docWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI
download 
Reklamacja Transkrypt
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej – Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka – Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6; 18.1-18.4; 19.1-19.6; 20.1-20.7; 21.1-21.4; 22.1-22.6; 23-25 Mirosława Sztemberg – Lewandowska: 1; 14.7-14.8; 15.5.-15.6; 16.4-16.5; 17.7-17.8; 18.5-18.6; 19.7-19.8 Artur Zaborski: 20.8-20.9; 21.4-21.6; 22.7-22.8 Spis treści Wstęp ......................................................................................................................... 1. ELEMENTY TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI 1.1. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych ......................................................... 1.2. Znak ∑ i ∑ ∑ ..................................................................................... 1.3. 1.4. 1.5. 11 13 13 Indukcja zupełna.......................................................................................... Kombinacja i permutacja............................................................................. Wzór Newtona............................................................................................. Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 17 19 22 23 25 2. PRZESTRZEŃ LINIOWA I PRZESTRZEŃ METRYCZNA 2.1 Przestrzeń liniowa........................................................................................ 2.2. Przestrzeń metryczna.................................................................................... 2.3. Przestrzeń euklidesowa................................................................................ Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 29 31 33 36 37 3. PODZBIORY PRZESTRZENI n – WYMIAROWEJ 3.1. Prosta, półprosta, odcinek............................................................................ 3.2. Hiperpłaszczyzna, półprzestrzeń, wielościan............................................... 3.3. Kula i sfera................................................................................................... Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 38 40 44 47 49 4. ODLEGŁOŚĆ PODZBIORÓW PRZESTRZENI n – WYMIAROWEJ 4.1. Odległość punktu od prostej......................................................................... 4.2. Odległość punktu od hiperpłaszczyzny........................................................ 4.3. Odległość punktu od sfery............................................................................ Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 5. ALGEBRA MACIERZY 52 54 56 59 61 5.1. 5.2. 5.3. 6. 7. 8. 9. Macierze i działania na nich......................................................................... Macierz kwadratowa.................................................................................... Macierz przekształcenia liniowego.............................................................. Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 63 66 69 73 74 MACIERZ ODWROTNA 6.1. Określenie macierzy odwrotnej.................................................................... 6.2. Operacje elementarne na wierszach macierzy.............................................. 6.3. Postać bazowa macierzy............................................................................... 6.4. Wyznaczanie macierzy odwrotnej................................................................ 6.5. Równanie macierzowe................................................................................. Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 77 79 81 82 85 88 90 WYZNACZNIKI 7.1. Definicja wyznacznika................................................................................. 7.2. Dopełnienie algebraiczne elementów macierzy........................................... 7.3. Rozwinięcie Laplace’a................................................................................. 7.4. Ogólne własności wyznaczników................................................................ 7.5. Odwracanie macierzy za pomocą wyznaczników........................................ 7.6. Wzory Cramera............................................................................................ Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 94 97 99 100 102 103 104 107 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8.1. Rząd macierzy.............................................................................................. 8.2. Rozwiązalność układu równań liniowych.................................................... 8.3. Jednorodny układ równań liniowych........................................................... Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 115 117 124 126 128 WYMIAR I BAZA PRZESTRZENI 9.1. Liniowa zależność wektorów....................................................................... 9.2. Baza przestrzeni liniowej............................................................................. 9.3. Przekształcenie współrzędnych przy zmianie bazy...................................... 9.4. Związek miedzy macierzami przekształcenia liniowego w różnych bazach Zadania......................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi............................................................................. 132 135 137 140 142 143 10. 11. 12. 13. 14. ZBIORY WYPUKŁE 10.1. Definicja zbioru wypukłego...................................................................... 10.2. Kombinacja wypukła wektorów................................................................ 10.3. Powłoka wypukła zbioru........................................................................... Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 147 149 150 153 154 UKŁADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH I ICH ZASTOSOWANIE 11.1. Rozwiązywanie układów nierówności liniowych..................................... 11.2. Model programowania liniowego............................................................. 11.3. Zagadnienie optymalnej diety................................................................... 11.4. Zagadnienie optymalnego planu produkcji............................................... 11.5. Zagadnienie transportowe......................................................................... Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 156 159 160 162 164 166 167 DIAGONALNA POSTAĆ MACIERZY PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO 12.1. Podprzestrzeń niezmiennicza przekształcenia liniowego.......................... 12.2. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego.................. Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 170 171 179 180 FORMY KWADRATOWE 13.1. Formy liniowe i dwuliniowe..................................................................... 13.2. Formy kwadratowe.................................................................................... 13.3. Postać kanoniczna formy kwadratowej..................................................... 13.4. Określoność formy kwadratowej............................................................... Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 182 184 185 189 190 191 CIĄGI LICZBOWE 14.1. Definicja ciągu.......................................................................................... 14.2. Klasyfikacja ciągów.................................................................................. 14.3. Granica ciągu............................................................................................. 14.4. Działania arytmetyczne na granicach ciągów........................................... 14.5. Kryteria zbieżności ciągów....................................................................... 195 196 199 201 204 14.6. Liczba Eulera............................................................................................. 207 Zadania...................................................................................................... 209 Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 211 15. 16. 17. 18. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 15.1. Definicja funkcji, wykres funkcji.............................................................. 15.2. Funkcje złożone......................................................................................... 15.3. Funkcje odwrotne...................................................................................... 15.4. Podstawowe własności funkcji.................................................................. Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 215 216 217 221 224 226 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 16.1. Definicja granicy funkcji........................................................................... 16.2. Przykłady obliczania granic...................................................................... 16.3. Ciągłość funkcji......................................................................................... Zadania ..................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 230 234 237 241 243 POCHODNA FUNKCJI 17.1. Definicja pochodnej funkcji...................................................................... 17.2. Funkcja pochodna...................................................................................... 17.3. Pochodna logarytmiczna........................................................................... 17.4. Interpretacja geometryczna pochodnej...................................................... 17.5. Interpretacja ekonomiczna pochodnej....................................................... 17.6. Elastyczność funkcji.................................................................................. Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... ZASTOSOWANIA POCHODNEJ W PROBLEMACH APROKSYMACYJNYCH 18.1. Różniczka funkcji...................................................................................... 18.2. Pochodne i różniczki wyższych rzędów.................................................... 18.3. Wzór Taylora............................................................................................. 18.4. Przybliżone rozwiązywanie równań.......................................................... Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 247 251 255 256 258 259 260 261 265 267 270 275 280 282 19. 20. 21. 22. ZASTOSOWANIA POCHODNEJ DO BADANIA FUNKCJI 19.1. Monotoniczność funkcji............................................................................ 19.2. Ekstrema lokalne funkcji........................................................................... 19.3. Wypukłość i wklęsłość funkcji.................................................................. 19.4. Reguła de l’Hospitala................................................................................ 19.5. Asymptoty krzywej................................................................................... 19.6. Schemat badania przebiegu funkcji........................................................... Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 284 286 290 294 296 298 302 303 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 20.1. Określenie funkcji wielu zmiennych......................................................... 20.2. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu..................................................... 20.3. Różniczka zupełna pierwszego rzędu........................................................ 20.4. Pochodna kierunkowa............................................................................... 20.5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.................................................... 20.6. Różniczka zupełna n – tego rzędu............................................................. 20.7. Wzór Taylora............................................................................................. Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 308 311 313 315 317 319 322 324 327 EKSREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 21.1. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.............................................. 21.2. Ekstrema globalne funkcji n zmiennych................................................... 21.3. Ekstremum warunkowe............................................................................. 21.4. Metoda najmniejszych kwadratów............................................................ Zadania..................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 330 333 335 340 342 343 CAŁKA NIEOZNACZONA 22.1. Funkcja pierwotna..................................................................................... 22.2. Całkowanie przez podstawienie................................................................ 22.3. Całkowanie przez części............................................................................ 22.4. Całkowanie funkcji wymiernych............................................................... 22.5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.................................................. 22.6. Całkowanie funkcji niewymiernych.......................................................... Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 346 349 350 352 360 362 366 367 23. 24. 25. CAŁKA OZNACZONA 23.1. Określenie całki oznaczonej...................................................................... 23.2. Podstawowy wzór rachunku całkowego ................................................... 23.3. Twierdzenie o wartości średniej................................................................ 23.4. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych............................................... 23.5. Zastosowania geometryczne całek............................................................ Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... CAŁKA NIEWŁAŚCIWA 24.1. Całka niewłaściwa o granicach nieskończonych....................................... 24.2. Całka niewłaściwa z funkcji nieograniczonej............................................ Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE 25.1 Definicja równania różniczkowego........................................................... 25.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych...................................................... 25.3. Równanie różniczkowe jednorodne.......................................................... 25.4. Równanie różniczkowe liniowe................................................................. Zadania...................................................................................................... Wskazówki i odpowiedzi.......................................................................... 369 373 379 381 385 388 389 391 395 398 398 400 401 404 406 410 411 Bibliografia................................................................................................................413
