokresowych prowadzi do pojęcia transformaty Fouriera. Spróbujmy sobie wyobrazić, jakiego typu wzoru
należałoby się spodziewać.
Powiedzmy, że funkcja f spełnia warunki Dirichleta na zadanym przedziale [−l, l] i przedłużmy ją okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Wówczas w każdym punkcie t ∈ IR
zachodzi równość
f (t) =
∞
X
cn ei
nπt
l
=
−∞
∞
X


Zl
1
 i nπt

−i nπτ
l dτ  e l
 f (τ )e
2l −∞
−l
Wprowadzając oznaczenia: ωn = nπ
, ∆ω = ∆ωn = ωn+1 − ωn = πl , skąd
l
możemy ostatnią równość napisać w postaci
f (t) =
1
2π

Zl
∞
X


−∞
−l
1
2l
=
∆ω
,
2π

f (τ )e−iωn τ dτ  eiωn t ∆ωn

Chyba wszystkim, którzy wiedzą, jak się konstruuje całkę oznaczoną, prawa strona równości przypomina pewną sumę całkową!
I rzeczywiście - prawdziwe jest następujące twierdzenie, którego dowód wymaga jednak
zaawansowanych metod i subtelnych rachunków.
• Twierdzenie 1.4. (Wzór całkowy Fouriera) Jeżeli funkcja f : IR −→ IR spełnia w każ-
dym skończonym przedziale (a, b) pierwsze dwa warunki Dirichleta oraz całka niewłaściwa
∞
R
−∞
|f (t)|dt jest zbieżna, to dla każdego t ∈ IR prawdziwa jest równość
1
f (t) =
2π
Z∞
−∞

Z∞

Z∞


f (τ )e−iω(t−τ ) dτ  dω
−∞
(19)
Może lepiej patrzeć na ten wzór tak:
1
f (t) =
2π
Z∞
−∞


f (τ )e−iωτ dτ  eiωt dω
−∞
Funkcję zmiennej ω określoną wzorem
F(f (t))(ω) =
Z∞
f (τ )e−iωτ dτ
(20)
−∞
nazywamy transformatą Fouriera funkcji f (t). Na ogół stosujemy krótkie oznaczenie
∧
f (ω) =
Z∞
f (τ )e−iωτ dτ .
−∞
Przy tych oznaczeniach możemy wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej zapisać następująco
8
1
f (t) =
2π
Z∞
iωt ∧
e
f (ω)dω
gdzie
∧
f (ω) =
−∞
Z∞
f (τ )e−iωτ dτ .
(21)
−∞
Warto mieć zawsze te dwa wzory przed oczami jednocześnie.
Ponieważ f ∧ (ω) =
więc,
∞
R
−∞
f (τ )e−iωτ dτ =
∞
R
−∞
f (τ ) cos ωτ dτ − i
R∞
f (τ ) sin ωτ dτ
−∞
1) jeżeli f (τ ) jest parzysta, to f (τ ) sin ωτ jest nieparzysta i
R∞
f (τ ) sin ωτ dτ = 0.
−∞
Zatem transformata Fouriera funkcji parzystej jest funkcją o wartościach rzeczywistych
∧
f (ω) =
Z∞
f (τ ) cos ωτ dτ .
−∞
2) jeżeli f (τ ) jest nieparzysta, to f (τ ) cos ωτ jest nieparzysta i
∞
R
f (τ ) cos ωτ dτ = 0.
−∞
Zatem transformata Fouriera funkcji nieparzystej jest funkcją o wartościach
czysto urojonych
∧
f (ω) = −i
Z∞
f (τ ) sin ωτ dτ .
−∞
Przyporządkowanie F funkcji f (t) zmiennej rzeczywistej t funkcji f ∧ (ω) zmiennej ω nazywamy prostym przekształceniem Fouriera. Jest oczywiste, że funkcje, które różnią się
w skończenie wielu punktach (a nawet na większych zbiorach - tzw. zbiorach miary Lebesgue’a zero) mają tę samą transformatę Fouriera. Twierdzenie Fouriera ( a więc praktycznie
- zależność (21) precyzuje daleko głębszy fakt - określa tzw. odwrotne przekształcenie
Fouriera. Mówi mianowicie, że w interesującej nas klasie funkcji każda funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez swoją transformatę Fouriera. Mamy zatem odpowiedniość
f
⇋
f ∧.
Zapisując transformatę f ∧ (ω) w postaci wykładniczej
f ∧ (ω) = |f ∧ (ω)|ei·argf
∧ (ω)
(22)
otrzymujemy ważne w zastosowaniach technicznych (głównie w analizie obwodów elektrycznych) pojęcia:
1) f ∧ (ω) - charakterystyka widmowa, gęstość widmowa, widmo funkcji f (t)
2) |f ∧ (ω)| - charakterystyka amplitudowa, gęstość amplitudowa, funkcji f (t)
3) argf ∧ (ω) - charakterystyka fazowa, widmo fazowe, funkcji f (t)
9
Przykłady
Posługując się definicją wyznaczamy transformaty Fouriera oraz charakterystyki widmowe
następujących funkcji:



1 dla 0 < t < 1},
1
dla t = 0 lub t = 1,
a) f1 (t) =

 2
0 dla t < 0 lub t > 1,
b) f2 (t) =





t
1
sgnt
2
0
1
−1
dla |t| < 1,
dla |t| = 1,
dla |t| > 1,
1
2
3
4
1
2
3
4
1
−1
1
2
c) f3 (t) = e−|t|
1
−2
−1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
2
−t2
d) f3 (t) = e
1
−2
−1
0
R o z w i ą z a n i e.
a)Funkcja f spełnia oczywiście warunki twierdzenia Fouriera
∞
R
−∞
a resztę widać na obrazku, więc:
|f (τ )|dτ =
R1
0
1dt = 1,
!
– dla ω 6= 0 możemy policzyć:
f ∧ (ω) =
R∞
−∞
R1
f (τ )e−iωτ dτ = e−iωτ dτ =
0
R1
1
(e−iω
−iω
− 1) =
sin ω
ω
+ i cos ωω−1 ).
– f ∧ (0) = 1dτ = 1
0
Znajdźmy jeszcze charakterystyki widmowe tej funkcji.
Ponieważ sin ω = 2 sin ω2 cos ω2 oraz cos ω = cos2
e−iω − 1 = (cos2
Stąd
1
(e−iω
−iω
ω
2
− sin2 ω2 ) − (cos2
− 1) =
2 sin
ω
ω
2
ω
2
ω
2
− sin2 ω2 , więc
+ sin2 ω2 ) − i2 sin ω2 cos ω2 = 2 sin ω2 (− sin ω2 − i cos ω2 ).
(cos ω2 − i sin ω2 ) =
10
2 sin
ω
ω
2
(cos − ω2 + i sin − ω2 ).
Zatem:
ω
2 sin ω
2 −2i
e
- charakterystyka widmowa,f (t)
ω
ω
2
sin
|f ∧ (ω)| = | ω 2 | - charakterystyka amplitudowa, f (t)
argf ∧ (ω) = − ω2 - charakterystyka fazowa, f (t)
1) f ∧ (ω) =
2)
3)
b) f jest nieparzysta, więc:
– dla ω 6= 0 mamy:
f ∧ (ω) = −i
– f ∧ (0) =
Zatem:
∞
R
f (τ ) sin ωτ dτ = −i
−∞
R1
R1
τ sin ωτdτ = i
−1
2
(sin ω
ω2
− ω cos ω) .
τ dτ = 0
−1
1) f ∧ (ω) = −i
R1
τ sin ωτ dτ = i
−1
∧
2) |f (ω)| = |
3) argf ∧ (ω) =
2
(sin ω
ω2
2
(sin ω − ω cos ω)
ω2
π
- charakterystyka
2
− ω cos ω) - charakterystyka widmowa,f (t)
| - charakterystyka amplitudowa, f (t)
fazowa f (t).
c) f jest parzysta, więc
f ∧ (ω) =
Zatem:
R∞
−∞
h
ω sin ωT −cos ωT
1+ω 2
T →∞
e−|τ | cos ωτdτ = 2 lim
+
1
1+ω 2
i
=
2
.
1+ω 2
2
1) f ∧ (ω) = 1+ω
2 - charakterystyka widmowa, funkcji f (t)
2
2) |f ∧ (ω)| = 1+ω
2 - charakterystyka amplitudowa, funkcji f (t)
∧
3) argf (ω) = 0 - charakterystyka fazowa, funkcji f (t)
d)
2
e−t
∧
(ω) =
∞
R
2
−∞
= e−
e−τ e−iωτ dτ =
ω2
4
∞
R
−∞
iω 2
∞
R
−∞
e−τ
2 −iωτ
e−(τ + 2 ) dτ = e−
ω2
4
dτ =
∞
R
−∞
R∞
−∞
e−τ
iω 2
2 −iωτ
e−(τ + 2 ) d(τ +
dτ =
iω
)
2
∞
R
−∞
=
√
iω 2 ω 2
+ 4 ]
e−[(τ + 2 )
dτ
ω2
πe− 4 .
Podstawowe własności przekształcenia Fouriera
Przekształcenie Fouriera ma kilka bardzo ważnych własności, których wykorzystanie ułatwia, a czasem wręcz - czyni mechanicznym, rozwiązywanie wielu skomplikowanych zagadnień (np. w teorii równań różniczkowych). Pierwsze cztery z nich są oczywistą konsekwencją wiadomych własności całki. Dowody pozostałych wzorów są nietrudne, pod
warunkiem, że zdajemy sobie sprawę z konieczności wykorzystania głębokich twierdzeń
dotyczących możliwości zamiany kolejności różnych przejść granicznych. We wszystkich
poniższych wzorach zakładamy, że funkcje, do których stosujemy przekształcenie Fouriera, spełniają założenia twierdzenia Fouriera. Powinniśmy też pamiętać, że symbol
R∞
−∞
jest tu tylko pewnym skrótem i tak naprawdę, stosując całkowanie przez podstawienie
czy przez części mamy do czynienia z całką niewłaściwą ( co w przypadku bezwzględnej
11
całkowalności jest równoważne warunkowi
∞
R
−∞
postępować tak, jak w przykładzie c).
|f (x)|dx = lim
RT
T →∞ −T
|f (x)|dx ) i powinniśmy
• Liniowość transformaty Fouriera
(A1 f1 (t) + A2 f2 (t))∧ (ω) = A1 (f1 (t))∧ (ω) + A2 (f2 (t))∧ (ω)
• Transformata Fouriera funkcji f (at),
(23)
a ∈ IR
1
ω
(f (at)) (ω) = (f (t))∧
a
a
∧
(24)
Dowód
(f (at))∧ (ω) =
∞
R
f (aτ )e−iωτ dτ =
−∞
1
a
∞
R
−∞
ω
f (s)e−i a s ds = a1 (f (t))∧ ( ωa ).
• Transformata Fouriera funkcji eiω0 t f (t)
(eiω0 t f (t))∧ (ω) = (f (t))∧ (ω − ω0 )
(25)
D o w ó d.
(eiω0 t f (t))∧ (ω) =
∞
R
−∞
eiω0 τ f (τ )e−iωτ dτ =
∞
R
f (τ )e−i(ω−ω0 )τ dτ = (f (t))∧ (ω − ω0 )
−∞
• Przesunięcie w argumencie funkcji f
(f (t − to ))∧ (ω) = e−iωt0 (f (t))∧ (ω).
(26)
D o w ó d.
(f (t − t0 ))∧ (ω) =
=
∞
R
−∞
∞
R
−∞
f (τ −t0 )e−iωτ dτ =
R∞
−∞
f (s)e−iω(s+t0 ) ds
e−iωt0 f (s)e−iωs ds = e−iωt0 (f (t))∧ (ω)
• Pochodna transformaty Fouriera
dk ((f (t))∧)
(ω0 ) = (−i)k (tk f (t))∧ (ω0 )
k
dω
D o w ó d. (dla k = 1)
d(f (t))∧
(ω0 ) = lim h1 ((f (t))∧ (ω0 + h) − (f (t))∧ (ω0 ))
h→0
dω
R∞
1
h→0 h −∞
R∞
= lim
= lim
=
h→0 −∞
∞
R
−∞
f (τ )e−i(ω0 +h)τ dτ −
f (τ )e−i(ω0 )τ e
−ihτ −1
h
dτ
R∞
−∞
−∞
f (τ )e−iω0 τ dτ
e−ihτ −1
dτ
h→0 −ihτ
(−iτ )f (τ )e−i(ω0 )τ lim
= (−i)
R∞
=
τ f (τ )e−i(ω0 )τ dτ = (−i)(tf (t))(ω0 ).
12
!
(27)
• Transformata Fouriera pochodnej
(f (n) (t))∧ (ω) = (iω)n · (f (t))∧ (ω)
(28)
D o w ó d. ( dla k = 1)
(f ′ (t))∧ (ω) =
∞
R
−∞
∞
f ′ (τ )e−iωτ dτ = f (τ )e−iωτ bo dla funkcji f (t) spełniającej warunek
−∞
∞
R
−∞
−
R∞
−∞
f (τ )(−iω)e−iωτ dτ = (−iω)(f (t))∧ (ω),
|f (t)|dt < ∞ mamy oczywiście
lim f (τ )e−iωτ = 0 oraz lim f (τ )e−iωτ = 0.
τ →∞
τ →−∞
• Transformata Fouriera całki


Zt
t0
∧
f (τ )dτ  (ω) =
1
· (f (t))∧ (ω)
iω
(29)
Przykłady
Wykorzystując własności przekształcenia Fouriera wyznaczamy transformaty Fouriera następujących funkcji:



1 dla
|t| < 1},
1
|t|
=
1,
 2
0 dla
|t| > 1
1
a) g1 (t) = 
1
−1
2
3
t2
dla |t| < 1,
1
sgnt
dla |t| = 1,
b) g2 (t) =
 2

0
dla |t| > 1,
4



1
−2
1
−1
2
3
4
2
3
c) f3 (t) = e−α|t|
1
−2
−1
0
α=2
13
1
2
3
4
2
3
−t2
c) g4 (t) = te
1
−2
−1
0
1
2
R o z w i ą z a n i e.
a) Zauważmy,że g1 (t) = f1 (t) + f1 (t + 1), więc na mocy własności (23) i (26):
– dla ω 6= 0 mamy:
(g1 (t))∧ (ω) = (f1 (t))∧ (ω) + eiω (f1 (t))∧ (ω) = (f1 (t))∧ (ω)(1 + eiω )
=
i
(e−iω
ω
2 sin ω
.
ω
− 1)(1 + eiω ) =
–(g1 (t))∧ (0) = 2.
b) Ponieważ g2 (t) = tf2 (t), więc na mocy własności (27):
– dla ω 6= 0 mamy:
d(f2 (t))∧
= −2 ω22 (sin ω
dω
sin ω
cos ω
ω
−
−
2
2 2 sin
3
2
ω
ω
ω
(g2 (t))∧ (ω) = i ·
=
–(g1 (t))∧ (0) =
R1
−1
− ω cos ω)
′
τ dτ = 32 .
c) Ponieważ g3 (t) = f3 (αt), więc na mocy własności (25) możemy napisać:
(g3 (t))∧ (dω) = α1 (f3 (t))∧
d) Zauważmy, że g4 (t) =
(g4 (t))∧ (ω) = 21 iω ·
•
√
πe
ω
α
1
2
ω2
4
=
2
e−t
1
2
α 1+( ω
)2
α
′
=
2α
.
α2 +ω 2
, więc na mocy własności (??) mamy
.
Definicja 1.2. Jeżeli f1 (t) i f2 (t) są bezwzględnie całkowalne na (−∞, ∞), to splotem
funkcji nazywamy funkcję (f1 ∗ f2 ) określoną wzorem
(f1 ∗ f2 )(t) =
Z∞
−∞
f1 (τ )f2 (t − τ )dτ
(30)
Splot funkcji ciągłych ma następujące własności:
1) f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1
2) f1 ∗ (f2 ∗ f3 ) = f1 ∗ (f2 ) ∗ f3 )
3) f1 ∗ (f2 + f3 ) = f1 ∗ f2 + f1 ∗ f3
W przyszłości często będziemy wykorzystywać tzw. funkcje֒ Heaviside’a (funkcję skoku
jednostkowego) określoną wzorem:
14
1
1(t) =
1
−1
2
3
4
1
1 + sgnt
2
(31)
Przykłady
Posługując się definicją wyznaczamy splot następujących funkcji f oraz g:




1 dla 0 ¬ t ¬ ∞,
1
dla t = 0,
a) f (t) =
2


 0 dla t < 0,
1
−1




1 dla −1 ¬ t ¬ 0,
1
dla t = −1 lub t = 0
g(t) =
2


 0 dla x < −1 dla x > 0,
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
−1




1 dla −1 ¬ t ¬ 1,
1
dla t = −1 lub t = 1
b)g(t) = f (t) =
2


 0 dla x < −1 dla x > 1,
1
−1
c)f (t) = g(t) = 1(t)
2
d) f (t) = g(t) = e−t
R o z w i ą z a n i e.
a) (f ∗ g)(t) =
∞
R
−∞
f (τ )f (t − τ )dτ . Z definicji funkcji f, g wynika, że funkcja podcałkowa
jest różna od zera wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < τ < 1 oraz −1 < t − τ < 0. Zatem:
– dla |t| > 1 mamy (f ∗ g)(t) = 0,
– dla |t| < 1, przyglądając się uważnie wykresom stwierdzamy, że (f ∗ g)(t) = 1 − |t|.
b) (f ∗ g)(t) =
∞
R
−∞
f (τ )f (t − τ )dτ . Z definicji funkcji f, g wynika, że funkcja podcałkowa
jest różna od zera wtedy i tylko wtedy, gdy −1 < τ < 1 oraz −1 < t − τ < 1. Zatem:
– dla |t| > 2 mamy (f ∗ g)(t) = 0,
15
– dla |t| < 2, przyglądając się uważnie wykresom stwierdzamy, że (f ∗ g)(t) = 2 − |t|.
c)(1 ∗ 1)(t) =
d)
(f ∗ g)(t) =
=





0
Rt
dla t < 0
1dτ = t
0
∞
R
−∞
∞
R
2
∞
R
2
e−τ e−(t−τ ) =
−∞
√
2
−( 2(τ + 12 t))2 − t2
= e
2 +2tτ −t2
t2
= e− 2 ·
e
−∞
2
− t2
e−2τ
·
√1
2
·π =
bo, jak pokażemy niebawem,
q
R∞
π
2
−∞
√1
2
2
− t2
·e
2
,
e−t dt =
√
R∞
−∞
2
e−s ds
π.
• Twierdzenie 1.5. (o transformacie Fouriera splotu∞) Jeżeli funkcje∞f1 (t) i f2(t) spełniają
założenia Twierdzenia Fouriera oraz istnieją całki
transformata Fouriera splotu i zachodzi równość
R
−∞
|f1 (t)|2 dt i
R
−∞
|f2 (t)|2 dt, to istnieje
(f1 (t) ∗ f2 (t))∧ (ω) = (f1 (t))∧ (ω) · (f2 (t))∧ (ω)
• Twierdzenie 1.6.
(32)
(o transformacie Fouriera iloczynu) Jeżeli funkcje f1 (t) i f2 (t) speł-
niają założenia Twierdzenia Fouriera oraz istnieją całki
istnieje transformata Fouriera splotu i zachodzi równość
∞
R
−∞
|f1 (t)|2 dt i
R∞
−∞
|f2 (t)|2 dt, to
(f1 (t) · f2 (t))∧ (ω) = (f1 (t))∧ (ω) ∗ (f2 (t))∧ (ω)
(33)
Przykłady
Wykorzystując odpwiednie twierdzenia wyznaczamy transformaty następujących funkcji
f oraz g:
a) f (t) =
(
1 − |t| dla |t| < 1},
0
dla lub |t| ­ 1,
1
−1
1
2
3
R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ f (t) = (f1 ∗ f2 )(t) oraz f2 (t) = f1 (t + 1), więc na mocy Twierdzenia (32) mamy
1
f ∧ (ω) = −iω
(e−iω − 1) · eiω (e−iω − 1) = − ω22 (cos ω − 1).
16
4
1.3
Transformata Laplace’a
Przekształcenie Fouriera, choć posiada liczne zastosowania w naukach technicznych, nie
może być stosowane do wielu ważnych funkcji, np. do funkcji stałej, czy funkcji sin ωt,
cos ωt, które pojawiają się w większości równań fizyki matematycznej. Matematycy pracujący w wiekach XVII i XVII (Leibnitz, Euler, Lagrange, Laplace, Fourier), próbując
uprościć rozwiązywanie równań różniczkowych, stworzyli pewien aparat, który pozwala zastąpić operator różniczkowania dtd zwyczajną operacją mnożenia (patrz wzór (43)).
Zdefiniowali pewne przekształcenie całkowe, które można zastosować do szerszej klasy
funkcji. O ile możliwość zastosowania transformaty Fouriera jest ograniczona warunkami
typu lim f (t) = 0, lim f (t) = 0, to istnienie przekształcenia Laplace’a wymaga jedynie,
t→−∞
t→∞
by funkcja f (t) nie rosła ”zbyt szybko”. Przekształcenie to możemy stosować zarówno do
funkcji okresowych, jak i do nieokresowych bezwzględnie całkowalnych.
• Definicja 1.3. Oryginalem nazywamy funkcję f
: IR −→ IR spełniającą następujące warunki:
1) f (t) = 0 dla wszystkich t < 0
2) w każdym otwartym przedziale skończonym spełnione są dwa pierwsze warunki Dirichleta,
W W V
|f (t)| ¬ Meρt .
3)
66
M >0 ρ­0 t
Jeżeli f (t) jest oryginałem, to dla x > ρ funkcja f (t)e−xt spełnia założenia Twierdzenia Fouriera (bezwzględna całkowalność na IR jest oczywista), więc prawdziwy jest wzór
całkowy Fouriera i mamy
f (t)e−xt
1
=
2π
Z∞
−∞


Z∞
−∞

1
f (τ )e−xτ e−iωτ dτ  eiωt dω =
2π
Z∞
−∞


Z∞
−∞

f (τ )e−(x+iωτ ) dτ  eiωt dω.
Wyliczając stąd f (t) (tzn. mnożąc równość stronami przez ext , który to czynnik możemy
spokojnie wstawić pod znak całki względem zmiennej ω) i wykorzystując warunek f (t) = 0
dla t < 0 otrzymujemy
∞
∞
1 Z Z
f (t) =
f (τ )e−(x+iωτ ) dτ  e(x+iωt) dω.
2π
−∞


0
Dokonując zamiany zmiennej (x + iωt = s) dostajemy tzw. wzór Laplace’a-Mellina
f (t) =
1
2πi
∞

Z
 f (τ )e−sτ dτ  est ds
x+i∞
Z
x−i∞
(34)
0
Określmy (jak przy definiowaniu transformaty Fouriera) przekształcenie Laplace’a
wzorem
∞
(f (t))∧L (s) =
Z
f (t)e−st dt.
(35)
0
Jeżeli nie będzie wątpliwości o jakie funkcje chodzi, to w dalszym ciągu transformatę
funkcji f (f (t)! będziemy krótko oznaczali fˆ (fˆ(s)).
Przekształcenie (35) przyporządkowuje funkcji f (t) zmiennej rzeczywistej t funkcję
ˆ
f (s) zmiennej zespolonej s. Całkę po prawej stronie nazywamy całką Laplace’a. Oczywiście pojawia się pytanie o jej zbieżność. Łatwo sprawdzić, że jeżeli całka Laplace’a
17
jest zbieżna (bezwzględnie zbieżna) w pewnym punkcie s0 , to jest zbieżna (bezwzględnie
zbieżna) w każdym punkcie s takim, że Res > Res0 . Podobnie - gdy f jest oryginałem,
to całka Laplace’a jest zbieżna w każdym w każdym punkcie s takim, że Res > ρ. Wzór
Laplace’a-Mellina daje nam wówczas równość
1
f (t) =
2πi
x+i∞
Z
fˆ(s)est ds,
(36)
x−i∞
która stanowi przyporządkowanie odwrotne. Para przekształceń - przekształcenie Laplace’a i przyporządkowanie odwrotne dają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między zbiorem oryginałów a zbiorem ich transformat Laplace’a. Mamy zatem odpowiedniość
f
⇋
ˆ
f.
Wróćmy jeszcze do transformaty Fouriera. Nic nie stoi na przeszkodzie, by za argument
funkcji f ∧ przyjąć zmienną czysto urojoną iω, czyli pisać
∧
f (iω) =
Z∞
f (τ )e−iωτ dτ .
−∞
Jeżeli funkcja f (t) spełnia założenia twierdzenia Fouriera, to funkcja f (t) · 1(t) jest oczywiście oryginałem i jej transformata Laplace’a ”‘obcięta”’ do osi urojonej staje się transformatą Fouriera.
Przekształcenie Laplace’a ma również wiele ważnych własności, których wykorzystanie
ułatwia, a czasem wręcz - czyni mechanicznym, rozwiązywanie wielu skomplikowanych
zagadnień (np. w teorii równań różniczkowych).
• Liniowość transformaty Laplace’a
(A1 f1 (t) + A2 f2 (t))∧L = A1 (f1 (t))∧L + A2 (f2 (t))∧L
(37)
• (o podobieństwie)
Jeżeli f (t) jest oryginałem oraz a > 0, to
s
1
(f (at))∧L (s) = (f (t))∧L ( )
a
a
(38)
• (o przesunięciu w argumencie oryginału)
Jeżeli f (t) jest oryginałem oraz a > 0, to
(f (t − t0 )1(t − t0 ))∧L (s) = e−t0 s (f (t))∧L (s)
(39)
• (o przesunięciu w argumencie obrazu)
Jeżeli f (t) jest oryginałem oraz a > 0, to
(e−αt f (t)∧L (s) = (f (t))∧L (s + α)
18
(40)
• (o transformacie oryginału okresowego)
Jeżeli funkcja f (t) o okresie T w przedziale (0, ∞) jest oryginałem, to
(f (t))∧T L (s)
(f (t)) (s) =
,
1 − e−sT
∧L
gdzie
(f (t))∧T L (s)
=
ZT
f (t)e−st dt
(41)
0
• Pochodna transformaty Laplace’a
Jeżeli funkcja f (t) jest oryginałem, to prawdziwa jest równość
dk (f (t) ∧L
(
) (s) = (−1)k (tk f (t))∧L (s).
k
ds
(42)
• Transformata Laplace’a pochodnej
Jeżeli funkcja f (t) oraz jej pochodne do rzędu (n − 1) włącznie są oryginałami oraz
pochodna f (n) (t) istnieje i jest ciągła na (0, ∞), to istnieje transformata Laplace’a
tej pochodnej i prawdziwa jest równość
(f
(n)
∧L
n +
∧L
(t)) (s) = s ( )(f (t)) (s) −
n
X
sn−k f (k−1) (0+).
(43)
k=1
• Transformata Laplace’a całki
Jeżeli funkcja f (t) jest oryginałem, to istnieje transformata Laplace’a funkcji górnej
granicy całkowania
Rt
f (τ )dτ i prawdziwa jest równość
0


•
Zt
0
∧L
f (τ )dτ 
1
(s) = (f (t))∧L (s).
s
(44)
Twierdzenie 1.7. (Twierdzenie Borela o transformacie Laplace’a splotu) Jeżeli funkcje f1 (t) i f2 (t) są oryginałami, to istnieje transformata Laplace’a ich splotu i zachodzi
równość
(45)
(f1 (t) ∗ f2 (t))∧L (s) = (f1 (t))∧L (s) · (f2 (t))∧L (s)
Przykłady zastosowań transformaty Laplace’a
1) Wyznaczyć funkcję dwukrotnie różniczkowalną f spełniającą warunki
f ′′ + ω 2 f = 0, f (0) = f ′ (0) = 1.
R o z w i ą z a n i e.
Przechodząc do transformat Laplace’a po obu stronach równania otrzymujemy:
s
1
ω
ˆ
= s2 +ω
s2 fˆ(ω) − sf (0) − f ′ (0) + ω 2 f(ω)
= 0, skąd: fˆ(ω) = s2s+1
2 + ω s2 +ω 2 .
+ω 2
Ponieważ przyporządkowanie fL∧ jest wzajemnie jednoznaczne, więc możemy odczytać z
tablic transformat Laplace’a, że
f (t) = cos ωt +
1
ω
sin ωt.
2) Wyznaczyć funkcję dwukrotnie różniczkowalną f spełniającą warunki
f ′′ + f = 0, f (0) = f ′ (0) = e.
19
R o z w i ą z a n i e.
Przechodząc do transformat Laplace’a po obu stronach równania otrzymujemy:
2
ˆ
s2 fˆ(ω)−sf (0)−f ′ (0)+f(ω)
= 1 , skąd: fˆ(ω) = s+1
+ 1 = 2 s
=1 1 +
2
+ s21+1 .
s−1
s +1 s−1
(s +1)(s−1)
2 s−1
Ponieważ przyporządkowanie fL∧ jest wzajemnie jednoznaczne, więc możemy odczytać z
tablic transformat Laplace’a, że
s
s2 +1
f (t) = ....
Robimy też spokojnie przykłady ze skryptu GiS (Równania różniczkowe), nie
przejmując się faktem, że GiS definiuje transformatę Laplace’a jako funkcję
zmiennej rzeczywistej.
20