Homomorfizmy Przestrzeni Wektorowych

Homomorfizmy Przestrzeni Wektorowych
Funkcja f : R[x]1 → R2 jest okre±lona nast¦puj¡co f (ax + b) = [3a − b, a + b + 1]. Wyznacz
f (3x − 1). Czy funkcja f jest iniekcj¡ ? Czy funkcja f jest suriekcj¡ ? Czy f jest izomorzmem ?
Odpowiedz na te same pytania, gdy dana jest funkcja f1 : R[x]1 → R2 okre±lona wzorem
f1 (ax + b) = [3a − b, a + b].
2. Udowodnij, »e je»eli f : V → W jest izomorzmem przestrzeni liniowych, to f (ΘV ) = ΘW ,
gdzie ΘV jest wektorem zerowym przestrzeni
V, a ΘW jest wektorem zerowym przestrzeni W.
2
2
3. U = lin {2, x + 2, x + 4} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni wektorowej R[x]. Sprawd¹,
czy je»eli wektorowi a2 + b(x2 + 2) + c(x2 + 4) przyporz¡dkujemy wektor [a, b, c] ∈ R3 , to
b¦dziemy mieli izomorzm przestrzeni wektorowych ? Odpowiedz na to samo pytanie, gdy
2
4
2
4
U = lin {2, x + 2, x − 1} i mamy przyporz¡dkowanie α(2) + β(x + 2) + γ(x − 1) 7→ [α, β, γ].
3
4.
(a) Niech {v1 , v2 , v3 } b¦dzie baz¡ przestrzeni R . Sprawd¹, czy istnieje taki izomorzm
3
f : R → R3 , »e f (v1 ) = v1 + v2 , f (v2 ) = v3 , f (v3 ) = v1 + v2 + v3 .
1.
(b) Podaj przykªad takiego izomorzmu, h : R3 → R3 , »e h(v1 + v2 ) = v1 .
(c) Czy istnieje izomorzm g : R3 → R3 taki, »e g(v1 ) = v1 , g(v2 ) = v2 , g(v3 ) = v1 + v2 ?
Niech V, W b¦d¡ przestrzeniami wektorowymi nad K, B = {x1 , x2 , . . . , xn } b¦dzie baz¡ V
i niech y1 , y2 , . . . , yn ∈ W oraz niech f : V → W b¦dzie okre±lona nast¦puj¡co :
5.
f (a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ) = a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn .
Udowodnij, »e
(a) je»eli {y1 , y2 , . . . , yn } jest baz¡ przestrzeni W, to f jest izomorzmem;
(b) je»eli wektory y1 , y2 , . . . , yn s¡ liniowo zale»ne, to odwzorowanie f nie jest ró»nowarto±ciowe.
Niech V, W b¦d¡ przestrzeniami wektorowymi nad K. Udowodnij, »e je»eli dim V =
dim W < ∞, to V ∼
= W.
7. Wyka», »e je»eli V ∼
= W oraz dim V = n < ∞, to dim V = dim W.
5
8. Podaj przykªad podprzestrzeni przestrzeni R[x] zawieraj¡cej wektor x +x+1 i izomorcznej
(
6.
x1 + x2 + x3 − x4 = 0
.
2x1 − x2 + 3x3 + x4 = 0

   
1
2 1
x1
0





0
1 2
x2 = 0 jest izomorczna
9. Dla jakiego λ przestrze« rozwi¡za« ukªadu
2 −1 λ
x3
0
2
z obrazem odwzorowania f : R[x]2 → R, f (ax + bx + c) = 2a − 7b + 9c.
2
10. Niech f : R[x]2 → R[x]2 b¦dzie okre±lone nast¦puj¡co f (ax +bx+c) = (2a−b)x+(a+b−c).
z przestrzeni¡ rozwi¡za« ukªadu
Uzasadnij, »e odwzorowanie to jest homomorzmem przestrzeni wektorowych. Wyznacz jego j¡dro
i obraz. Wyznacz baz¦ j¡dra. Uzupeªnij baz¦ j¡dra do bazy R[x]2 .
c
1
2
11. Niech f : R[x]2 → R b¦dzie okre±lone wzorem f (ax + bx + c) = 2a − b + .
2
(a) Wyka», »e f jest homomorzmem.
(b) Wyznacz j¡dro odwzorowania f i jego baz¦.
(c) Wyznacz baz¦ obrazu odwzorowania f .
(d) Uzupeªnij baz¦ j¡dra (obrazu) do bazy przestrzeni R[x]2 (R1 ).
12.
(a) Sprawd¹, czy istnieje odwzorowanie liniowe f : R3 → R2 takie, »e
(i) f [1, 1, 1] = [3, 2], f [2, 2, 2] = [1, 0].
(ii) Je»eli tak, to podaj wzór okre±lajacy to odwzorowanie. Ile jest takich odwzorowa«?
(b)Sprawd¹, czy istnieje odwzorowanie liniowe f : R3 → R3 takie, »e
(i) f [1, 0, 0] = [1, 2, 1], f [1, 1, 0] = [1, 0, 0], f [1, 1, 1] = [−1, 2, 0].
(ii) Je»eli tak, to podaj wzór okre±lajacy to odwzorowanie. Ile jest takich odwzorowa«?
(c)Sprawd¹, czy istnieje odwzorowanie liniowe f : R3 → R2 takie, »e
(i) f [1, 3, 1] = [1, 1], f [1, 1, 1] = [2, 0].
(ii) Je»eli tak, to podaj wzór okre±lajacy to odwzorowanie. Ile jest takich odwzorowa«?
Podaj przykªad homomorzmu f : R4 → R3 takiego, »e dim im f = 2, [1, 3, 7] ∈ im f ,
[2, 1, 1, 1] ∈ ker f . Ile jest takich homomorzmów?
1
1
14. Podaj przykªad homomorzmu f : R → R takiego, »e:
13.
(a)
15.
dim ker f = 0;
(b)
dim ker f = 1.
Podaj przykªad homomorzmu f : R[x]2 → R2 takiego, »e:
dim ker f = 2,
x2 + 2x + 1 ∈ ker f,
[2, 1] ∈ im f.
Ile jest takich homomorzmów?
16. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡, dim V = 4, BV = {x1 , x2 , x3 , x4 }. Sprawd¹ czy
istnieje endomorzm przestrzeni wektorowej V taki, »e ker f = U1 , im f = U2 je»eli
(a)
(b)
(c)
U1
U1
U1
= lin {x1 , x2 } ,
U2 = lin {x3 , x4 } ;
= U2 = lin {x3 , x4 } ;
= lin {x1 , x2 , x3 } , U2 = lin {x3 , x4 } .
Niech V, W b¦d¡ przestrzeniami wektorowymi, x1 , x2 , . . . , xn ∈
Zbadaj prawdziwo±¢ poni»szych zda«:
17.
V
i h ∈ Hom (V, W).
(a) je»eli x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo niezale»ne, to h(x1 ), h(x2 ), . . . , h(xn ) s¡ liniowo niezale»ne;
(b) je»eli x1 , x2 , . . . , xn stanowi¡ baz¦ przestrzeni wektorowej
nowi¡ baz¦ przestrzeni wektorowej W;
V
, to h(x1 ), h(x2 ), . . . , h(xn ) sta-
(c) je»eli h(x1 ), h(x2 ), . . . , h(xn ) s¡ liniowo niezale»ne, to x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo niezale»ne;
(d) je»eli h(x1 ), h(x2 ), . . . , h(xn ) s¡ liniowo zale»ne, to x1 , x2 , . . . , xn s¡ liniowo zale»ne;
(e) je»eli h jest epimorzmem oraz zbiór {h(x1 ), h(x2 ), . . . , h(xn )} jest baz¡ przestrzeni
zbiór {x1 , x2 , . . . , xn } jest baz¡ przestrzeni V;
(f) je»eli h jest monomorzmem oraz zbiór {x1 , x2 , . . . , xn } jest baz¡ przestrzeni
{h(x1 ), h(x2 ), . . . , h(xn )} jest baz¡ przestrzeni W.
Podaj przykªad przestrzeni V oraz epimorzmu h :
zmem. Czy jest to mo»liwe gdy dim V < ∞?
18.
V
→
V
W
, to
, to zbiór
V
, który nie jest monomor-