zmiany konforemne i bikonforemne metryk kählera

Transkrypt

ZMIANY KONFOREMNE I BIKONFOREMNE
METRYK KÄHLERA
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
8 lipca 2010 r.
.
Seminarium z Geometrii Rózniczkowej
Politechnika Wroclawska, Instytut Matematyki i Informatyki
tekst wystawiony jest na stronie
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/pwr.pdf
ZMIANY KONFOREMNE I BIKONFOREMNE METRYK KÄH
BIKONFOREMNOŚĆ METRYK RIEMANNA
O dwóch metrykach Riemanna g i ĝ na rozmaitości M mówi sieι
czasem, że saι bikonforemne, gdy
ĝ = fg na H,
ĝ = χg na V,
g (H, V) = ĝ (H, V) = {0}
dla jakichś funkcji dodatnich f , χ oraz dystrybucji V, H na M,
spelniajaιcych warunek T M = V ⊕ H.
Opisana sytuacja nie jest specjalnie ciekawa w przypadku dwóch
metryk Kählera na powierzchni zespolonej M, gdyż
bikonforemność musi wtedy zachodzić na każdej skladowej spójnej
pewnego geιstego otwartego podzbioru M.
str.1
POTENCJALY KILLINGA
Niech (M, g ) beιdzie rozmaitościaι Kählera. Symbol J zawsze
oznacza jej tensor struktury zespolonej.
Mówimy, że 2-tensor symetryczny b na M jest hermitowski, gdy
b(J · , J · ) = b. Pole wektorowe v na M nazywamy rzeczywistym
holomorficznym, lub po prostu holomorficznym, jeśli ILw J = 0, co
jest równoważne żaιdaniu, by ∇v : T M → T M komutowalo z J.
Przez potencjal Killinga na (M, g ) rozumiemy dowolnaι funkcjeι
gladkaι τ : M → IR, dla której zachodzi jeden z trzech
równoważnych warunków:
•
•
•
g -gradient v = ∇τ jest holomorficzny,
u = J(∇τ ) jest polem Killinga,
hesjan ∇dτ jest hermitowski.
str.2
ZMODYFIKOWANA DEFINICJA BIKONFOREMNOŚCI
Niech każda z dwóch par (g , τ ) i (ĝ , τ̂ ) sklada sieι z metryki
Kählera i wybranego niestalego potencjalu Killinga na zadanej
powierzchni zespolonej M. Umówmy sieι nazywać (g , τ ) i (ĝ , τ̂ )
bikonforemnie równoważnymi (i mówić, że jedna para powstaje z
drugiej przez zmianeι bikonforemnaι) jeśli
i)
ĝ = f g − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii)
ˆ = ∇τ
∇τ̂
dla jakichś funkcji gladkich f , θ : M → IR, gdzie
v = ∇τ jest g -gradientem τ , zaś u = Jv oraz ξ = g (u, · ).
Ganczew i Michowa (2008) definiujaι zmiany bikonforemne bardziej
ogólnie: τ jest u nich po prostu funkcjaι gladkaι.
str.3
KWESTIA ISTNIENIA
Każda para (g , τ ) omawianego typu dopuszcza trywialnaι zmianeι
bikonforemnaι, w której f jest stalaι dodatniaι i θ = 0.
Nie wiadomo, czy dla każdej pary (g , τ ) na zwartej powierzchni
zespolonej musi istnieć nietrywialna zmiana bikonforemna.
Nietrywialne zmiany bikonforemne pary (g , τ ) zawsze istniejaι
lokalnie, w zbiorze na którym dτ 6= 0.
str.4
Konwencje oznaczeniowe:
v = ∇τ , u = Jv , ξ = g (u, · ), Q = g (v , v ), Y = ∆τ .
W zbiorze otwartym M 0 ⊂ M, na którym v 6= 0, równość i)
znaczy, że
ĝ = fg na H,
ĝ = χg na V,
g (H, V) = ĝ (H, V) = {0}
dla χ = f − Q θ i V = SpanIR (v , u) oraz H = V ⊥. Przy tym
T M 0 = V ⊕ H. Ponadto du f = du θ = 0.
Inaczej mówiaιc: żaιdamy, by g i ĝ byly bikonforemne i mialy
holomorficzny gradientowy wektor wlasny.
Gladkość f i θ, na calym M stanowi dodatkowe zalożenie.
str.5
FUNKCJE POTENCJALÓW KILLINGA
Niech (M, g ) znów beιdzie rozmaitościaι Kählera, tym razem
zwartaι, z zadanym niestalym potencjalem Killinga τ . Nazwijmy
funkcjeι ψ : M → IR gladkaι funkcjaι τ jesli ψ jest zlozeniem
M → [τmin , τmax ] → IR,
w którym pierwsza strzalka to τ , a druga to jakaś funkcja gladka.
Latwo pokazać, że powyższy warunek zachodzi wtedy i tylko
wtedy, gdy ψ : M → IR jest funkcjaι gladkaι i dψ ∧ dτ = 0.
Zalożenie zwartości M jest istotne.
str.6
KRYTERIUM BIKONFOREMNOŚCI
Przypomnijmy definicjeι zmiany bikonforemnej:
i)
ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii)
ˆ = ∇τ
∇τ̂
gdzie
v = ∇τ jest g -gradientem τ , zaś u = Jv oraz ξ = g (u, · ).
Ponieważ ĝ w równosci i) jest automatycznie tensorem
hermitowskim, kladaιc ω̂ = ĝ (J ·, , · ) widzimy, że
ω̂ = f ω + θ ξ ∧ dτ .
Aby stwierdzić, czy dane funkcje f , θ : M → IR defniniujaι
(wzorem i)) nowaι metrykeι Kählera, wystarczy spytać, czy ω̂ jest
formaι zamknieιtaι i dodatniaι; warunek ii), dla odpowiednio
dobranego τ̂ , trzeba sprawdzić osobno.
str.7
Otrzymane w ten sposób kryterium wyglaιda nasteιpujaιco (jeśli użyć
oznaczenia ( )0 = d/dτ ):
•
τ̂ = P(τ ) dla jakiejś funkcji gladkiej P zmiennej τ ,
•
f − Q θ = H(τ ), gdzie H = P 0,
•
dv θ + θY = −H 0 (τ ),
•
f > max (Q θ, 0).
WNIOSEK. Nietrywialne zmiany bikonforemne pary (g , τ )
zawsze istniejaι lokalnie, w zbiorze na którym dτ 6= 0.
str.8
BRAK JEDYNOŚCI
Nietrywialna zmiana bikonforemna
i)
ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii)
ˆ = ∇τ
∇τ̂
pary (g , τ ), jeśli istnieje, nie jest jedyna: zawsze możemy zadać
rodzineι takich zmian, zależnaι od trzech stalych parametrów
p, q, s, i prowadzaιcaι do par
(p ĝ + qg , pτ̂ + qτ + s).
Jedynym ograniczeniem na p, q, s jest żaιdanie, by tensor p ĝ + qg
byl dodatnio określony. (Wystarczy np. zalożyć, że p i q saι
dodatnie.)
str.9
TWIERDZENIE 1. Dla dowolnego niestalego potencjal Killinga
τ na zwartej powierzchni Kählera (M, g ), nasteιpujaιce warunki saι
równoważne:
•
(g , τ ) dopuszcza nietrywialnaι zmianeι bikonforemnaι postaci
i)
ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii)
ˆ = ∇τ ,
∇τ̂
w której θ jest gladkaι funkcjaι τ ,
•
∆[S(τ )] = −H 0 (τ ) dla jakichś niestalych funkcji gladkich
S, H : [τmin , τmax ] → IR.
Funkcja H w drugim warunku jest wtedy równa, z dokladnościaι
do stalej addytywnej, funkcji H = P 0 dla P takiego, że
τ̂ = P(τ ), zaś θ i S spelniajaι relacjeι θ = dS/dτ .
str.10
PRZYKLAD: POWIERZCHNIE KÄHLERA-EINSTEINA
Jeśli na nieplaskiej zwartej powierzchni Kählera-Einsteina (M, g )
istnieje nietrywialne rzeczywiste holomorficzne pole wektorowe, to
istnieje też na niej niestaly potencjal Killinga τ , i para (g , τ )
dopuszcza wtedy nietrywialnaι zmianeι bikonforemnaι.
Dowód: Z tw. Matsushimy, the przestrzén pól holomorficznych
rozpieιta jest przez gradienty holomorficzne i ich obrazy przez J
(tzn. polla Killinga). Wybierajaιc niestaly potencjal Killinga τ ,
mamy 2 Ric(v , · ) = −dY dla v = ∇τ i Y = ∆τ , wieιc dodajaιc
do τ stalaι dostajemy ∆τ = −2λτ , gdzie λ jest stalaι Einsteina
(Ric = λg ). Drugi warunek w Twierdzeniu 1 zachodzi zatem dla
S(τ ) = τ i H(τ ) = λτ 2.
str.11
PRZYKLAD: SOLITONY KÄHLERA-RICCIEGO W
WYMIARZE ZESPOLONYM 2
Jeśli nie-einsteinowska zwarta powierzchnia Kählera (M, g ) jest
solitonem Kählera-Ricciego, tzn. ∇dτ + Ric = λg dla jakiejś
funkcji τ : M → IR i stalej λ, to τ jest niestalym potencjalem
Killinga, zaś para (g , τ ) dopuszcza nietrywialnaι zmianeι
bikonforemnaι.
Dowód: Jak zauważyl Hamilton (1993), nasuwajaιc v = ∇τ na
równość ∇dτ + Ric = λg dostajemy ∆τ − g (∇τ, ∇τ ) = c − 2λτ ,
gdzie c jest stalaι, a wieιc ∆e −τ = (2λτ − c)e −τ . Twierdzenie 1
stosuje sieι wieιc do S(τ ) = e −τ i H(τ ) = [2λ(τ + 1) − c ]e −τ .
str.12
PRZYKLAD: KONFOREMNIE EINSTEINOWSKIE
POWIERZCHNIE KÄHLERA
Niech τ beιdzie krzywiznaι skalarnaι nie-einsteinowskiej, konforemnie
einsteinowskiej, zwartej powierzchni Kählera. Wówczas
•
τ jest niestalym potencjalem Killinga,
•
para (g , τ ) dopuszcza nietrywialnaι zmianeι bikonforemnaι.
Drugaι czeιść tezy udowodnil LeBrun (1995).
Dowód: Wiadomo, że τ > 0 na M i τ 3 + 6τ Y − 12Q = 12c dla
pewnej stalej c > 0. Tak wieιc Twierdzenie 1 stosuje sieι do
S(τ ) = −τ −1 i H(τ ) = c τ −2 + τ /6.
str.13
Chen, LeBrun and Weber (2008) dowiedli istnienia metryki o
powyższych wlasnościach na powierzchni otrzymanej z CP2 przez
rozdmuchanie dwóch punktów.
Metryka taka istnieje też na powierzchni powstajaιcej przez
rozdmuchanie jednego punktu w CP2.
Teι ostatniaι skonstrowal Calabi (1981), zaś konforemnie jej
równoważnaι metrykeι Einsteina znalazl Page (1978).
str.14
PRZYKLAD: SPECJALNE POTENCJALY
KÄHLERA-RICCIEGO
Specjalnym potencjalem Kählera-Ricciego na zwartej powierzchni
Kählera (M, g ) nazywamy dowolny niestaly potencjal Killinga
τ : M → IR taki, że Q = g (∇τ, ∇τ ) i Y = ∆τ saι gladkimi
funkcjami τ .
Jeśli τ jest specjalnym potencjalem Kählera-Ricciego na zwartej
powierzchni Kählera (M, g ), to para (g , τ ) dopuszcza
nietrywialne zmiany bikonforemne postaci
ˆ = ∇τ ,
i) ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii) ∇τ̂
w których θ może być dowolnaι zadanaι gladkaι funkcjaι zmiennej
τ , nie równaι tożsamościowo zeru.
str.15
Dowód: Warunek w Twierdzeniu 1 jest spelniony przez każdaι
niestalaι funkcjeι gladkaι S : [τmin , τmax ] → IR.
Zwarte powierzchnie Kählera ze specjalnymi potencjalami
Kählera-Ricciego saι calkowicie sklasyfikowane (D. i Maschler,
2006).
Powierzchnia taka musi być biholomorficznie równoważna CP2 lub
przestrzeni totalnej wiaιzki holomorficznej o wlóknie CP1 nad
powierzchniaι Riemanna. Ta ostatnia możliwość zrealizowana jest
przez powierzchnieι powstajaιcaι przez rozdmuchanie jednego punktu
w CP2 z metrykaι konforemnie einsteinowskaι skonstrowanaι przez
Calabiego (1981), która jest konforemnie równoważna metryce
einsteinowskiej Page’a (1978).
str.16
POTENCJALY KILLINGA O GEODEZYJNYCH
GRADIENTACH
Mówimy, że niestaly potencjal Killinga τ na zwartej rozmaitości
Kählera (M, g ) ma geodezyjny gradient jeśli wszystkie krzywe
calkowe ∇τ saι, z dokladnościaι do parametryzacji, geodezyjnymi.
Przyklad: dowolny specjalny potencjal Kählera-Ricciego.
Dla każdego niestalego potencjalu Killinga τ o geodezyjnym
gradiencie na zwartej powierzchni Kählera (M, g ), para (g , τ )
dopuszcza nietrywialnaι zmianeι bikonforemnaι w której H = P 0, dla
P takiego, że τ̂ = P(τ ), może, z dokladnościaι do stalej
addytywnej, być dowolnaι zadanaι niestalaι gladkaι funkcjaι zmiennej
τ ∈ [τmin , τmax ] o pochodnej L2 -ortogonalnej do funkcji liniowych
zmiennej τ .
str.17
OGÓLNIEJSZY TYP ZMIAN BIKONFOREMNYCH
Okazuje sieι, że w wielu przypadkach dla pary (g , τ ) wiadomego
typu na zwartej powierzchni zespolonej M pojawia sieι w naturalny
sposób nietrywialna zmiana bikonforemna
i)
ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii)
ˆ = ∇τ ,
∇τ̂
nie wyjściowej pary (g , τ ), tylko jej obcieιcia do podrozmaitości
otwartej geιstej zadanej warunkiem dτ 6= 0, przy czym funkcje
f , Q θ, τ̂ i metryka ĝ saι (gladko) określone na calym M. Za to θ,
w odróżnieniu od Q θ, może nie mieć gladkiego przedlużenia do M.
Przyklad takiej sytuacji widzimy w nasteιpnym twierdzeniu.
str.18
TWIERDZENIE 2. Przypuśćmy, że τ jest niestalym
potencjalem Killinga na zwartej powierzchni Kählera (M, g ), zaś
ĝ jest metrykaι Kählera na M reprezentujaιcaι teι samaι klaseι
kohomologii co g , a ψ : M → IR jest funkcjaι gladkaι spelniajaιcaι
warunek ω̂ = ω + 2i ∂∂ ψ dla form Kählera ω i ω̂ metryk g i ĝ .
Jeśli istnieje zmiana bikonforemna pary (g , τ ) prowadzaιca do pary
postaci (ĝ , τ̂ ), to
(•) dv ψ jest gladkaι funkcjaι τ i du ψ = 0.
Na odwrót, z warunku (•) wynika, że dla pewnego niestalego
potencjalu Killinga τ̂ na (M, ĝ ) para (ĝ , τ̂ ), obcieιta do zbioru
M 0 na którym dτ 6= 0, powstaje z (g , τ ) przez zmianeι
bikonforemnaι takaι że, na M 0,
ˆ = ∇τ ,
i) ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii) ∇τ̂
dla f = ∆ψ + 1 − d(dv ψ)/dτ , θ = [∆ψ − 2d(dv ψ)/dτ ]/Q i
τ̂ = τ + dv ψ.
str.19
METRYKI U(2)-NIEZMIENNICZE
Niech M oznacza baιdź CP2 baιdź powierzchnieι otrzymanaι przez
rozdmuchanie jednego punktu w CP2. Grupa U(2) dziala wieιc na
M efektywnie, przez biholomorfizmy. Dla dowolnej
U(2)-niezmienniczej metryki Kählera na M, ustalone pole
wektorowe u generujaιce dzialanie centrum U(1) ⊂ U(2) jest
U(2)-niezmienniczym polem Killinga dla g . Zatem u = J(∇τ ) dla
pewnego niestalego potencjalu Killinga τ na (M, g ). Nazwijmy
taki τ stowarzyszonym z g . Ponieważ orbity glówne U(2) saι
trójwymiarowe, każda U(2)-niezmiennicza funkcja gladka M → IR
jest gladkaι funkcjaι τ . Dla funkcji Q = g (∇τ, ∇τ ) i Y = ∆τ
wynika staιd, że τ jest specjalnym potencjalem Kählera-Ricciego
na (M, g ).
str.20
JESZCZE O METRYKACH U(2)-NIEZMIENNICZYCH
Dla dowolnych dwóch U(2)-niezmienniczych metryk Kählera g , ĝ
na M i stowarzyszonych z nimi niestalych potencjalów Killinga
τ, τ̂ , para (ĝ , τ̂ ) obcieιta do M 0 powstaje z (g , τ ) przez zmianeι
bikonforemnaι
i)
ĝ = fg − θ(dτ ⊗ dτ + ξ ⊗ ξ),
ii)
ˆ = ∇τ .
∇τ̂
Jeśli M jest wynikiem rozdmuchania punktu w CP2, to f and
Q θ oraz wiaιzki V i H przestrzeni wlasnych majaι gladkie
przedlużenia do M takie, że f > max (Q θ, 0) na M.
str.21
DWIE METRYKI KLASYCZNE
Na powierzchni powstajaιcej przez rozdmuchanie jednego punktu w
,,
CP2 znane saι dwie ,,klasyczne U(2)-niezmiennicze metryki
Kählera.
Jedna z nich to soliton Kählera-Ricciego skonstruowany przez
Koiso (1990) i, niezależnie, Cao (1996); drugaι jest metryka
ekstremalna Calabiego (1981), konforemna z metrykaι Einsteina
znalezionaι przez Page’a (1978).
Mieιdzy tymi dwiema metrykami istnieje wieιc zmiana bikonforemna
ogólniejszego typu. Nie wiadomo, czy można jaι zastaιpić zmianaι
bikonforemnaι w zwyklym sensie.
str.22
JESZCZE O GEODEZYJNYCH GRADIENTACH
Zwarte powierzchnie Kählera (M, g ) z niestalymi potencjalami
Killinga τ o geodezyjnych gradientach dajaι sieι calkowicie
sklasyfikować. Możemy przy tym wykluczyć (znany już) przypadek
specjalnch potencjalów Kählera-Ricciego.
KONSTRUKCJA MODELI UNIWERSALNYCH: Wybierzmy
nietrywialny odcinek domknieιty I = [τmin , τmax ], stalaι rzeczywistaι
a > 0, zwartaι rozaitość Kählera (N, h) wymiaru zesplonego 1
(tzn. zorientowanaι rzeczywistaι powierzchnieι zamknieιtaι N z
metrykaι Riemanna h), oraz odwzorowania gladkie
I 3 τ 7→ Q ∈ IR i γ : N → IRP1 r I takie, że Q = 0 na końcach
przedzialu, Q > 0 w jego wneιtrzu I◦ = (τmin , τmax ), zaś Q 0 = 2a
τ = τmin i Q 0 = −2a dla τ = τmax .
str.23
CIAιG DALSZY KONSTRUKCJI
Przy tym ( )0 = d/dτ i IR jest traktowane jak podzbiór IRP1 ze
standartowym wlożeniem τ 7→ [τ, 1] (wspólrzeιdne jednorodne).
Przez τ∗ oznaczamy środek przedzialu I.
Ustalmy też gladkaι wiaιzkeι L prostych zespolonych nad N,
hermitowskaι metrykeι wlóknistaι h , i w L, oraz koneksjeι w L,
metrycznaι wzgleιdem h , i, z formaι krzywizny
Ω = −a(τ∗ − γ)−1 ω (h), gdzie ω (h) jest formaι Kählera metryki h.
(Tak wieιc Ω = 0 w punktach, w których γ = ∞.) Symbol L
oznacza również przestrzeń totalnaι, a V i H to dystrybucja
wertykalna Ker dπ i dystrybucja horyzontalna naszej koneksji,
przy czym π jest projekcjaι L → N.
str.24
Normeι r : L → [0, ∞) metryki h , i traktujemy zarazem jak
zmiennaι niezależnaι w przedziale [0, ∞). Nasteιpnie wybieramy
dyfeomorpfizm I◦ 3 τ 7→ r ∈ (0, ∞) taki, że dr /dτ = ar /Q.
Definiujemy teraz metrykeι Riemanna g na M 0 = L r N, kladaιc
g = (τ∗ − γ ◦ π)−1 (τ − γ ◦ π)π ∗h albo g = π ∗h na H,
g = (ar )−2 Q Reh , i na V, oraz g (H, V) = {0}. Na H pierwszy
wzór stosuje sieι w przeciwobrazie przez π podzbioru N na którym
γ 6= ∞, a drugi wzór na jego dopelnieniu. Wybrany dyfeomorfizm
τ 7→ r pozwala nam traktować τ (a wieιc i Q) jak funkcjeι
M 0 → IR.
Niech M beιdzie rzutowaι kompaktyfikacjaι L. Nasze g i τ majaι
gladkie przedlużenia do M.
str.25

zmiany konforemne i bikonforemne metryk kählera

Transkrypt

Podobne dokumenty

USA -Ohio University - oferta 2007r

kupyg zxczz snzkk akjyi

Lista laureatów konkursu na stypendia dla profesorów wizytujących

Portal miasta Sławków - Warsztaty dla dzieci w MOK

Inicjatorem współpracy oraz koordynatorem praktyk ze strony Iowa