ĆWICZENIE 9

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 9
1/5
ĆWICZENIE 9
Kwantowanie sygnałów
1. Cel ćwiczenia
Sygnał przesyłany w cyfrowym torze transmisyjnym lub przetwarzany w komputerze
(procesorze sygnałowym) musi mieć postać sygnału cyfrowego, tzn. dyskretne wartości
próbek sygnału muszą być zakodowane za pomocą skończonej liczby bitów. Cyfryzacja
sygnału wymaga, aby w przetworniku A/C sygnał został skwantowany. Kwantowanie sygnału
wprowadza do systemu błąd kwantowania. W ćwiczeniu będą badane metody kwantowania i
wprowadzane przez nie błędy kwantowania.
2. Wprowadzenie
Urządzenie dokonujące kwantowania sygnału nazywa się kwantyzerem. Za pomocą b bitów
można zapisać L = 2b różnych wartości. Dlatego, jeżeli kwantyzer jest b bitowy, to ma
L = 2b przedziałów kwantowania. Kwantyzer jest liniowy, gdy wszystkie przedziały
kwantowania mają jednakową szerokość ∆ . Szerokość przedziału kwantowania jest też
oznaczana symbolem q lub 1LSB (z ang. Least Significant Bit). Przedziałowi kwantowania
można przypisać dowolny poziom kwantowania wybrany z tego przedziału kwantowania.
Poziomów kwantowania jest tyle, ile przedziałów kwantowania. Każdy poziom kwantowania
jest kodowany za pomocą b bitów przyjmujących wartości binarne, najczęściej oznaczane
jako 1 i 0. W efekcie kodowania sygnał zostaje przetworzony na ciąg zero-jedynkowy.
Kodowanie może odbywać się na wiele sposobów, np. można zastosować kod znak-moduł,
kod z uzupełnieniem do 1, czy najbardziej popularny kod z uzupełnieniem do 2. W tym
ćwiczeniu nie będziemy zajmowali się problemem kodowania.
Jeżeli kwantyzerowi liniowemu przypiszemy poziomy kwantowania uzyskane poprzez
zaokrąglanie, w środku przedziałów, to kwantyzer jest kwantyzerem bez 0, gdyż jego
charakterystyka schodkowa nie ma poziomu zerowego. Ten kwantyzer nazywa się
kwantyzerem typu II, a jego charakterystyka jest funkcją nieparzystą. Sygnał skwantowany
x q (t ) powstaje poprzez przerzutowanie sygnału analogowego x(t ) przez charakterystykę
schodkową kwantyzera .
Nieco innym rodzajem kwantyzera jest kwantyzer liniowy z 0. W tym kwantyzerze
przedziałom kwantowania przypisuje się poziomy kwantowania nie poprzez zaokrąglanie, ale
poprzez obcinanie, na dolnych krańcach przedziałów kwantowania. W tym przypadku wśród
poziomów kwantowania znajduje się poziom 0, co uzasadnia nazwę kwantyzera.
Charakterystyka tego kwantyzera nie jest funkcją nieparzystą.
W praktyce korzysta się z kwantyzerów typu I, które mają charakterystykę podobną do
charakterystyki kwantyzera z 0, z tym, że jest ona przesunięta o pół kwantu w lewo.
Kwantyzer typu I charakteryzuje się posiadaniem strefy nieczułości w zakresie ± ∆ / 2 wokół
zera. Kwantyzer nie reaguje na sygnał wejściowy, szumy i zakłócenia, o ile ich wartości nie
przekraczają strefy nieczułości i w koderze jest generowany ciąg samych 0. Nie zawsze jest to
korzystne. Aby uniknąć generowania długich ciągów samych 0, samych 1 lub okresowo
powtarzających się b bitów stosuje się technikę dither. Polega ona na dodaniu do sygnału
użytecznego sygnału szumowego o wartości międzyszczytowej około 3∆ , co wymusza
zróżnicowanie generowanych ciągów. Technika ta pozwala dla stałego sygnału wejściowego
uzyskiwać na wyjściu uśredniony, stały sygnał wyjściowy na poziomie równym sygnałowi
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 9
2/5
wejściowemu, różnym od któregokolwiek z dyskretnych poziomów kwantowania. Jest to
interesujący przypadek, gdy dodanie szumu poprawia możliwość wydobycia informacji.
Techniką dither nie będziemy zajmowali się w tym ćwiczeniu.
Istnieją sygnały, dla których małe wartości chwilowe są o wiele bardziej
prawdopodobne niż duże wartości chwilowe. Przykładem takiego sygnału jest sygnał mowy
(funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest z dużą dokładnością funkcją malejącą
wykładniczo). Dla takich sygnałów nie ma sensu utrzymywanie stałej szerokości przedziału
kwantowania (kwantyzer liniowy), ale bardzo opłaca się zmniejszyć szerokości przedziałów
kwantowania w pobliżu zera za cenę ich poszerzenia na skraju charakterystyki kwantyzera
(kwantyzer nieliniowy). Wprawdzie dla dużych wartości próbek błąd kwantowania wzrośnie,
ale dla małych wartości błąd kwantowania zmaleje, a ponieważ małe wartości próbek są
bardziej prawdopodobne niż duże, to w sumie stosunek mocy sygnały do mocy szumu
kwantowania S N q wzrośnie. Tego rodzaju zabieg zmiany szerokości przedziału
kwantowania nazywa się kompandorowaniem (jest to skrót językowy z kompresji x → y
dokonywanej po stronie nadawczej i ekspansji y → x dokonywanej po stronie odbiorczej,
ang. compressor–expander = compander).
Jeżeli kompandorowanie ma maksymalnie poprawić stosunek S N q , to
charakterystyka kompresji musi być dobrana optymalnie dla sygnału o określonej funkcji
gęstości prawdopodobieństwa wartości chwilowych. Jak wspomniano, próbki sygnału mowy
mają wartości o w przybliżeniu wykładniczej funkcji gęstości prawdopodobieństwa i można
obliczyć optymalną charakterystykę kompresji. W wyniku obliczeń otrzymuje się optymalną
charakterystykę kompresji dla sygnału mowy i jest to w przybliżeniu funkcja logarytmiczna.
Sygnały mowy poszczególnych rozmówców różnią się cechami indywidualnymi,
zwłaszcza poziomem głośności. Dlatego nie istnieje jedna wspólna, optymalna dla wszystkich
rozmówców charakterystyka kompresji. Opracowano standardowe charakterystyki kompresji
dla sygnału mowy ze współczynnikiem szczytu k rzędu 10 do 40. Dla sygnałów mowy
standardowo używa się dwóch suboptymalnych charakterystyk kompresji. W USA i Japonii
jest to charakterystyka kompresji nosząca nazwę µ -prawa
y = sgn ( x )
ln (1 + µ x )
ln (1 + µ )
,
x ≤1 ,
stała µ = 255
(1)
Charakterystyka kompresji używana w krajach europejskich nosi nazwę A-prawa i wyraża się
następującym wzorem
1
A

, x <
x
 1 + ln A
A
y=
1 + ln ( A x )
1
sgn ( x )
, ≤ x ≤1

1 + ln A
A
stała A = 87,6
(2)
Ta charakterystyka chociaż nie będzie optymalna, to będzie dawała poprawę S N q także dla
innych sygnałów niż sygnał mowy, dla których małe wartości chwilowe są bardziej
prawdopodobne niż duże wartości chwilowe. Natomiast dla sygnałów nie spełniających tego
warunku (np. sinusoida – duże wartości chwilowe są bardziej prawdopodobne niż małe)
zamiast poprawy nastąpi pogorszenie S N q . Dla sygnału trójkątnego optymalne jest liniowe
kwantowanie (liniowa charakterystyka kompresji, czyli brak kompresji, każdy kwantyzer inny
niż liniowy spowoduje pogorszenie S N q ).
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 9
3/5
W niniejszym ćwiczeniu badania kwantyzerów zostaną przeprowadzone z użyciem
interfejsu graficznego kwantyzer. Okno tego interfejsu graficznego pokazano na rys. 1.
Rys. 1. Okno interfejsu graficznego kwantyzer
Okno interfesu jest podzielone na dwie jednakowe połowy, górną i dolną. Dzięki temu
bardzo łatwo można porównać właściwości dwóch kwantyzerów lub właściwości tego
samego kwantyzera dla dwóch różnych sygnałów. Do badań są dostępne następujące cztery
kwantyzery:
- liniowy bez 0 (in. typ II);
- liniowy z 0;
- liniowy z 0 przesuniętym o ∆ 2 (in. typ I);
- nieliniowy, typ I z A-prawem.
Wyboru rodzaju kwantyzera dokonujemy za pomocą przycisków radiowych. Liczbę
bitów kwantyzera wybieramy z przedziału 2 ≤ b ≤ 8 za pomocą suwaka. Jako sygnał
wejściowy kwantyzera można wybrać składający się z 1001 próbek jeden z czterech
sygnałów:
- sygnał trójkątny;
- sygnał sinusoidalny;
- sygnał szumu gaussowskiego;
- sygnał mowy.
Dla wybranego kwantyzera i sygnału komputer oblicza stosunek mocy sygnału do mocy
szumu kwantowania S N q [dB] . Zostają też wykreślone: charakterystyka kwantyzera, sygnał
wejściowy (kolor niebieski), sygnał skwantowany (kolor czerwony) i błąd kwantowania.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 9
4/5
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Zbadaj właściwości kwantyzera liniowego bez 0 (in. typ II). Narysuj charakterystykę
kwantyzera (b-dowolne). Narysuj liniami przerywanymi na wspólnym wykresie
przewidywane zależności S N q [dB] w funkcji liczby bitów b dla następujących sygnałów:
sygnału
trójkątnego
( S N q [dB] = 6,02b ),
sygnału
sinusoidalnego
( S N q [dB] = 6,02b + 1,76 ), sygnału szumu ( S N q [dB] = 6,02b − 4,77 ), sygnału mowy
( S N q [dB] = 6,02b + C , C jest stałą, którą chcemy wyznaczyć na podstawie pomiarów). Na
tle wykresów teoretycznych nanieś punkty wyników pomiarów z interfejsu graficznego
kwantyzer. Przedyskutuj uzyskane wyniki. Np. dla sygnału sinusoidalnego przewidywania
teoretyczne różnią się od wyników pomiarów z tego powodu, że w obliczeniach
teoretycznych przyjmowano, iż szum kwantowania ma moc ∆2 12 , a tymczasem w
rzeczywistości błąd kwantowania nie jest ciągiem składającym się z trójkątów i ma moc nieco
inną. Poza tym moce sygnału i błędu kwantowania są obliczane numerycznie, a więc są
obarczone błędem obliczeń numerycznych i mogą przyjmować różne wartości w zależności
od wyboru chwil próbkowania.
2. Zbadaj właściwości kwantyzera liniowego z 0. Narysuj charakterystykę kwantyzera (bdowolne). Narysuj liniami przerywanymi na wspólnym wykresie przewidywane zależności
S N q [dB] w funkcji liczby bitów b dla sygnału trójkątnego, sygnału sinusoidalnego, sygnału
szumu, sygnału mowy. Wartość S N q [dB] dla kwantyzera z 0 jest o 6 dB mniejsza niż dla
kwantyzera bez 0. Na tle wykresów teoretycznych nanieś punkty wyników pomiarów z
interfejsu graficznego kwantyzer. Przedyskutuj uzyskane wyniki.
3. Zbadaj właściwości kwantyzera liniowego z 0 przesuniętym (in. typ I). Narysuj
charakterystykę kwantyzera (b-dowolne). Narysuj liniami przerywanymi na wspólnym
wykresie przewidywane zależności S N q [dB] (jak dla typu II, ale pomniejszone o poprawkę)
w funkcji liczby bitów b dla sygnału trójkątnego, sygnału sinusoidalnego, sygnału szumu,
sygnału mowy. Na tle wykresów teoretycznych nanieś punkty wyników pomiarów z
interfejsu graficznego kwantyzer. Przedyskutuj uzyskane wyniki.
4. Zbadaj właściwości kwantyzera nieliniowego, typ I z A-prawem. Narysuj charakterystykę
kwantyzera (b-dowolne). Na wspólnym wykresie nanieś punkty wyników pomiarów
S N q [dB] w zależności od liczby bitów b dla czterech sygnałów. Przedyskutuj uzyskane
wyniki. W porównaniu z kwantyzerem liniowym, dla których sygnałów nastąpiła poprawa
S N q [dB] , a dla których pogorszenie i dlaczego? W przypadku sygnału mowy o ile więcej
bitów musi mieć kwantyzer liniowy typ I w porównaniu z kwantyzerem nieliniowym typ I,
aby uzyskać ten sam stosunek S N q [dB] ?
4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany
1. Narysuj charakterystykę 3-bitowego kwantyzera bez 0 (kwantyzer typu II). Przerzutuj
przez nią jeden okres fali:
a) trójkątnej;
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 9
5/5
b) sinusoidalnej.
Narysuj sygnał skwantowany i błąd kwantowania. Wyprowadź wzór na S N q [dB]. Gdyby
zastosowano optymalny kwantyzer nieliniowy, to czy istnieje możliwość poprawy S N q ?
2. Narysuj charakterystykę 3-bitowego kwantyzera z 0. Przerzutuj przez nią jeden okres fali:
a) trójkątnej;
b) sinusoidalnej.
Narysuj sygnał skwantowany i błąd kwantowania. Wyprowadź wzór na S N q [dB]. Gdyby
zastosowano optymalny kwantyzer nieliniowy, to czy istnieje możliwość poprawy S N q ?
3. Narysuj charakterystykę 3-bitowego kwantyzera typu I. Przerzutuj przez nią jeden okres
fali:
a) trójkątnej;
b) sinusoidalnej.
Narysuj sygnał skwantowany i błąd kwantowania. Wyprowadź wzór na S N q [dB]. Gdyby
zastosowano optymalny kwantyzer nieliniowy, to czy istnieje możliwość poprawy S N q ?