typowe błędy z kolokwiów studenckich

B÷
edy
¾ studentów
na egzaminach z matematyki
W opracowaniu omówi÷
em typowe b÷
edy
¾ pope÷
niane przez studentów na kolokwiach
i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaje¾ b÷
edy
¾ rzadziej spotykane, które
zaskoczy÷
y mnie pomys÷
owościa¾ zdajacych.
¾
Mam nadzieje,
¾ z·e dzieki
¾ opracowaniu studenci nie pope÷
nia¾ juz· tego rodzaju b÷
edów.
¾
I. Fa÷
szywe wzory algebraiczne, trygonometryczne i inne
Studenci b÷
ednie
¾
przyjmuja,¾ z·e funkcje elementarne sa¾ liniowe i dlatego stosuja¾ wzory a), b).
a) (a + b)2 = a2 + b2;
p
x+y =
p
x+
p
y;
1
1 1
= + ;
x+y x y
b) sin 2 = 2 sin ; tg (x + y) = tg x + tg y;
p
ln a
c) x2 = x;
= ln (a b) ; an am = an m;
ln b
a+b a+b a
a b
;
= + b:
d) + =
x y x+y
x
x
II. B÷
edne
¾
metody obliczania granic ciagów
¾
i funkcji
Jednym z najcześciej
¾
pope÷
nianych b÷
edów
¾
przy wyznaczaniu granic ciagów
¾
i funkcji jest obliczenie
granicy w dwóch etapach. Studenci najpierw przechodza¾ do granicy z cześci
¾ a¾ zmiennych i dopiero po
uproszczeniu wyraz·enia, przechodza¾ do granicy z pozosta÷
ymi zmiennymi.
n
1
n
= lim (1 + 0) [ ! ] = lim 1 = 1:
n!1
n!1
2n
p
Prawid÷
owy wynik e:
1
1
1
b) lim p
+p
+ ::: + p
n!1
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
= lim (0 + 0 + : : : + 0) [ ! ] = lim 0 = 0: Prawid÷
owy wynik 1:
n!1
n!1
!
r
r
p
p
5
2
c) lim
x2 + 5x
x2 + 2x = lim x 1 +
x 1+
x!1
x!1
x
x
p
p
lim x 1 + 0 x 1 + 0 [ ! ] = lim (x 1 x 1) = lim 0 = 0:
a) lim
n!1
1+
x!1
3
Prawid÷
owy wynik :
2
x!1
x!1
3x + sin x
0 + sin x
sin x
[ ! ] = lim
= lim
= 1:
x!0
x!0
x!0 x
x
x
Prawid÷
owy wynik 4:
1 + 8x 1 + 3x
1+0 1+0
[!] =
e) lim
= lim
x!0+
x!0+
x
sin x
x
sin x
x
1
1 1
1
= lim
1 [ ! ] = lim 0 = 0:
lim
x!0+ x
x!0+
x!0+ x
sin x x
x
Prawid÷
owy wynik 5:
ex 1
1
ex 1
1
1
f) lim
= lim
[!] =
1=
:
x!0 sin 2x
x!0 sin 2
x
sin 2
sin 2
1
Prawid÷
owy wynik :
2
g) Poppodniesieniu wyraz·enia za limesem do czwartej pot¾
egi otrzymam:
1
4
16 + x4
16x4 + 1
16x4 + 1
lim p
= lim
[
!
]
=
lim
2
2 = 16:
2
3
2
x!1
x!1
x!1
x +3
(x + 3)
1 + x2
Prawid÷
owy wynik 2:
1
h) Dla wielu studentów wyraz·enia 1 1; ; 0 1; 11 sa¾tylko pozornie
1
nieoznaczone, gdyz· ich zdaniem zachodza¾ wzory:
1
1 1 = 0;
= 1; 0 1 = 0; 11 = 1:
1
Z poniz·szych równości wynika, z·e stwierdzenia te sa¾ fa÷
szywe:
d) lim
lim x
x!1
2
ex
2
x = 1; lim
= 1; lim sin x
x!1 x
x!0+
x
= 2; lim
x!1
1
1+
x
x
= e:
i) Studenci stosuja¾ regu÷
e¾ de L’Hospitala bez sprawdzenia za÷
oz·eń:
1
1
x H
lim x = lim x [ ! ] =
= 1; prawid÷
owy wynik 1;
x! 1 e
x! 1 e
0+
2x H
1 ln 2
2x ln 2
[!] =
lim
= lim
= ln 2; prawid÷
owy wynik 1;
x!0+ x
x!0+
1
1
x2 + sin x2 H
2x + 2x cos x2
2
lim
=
lim
=
lim
1
+
cos
x
; a poniewaz·
x!1
x!1
x!1
x2
2x
ostatnia granica nie istnieje, wi¾
ec nie istnieje takz·e granica poczatkowa[
¾
!]:
Prawid÷
owy wynik 1: Ponadto stosuja¾ fa÷
szywa¾ "regu÷
e¾ de L’Hospitala" do
obliczania wartości wyraz·enia nieoznaczonego 0 1 : lim [p (x) q (x)] =
x!x0
lim [p0 (x) q 0 (x)] ; np. lim (x
x!x0
x!0+
ctg x) = lim
x!0+
1
1
1
[
!
]
=
1
=
0+
sin2 x
1 - poprawna wartość 1 oraz do wyraz·enia 1 1: lim [p (x)
x!x0
lim [p0 (x)
q 0 (x)] ; np. lim (x
x!x0
x!1
1
[!] = 1
x
ln x) = lim 1
x!1
q (x)] =
0=1-
poprawna wartość 1:
sin x
j) Dla studentów granica lim
zawsze równa si¾
e 1; niezalez·nie od
x!
x
symbolu wpisanego w ramk¾
e. W rzeczywistości ta granica w punktach
róz·nych od 0 ma inne wartości, np.
lim
x!
sin x
sin x 2
sin x
= 0; lim
= ; lim
= sin 1;
x!1 x
x
x! 2 x
sin x
= 0:
x!1 x
lim
III. B÷
edne
¾
wzory do obliczania pochodnych
a) [p (x) q (x)]0 = p0 (x) q 0 (x) ;
0
np. x3 sin x = 3x2 cos x [ ! ] ; poprawny wynik 3x2 sin x + x3 cos x;
0
p0 (x)
p (x)
;
= 0
b)
q (x)
q (x)
h cos x i0
sin x + cos x
sin x
np.
[
!
]
;
poprawny
wynik
;
=
ex
ex
ex
0
1
1
;
c)
= 0
q (x)
q (x)
np.
0
1
x4
x
=
1
4x3
1
[ ! ] ; poprawny wynik
4x3 1
;
(x4 x)2
d) ff [g (x)]g0 = f 0 [g 0 (x)] ;
1
1
[ ! ] ; poprawny wynik cos (ln x) ;
np. [sin (ln x)]0 = cos
x
x
e) (9x)0 = x 9x 1;
(arcsin x)0 = arccos x;
(tg x)0 = ctg x;
1
0
5 0
f) (xx)0 = xx ln x;
e7 = e7; (ln 44)0 = ;
= 5 4;
44
h i0
1
1
1
0
0
g) (arc tg x) =
(tg x) =
;
jxj3 = 3 jxj2 :
2
2
2
1+x
1 + x cos x
h) Studenci potra…a¾ róz·niczkować nie istniejace
¾ funkcje, np. :
p
sin x
0
cos x 3 = p
[!];
2 cos x 3
arcsin 2 + x2
h
ln 1
e
x2
i0
=
0
=q
1
1
e x2
2x
1
[!];
(2 +
ex
2
x 2 )2
(2x) [ ! ] :
p
@f
(0; 0) : Rozi) Zadanie: dla f (x; y) = x4 + y 4 zbadać, czy istnieje
@x
#
"
@f
0
4x3
(0; 0) = p
wiazanie
¾
studenta:
= : Otrzyma÷
em wyra4
4
@x
0
2 x + y (0;0)
@f
@f
(0; 0) nie istnieje [ ! ] : Odp.
(0; 0) = 0:
z·enie nieoznaczone, wi¾
ec
@x
@x
IV. B÷
edne
¾
sposoby obliczania ca÷
ek nieoznaczonych
Z
Z
Z
a) [f (x) g (x)] dx = f (x) dx
g (x) dx;
Z
x2
sin x + C; poprawny wynik cos x + x sin x + C;
np. x cos xdx =
2
R
Z
f (x) dx
f (x)
dx = R
;
b)
g (x)
g (x) dx
Z
1 2
(x + 1)
x
2x
np.
dx
=
+
C
[
!
]
;
poprawny
wynik
+ C;
ex
ex
ex
Z
pn+1 (x)
n
+ C (n 2 N) ;
c) p (x) dx =
n+1
Z
cos4 x
sin3 x
3
+ C [ ! ] ; poprawny wynik x
+ C;
np.
cos xdx =
4
3
Z
dx
d)
= ln jp (x)j + C;
p (x)
Z
dx
x
x
[
!
]
;
poprawny
wynik
x
ln
(e
np.
=
ln
je
+
1j
+
C
+ 1) + C;
ex + 1
Z
e) ep(x)dx = ep(x) + C;
Z p
p
p
p
x
x
np.
e dx = e + C [ ! ] ; poprawny wynik 2 x 1 e x + C;
Z
dx
f)
= arctg p (x) + C;
1 + p2 (x)
np.
Z
dx
x
=
arctg
(tg
x)+C
[
!
]
;
poprawny
wynik
1 + tg2x
2
1
sin 2x+C:
4
V. Jez·eli student moz·e utrudnić sobie z·ycie, to tak zrobi
a) Rozwiazać
¾ równanie (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) = 0: Metoda studenta: po wymnoz·eniu czynników po lewej stronie równania otrzymam
x4
10x3 + 35x2
50x + 24 = 0 [ ! ] :
(x 2) (x + 4)
< 0: Rozwiazanie
¾
studenta: po
(x + 1) (x 3)
wyznaczeniu iloczynów w liczniku i mianowniku otrzymam nierówność
b) Rozwiazać
¾ nierówność
x2 + 2x 8
< 0[!]:
x2 2x 3
h
i
4 0
2
c) Obliczyć x + 3
: Rozwiazanie
¾
studenta: po obliczeniu pot¾
egi
h
i
4 0
0
2
otrzymam x + 3
= x8 + 12x6 + 54x4 + 108x2 + 81 [ ! ] :
Z
dx
¾
studenta: po podniesieniu mianowd) Obliczyć
3 : Rozwiazanie
(x 2) Z
Z
dx
dx
[!]:
nika do sześcianu dostan¾
e
=
x3 6x2 + 12x 8
(x 2)3
q
4
e) Wyznaczyć (3 2i)4: Rozwiazanie
¾
studenta: po obliczeniu czwartej
q
p
4
pot¾
egi otrzymam (3 2i)4 = 4 119 120i [ ! ] :
02
3 11
1 2 3
B4
C
f) Obliczyć det @ 2 5 4 5 A : Rozwiazanie
¾
studenta: po wyznacze1 3 2
niu macierzy odwrotnej otrzymam
02
3 11
02
3 1
1 2 3
2 5
7
B
C
det @4 2 5 4 5 A = det @4 0
1 2 5 [ ! ]A = 1:
1 3 2
1
1 1
!
5
2 3
g) Obliczyć det
: Rozwiazanie
¾
studenta: po obliczeniu piatej
¾
1 2
pot¾
egi macierzy otrzymam
det
2 3
1 2
5
!
= det
362 627
[!]
209 362
= 1:
h) Znaleźć wszystkie rozwiazania
¾
równania (z + 2i)6 + (z 1)6 = 0: Rozwiazanie
¾
studenta: po wykonaniu dzia÷
ań otrzymam równanie równowaz·ne
2z 6
(6
12i) z 5
45z 4
(20 + 160i) z 3 +255z 2
(6
192i) z
63 = 0 [ ! ] :
i) Student napisa÷
: po obliczeniu silni otrzymam:
8!
40 320
1
[!] = :
=
10! 3628 800
90
VI. B÷
edne
¾
de…nicje, fa÷
szywe twierdzenia, ciekawe sformu÷
owania, dziwne rozumowania oraz zaskakujace
¾ wnioski
a) Fragment rozwiazania
¾
zadania z rachunku prawdopodobieństwa o
wyst¾
epowaniu daltonizmu wśród m¾
ez·czyzn i kobiet: wyznacz¾
e liczbe¾ m¾
ez·czyzn, którzy nie rozróz·niaja¾kobiet.
b) Poniewaz·ca÷
y okrag
¾ ma równanie x2 +y 2 = r2; wi¾
ec jego dolna po÷
owa
1 2
1
jest opisana wzorem
x + y 2 = r2 ; a górna wzorem x2 + y 2 = r2:
2
2
c) Jez·eli twierdzenie Tn określone dla n liczb naturalnych jest prawdziwe
dla n + 1 liczb i zachodzi implikacja Tn =) Tn+1; to mamy do czynienia z
zasada¾ indukcji matematycznej.
d) Granica lim f (x) nie istnieje. Zatem w punkcie x = 0 funkcja f nie
x!0
moz·e być juz· nigdy ciag÷
¾ a i dobrze jej tak!
n
e) Ciag
¾ ( 1) raz da¾z·y do +1; a raz do 1; wobec tego zachodzi
+1
stosunek
:
1
f) Móg÷
bym policzyć pochodna,¾ ale nie kaz·a.¾
g) Funkcja f jest monotoniczna w przedziale (a; b); gdy wszystkie punkty
z tego przedzia÷
u daja¾ sie¾ po÷
aczyć
¾
prosta¾ lub krzywa.¾
h) Bez linijki i gumki nie potra…¾
e narysować wykresu tej funkcji.
i) Monotoniczność funkcji f określ¾
e na podstawie znaku róz·nicy
f (x + 1)
f (x) :
j) Z powodu braku czasu dalsza¾cz¾
eść rozwiazania
¾
przeprowadz¾
e w formie
kontemplacji.
k) Granica ciagu
¾ jest to ostatnia liczba ze zbioru liczb nalez·acych
¾
do tego
ciagu.
¾
l) Zachodzi wzór lim (an bn) = lim an + lim bn; bo logarytm iloczynu
n!1
n!1
n!1
równa si¾
e sumie logarytmów.
m) Po pomnoz·eniu obu stron równania przez x otrzymam:
1
1
1
1
+
= 1 ()
+
= x:
sin x cos x
sin cos
+ k (k 2 Z) :
4
o) Nierówność wyk÷
adnicza jest róz·niczkowalna, wiec
¾ moz·emy opuścić
podstawy.
p) Po podzieleniu obu stron równania ctg x = 3 tg x przez tg x otrzymamy, z·e sta÷
a c równa si¾
e 3:
q) Dla kaz·dego x > 0 funkcje f; g; h spe÷
niaja¾ nierówności
f (x) 6 g (x) 6 h (x) ; ale lim f (x) 6= lim h (x) :
n) Prawdziwa jest równowaz·ność tg x < 1 () x <
x!1
x!1
Zatem granica lim g (x) nie istnieje.
x!1
r) Zak÷
adam, z·e toz·samość jest prawdziwa dla kaz·dego n = 1:
s) Zadanie rozwia¾z·e¾ metoda¾ spekulacji.
t) Wyobraźmy sobie sześcian, który ma sześć tysi¾
ecy ścian.
u) Granica¾ciagu
¾ nazywamy wartość, jaka¾osiaga
¾ funkcja przy da¾z·eniu do
końca przedzia÷
u.
v) Z niemoz·liwości matematycznego rozwiazania
¾
pos÷
uz·y÷
am si¾
e logika.¾
w) Niech zdarzenie A oznacza, z·e czerwony tramwaj jedzie z prawej
strony. Wtedy zdarzenie przeciwne do A oznacza, z·e niebieski tramwaj
jedzie z przeciwnej strony.
x) Prawie wszystkie oznacza wszystkie, oprócz tych co nie nalez·a.¾
y) W ten sposób pokaza÷
em rodzicom, z·e nie nadaj¾
e si¾
e na studia.
z) Zachodzi tutaj zjawisko indukcji matematycznej.
A) Sam si¾
e dziwi¾
e, jak zda÷
em matur¾
e.
B) Istnieje twierdzenie, niepotrzebne w zadaniu, które brzmi ... .
C) Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 1000! 999! 998! : : : 1!:
D) Rozumowania w rozwiazaniach
¾
zadania dotyczacego
¾
wieku trzech
braci. „W celu skorzystania z ostatniej informacji w zadaniu dodatkowo
wprowadzam czwartego brata”. Inny zadajacy
¾ otrzyma÷ujemny wiek braci,
jednak nie straci÷g÷
owy i napisa÷
: „Najstarszy brat urodzi si¾
e za 6 lat, średni
za 9 lat, a najm÷
odszy za 12 lat”.
E) Uk÷
ad równań jest nie do rozwiazania.
¾
F) Pochodna¾ nazywamy granic¾
e okresów ilorazowych.
G) W trójkacie
¾ jeden kat
¾ ma 1350; drugi ma takz·e 1350; a trzeci - 900:
Poniewaz· suma katów
¾
w tym trójkacie
¾ równa si¾
e 3600; wi¾
ec taki trójkat
¾ nie
istnieje.
p
H) Go÷
ym okiem widać, z·e funkcja f (x) = 2x 1 jest ściśle rosnaca.
¾
I) Zadanie jest tak proste, z·e nie ma co rozwiazywać.
¾
J) Oczywiście w praktyce wybiera si¾
e duz·o mniejsze " niz· na rysunku.
K) Zak÷
adamy, z·e nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n: Pokaz·emy, z·e jest ona prawdziwa takz·e dla liczby n + 1:
L) Proste l1 i l2 sa¾ prostopad÷
e, gdy sa¾ w stosunku.
Z prac egzaminacyjnych wybra÷
: Zbigniew Skoczylas