Analiza częstotliwościowa

Analiza częstotliwościowa
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi własnościami dyskretnego przekształcenia
Fouriera DFT oraz szybkiej transformaty Fouriera FFT.
1. Porównanie efektywności algorytmów DFT i FFT
RóŜnice w prędkości obliczania DFT i FFT moŜna zaprezentować na przykładzie analizy
widmowej dowolnego zbioru, obliczając transformatę dla N=2n a następnie transformatę dla N-1
próbek. Analizy widmowej dokonuje się przy pomocy programu LCTXR, rozkładającego czasowe
przebiegi dyskretne złoŜone z N próbek na sumę składowych o trygonometrycznej postaci:
N /2
x ( kTS ) = ∑ cn sin(2πnk / N + ϕ n )
n =0
Wyniki analizy prezentowane są w postaci dwóch widm prąŜkowych: amplitudowego cn i fazowego
ϕn złoŜonych z N/2 składowych. Maksymalna liczba próbek jaka moŜe zostać poddana transformacie wynosi około 6200 (zaleŜy od ilości dostępnej pamięci). W przypadku gdy liczba próbek jest
równa 2n transformata jest obliczana według algorytmu FFT. W pozostałych przypadkach program
dzieli liczbę próbek przez 2 tyle razy, ile jest to moŜliwe i wykonuje obliczenia częściowych transformat według FFT a następnie łączy je w całość według algorytmu DFT. Jeśli wykonamy transformatę dla N = 2n –1 próbek to będzie to liczba próbek nie podzielna przez 2 i obliczenia będą
wykonane wg algorytmu DFT.
Opis zbiorów z danymi do analizy
• S200 - zbiór z wygenerowanym cyfrowo przebiegiem sinusoidalnym o częstotliwości 200 Hz
próbkowany z częstotliwością 10kHz,
• S1000 - zbiór z wygenerowanym cyfrowo przebiegiem sinusoidalnym o częstotliwości 1000 Hz
próbkowany z częstotliwością 10kHz,
• S50i735 - zbiór z wygenerowanym cyfrowo przebiegiem złoŜonym z dwóch sinusoid o częstotliwościach 50 Hz i 735,3 Hz (dokładnie 50⋅250/17 Hz) próbkowany z częstotliwością 10kHz,
• P500 - zbiór z wygenerowanym cyfrowo przebiegiem prostokątnym o okresie równym 500 próbek,
• GL3500.20K- zbiór z sygnałem akustycznym głośnika pobudzanego częstotliwością 3500 Hz
próbkowany z częstotliwością 20 kHz,
• GL280.20K- zbiór z sygnałem akustycznym głośnika pobudzanego częstotliwością 280 Hz próbkowany z częstotliwością 20 kHz,
• SZUMUKF.20K- zbiór z szumem radiowym odbiornika nie dostrojonego, próbkowany z częstotliwością 20 kHz,
• SZUMi630.20K- zbiór z szumem radiowym odbiornika nie dostrojonego zmieszanym z dźwiękiem o częstotliwości 630 Hz, próbkowany z częstotliwością 20 kHz,
• SSS1800- zbiór z ciśnieniem zarejestrowanym w cylindrze silnika 1CA90 napędzanego z prędkością 1800 obr/min. próbkowany 128 razy na obrót wału korbowego, f = 1800/60*128 =
3840Hz),
• SSS2800- zbiór z ciśnieniem zarejestrowanym w cylindrze silnika 1CA90 napędzanego z prędkością 2800 obr/min. próbkowany 128 razy na obrót wału korbowego, (f = 2800/60*128 =
5975Hz),
• SSP1800- zbiór z ciśnieniem zarejestrowanym w cylindrze silnika 1CA90 pracującego z prędkością 1800 obr/min. próbkowany 128 razy na obrót wału korbowego, (f = 1800/60*128 =
3840Hz),
1
• SSP2800- zbiór z ciśnieniem zarejestrowanym w cylindrze silnika 1CA90 pracującego z prędkością 2800 obr/min. próbkowany 128 razy na obrót wału korbowego, (f = 2800/60*128 =
5975Hz),
Obsługa programu do analizy częstotliwościowej LCTXR
Program zgłasza się menu, które składa się z następujących opcji wybieranych kursorem lub pierwszą literą:
"Z dysku" - wczytywanie danych ze zbiorów zapisanych na dysku twardym lub dyskietkach.
Uruchomienie tej opcji powoduje wyświetlenie nazw zbiorów z danymi oraz nazw podkatalogów dyskowych poprzedzonych znakiem "\". Jeśli w bieŜącym katalogu nie ma zbiorów z danymi naleŜy zmienić katalog lub napęd dyskowy (opcja "Inny napęd"). Dane wczytywane są do
pierwszego wolnego kanału (program przechowuje dane w maksymalnie 4 kanałach). Jeśli
wszystkie kanały są zajęte przez dane, przed wczytaniem naleŜy odpowiedzieć, do którego kanału mają być wczytane dane.
"Na dysk" - zapisywanie danych z kanałów do zbiorów dyskowych. Program pyta kolejno o nazwy zbiorów dla danych z kaŜdego z zajętych kanałów. Gdy nie chcemy zapisywać danych z danego kanały naleŜy po pytaniu o nazwę zbioru wcisnąć "Enter".
"FFT" wykonywanie transformaty Fouriera danych z bieŜącego kanału (nr bieŜącego kanału z
lewej strony ekranu jest jasno podświetlony, zmiany bieŜącego kanału dokonuje się pionowymi
strzałkami). Przed wykonaniem transformaty naleŜy podać częstotliwość z jaką był próbkowany
sygnał (jeśli wartość wyświetlona jest poprawna moŜna wcisnąć "Enter"), jednostkę miary analizowanej wielkości, wzmocnienie [jednostka wielkości /V] oraz określić liczbę próbek poddawanych transformacie. Program wyświetla orientacyjny czas potrzebny na wykonanie przekształcenia. Jeśli czas ten jest dłuŜszy niŜ 30 sekund pyta dodatkowo czy chcemy realizować transformatę. Jeśli tak naleŜy odpowiedzieć "t", jeśli nie moŜna wcisnąć od razu "Enter". Następnie naleŜy
zadecydować przez wpisanie „t” lub „n” czy zastosowac okno Hanninga oraz podać numer próbki, od której mają być pobrane dane do analizy. Ostatnie pytanie przed wykonaniem transformaty
dotyczy liczby powtórzeń jej obliczenia (kaŜda kolejna transformata wykonywana jest na ciągu
próbek przesuniętych w prawo o jedną czwartą jego długości). Po wykonaniu transformaty wyświetlone zostaje widmo amplitudowe cn. Z wyświetlonego u dołu menu moŜna wybrać:
• "FFT" ponowne przekształcenie Fouriera z moŜliwością modyfikacji jego parametrów,
"Widmo faz." wyświetlenie widma fazowego ϕn,
• "Druk" skopiowanie obrazu widma do pliku dyskowego formacie graficznym PCX,
• "Zapis" zapisanie widma w postaci tekstowej do zbioru dyskowego,
• "Y log." wyświetlenie amplitud cn w skali logarytmicznej (poziom odniesienia 1 mV),
• "X log." wyświetlenie widm amplitudowego, fazowego w logarytmicznej skali częstotliwości
• "Nr" wyświetlenie zamiast częstotliwości składowych harmonicznych (w Hz) ich numerów ,
• "Tabl." przegląd widma w postaci tabelarycznej,
• "Odwr." odwrotna transformata otrzymanego widma z moŜliwością wyzerowania wybranych
składowych harmonicznych
• "Koniec" powrót do wyświetlania przebiegów czasowych.
"Wydruk" skopiowanie ekranu do pliku dyskowego formacie graficznym PCX,
"Oscyloskop" ciągłe powtarzanie rejestracji bloku próbek o podanej długości,
"Rejestracja" rejestracja cyfrowa sygnałów,
"Koniec" zakończenie pracy programu.
Menu moŜe być wygaszone wciśnięciem klawisza "Esc" i wówczas moŜna wykonywać operacje
(na danych zapamiętanych w kanałach), które opisane są w instrukcji wywoływanej klawiszem "H".
Powrót do menu następuje przez ponowne wciśnięcie "Esc".
2
Imię i Nazwisko ……………………………. Rok .....Grupa….. Data: ……………………
Analiza częstotliwościowa
Sprawozdanie
I Pomiar czasu wykonania obliczeń według algorytmu DFT i FFT:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
uruchomić komputer w trybie MS-DOS,
uruchomić program LCTXR.EXE,
z menu wybrać operację „Z dysku”, następnie „Binarnie”,
wybrać dowolny zbiór z wyświetlonej listy,
klawiszem „G” sprawdzić długość wczytanego zbioru, jeśli wyświetlona wartość jest mniejsza
niŜ 4096 próbek wrócić do podpunktu c) (wciskając „Enter” następnie „Esc”),
wybrać z menu opcję „FFT”,
odpowiedzieć „Enter” na 3 kolejne pytania (częstotliwość próbkowania, jednostka analizowanej
wielkości, wzmocnienie),
w odpowiedzi na pytanie „Ile próbek?” wpisać liczbę próbek wg tabeli 1 lub 2. Program oblicza i wyświetla szacunkowy czas niezbędny do wykonania obliczeń. Jeśli czas ten jest dłuŜszy
niŜ 30 s, na ekranie pojawia się dodatkowe pytanie „Czy chcesz tak długo czekać?”, na które
naleŜy odpowiedzieć „tak” wciskając klawisz „T”. Jeśli szacowany czas obliczeń w poprzednich pomiarach zgadzał się z czasem rzeczywistym, a szacowany czas obliczeń przekracza 100s
moŜna go zapisać do tabeli wyników i odpowiedzieć „nie” na postawione pytanie. Wówczas
program wróci do pkt.h i moŜna w ten sposób sprawdzić czasy dla innych ilości próbek.
odpowiedzieć „Enter” na 3 kolejne pytania (okno Hanninga, od której próbki, ile razy),
po wyświetleniu na ekranie widma zapisać w tabeli czas obliczeń „T obl” wyświetlony w ramce
widma. W związku z tym, Ŝe pomiar czasu wykonywany jest programowo dokładność jego pomiaru wynosi 0,055 s. Dlatego nie powinno się dokonywać w ten sposób pomiarów czasów
krótszych niŜ 1,1 s. W takich przypadkach naleŜy obliczenia przeprowadzić wielokrotnie tzn. w
odpowiedzi na pytanie „Ile razy?” wpisać 0 co spowoduje, Ŝe program w czasie kilku - kilkunastu sekund powtórzy wielokrotnie obliczenia tej samej transformaty i wyświetli średni czas
przekształcenia.
z menu wybrać „FFT” i kontynuować pomiary (od pkt. f) dla kolejnych wartości N.
Tabela 1. Czasy obliczeń DFT
N
2 – 1 = 255
29 – 1 = 511
210 – 1 = 1023
211 –1 = 2047
212 – 1 = 4095
8
TDFT [s]
Tabela 2. Czasy obliczeń FFT
N
2 = 256
29 = 512
210 = 1024
211 = 2048
212 = 4096
TFFT [s]
8
Na podstawie wyników zapisanych w tabelach 1 i 2 sporządzić wykresy czasu obliczeń DFT i FFT
w zaleŜności od liczby próbek N.
3
1
180
0,9
160
0,8
140
0,7
120
0,6
100
0,5
80
0,4
60
0,3
40
0,2
20
0,1
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
TFFT [s]
TDFT [s]
200
0
4500
N
2. Cyfrowa analiza widmowa sygnałów
Na przykładach cyfrowej analizy widmowej wybranych sygnałów naleŜy zapoznać się z
ogólnymi właściwościami dyskretnej transformaty Fouriera. W czasie wykonywania ćwiczenia naleŜy (w celu moŜliwości wykonania analizy porównawczej róŜnych przypadków analizy oraz dołączenia ich do sprawozdania) nagrywać obrazy uzyskanych widma amplitudowych w plikach z rozszerzeniem „PCX” wybierając z menu opcję „Wydruk”.
I. Wpływ liczby analizowanych próbek na rozdzielczość częstotliwościową widma
a) uruchomić komputer w trybie MS-DOS,
b) uruchomić program LCTXR.EXE,
c) z menu wybrać operację „Z dysku”, następnie „Binarnie”,
d) z wyświetlonej listy wybrać zbiór SPAL1,
e) wybrać z menu opcję „FFT”,
f) odpowiedzieć „Enter” na 3 kolejne pytania (częstotliwość próbkowania, jednostka analizowanej
wielkości, wzmocnienie),
g) w odpowiedzi na pytanie „Ile próbek?” wpisać 256 próbek,
h) odpowiedzieć „Enter” na 3 kolejne pytania (okno Hanninga, od której próbki, ile razy),
i) po wyświetleniu na ekranie widma wybrać z menu „Nr” – Ŝeby zobaczyć numery składowych
harmonicznych, których w naszym przykładzie będzie 128. śeby zobaczyć wszystkie składowe
moŜna wybrać „Y-log”
j) powtórzyć pkt. od e) do i) dla liczb próbek 512,1024 i 2048. Mimo, Ŝe kształt widma pozostaje
prawie niezmieniony (poniewaŜ analizowany przebieg jest okresowy a długość okresu wynosi
256 próbek) podwajanie liczby analizowanych próbek powoduje pojawienie się w widmie dodatkowych składowych harmonicznych między wcześniejszymi składowymi. Przy liczbie próbek większej od 1000, prąŜki widma na ekranie zlewają się w widmo ciągłe, ale zastosowanie
skali logarytmicznej „X-log” pozwala zobaczyć, Ŝe widmo jednak jest dyskretne.
II. Efekt przenikania widma i zastosowania okna wygładzającego
a) uruchomić komputer w trybie MS-DOS,
b) uruchomić program LCTXR.EXE,
c) z menu wybrać operację „Z dysku”, następnie „Binarnie”,
d) z wyświetlonej listy wybrać zbiór S1000,
e) wybrać z menu opcję „FFT”,
4
f) odpowiedzieć „Enter” na 3 kolejne pytania (częstotliwość próbkowania, jednostka analizowanej
wielkości, wzmocnienie),
g) w odpowiedzi na pytanie „Ile próbek?” wpisać 1000 próbek,
h) odpowiedzieć „Enter” na 3 kolejne pytania (okno Hanninga, od której próbki, ile razy),
i) wybierając „Wydruk” zapisać obraz widma amplitudowego do zbioru S1000.PCX ,
j) powtórzyć pkt. od e) do h) dla 1024 próbek nie stosując okna wygładzającego,
k) wybierając „Wydruk” zapisać obraz widma amplitudowego do zbioru S1024.PCX ,
l) powtórzyć pkt. od e) do h) dla 1024 próbek stosując okno wygładzające Hanninga,
m) wybierając „Wydruk” zapisać obraz widma amplitudowego do zbioru S1024h.PCX ,
n) powtórzyć pkt. od e) do h) dla 1000 próbek stosując okno wygładzające Hanninga
o) wybierając „Wydruk” zapisać obraz widma amplitudowego do zbioru S1000h.PCX
p) wydrukować zapisane w zbiorach ‘PCX’ obrazy widma i wytłumaczyć zaistniałe na nich róŜnice.
Te same czynności powtórzyć dla zbioru S50i735 analizując odpowiednio 2000 i 3400 próbek tego
przebiegu.
III. Przykłady analizy rzeczywistych sygnałów
Na przykładzie analizy widmowej przebiegu prostokątnego P500 moŜna zaprezentować
zmiany kształtu widma sygnału impulsowego w zaleŜności od długości trwania tego impulsu. Poddając analizie 256 próbek tego przebiegu (półokres sygnału ma długość 250 próbek), zmieniając
numer pierwszej próbki (1, 3, 5, 7....51) wydłuŜa się długość impulsu (6, 8 , 10...56 próbek) i
zwiększa liczbę miejsc zerowych widma amplitudowego.
Zbiory z sygnałami akustycznymi pozwalają na obserwację jak na tle szumu wygląda sygnał
harmoniczny i jak poprzez filtrację (poprzez zerowanie składowych zakłócających) moŜna ten sygnał wydobyć z szumu.
Zbiory zawierające przebiegi ciśnienia w cylindrze silnika pozwalają porównać szerokość
widma silnika napędzanego i pracującego oraz wpływ prędkości silnika na te widma.
Wnioski:
5