Przykład 1 Dane są trzy siły: P1 = 3i + 4j, P2 = 2i − 5j, P3 = −7i + 3j

Przykład 1 Dane są trzy siły: P1 = 3i + 4j, P2 = 2i − 5j, P3 = −7i + 3j

Przykład 1
Dane są trzy siły: P1 = 3i + 4j, P2 = 2i − 5j, P3 = −7i + 3j (składowe sił wyrażone są w
niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej
wartość oraz kąt α nachylenia linii działania względem osi Ox układu.
Rozwiązanie
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej
Px i Py
Wektor i wartość wypadkowej wynoszą
Kierunek wypadkowej określa kąt α, który wyznaczamy z następującego wzoru
Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: Px < 0, Py > 0, to kąt α = 135º.
Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt A pod kątem α = 135º do osi
Ox.
Przykład 2
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P1, P2, P3. Wartości
tych sił są równe: P1 = P2 = Q, P3 = 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową.
Rozwiązanie
Cosinusy kierunkowe sił P1, P2, P3 wynoszą
Wyznaczamy składowe wypadkowej
Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru
a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio
Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P1,
P2, P3 pod kątami α, β i γ do osi układu współrzędnych Oxyz.
Przykład 3
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie
pochylenia α, działają dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę
S oraz reakcję równi, jeżeli punkt znajduje się w spoczynku.
Rozwiązanie
Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w
równowadze. Na podstawie warunków równowagi sił zbieżnych można napisać
następujące równania równowagi
Z równania pierwszego otrzymamy
Po podstawieniu do drugiego równania
Stąd
Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił
utworzony z czterech sił działających na punkt materialny, z którego wyznaczono
wartości siły S i reakcji R
Przykład 4
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze
przegubowej A. Drugi koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej
przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w
punkcie C siłą P.
Rozwiązanie
Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i
przyłożone zostały reakcje RAx, RAy i RB. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami
RA, RB i P, wobec tego ich linie działania muszą przecinać się w jednym punkcie D,
zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c).
W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące
Ponadto
gdzie
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy
Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił RA, RB i P. Na
podstawie twierdzenia równań sinusów otrzymamy
Stąd
Przykład 5
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie
pochylenia α = 30º i jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA,
zgodnie z rysunkiem. Do środka walca zamocowano drugą linę, którą przerzucono
przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono ciężar P. Obliczyć wartość
reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, jeżeli
lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kąt β = 45º.
Rozwiązanie
Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi
walca są następujące
Stąd
Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił,
utworzony ze wszystkich sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich
trójkątów otrzymamy
Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy
zastosowaniu metody analitycznej.
Przykład 6
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów
połączonych przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w
płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty β = 45º. Pręt
CO tworzy z pionową ścianą kąt α = 60º i również leży w płaszczyźnie prostopadłej
do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary własne oraz tarcie w
przegubach.
Rozwiązanie
Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania
prętów OA, OB i OC: S1, S2 i S3 oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi
otrzymujemy następujące równania
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy
Przykład 7
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC,
BC, BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B
działają dwie siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC.
Rozwiązanie
Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S1, S2 i S3, wynikające z
oddziaływania prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła
są następujące
Na węzeł C działają reakcje S3, S4, S5 i S6 oraz siła P. Równania równowagi
rozpatrywanego węzła są równe
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy