Równania różniczkowe w Polsce. Zarys historii

Transkrypt

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO
Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXXVII (2001)
Andrzej Pelczar (Kraków)
Równania różniczkowe w Polsce.
Zarys historii do połowy lat siedemdziesiątych XX wieku
1. Kilka uwag ogólnych. Już na przełomie wieków XVI i XVII badano
zagadnienia, które obecnie można przedstawić w postaci równań różniczkowych. I tak np. Galileo Galilei (1564–1642) rozważał swobodne spadanie
ciał przy założeniu braku oporu ośrodka, a René Descartes (1596–1630)
badał pewne problemy optyki i doszedł do równania, które dziś zapisalibyśmy w postaci prostego równania liniowego y ′ = by, gdzie b jest stałą.
Takie równania liniowe były zresztą badane de facto jeszcze wcześniej przez
Johna Napiera (1 ) (1550–1617), gdy wprowadzał pojęcie logarytmu (co nie
powinno zaskakiwać, bo przecież rozwiązaniami równań tego typu są funkcje wykładnicze, odwrotne do logarytmicznych). Napier nie mógł oczywiście
stosować (nie istniejącego wtedy) rachunku różniczkowego, nie mógł więc
używać równań różniczkowych. Rzeczywisty początek historii równań różniczkowych trzeba datować na przełom wieków XVII i XVIII; podwaliny
pod ich teorię dali dopiero Isaac Newton (1642–1727) i Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646–1718), twórcy rachunku różniczkowego w naszym rozumieniu.
Od Leibniza pochodzi prawie na pewno termin: równanie różniczkowe.
Teorię równań różniczkowych budowano niejako „z kawałków”, zajmując
się rozwiązywaniem konkretnych zadań przy użyciu różnych metod. Wiele
badanych wówczas równań weszło do matematyki pod nazwami pochodzącymi od nazwisk autorów najważniejszych wyników. Wymieńmy np. równania: Bernoulliego (od najstarszego z działających w XVII wieku braci, Jacoba Bernoulliego, żyjącego w latach 1654–1705), Riccatiego (1676–1754),
Clairauta (1713–1765) i wreszcie Eulera (1707–1783). Matematycy ci wnieśli
do nauki wielki wkład, którego tylko pewnymi częściami były wyniki badań
nad równaniami, noszącymi dziś ich imiona. W szczególności Leonhard Euler wszedł do historii nauki dzięki takim dokonaniom w matematyce i jej
(1 ) Spotyka się inne formy pisowni jego nazwiska, m.in.: Neper, Nepier, Naper; stosujemy pisownię przyjętą w Biographies Index na internetowych stronach Department of
Mathematics, Cambridge University (http://www.dpmms.cam.ac.uk).
64
A. P e l c z a r
zastosowaniach oraz w fizyce, które miały podstawowe znaczenie dla rozpoczynanego już w XVII wieku budowania zrębów ogólnych teorii matematycznych, ujmujących coraz ogólniej i coraz bardziej systematycznie to, co
poprzednio badano wyrywkowo. W badaniach tych w odniesieniu do równań
różniczkowych próbowano, między innymi, ustalać pewne ich klasyfikacje.
Stawiano przy tym coraz ogólniejsze pytania dotyczące równań nie tylko
zwyczajnych, ale i cząstkowych. Wiek XVIII przyniósł już systematyczny
rozwój badań w tym zakresie; równania różniczkowe stają się jedną z głównych części analizy. Autorzy obszernego zbioru opracowań na temat matematyki XIX wieku [66], w części II poświęconej równaniom różniczkowym
zwyczajnym piszą, iż trudno znaleźć wybitnego matematyka tego okresu,
który nie zajmowałby się równaniami różniczkowymi. Zajmowano się nadal, przede wszystkim w zakresie równań zwyczajnych, różnymi metodami
rozwiązywania tych równań, stosując w szczególności wiele sposobów przekształcania równań w celu uzyskania postaci rozwiązywalnych czyli „całkowalnych przez kwadratury”. Osiągnięto sukcesy w rozwiązywaniu równań
liniowych. Szukano też rozwiązań wielu ważnych równań w postaci szeregów. I tak np. Euler w roku 1769 stwierdził, że rozwiązanie y = y(x) pewnego liniowego równania drugiego rzędu można znaleźć w postaci szeregu
y = xλ (a0 + a1 x + . . .), gdzie wykładnik λ nie musi być liczbą całkowitą. Euler podał równanie kwadratowe dla wyznaczenia tego wykładnika i zbadał
własności rozwiązań w zależności od tego, jakie są pierwiastki wspomnianego równania kwadratowego (por. np. [66]). Od Eulera pochodzi znana
powszechnie, obecnie klasyczna metoda aproksymacji rozwiązań problemów
początkowych. Zagadnienia fizyki zmuszały do rozważania problemów brzegowych, zarówno dla równań zwyczajnych jak i cząstkowych.
Na przełomie XVIII i XIX stuleci równania różniczkowe zaczynają się
wyodrębniać z całości matematyki (ściślej, z analizy matematycznej) stając
się powoli osobną dziedziną. Regułą jest przy tym bardzo mocne ich powiązanie z fizyką. Przypomnijmy, że w wieku XVIII i w początkach wieku
XIX, działali: Jean le Rond d’Alembert (1717–1783), Joseph Louis Lagrange
(1736–1813), Pierre Simon Laplace (1749–1827), Johann Friedrich Pfaff
(1765–1825), Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), Gaspar Monge
(1746–1818), „książę matematyków” Carl Friedrich Gauss (1777–1855), a nieco później Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) i Joseph Liouville (1809–
1882). Nazwiska ich znaczą kolejne etapy rozwoju matematyki w ogóle, a teorii równań różniczkowych w szczególności. Przypomnijmy, że od Fouriera
pochodzi teoria szeregów trygonometrycznych, mająca fundamentalne znaczenie dla równań różniczkowych, a od Monge’a pierwsze obserwacje związane z geometrycznymi aspektami ich teorii. Wchodząc w wiek XIX matematyka dysponowała wieloma metodami rozwiązywania konkretnych równań
różniczkowych i dość zawansowanymi narzędziami analitycznymi. Wprowadzano pewne klasyfikacje równań. Brak było jednak ogólnych, precyzyjnie
Równania różniczkowe w Polsce
65
sformułowanych i ściśle udowodnionych twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań; brak było generalnego ujęcia teorii; brak było wreszcie jakościowego spojrzenia na wiele zagadnień, które takiego spojrzenia i ujęcia
wymagały.
Przechodząc do tego, co przyniósł wiek XIX, zacytujmy najpierw fragment z pięknego eseju Lynna Arthura Steena [178]. Matematyka dziewiętnastowieczna rozwijała się szybko w dwu pozornie przeciwstawnych kierunkach.
Doskonaliła ona aparat rachunku różniczkowego i całkowego doprowadzając
go do precyzyjnego systemu analizy matematycznej , która umożliwiła rozwój potężnych teorii fizyki matematycznej. Teorie te doprowadziły w końcu
do mechaniki kwantowej i teorii względności , a w konsekwencji do głębokiego
pojmowania podstawowych własności materii i przestrzeni. Jednocześnie jednak matematyka tego okresu, poprzez energiczne badania sensu rachunku
różniczkowego i geometrii odkryła całe nowe światy matematyki w teoriach
zbiorów nieskończonych i nieeuklidesowych geometrii; teorie te doprowadziły
w końcu matematyków wieku XX do głębszego pojmowania podstaw swego
własnego przedmiotu.
To co powiedziano wyżej w odniesieniu do całej matematyki można
– mutatis mutandis – odnieść do omawianej tu jej części, do równań różniczkowych. Z jednej bowiem strony rozwijano (i doskonalono) metody rozwiązywania poszczególnych równań, zwracając uwagę na powiązania z fizyką
i dostarczając jej coraz precyzyjniejsze narzędzia badawcze, z drugiej zaś starano się stworzyć możliwie ścisłe fundamenty i zarysować ogólne ramy teorii, tak by doprowadzić do głębszego pojmowania podstaw swego przedmiotu.
W związku z tym drugim nurtem zakończono w ostatnim ćwierćwieczu XIX
stulecia prace nad sformułowaniem i udowodnieniem podstawowych twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań, o regularnej zależności rozwiązań od warunków początkowych, o klasie regularności rozwiązań. Pierwsze,
ważne etapy na tej drodze pokonano dzięki pracom Augustina Louisa Cauchy’ego (1789–1857), który położył ogromne zasługi przy budowie podstaw
całej analizy matematycznej. W teorii równań różniczkowych wprowadził
najpierw precyzyjnie określone pojęcie warunków początkowych (jak wiadomo, mówimy dziś o problemach początkowych Cauchy’ego), a następnie
sformułował i udowodnił twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
problemów postaci
(1)
(2)
y ′ = f (x, y)
y(x0 ) = y 0
przy założeniu, że funkcja f z prawej strony równania (1) jest dostatecznie regularna (jest klasy C1 ). Zastosował Cauchy metodę pochodzącą od
Eulera (zwaną teraz metodą łamanych Eulera). Stosował też metodę kolejnych przybliżeń, którą potem doskonalono i stosowano do rozmaitych, bardzo ogólnych zagadnień. Metodę tę rozwijała potem także krakowska szkoła
66
A. P e l c z a r
Tadeusza Ważewskiego, o czym będzie mowa niżej. Już po śmierci Cauchy’ego, przy końcu trzeciego ćwierćwiecza XIX stulecia, teoria równań różniczkowych wzbogaciła się, dzięki pracom Zofii Kowalewskiej (1850–1891),
o twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań analitycznych dla problemów początkowych przy danych funkcjach analitycznych (podstawowy
rezultat nazywa się twierdzeniem Cauchy’ego–Kowalewskiej). Na twierdzenia o istnieniu rozwiązań przy znacznie słabszych założeniach regularności
prawych stron, poprawiające klasyczny wynik Cauchy’ego, trzeba było jeszcze nieco poczekać. W roku 1890 Giuseppe Peano (1858–1932) opublikował
dużą pracę [142] zawierającą dowód istnienia rozwiązań problemów typu
(1)–(2) przy założeniu – tylko – ciągłości funkcji f , co istotnie wzmacniało
twierdzenie Cauchy’ego, a równocześnie i dowód jednoznaczności rozwiązań
przy założeniu klasy C1 funkcji f ze względu na drugą zmienną. Można
uznać, iż praca ta kończy pewien etap budowy podstaw teorii równań różniczkowych (2 ).
W ostatniej ćwierci wieku XIX nastąpił też inny punkt zwrotny w historii równań różniczkowych zwyczajnych. W czasie, gdy kończono badania
dotyczące podstaw teorii i konstruowania analitycznych metod rozwiązywania równań, rozpoczęto budowanie tzw. jakościowej teorii równań różniczkowych. Na jej gruncie powstała potem teoria układów dynamicznych. Jakościowa teoria równań różniczkowych obejmuje problemy związane z własnościami rozwiązań i zbiorów rozwiązań, których możemy nie mieć zapisanych explicite w postaci konkretnych wzorów, wiedząc jednak, że prawe
strony badanych równań czynią zadość pewnym warunkom. Chodzi więc
o to, by odpowiedzieć na pytania o pewne własności rozwiązań, wiedząc, że
funkcje określające rozważane równania (w przypadku równania (1) jest to
funkcja f ) mają znane nam własności, lecz nie mając wcale zagwarantowanej rozwiązywalności badanych równań ani tym bardziej efektywnej postaci
rozwiązań. Do takich zagadnień należą pytania o zachowanie się rozwiązań równań zwyczajnych, gdy argument, interpretowany jako czas, dąży do
nieskończoności. Niektóre z takich pytań postawił precyzyjnie chyba jako
pierwszy Henri Poincaré (1854–1912) rozważając rozwiązania, których wykresy „skupiają się” wokół punktów odpowiadających rozwiązaniom stałym
(przedstawiając, opartą na sposobie tego „skupiania się”, klasyfikację punktów stałych), względnie wokół wykresów rozwiązań okresowych i definiując
w związku z tym pojęcie cyklu granicznego. Ze względów historycznych warto
podać dane bibliograficzne jego podstawowych prac obejmujących m.in. tę
tematykę: [161], [162]. Ma to pewne odniesienia do szeroko rozumianych
(2 ) Ta część twierdzenia Peano, która obejmowała twierdzenie Cauchy’ego o jednoznaczności rozwiązania, została następnie wzmocniona przez Rudolpha Ottona Lipschitza
(1832–1903), który zastąpił warunek zakładany przez Cauchy’ego i Peano warunkiem
słabszym, znanym dziś jako warunek Lipschitza.
67
problemów stabilności, w których chodzi o to, czy małe zmiany na początku badanego procesu (małe zmiany warunków początkowych) skutkują
małymi, czy też dużymi zmianami gdy czas rośnie nieograniczenie. Warto
przypomnieć w tym miejscu, że jeden z problemów Hilberta (dokładniej:
druga część 16-go problemu), postawionych przez niego w roku 1900 dotyczy właśnie cykli granicznych. Hilbert pytał czy rozważając układy równań
różniczkowych autonomicznych na płaszczyźnie
u′ = f (u, v),
v ′ = g(u, v),
gdzie f i g są wielomianami, można oszacować od góry liczbę cykli granicznych w zależności tylko od maksimum stopni f i g. Problem ten doczekał się
tylko częściowych rozwiązań, które uzyskano przy użyciu bardzo zaawansowanych środków i po stu latach czeka on nadal na pełną odpowiedź.
Początki badań nad pewnymi problemami stabilności należy wiązać z pracami Edwarda Johna Routha (1831–1907), który w ramach klasycznej mechaniki rozważał ruchy cząstek i ciał sztywnych, poświęcając wiele uwagi
stabilności położenia równowagi. Pewne rozważania dotyczące stabilności
pojawiały się fragmentarycznie już wcześniej (por. np. [42]), ale dopiero Routh poświęcił tej tematyce kilka prac, a ich wyniki zostały zauważone, co
znalazło swój wyraz w nagrodzeniu rezultatów jednej z jego prac (por. [168])
nagrodą Adamsa w roku 1877. Systematyczny rozwój teorii stabilności zapoczątkowany został jednak dopiero badaniami i wynikami Aleksandra Michajłowicza Lapunowa (1857–1918). Wprowadził on szereg podstawowych pojęć
tej teorii i podał metody badawcze oparte na własnościach pewnych funkcji
malejących wzdłuż trajektorii, nazywanych teraz funkcjami Lapunowa (por.
[83]). Dzięki takiemu podejściu można w pewnych wypadkach rozstrzygać
o tym czy punkt równowagi jest, czy nie jest stabilny, badając znaki części
rzeczywistych pierwiastków charakterystycznych macierzy Jakobiego prawych stron badanych układów równań; ma to oczywiście istotne znaczenie
praktyczne, gdyż podaje „rachunkowy przepis” postępowania, które w wielu
przypadkach rozstrzyga problemy stabilności.
Jakościowa teoria równań różniczkowych obejmuje też metody topologiczne pochodzące m.in. od Tadeusza Ważewskiego (o czym będzie mowa
niżej) i wiele innych zagadnień dotyczących w szczególności istnienia i własności zbiorów granicznych, przedłużeń trajektorii, zbiorów przyciągających
(atraktorów) i odpychających, istnienia rozwiązań okresowych lub prawie
okresowych, pojawiania się (lub nie) zachowań chaotycznych.
Badając rozwój równań różniczkowych w Polsce, można dostrzec pewne
analogie między ich historią „w ogóle” i jej częścią polską. Najważniejszym
kartom tej historii, a także matematykom ją tworzącym od połowy XIX
wieku do, mniej więcej, trzeciej ćwierci wieku XX, poświęcone jest niniejsze
opracowanie.
68
A. P e l c z a r
2. Początki równań różniczkowych na ziemiach polskich. Trudno
ustalić z całą pewnością, kto z zajmujących się matematyką i fizyką w Polsce jako pierwszy, z całą świadomością i znajomością przedmiotu, objął swą
działalnością naukową, względnie dydaktyczną lub wydawniczą, równania
różniczkowe. Należy przyjąć, że ci, którzy zetknęli się z analizą matematyczną, musieli wcześniej czy później zająć się także – choćby fragmentarycznie – teorią równań różniczkowych, jako jedną z jej zaawansowanych części.
Można np. przypuszczać, że równania różniczkowe pojawiły się (explicite lub
implicite) na wykładach Józefa Jakubowskiego (1743–1814), wykładowcy
matematyki w warszawskim Korpusie Kadetów. W roku 1771 ukazało się
dokonane przez Jakubowskiego tłumaczenie książki Etienne Bézouta (1730–
1783) (3 ). W części III tej książki są podane elementy analizy (prawdopodobnie po raz pierwszy w języku polskim). Od Jakubowskiego pochodzą polskie terminy: różniczka, całka, rachunek różniczkowy, rachunek całkowy (4 ).
Można też przypuszczać, że równania różniczkowe nie były obce Janowi
Michałowi Hubemu (1737–1807), który w latach 1782–1794 był dyrektorem Korpusu Kadetów. Na przełomie wieków XVIII i XIX wykładał matematykę na Uniwersytecie Wileńskim Franciszek Milikont Narwojsz (1742–
1819). Program jego wykładów zamieszczony w książce Dianni i Wachułki
[44] wskazuje na to, iż równania różniczkowe „miały szansę” (a może nawet
powinny były) pojawić się w trakcie tych wykładów, co najmniej implicite.
Zapewne pojawiły się one w wykładach Zachariasza Niemczewskiego (1766–
1820) w początkach XIX w. Wykładał on na Uniwersytecie Wileńskim algebrę i rachunek różniczkowy, m.in. na podstawie przetłumaczonego przez
siebie francuskiego podręcznika (którego autorem był Sylvestre François Lacroix (1765–1843)), a w programie były w szczególności „zrównania różnicowe”. Wiadomo, że równania różniczkowe, w tym także cząstkowe, znalazły
swe miejsce w wykładach Augustyna Frączkiewicza (1789–1883) na Uniwersytecie Warszawskim. Przedstawiał on m.in. teorię Pfaffa równań cząstkowych pierwszego rzędu, a więc elementy najnowszych wówczas osiągnięć
w zakresie równań różniczkowych. Nie zajmował się jednak nimi jako badacz. Dodajmy jako ciekawostkę, że Frączkiewicz był uczniem Karola Hubego (1766–1845), syna Michała, o którym była mowa wyżej; Karol Hube,
absolwent Korpusu Kadetów i uniwersytetu w Tybindze, był od roku 1810
profesorem Uniwersytetu Krakowskiego, na którym działał bardzo owocnie.
Wspomniani powyżej, przykładowo i dość wyrywkowo, matematycy polscy,
którzy zajmowali się (lub mogli się zajmować) równaniami różniczkowymi,
nie koncentrowali się jednak na pewno na ich teorii jako przedmiocie swych
badań naukowych (o ile w ogóle badania naukowe podejmowali).
(3 ) Nauka matematyki do użycia artyleryi francuskiey napisana przez p. Bézout, a dla
pożytku pospolitego osobliwie dla korpusu artyleryi narodowey na język polski przełożona. . .
(4 ) Termin pochodna jest autorstwa Jana Śniadeckiego.
69
W pierwszych latach XIX wieku działał chyba tylko jeden polski uczony,
którego nazwisko weszło (nie bez opóźnień zresztą) na trwałe do matematyki, w tym i do teorii równań różniczkowych. Był nim Józef Hoene-Wroński
(1776–1853), osoba wybitna, o fascynującym życiorysie i szerokich, niekonwencjonalnych zainteresowaniach i poglądach filozoficznych. Przybliżeniu
dzieła Hoene-Wrońskiego poświęcił wiele uwagi i wysiłku Samuel Dickstein
(1851–1939), starając się ułatwić odbiór ważnych rezultatów zapisywanych
przez Hoene-Wrońskiego w sposób zawikłany (zwłaszcza dla współczesnego
czytelnika). W teorii liniowych równań różniczkowych używa się, jak wiadomo, wyznaczników nazywanych teraz wrońskianami.
Osiągnięcia Hoene-Wrońskiego miały dużą wagę, ale były dokonane w Paryżu, gdzie przebywał od roku 1800, i nie zmieniały obrazu ogólnie nader
niskiego poziomu badań naukowych (czy też ich braku) w zakresie matematyki na ziemiach polskich w początkach XIX wieku. Dotyczy to w szczególności równań różniczkowych. Dlatego też początków ich historii w Polsce
należy szukać – jeśli się przyjmie, że ma być ona związana z badaniami
naukowymi – dopiero pod koniec XIX wieku. Oznacza to, że niemal sto
lat musiało upłynąć od czasu pierwszego zapoznawania się z podstawami
teorii równań różniczkowych, w niektórych przynajmniej ośrodkach na ziemiach polskich, do rozpoczęcia prawdziwych badań. Tak duże opóźnienie
było konsekwencją ogólnej sytuacji kraju i wynikającej z niej sytuacji edukacji w ogóle, a uczelni wyższych w szczególności. Dopiero działalność Komisji Edukacji Narodowej zaczęła przynosić zmiany na lepsze. Działalność
ta miała swe długofalowe skutki także dla matematyki. Zahamowano regres
Akademii Krakowskiej i dokonano podstawowych reform, zaś troska o właściwe podręczniki znalazła odbicie w wydawaniu tłumaczeń dobrych książek
autorstwa wybitnych specjalistów europejskich i stymulowaniu polskich autorów; są to fakty dobrze znane. Ogromne zasługi dla tego dzieła położył
Jan Śniadecki (1756–1830). Przywiązywał wielką wagę do kształcenia w zakresie matematyki, astronomii i nauk przyrodniczych. Pierwszy w Polsce
docenił wagę rachunku prawdopodobieństwa. Jemu zawdzięcza Uniwersytet
Krakowski to, że udało się utrzymać (czy też odtworzyć) dwie katedry matematyki i zaczęto odrabiać zacofanie w naukach ścisłych i przyrodniczych.
Niestety, polityczny upadek kraju spowodował kolejny zastój, a nawet regres
w nauce polskiej. Dotyczyć to musiało także matematyki, a więc i dopiero
co „dotkniętych” przez polskich matematyków równań różniczkowych. Na
szczęście jednak ten regres nie był tak głęboki jak w okresie przed reformą
kołłątajowską, która zostawiła trwały ślad i umożliwiła start z wyższego
niż przed nią pułapu, gdy sytuacja zaczęła się poprawiać, głównie dzięki
zwiększaniu się liczby coraz wybitniejszych profesorów uniwersyteckich.
3. Równania różniczkowe na tle matematyki polskiej w XIX
wieku. Przypomniawszy sytuację, w jakiej znajdowała się matematyka (wraz
70
A. P e l c z a r
z całą nauką) w Polsce na początku XIX wieku, przejdźmy od razu do jego
drugiej połowy, a nawet do końcowego 30-lecia, gdyż z punktu widzenia
niniejszego opracowania niczego specjalnie interesującego nie można odnotować w odniesieniu do lat wcześniejszych. Można powiedzieć, że w tym
okresie były cztery ośrodki polskiej myśli matematycznej: Warszawa, Kraków, Lwów i. . . Paryż.
Zdzisław Opial pisze w swoim artykule [125]: Kapitalne znaczenie w dziejach matematyki w Polsce miał bez wątpienia krótki żywot w latach 1862–
1869 Szkoły Głównej w Warszawie. Uczelni tej udało się w ciągu kilku zaledwie lat zaszczepić nowemu pokoleniu młodzieży polskiej szczere zamiłowanie
do nauk przyrodniczych i nie przemijający zapał do pracy społecznej. Swe
wykształcenie matematyczne zawdzięczają tej właśnie Szkole, m.in. wspomniany już Samuel Dickstein (który magisterium robił już jednak w rosyjskim Uniwersytecie Warszawskim w roku 1876) oraz Władysław Gosiewski (1844–1911) i Marian Baraniecki (1848–1895); byli oni też społecznikami, o których zapale mówi powyższy cytat. Społecznikowski zapał Dicksteina przejawiał się m.in. w tym, że prowadził w założonych przez siebie i braci fizyków, Władysława i Edwarda Natansonów, Wiadomościach
Matematyczno-Fizycznych dział przeglądów i recenzji prac matematycznych.
Jego zasługi w tym zakresie są nie do przecenienia; dotyczy to w bardzo
dużym stopniu równań różniczkowych. Dzięki tym trzem matematykom powstały podwaliny pod przyszły ośrodek matematyki warszawskiej, który
potem – po około dwudziestoletniej przerwie – zasłynął jako miejsce, gdzie
zaistniała świetna polska szkoła matematyczna topologii i teorii mnogości
zbudowana już przez matematyków następnej, wspaniałej generacji.
Najwybitniejszym matematykiem działającym w Krakowie (jeśli chodzi
o pozycję naukową, to najwybitniejszym matematykiem na ziemiach polskich w owym czasie) był Franciszek Karol Józef Mertens (1840–1929). Objął
stanowisko profesorskie w Krakowie w roku 1864, by po dziewiętnastu latach przenieść się do Grazu, a potem do Wiednia. Był wybitnym specjalistą
w analitycznej teorii liczb; napisał jedną pracę z teorii równań różniczkowych, ale to był margines jego zainteresowań naukowych. Na miejsce Mertensa przyszedł z Warszawy, w roku 1885, wspomniany już Baraniecki. Jego
oryginalna twórczość była skromna, miał zasługi wydawnicze i popularyzatorskie oraz pedagogiczne. Najwybitniejszym uczniem Baranieckiego był
Stanisław Kępiński (1867–1908). Studiował w Krakowie w latach 1885–1889,
a w dwa lata później doktoryzował się na podstawie rozprawy o równaniach
różniczkowych drugiego rzędu. W roku 1896, po śmierci Baranieckiego, został profesorem nadzwyczajnym, by w roku 1899 przenieść się na Politechnikę Lwowską. Kępiński zajmował się przede wszystkim równaniami różniczkowymi (m.in. kontynuował prace nad tematyką rozprawy doktorskiej)
71
i funkcjami analitycznymi. Jego działalność naukowa oznaczała w Krakowie – znowu, po przerwie spowodowanej odejściem Mertensa – powiew matematyki europejskiej, gdyż Kępiński był pod wpływem Felixa Christiana
Kleina (1844–1925), u którego studiował, jako stypendysta, w Getyndze.
Już we Lwowie Kępiński napisał bardzo dobry podręcznik z równań różniczkowych [58]. W roku 1895 rozpoczął etatową pracę na Uniwersytecie
Jagiellońskim Kazimierz Paulin Żorawski (5 ), najpierw jako profesor nadzwyczajny, a od roku 1898 profesor zwyczajny; będzie o nim szerzej mowa
w dalszym ciągu.
We Lwowie były dwie dobre uczelnie: Uniwersytet i Szkoła Politechniczna. Wiemy już, że od roku 1899 pracował we Lwowie Stanisław Kępiński. Nie rozwinął tam znaczącej działalności naukowej; był obciążany obowiązkami dziekańskimi i rektorskimi. Wcześniej, pierwszym z liczących się
matematyków, w kształtującym się na nowo w XIX wieku naukowym środowisku Lwowa, był profesor Uniwersytetu i Szkoły Politechnicznej, niezły
badacz i konstruktor „przyrządów matematycznych”, Wawrzyniec Żmurko
(1824–1889). Jednym z jego uczniów, na pewno najwybitniejszym, był Józef Puzyna (1856–1919), z kniaziowskiego rodu; jego członkowie „pisali się
z Kozielska”(6 ). Był wybitnym specjalistą w zakresie funkcji analitycznych,
ale napisał też pracę z teorii równań różniczkowych [164]. Od roku 1872
działał we Lwowie Władysław Zajączkowski (1837–1898), który studiował
w Krakowie i najpierw tu wykładał (jako docent prywatny w latach 1862–
1864), a potem działał w Warszawie. Zajmował się twórczo równaniami różniczkowymi i był autorem kilku dość ważnych prac. Napisał też obszerny
podręcznik z tej teorii [230], który zasługuje na osobne omówienie przekraczające ramy niniejszego opracowania. Podręcznik ten wydany został w Paryżu, w roku 1877, „nakładem właściciela Biblioteki Kórnickiej, Przewodniczącego w Towarzystwach Naukowej Pomocy i Nauk Ścisłych w Paryżu”
[czyli Jana Kantego Działyńskiego (1829–1880)].
W Paryżu nie było oczywiście żadnej polskiej szkoły matematycznej, ale
był tam ośrodek skupiający ludzi, których działalność przyniosła doniosłe
owoce dla całej nauki polskiej, przede wszystkim zaś dla nauk ścisłych, a dla
matematyki w szczególności. W latach 1870–1882 działało tam z inicjatywy
i przy finansowym poparciu Jana Działyńskiego Towarzystwo Nauk Ścisłych
(5 ) Żorawski, „docent prywatny matematyki na c.k. Uniwersytecie Lwowskim” (według ówczesnej terminologii), został reskryptem z dnia 12 lutego 1894 . l:2453 ówczesnego
Ministra Wyznań i Oświecenia „ustanowiony prowizorycznym asystentem katedry mechaniki teorii maszyn w c.k. Szkole politechnicznej we Lwowie na rok szkolny 1893/4”; jak
napisano w piśmie Namiestnictwa we Lwowie z dnia 28 lutego 1894 roku, skierowanym do
Dziekanatu Wydziału Filozoficznego UJ (Archiwum UJ, WF) uczyniono to, „pozostawiając mu uzyskaną veniam docendi na Uniwersytecie w Krakowie na bieżący rok szkolny”.
(6 ) W klasztorze fundacji Puzynów więzieni byli na przełomie lat 1939 i 1940 polscy
oficerowie (por.: A. Płoski [159])
72
A. P e l c z a r
(Władysław Folkierski, Władysław Gosiewski, Edward Habich, Władysław
Kretkowski, Grakch Niewęgłowski, Adolf Sągajło i inni). Wydawano Pamiętnik Towarzystwa Nauk Ścisłych i patronowano wydawaniu książek; o jednej
z nich, podręczniku równań różniczkowych, była mowa wyżej. Trudno tu
przecenić rolę Jana Działyńskiego, zarówno inspiracyjną i organizacyjną,
jak i finansową.
Oprócz wspomnianych wyżej matematyków, którzy mieli swój udział
w rozwoju równań różniczkowych i działali w ośrodkach akademickich, na
uwagę zasługuje sylwetka Jana Władysława Stodółkiewicza (1856–1934).
Był on nauczycielem płockich szkół średnich. Napisał wiele prac z równań różniczkowych zwyczajnych (niemal wyłącznie linowych) oraz cząstkowych pierwszego rzędu, głównie o charakterze przyczynkowym. Wydał też
książkę, którą można uznać za zbiór zadań z równań różniczkowych. Prace
jego mieszczą się w nurcie szczegółowych badań specjalnych równań, można
powiedzieć – specjalnych przykładów (teraz powiedzielibyśmy, iż było to
rozwiązywanie szczegółowych zadań). Podobny charakter miało wiele prac
innych matematyków zajmujących się tą tematyką. Na prace syntetyczne
i ogólne, na istotny wkład matematyki polskiej do teorii, trzeba było poczekać jeszcze kilkadziesiąt lat; w tym sensie można uznać, że polska historia
równań różniczkowych ma elementy analogiczne do ich „historii w ogóle”.
Próbując ująć ogólnie to, co powiedziano na temat kształtowania się polskich ośrodków matematycznych w XIX wieku, można stwierdzić, iż pomimo
zahamowania procesu rozwojowego w pierwszej połowie tego stulecia, uparta
praca coraz szerszego grona uczonych i pedagogów doprowadziła do tego, że
w ostatnich jego dziesięcioleciach działały (i wzmacniały się) centra matematyczne w Warszawie, Krakowie i Lwowie. Istniał też ośrodek w Wilnie
(osłabiony jednak w porównaniu do poprzednich okresów). Działało specyficzne środowisko paryskie. Były czasopisma matematyczne. Wydawano
podręczniki. Zrobiono też pewne istotne kroki organizacyjne, takie jak utworzenie w r. 1874 Seminarium Matematycznego na Uniwersytecie Jagiellońskim. Były wreszcie początki nowoczesnych badań i pewne istotne wyniki
(przede wszystkim Mertensa, także Puzyny oraz Żorawskiego; w zakresie
równań różniczkowych najważniejsze były wyniki Żorawskiego, a także Zajączkowskiego).
4. Równania i nierówności różniczkowe zwyczajne oraz cząstkowe pierwszego rzędu w pierwszej połowie i na początku drugiej
połowy XX wieku. Rozpocząć wypada od wytłumaczenia niezbyt precyzyjnego określenia ram czasowych wymienionych w tytule tego ustępu. Jest
to nieprzypadkowe, gdyż ustalanie ostrej cezury czasowej byłoby sztuczne.
Widać to w szczególności w stosunku do ośrodka krakowskiego, gdzie np.
szkoła naukowa Tadeusza Ważewskiego, której początki trzeba odnieść do
73
lat bezpośrednio powojennych z naturalnym odwołaniem się do lat trzydziestych (oraz, co należy szczególnie podkreślić, lat wojny, gdy działał podziemny Uniwersytet Jagielloński), rozwijała się bardzo intensywnie w latach
pięćdziesiątych, a jej rozwój w latach następnych był jeszcze silniejszy. Dlatego też omawiane tu badania i działalność matematyków zajmujących się
równaniami różniczkowymi objęte są ramami czasowymi sięgającymi nawet
końca lat sześćdziesiątych. Przyjąłem bowiem zasadę, iż decydujące znaczenie powinno mieć merytoryczne połączenie tematyki badawczej zaczętej
w pierwszym półwieczu i kontynuowanej następnie w latach następnych,
a także naturalna ciągłość w omawianiu dokonań poszczególnych osób, co
do których prac nie ma sensu ustalać sztucznych progów czasowych. Ogólne
(lecz skrótowe) podsumowanie osiągnięć matematyki polskiej w zakresie
równań różniczkowych w trzecim ćwierćwieczu XX wieku, przedstawione
w ustępie 6, nie będzie w zasadzie – ze względu na przyjętą tam konwencję
bardzo syntetycznego ujęcia – powtarzać szczegółowo tego, co omawiane jest
tutaj; pojawią się tylko odwołania do wymienianych wcześniej nazwisk.
Powiedziano już, że w roku 1895 objął pierwszą katedrę matematyki
w Krakowie Kazimierz Paulin Żorawski (1866–1953) (7 ), który po studiach
w Warszawie uzyskał w roku 1888 stopień kandydata nauk matematycznych, a potem po studiach w Lipsku i Getyndze, doktoryzował się (otrzymując doktorat filozofii) pod kierunkiem wybitnego matematyka norweskiego,
pracującego wówczas w Getyndze, Mariusa Sophusa Lie (1842–1899) (8 ),
a habilitował się we Lwowie. Żorawski kierował jedną z dwóch katedr matematyki na Uniwersytecie Jagiellońskim do roku 1919, kiedy to przeniósł się
do Warszawy. Drugą katedrę objął w roku 1900 Stanisław Zaremba (1863–
1942), absolwent studiów technicznych w Petersburgu (dyplom inżynierski
w roku 1886), doktor matematyki Uniwersytetu Paryskiego (z roku 1889),
mieszkający i pracujący we Francji do roku 1899. Dłuższy pobyt we Francji
zostawił na sylwetce naukowej Zaremby wyraźny ślad. Współpracował m.in.
z tak wybitnymi specjalistami z teorii równań różniczkowych cząstkowych
jak Eduard Jean-Baptiste Goursat (1858–1936) i Paul Painlevé (1863–1933)
i sam stał się powszechnie uznanym specjalistą w tej dziedzinie. Rozpoczęcie
działalności na Uniwersytecie Jagiellońskim przez Żorawskiego i Zarembę,
matematyków o formacjach ukształtowanych w ośrodkach zaliczanych wówczas do najważniejszych, oznaczało, dla Krakowa i dla ziem polskich, początek systematycznego uprawiania matematyki nowoczesnej w sensie adekwatnym dla przełomu wieków XIX i XX. Był to początek systematycznego
(7 ) „. . . urodził się dnia 22 czerwca 1866 r. we wsi Szczurzynie, w guberni Płockiej
Królestwa Polskiego położonej”, jak mówi pierwsze zdanie życiorysu napisanego przezeń
własnoręcznie 25 października 1894 r. (Archiwum UJ, WF); zmarł w Warszawie 23 stycznia 1953 r.
(8 ) Prace Żorawskiego, o których tu mowa, nawiązywały bezpośrednio do zastosowań
teorii grup Liego w równaniach różniczkowych.
74
A. P e l c z a r
prowadzenia badań i uzyskiwania wyników liczących się w świecie. Wysoką
ocenę wyników Zaremby potwierdzają wypowiedzi znakomitych uczonych
jemu współczesnych, ale także niedawne odniesienia do jego wyników dotyczących zastosowań równań różniczkowych w teorii „lepkosprężystości”
(visco-elasticity) w wydanej w roku 1965 encyklopedii fizyki [203] i odnotowana przez Aronszajna w [9] idea Zaremby użyta teraz w teorii reproducing
kernels. O tych odniesieniach i o pracach Zaremby w zakresie równań różniczkowych cząstkowych będzie mowa szerzej w dalszym ciągu. W dziedzinie
równań różniczkowych zwyczajnych więcej do powiedzenia miał i więcej zainteresowania okazywał Kazimierz Żorawski. Jest on autorem ważnych prac
dotyczących przekształcania pewnych równań, w taki sposób, że po przekształceniu mają prostszą postać i można je rozwiązać lub łatwiej udowodnić istnienie rozwiązań. Część jego wyników antycypowała to, co po latach
objęto teorią układów dynamicznych. Powiedzmy o dwóch zagadnieniach.
Prace [249] i [250] dotyczą kryteriów pozwalających stwierdzić, czy równanie
(3)
d3 y/dx3 = F (x, y, dy/dx, d2 y/dx2 )
da się przeprowadzić w równanie
(4)
d3 v/du3 = 0
przez przekształcenie postaci x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) i konstrukcji takiego
przekształcenia (gdy spełnione są warunki zawarte w tych kryteriach). Zagadnieniu konstrukcji niezmienników różniczkowych dla układów równań
drugiego rzędu (z zastosowaniem do problemu równoważności takich układów) poświęcone są prace [251] i [252]. Wyniki te są nader ważne, gdyż
jak pisze Władysław Ślebodziński (1884–1972) w artykule [199], zawierają
one implicite pewne dużo późniejsze rezultaty z teorii przestrzeni o koneksji
afinicznej stworzonej przez Jahna Arnouldsa Schoutena i Hermanna Weyla.
Władysław Ślebodziński wypowiada też we wspomnianym artykule [199]
znamienną ocenę tego, co oznaczało dla matematyki polskiej rozpoczęcie naukowej działalności w Krakowie przez Żorawskiego i Zarembę: Można zdaje
się powiedzieć, że z wystąpieniem tych dwóch wybitnych uczonych matematyka polska przestała być wyłącznie konsumentem cudzych myśli i cudzych
wyników i że rozpoczął się od tej chwili jej czynny i twórczy udział w rozwoju
tej nauki.
Potrzebne wydaje się rozwinięcie tego wątku, z uwzględnieniem nie tylko
wyników uzyskanych osobiście przez Żorawskiego i Zarembę, ale także ich
wpływu na innych matematyków. Żaden z tych wybitnych uczonych nie
stworzył co prawda szkoły naukowej w klasycznym, wąskim rozumieniu tego
terminu, ale obaj stworzyli chyba coś więcej – prawdziwe, mocne środowisko naukowe. Ich uczniowie (których w dużej części można uważać za ich
w s p ó l n y c h uczniów) stworzyli już „klasyczne” szkoły naukowe. I tak,
75
Franciszek Leja (1885–1979), którego rozprawa doktorska u Żorawskiego dotyczyła tematyki równań różniczkowych, stworzył szkołę funkcji analitycznych, Antoni Hoborski (1879–1940) i jego uczeń (ale także i uczeń Zaremby)
Stanisław Gołąb (1920–1980) byli twórcami szkoły geometrii różniczkowej,
a najwybitniejszy uczeń Zaremby, wspominany już poprzednio Tadeusz Ważewski (1896–1972), zbudował szkołę naukową nazywaną przez specjalistów
Krakowską Szkołą Równań Różniczkowych. Zanim omówimy szerzej jego
działalność wspomnijmy jeszcze, że zarówno Hoborski jak i Gołąb napisali pewne prace z teorii równań różniczkowych, ale było to na maginesie
ich zainteresowań geometrią różniczkową (w wypadku Gołąba, także i równaniami funkcyjnymi). Równaniami różniczkowymi zajmował się Alfred Rosenblatt (1880–1947), pierwszy (i jedyny w pierwszym dwudziestoleciu dwudziestego stulecia) asystent w Seminarium Matematycznym UJ, ale nie była
to główna dziedzina jego zainteresowań naukowych. Miał on na swym koncie
prace z równań zwyczajnych i cząstkowych rzędu pierwszego, a także równań
cząstkowych rzędu drugiego (o czym będzie jeszcze mowa w dalszym ciągu).
W latach 1930–1932 opublikował w Comptes Rendus de l’Académie de Paris
kilka prac (por. [165]–[167]) o jednoznaczności rozwiązań problemów Cauchy’ego dla równań cząstkowych pierwszego rzędu, uogólniając jedno z klasycznych twierdzeń Haara (por. [52]). Tematyką tą interesował się także Stanisław Turski (1906–1986), który w pracy [206] nawiązał do wspomnianych
prac [165]–[167] Rosenblatta oraz [208] Ważewskiego. Równania różniczkowe
zupełne badał Władysław Nikliborc (1899–1948), który zaczął swą drogę naukową we Lwowie, potem zaś działał w Krakowie. W pracy [114] zastosował
do równań zupełnych metodę kolejnych przybliżeń. Napisał też inne ważne
prace dotyczące metody kolejnych przybliżeń, w tym o równaniach mających
prawe strony spełniające warunek Höldera (por. [115]; wynik ten był referowany przez autora podczas Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego
we Lwowie w roku 1927, por. [82]).
Tadeusz Ważewski, urodzony 24 września 1896 we wsi Wygnanka (powiat Czortków, przedwojenne województwo tarnopolskie) uczęszczał do szkół
w Mielcu i Tarnowie. Po maturze w Tarnowie rozpoczął studia fizyczne na
UJ w roku 1914, a następnie skierował swe zainteresowania ku matematyce
i studiował pod kierunkiem Stanisława Zaremby. Studia te odbywały się –
jak napisał w swym życiorysie przechowanym w Archiwum PAN (Oddział
w Krakowie) – „z przerwami wywołanymi służbą wojskową” (9 ). Początkowo
interesował się Ważewski topologią i teorią mnogości (i tej tematyki dotyczą
jego pierwsze prace). W latach 1921–1923 studiował w Paryżu i tam uzyskał doktorat (na podstawie rozprawy o dendrytach czyli kontinuach lokalnie
(9 ) Zachowała się legitymacja (nr 2174) stwierdzająca przydział służbowy sapera Ważewskiego Tadeusza do „Komp. Zapas. Sap. N. 5”.
76
A. P e l c z a r
spójnych i nie zawierających żadnej krzywej zamkniętej); członkami komisji
egzaminacyjnej byli wybitni uczeni: Arnaud Denjoy (10 ) (1884–1974), Émile
Borel (1871–1956) i Paul Montel (1876–1975). Można przypuszczać, że wyjazd do Paryża był naturalnym nawiązaniem do drogi naukowej Stanisława
Zaremby, który zapewne był także inspiratorem tego wyjazdu. Praca o kontinuach prostowalnych przyniosła Ważewskiemu habilitację na UJ w r. 1927.
W roku 1933 został profesorem nadzwyczajnym. Aresztowany przez gestapo
6.XI.1939 r. w ramach „Sonderaktion Krakau”, został osadzony wraz z innymi profesorami w obozie koncentracyjnym w Sachsenhausen. Po powrocie
do Krakowa włączył się w działalność tajnego Uniwersytetu. Jego uczniami
tego okresu byli m.in. Jacek Szarski (1921–1980) i Jan Mikusiński (1913–
1987) (11 ). W 1954 r. został Ważewski profesorem zwyczajnym. Był członkiem korespondentem PAU; po powstaniu PAN został jej członkiem korespondentem, a w roku 1957 członkiem zwyczajnym. Był prezesem Polskiego
Towarzystwa Matematycznego, które w roku 1967 nadało mu godność swego
członka honorowego; w tym samym roku UJ nadał mu doktorat honoris
causa.
Po początkowym okresie zainteresowań topologią i teorią mnogości, zaczął Ważewski koncentrować swe zainteresowania na równaniach różniczkowych i w tej dziedzinie uzyskał najbardziej znane rezultaty. Nie mogąc
omawiać ich wszystkich, wspomnijmy o wybranych. W serii prac z lat trzydziestych (por. [208]–[215]) podał Ważewski bardzo ważne twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań problemów Cauchy’ego dla równań cząstkowych pierwszego rzędu i o oszacowaniach obszarów istnienia tych rozwiązań. Szczególne znaczenie mają te właśnie wyniki o oszacowaniach obszarów
istnienia, gdyż podają oszacowania najlepsze (nie można zagwarantować istnienia w obszarach większych). Najbardziej znane, klasyczne już teraz wyniki Ważewskiego dotyczą zastosowań metod topologicznych w równaniach
różniczkowych (por. [216], [217], [222]). Podstawowe twierdzenie, zwane w literaturze Twierdzeniem Retraktowym Ważewskiego (12 ), mówi o tym, że
z pewnych założeń o zachowaniu się rozwiązań na brzegu ustalonego zbioru
można wnioskować o istnieniu rozwiązania, które nie wychodzi z tego zbioru.
(10 ) Do jego nauczycieli należał m.in. Paul Painlevé, z którym – jak to powiedziano
wyżej – współpracował wcześniej mistrz Ważewskiego, Stanisław Zaremba.
(11 ) Praca Mikusińskiego [105] o równaniach liniowych n-tego rzędu opublikowana
w pierwszym numerze Ann. UMCS została opatrzona przypisem informującym o tym,
że została wykonana w roku 1940, a publikuje się ją z opóźnieniem z powodu okupacji
niemieckiej.
(12 ) Nazwa „Twierdzenie Retraktowe” związana jest z tym, iż w dowodzie wykorzystuje się twierdzenie mówiące o tym, że w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej brzeg
kuli (sfera) nie jest retraktem tej (domkniętej) kuli. Pojęcie retraktu pochodzi od Karola
Borsuka (1905–1982) (por. [37]).
77
Jest to wynik piękny przez prostotę sformułowania, głębię treści matematycznej, jasną ideę dowodu (który w najprostszych przypadkach „sam się
narzuca” jako intuicyjnie bardzo klarowny, a w przypadku ogólnym wymaga pomysłowego zastosowania zaawansowanego aparatu topologicznego)
oraz niebanalne zastosowania (13 ). Metoda dowodu tego twierdzenia, nazywana w literaturze metodą topologiczną Ważewskiego, stała się podstawą do
bardzo istotnych uogólnień, które pozwoliły na zastosowanie aparatu topologii algebraicznej (m.in. metod polegających na użyciu indeksu Conleya)
rozwijanego nadal intensywnie w teorii równań różniczkowych i układów
dynamicznych; cieszy to, że w tej dziedzinie mają dużo do powiedzenia młodzi matematycy krakowscy, „wnukowie” i „prawnukowie” naukowi Tadeusza Ważewskiego. Te wyniki Ważewskiego otwarły nowy rozdział w jakościowej teorii równań różniczkowych. Miał też Ważewski swój udział w budowaniu podstaw teorii sterowania, gdy w latach pięćdziesiątych zauważył
(por.[223], [224]), iż prace [246] i [247] z lat trzydziestych Stanisława Krystyna Zaremby (14 ) (1903–1990), syna Stanisława Zaremby (a także prace
[96] i [97] matematyka francuskiego André Marchauda), o pewnych uogólnieniach równań różniczkowych, mogą, po stosownym przeformułowaniu, dać
podstawowe twierdzenia o istnieniu tzw. trajektorii optymalnych. Obecnie ta
tematyka wchodzi przede wszystkim w zakres teorii inkluzji różniczkowych.
W roku 1949 opublikował Ważewski prace [219] i [220] o asymptotycznej koincydencji rozwiązań dwóch równań różniczkowych, które zwróciły uwagę na
(13 ) C. Olech, J. Szarski i Z. Szmydt w artykule [123], piszą: Solomon Lefschetz ,
wybitny matematyk amerykański , wypowiedział w 1961 r. opinię, że metoda retraktowa
Ważewskiego jest najoryginalniejszym odkryciem w równaniach różniczkowych zwyczajnych uzyskanym na świecie po wojnie. A przecież, kiedy ta opinia była wypowiadana, nie
wiedziano jeszcze jak wielki wpływ na rozwój jakościowej teorii równań różniczkowych będzie miała podstawowa idea Ważewskiego związana z warunkiem „silnego wychodzenia”
rozwiązań z danego zbioru przez punkty leżące na jego brzegu i jakie będą możliwości
uogólnień wynikające ze stosowania zaawansowanych metod topologii algebraicznej.
Książka [148] podsumowująca (na ponad 700 stronach druku) osiągnięcia matematyki
w pierwszej połowie XX wieku przedstawia na wstępie, w krótkim rozdziale pod tytułem
Guidelines 1900–1950 , którego autorami są Pierre Dugac, Beno Eckmann, Jean Mawhin
i Jean-Paul Pier, listy najważniejszych wyników i matematycznych wydarzeń naukowych,
które miały miejsce w kolejnych latach tego okresu; jest ich po kilkanaście w roku. Jako
jedno z takich, najważniejszych osiągnięć roku 1947, jest Ważewski topological principle
for ordinary differential equations (a w bogatym spisie literatury jest odesłanie do pracy
[216]). Dodajmy tu, że na liście najważniejszych osiągnięć matematycznych w roku 1931
znajduje się: „Borsuk K., Theory of retracts”.
(14 ) S.K.Zaremba po studiach w Krakowie był docentem na USB w Wilnie; po wojnie
mieszkał w Kanadzie i Walii (gdzie zmarł). Zajmował się wieloma dziedzinami matematyki, w szczególności rachunkiem prawdopodobieństwa i statystyką, a także – w początkowym okresie swej kariery naukowej – równaniami różniczkowymi i ich uogólnieniami. Był
wybitnym taternikiem i alpinistą.
78
A. P e l c z a r
ważny aspekt jakościowy teorii równań zwyczajnych. Dwa lata później ukazała się ważna, a jak się wydaje niezbyt dobrze znana, praca [221] o „efekcie
naskórkowym” (tę trafną nazwę zaproponował Ważewski). Zawarte w niej
jest twierdzenie wzmacniające klasyczny wynik dotyczący nierówności różniczkowych. Sformułujmy je. Niech ϕ będzie rozwiązaniem górnym równania
y ′ = f (x, y) przechodzącym przez punkt (x0 , y 0 ) określonym w przedziale I.
Dla ustalonego ε > 0 połóżmy:
A = I × (ϕ(t), ϕ(t) + ε)
(to jest właśnie „naskórek” o grubości ε).
Jeżeli ψ jest funkcją określoną w I, posiada prawą dolną pochodną Diniego, ψ(x0 ) ¬ y 0 i dla t takich, że (t, ψ(t)) ∈ A spełniona jest nierówność: D+ ψ(t) ¬ f (t, ψ(t)), to dla t ∈ I, t x0 ma miejsce nierówność:
ψ(t) ¬ ϕ(t).
Wzmocnienie klasycznego twierdzenia polega na tym, że zakłada się nierówność spełnianą przez funkcję ψ niekoniecznie w całym przedziale I, lecz
ewentualnie w pewnym podzbiorze tego przedziału. Tej tematyce poświęcone
są m.in. dwie wczesne prace [109] i [110] Włodzimierza Mlaka (1931–1994),
do którego dorobku jeszcze nawiążemy (15 ).
Na zakończenie tego skrótowego przeglądu wybranych zagadnień, którymi zajmował się Tadeusz Ważewski, wspomnijmy o tym, co jest przedmiotem pracy [218], której znaczenie zostało uwypuklone w powiązaniu ze
znaną hipotezą wielomianową. Nie mogąc wchodzić w szczegóły powiedzmy
jedynie, że użył Ważewski w tej pracy (chyba jako pierwszy) metod zaczerpniętych z teorii równań różniczkowych do badania zagadnienia globalnej odwracalności odwzorowań różniczkowalnych. Pojawiające się w związku z tym
– w naturalny sposób – równanie różniczkowe
x′ = (f ′ (x))−1 v,
gdzie f jest odwzorowaniem, którego odwracalność badamy, f ′ oznacza jakobian f , a v jest wektorem niezależnym od czasu, nazywane jest teraz równaniem Ważewskiego. Na temat tego równania i idei z pracy [218] ukazało
się już niemało prac różnych autorów (por. np. artykuł Czesława Olecha
[120], gdzie są też dane bibliograficzne prac innych matematyków).
Tadeusz Ważewski stworzył – jak to już powiedziano – szkołę naukową,
której uczestnicy kontynuowali badania Mistrza i poszerzali, bardzo nieraz znacznie, tematykę. Jacek Szarski stał się współtwórcą teorii nierówności różniczkowych. Już jego rozprawa habilitacyjna z roku 1947, O pewnych nierównościach związanych z równaniami różniczkowymi cząstkowymi,
która następnie została podzielona i opublikowana jako prace [183] i [184],
przyniosła ważne wyniki dotyczące tematu wymienionego w tytule oraz ich
(15 ) Kompletna lista jego publikacji jest załączona do artykułu Zofii PawlikowskiejBrożek [141].
79
zastosowań do dowodów twierdzeń o jednoznaczności rozwiązań problemów
początkowych dla równań cząstkowych pierwszego rzędu. Jacek Szarski poszedł drogą rozpoczętą przez Ważewskiego, by stać się następnie wybitnym
specjalistą, autorem pierwszej monografii [186] z zakresu nierówności różniczkowych, dziedziny nowej w latach czterdziestych. Miał też bardzo ważny
udział w rozwoju ogólnej teorii równań różniczkowych cząstkowych rzędu
pierwszego typu parabolicznego. Piękny skrypt [187] zawiera zarys podstaw
ważnej części teorii równań cząstkowych pierwszego rzędu, opartej na pojęciu charakterystyki (wstęg charakterystycznych). Nieco później, w latach
sześćdziesiątych i siedemdziesiątych, zajmował się też równaniami i nierównościami różniczkowo-funkcyjnymi i różniczkowo- funkcjonalnymi (por. np.
prace [189]–[193]). Zdzisław Opial (1930–1974) w swym bogatym dorobku
zawarł wyniki z wielu działów równań i nierówności różniczkowych. Wśród
bardzo ważnych rezultatów są m.in. piękne twierdzenia o problemach brzegowych dla równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego i o rozwiązaniach okresowych. O wadze jego wyników dotyczących nierówności różniczkowych i całkowych świadczy np. to, że ukazała się książka [2] poświęcona
j e d n e j pracy Opiala [127] i pracom innych autorów do niej nawiązujących. Włodzimierz Mlak zajmował się – niezależnie od innych zagadnień
(w tym, spoza teorii równań różniczkowych, przede wszystkim ważnymi częściami teorii przestrzeni Hilberta) – m.in. równaniami w przestrzeniach Banacha, nieskończonymi układami nierówności i równań różniczkowych (por.
np. [111]–[113]). Zofia Mikołajska-Mlakowa (1923–1993) (16 ) uzyskała wyniki dotyczące m.in. asymptotycznych własności rozwiązań (por. np. [101],
[102]) i miała swój udział w rozwoju teorii optymalnego sterowania i inkluzji
różniczkowych nazywanych przez Ważewskiego równaniami orientorowymi.
Bardzo ważne wyniki w tej dziedzinie należą do Andrzeja (w zakonie Benedyktynów – Bernarda) Turowicza OSB (1904–1989), który udowodnił m.in.
twierdzenia o tzw. quasi-trajektoriach układów sterowania (por. w szczególności [204], [205]), a także Zdzisława Opiala i Zbigniewa Kowalskiego (1924–
1992), który zajmował się także metodami różnicowymi dla równań różnych
typów. Bardzo ważne rezultaty z zakresu ogólnie rozumianych metod jakościowych w teorii równań różniczkowych są również autorstwa Czesława
Olecha, a także Andrzeja Lasoty, których wyniki z tej i wielu innych dziedzin równań i nierówności różniczkowych weszły na stałe do literatury matematycznej. Andrzej Lasota, udowodnił też pewne modyfikacje twierdzeń
Fredholma dotyczących ogólnych przestrzeni wektorowych i zastosował je
do równań różniczkowych otrzymując piękne rezultaty (17 ). Zajmował się
(16 ) Por. artykuł [140] Zofii Pawlikowskiej-Brożek (wraz z listą publikacji Z. Mikołajskiej-Mlakowej).
(17 ) Było to już wprawdzie w latach sześćdziesiątych (por. [84] i [85]), ale ze względu
na chęć ujęcia w możliwie całościowym zarysie szkoły naukowej Tadeusza Ważewskiego
wydaje się celowym wspomnieć o tym tutaj (por. także niżej cytat z opracowania [1]).
80
A. P e l c z a r
później (i zajmuje nadal) zagadnieniami z pogranicza teorii równań różniczkowych i wielu innych dziedzin matematyki, a nawet szerzej, z pogranicza
matematyki i innych nauk (kieruje Zakładem Biomatematyki Uniwersytetu
Śląskiego). Andrzej Pliś (1929–1991) miał wielki udział w rozwoju teorii
równań cząstkowych pierwszego rzędu, w szczególności przy użyciu metody
charakterystyk (por. [150]); od niego pochodzi pojęcie wstęgi charakterystycznej drugiego rzędu. Pliś był autorem zaskakujących przykładów pokazujących, że pewne założenia w klasycznych twierdzeniach są niezbędne.
W szczególności podał przykład takiego układu równań zwyczajnych, że
każdy punkt obszaru, w którym układ ten jest rozważany, jest punktem lewostronnej jednoznaczności i prawostronnej niejednoznaczności (por. [156])
oraz zaskakujący przykład liniowego układu równań cząstkowych pierwszego
rzędu o regularnych współczynnikach, dla którego problem Cauchy’ego nie
ma jednoznacznego rozwiązania (por. [151]) (18 ). Był też autorem interesujących wyników dotyczących całek pierwszych równań różniczkowych (por.
[154], [155]); tematyka ta była przedmiotem wcześniejszych badań Tadeusza
Ważewskiego i Jacka Szarskiego (19 ). Otrzymał też Pliś wyniki dotyczące
metody retraktowej. Tadeusz Ważewski i jego uczniowie zajmowali się też
metodą kolejnych przybliżeń; kilka wyników z tego zakresu należy do klasycznych już rezultatów teorii. Wspomniany wyżej Jan Mikusiński, który
po krótkim pobycie w Krakowie pracował w Lublinie, Poznaniu, Wrocławiu
i Katowicach, był autorem teorii zwanej teraz teorią operatorów Mikusińskiego, mającej duże znaczenie dla równań różniczkowych i ich zastosowań;
monografia [108] doczekała się wielu wydań w różnych językach. Podstawy
swej teorii przedstawił Mikusiński już w latach 1947–1949 w dwóch obszernych pracach [106] i [107].
Wspomniano, z konieczności bardzo skrótowo, o wybranych dokonaniach
Tadeusza Ważewskiego jako uczonego. Trzeba tu jednak koniecznie dodać,
że był on wspaniałym nauczycielem. Miał wyjątkowy dar doskonałego wykładania oraz kierowania i stymulowania pracami młodych adeptów nauki.
Umiał tak podsuwać problemy, że nie będąc trywialnymi i wymagając dużego, twórczego wysiłku, dawały się jednak rozwiązać i pozwalały na odnoszenie pierwszych sukcesów. Tadeusz Ważewski był prawdziwym Mistrzem
dla swych uczniów, wymagającym (jednak wymagał najwięcej od siebie), ale
i cieszącym się z każdego osiągnięcia uczniów. Zbudowana przezeń szkoła
naukowa powstała w oparciu zarówno na potencjale naukowym jak i na
(18 ) Do tych i innych wyników Andrzeja Plisia nawiążemy jeszcze przy końcu paragrafu 7.
(19 ) Dotyczyła jej w szczególności rozprawa doktorska Szarskiego z roku 1945. Wcześniej zagadnieniami z tego zakresu zajmował się w Krakowie Witold Wilkosz (1891–1941);
równania różniczkowe były jedną z wielu dziedzin matematyki, którymi się zajmował (lecz
nie stanowiły głównego pola jego zainteresowań).
81
relacjach między Mistrzem i uczniami. Szkoła ta sięga swoimi początkami
lat wojny, gdy działał podziemny Uniwersytet Jagielloński (wtedy zaczęła
się naukowa współpraca Szarskiego z Ważewskim), by rozkwitnąć po wojnie.
W tym miejscu przypomnijmy raz jeszcze o tragicznych wydarzeniach rozpoczętych 6 listopada 1939 r. aresztowaniem profesorów Uniwersytetu Jagiellońskiego i Akademii Górniczej; profesorowie ci przeszli potem gehennę obozów koncentracyjnych. Wśród aresztowanych wówczas było sześciu matematyków, o których była mowa wyżej: Stanisław Gołąb (AG), Antoni Hoborski
(AG), Franciszek Leja (UJ), Stanisław Turski (UJ), Tadeusz Ważewski (UJ)
i Witold Wilkosz (UJ) oraz Adam Bielecki (UJ), o którym będzie mowa niżej. Witold Wilkosz został zwolniony po trzech dniach ze względu na stan
zdrowia (zmarł 3 marca 1941 r.). Pozostali zwalniani byli w roku 1940 lub
1941; szczególnie tragiczny był los Antoniego Hoborskiego, który zwolniony
formalnie z obozu w Sachsenhausen 8 lutego 1940, nie był w stanie opuścić
obozu ze względu na wycieńczenie i odmrożenia (z częściową amputacją)
stóp i zmarł tam następnego dnia. Ci, którzy wrócili, włączyli się do tajnego nauczania w różnych formach (mieszkający w Krakowie na poziomie
akademickim, mieszkający poza Krakowem Franciszek Leja w gimnazjum
w Leżajsku). Dla równań różniczkowych okres wojny, pomimo wszystkich
okupacyjnych okoliczności, przyniósł m.in. opublikowane po wojnie wyniki
Ważewskiego, Szarskiego i Mikusińskiego (por. przypis 11).
Wracając do zasadniczego toku rozważań o równaniach różniczkowych
należy omówić badania w tej dziedzinie kilku innych, poza już przedstawionymi, wybitnych matematyków.
Do osiągnięć matematyki polskiej powinno się zaliczać, przynajmniej
równolegle z zaliczaniem ich do osiągnięć matematyki niemieckiej, wyniki
Leona Lichtensteina (1878–1933), urodzonego w Warszawie, w której ukończył edukację średnią maturą w roku 1894, absolwenta politechniki w Charlottenburgu, doktora nauk technicznych tej uczelni (z roku 1908), doktora
filozofii uniwersytetu berlińskiego (z roku 1909), habilitowanego w Charlottenburgu w roku 1910, profesora tamże do roku 1920, a następnie profesora
uniwersytetu w Lipsku, członka czynnego Saskiej Akademii Nauk, Polskiej
Akademii Umiejętności oraz Lwowskiego Towarzystwa Naukowego, redaktora naczelnego Mathematische Zeitschrift, współredaktora (od roku 1923)
Prac Matematyczno-Fizycznych. Lista jego publikacji dotyczących równań
różniczkowych, przede wszystkim cząstkowych, obejmuje (według Hugona
Steinhausa, por. [179]) 26 pozycji (pierwsza z roku 1909, ostatnia z roku
1932), nie licząc prac z hydrodynamiki, astronomii i mechaniki nieba oraz
teorii potencjału, które także – ze zrozumiałych powodów – co najmniej zahaczają o teorię równań różniczkowych. Dochodzą do tego książki, z których
jedna [92] poświęcona jest równaniom całkowym i całkowo-różniczkowym,
oraz artykuły w dziełach zbiorowych, w tym m.in. rozdział o równaniach
82
A. P e l c z a r
różniczkowych typu eliptycznego w encyklopedii matematycznej z roku 1924
(por. [93]). Wprawdzie najważniejsze wyniki Lichtensteina z dziedziny równań różniczkowych dotyczą przede wszystkim równań cząstkowych (będzie
o nich mowa niżej), ale i teoria równań zwyczajnych ma mu wiele do zawdzięczenia. W pracy [91] zastosował bezpośrednią metodę wariacyjną pochodzącą od Hilberta do problemów brzegowych dla równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego, otrzymując także ważne rezultaty dotyczące
rozwiązań okresowych. Wynikom tym poświęca kilka stron Jean Mawhin
w opracowanym przez siebie rozdziale Boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations: from successive approximations to topology książki [148]. O działalności naukowej Leona Lichtensteina traktuje
ciekawy artykuł [54] Ernsta Höldera, syna Otto Höldera (20 ), stanowiący
przekład (dokonany przez Adama Piskorka) tekstu napisanego w roku 1979
z okazji setnej rocznicy urodzin Lichtensteina.
Lista matematyków polskich zajmujących się bardzo żywo rozwijającą
się w pierwszej połowie XX wieku teorią równań różniczkowych zwyczajnych i równań cząstkowych rzędu pierwszego, a także lista tematów, przedstawione wyżej, są dalekie od kompletności. Wspomnieć trzeba w szczególności o Lublinie, gdzie pracował Mieczysław Biernacki (1891–1959), który
m.in. otrzymał warunki konieczne i dostateczne na to, by istniało rozwiązanie równania liniowego rzędu n o stałych współczynnikach, przybierające
w danych k punktach zadane z góry wartości (por. [30]), a także interesujące twierdzenia o zachowaniu się rozwiązań różnych równań liniowych,
gdy czas dąży do nieskończoności (por. np. [32]) (21 ), a doktorant Tadeusza
Ważewskiego, profesor Uniwersytetu im. Marii Curie-Skłodowskiej, Adam
Bielecki (22 ), stworzył szkołę naukową, z której wyszli m.in. Jan Kisyński,
który uzyskał m.in. ważne rezultaty w teorii równania cząstkowego hiperbolicznego rzędu drugiego oraz równań w przestrzeniach Banacha (o czym
będzie jeszcze mowa) i Kazimierz Goebel, którego główne rezultaty dotyczą teorii punktów stałych w przestrzeniach metrycznych. Wydawane przez
(20 ) Którego nazwisko związano ze znanym warunkiem, słabszym od klasycznego warunku Lipschitza. Leon Lichtenstein i Otto Hölder współpracowali w Lipsku w latach
dwudziestych i trzydziestych XX wieku.
(21 ) Lista prac Mieczysława Biernackiego obejmuje łącznie 88 pozycji, z których 10
dotyczy równań różniczkowych. Wnikliwe omówienie tych 10 prac znajduje się w artykule
[29] A. Bieleckiego, który napisał na wstępie, że: „. . . cette dizaine travaux contient des
résultats de rare valeur”. Dorobek Biernackiego omówił też Jan Krzyż w artykule [72].
(22 ) Adam Bielecki jest m.in. autorem ciekawej i użytecznej modyfikacji jednej z klasycznych metod dowodu twierdzenia o istnieniu rozwiązań problemów Cauchy’ego (por.
[28]). Jego skrypt-podręcznik [27] zawiera, jako pierwszy chyba w języku polskim, elementy
teorii równań różniczkowo-funkcyjnych. Jest autorem prac o metodzie topologicznej Ważewskiego w zastosowaniu do „równań paratyngensowych” (por. trzy duże prace [24]–[26])
i prac o innych zagadnieniach teorii równań różniczkowych, w tym m.in. na temat szacowania odległości zer rozwiązań oscylujących oraz kryteriów jednoznaczności.
83
UMCS Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska w swej Sectio A,
Mathematica zamieszczały od samego początku, od numeru 1 w roku 1946,
ważne prace z teorii równań różniczkowych, stając się pod koniec lat czterdziestych XX wieku jednym z głównych polskich czasopism prezentujących
tę tematykę. W ośrodku poznańskim Władysław Orlicz (1903–1990), wywodzący się ze środowiska lwowskiego, zbudował szkołę analizy funkcjonalnej.
Na początku drugiej połowy dwudziestego stulecia Poznań stał się też ważnym ośrodkiem równań różniczkowych i jest nim nadal. Sam Orlicz, którego
wybitne dokonania w analizie funkcjonalnej są powszechnie znane, równaniami różniczkowymi zajmował się okazjonalnie; w roku 1932 udowodnił,
że zbiór funkcji stanowiących „prawe strony” równań zwyczajnych, które
nie mają własności jedyności rozwiązań problemów Cauchy’ego, jest pierwszej kategorii Baire’a w stosownej przestrzeni funkcyjnej (por. [136]), a wraz
z Andrzejem Alexiewiczem (1917–1996), już po wojnie, przeniósł ten wynik na przypadek równań cząstkowych rzędu drugiego typu hiperbolicznego
(por. [4]). W Poznaniu pracował Zygmunt Butlewski (1907–1980) (23 ), który
zajmował się równaniami zwyczajnymi; uzyskał m.in. wyniki dotyczące rozwiązań ograniczonych i oscylujących (por. np. [40], gdzie zastosowano m.in.
metodę z pracy M. Biernackiego z lat trzydziestych [31]). W latach 50tych przybywało ośrodków badających omawiane w tym miejscu równania
zwyczajne (przede wszystkim: Warszawa, a także Wrocław, Toruń, Zielona
Góra). W Warszawie działał Witold Pogorzelski (1895–1983); zajmował się
głównie równaniami cząstkowymi wyższych rzędów i równaniami całkowymi;
o jego dokonaniach będzie jeszcze mowa w dalszym ciągu. W Gdańsku Wacław Pawelski (1914–1980) zajmował się m.in. nierównościami różniczkowymi cząstkowymi pierwszego rzędu (por. [138], [139]). Zgrupował on kilku
matematyków, którzy zajęli się zarówno klasycznymi równaniami różniczkowymi, jak i nieco później równaniami różniczkowo-funkcyjnymi, w tym także
równaniami różniczkowo-funkcyjnymi cząstkowymi rzędu drugiego (i wyższych) typu hiperbolicznego, o czym można tu wspomnieć uprzedzając nieco
– ze względu na pokrewieństwo metod stosowanych w teorii tych równań do
metod używanych w teorii równań zwyczajnych – to, co będzie omawiane
w następnym ustępie. Równaniami takimi w Gdańsku zajął się w szczególności Marian Kwapisz, a równaniami cząstkowymi pierwszego i wyższych
rzędów typu parabolicznego oraz nierównościami różniczkowymi cząstkowymi zajmował się Piotr Besala (1928–1998). Metody topologii algebraicznej zastosowane zostały do teorii równań różniczkowych i teorii inkluzji
różniczkowych przez Andrzeja Granasa oraz jego uczniów i współpracowników, Kazimierza Gębę i Lecha Górniewicza oraz ich uczniów. Rozwijano
zresztą pewne fragmenty samej topologii algebraicznej. Metody te są teraz
(23 ) Omówienie dorobku naukowego Zygmunta Butlewskiego przedstawił Dobiesław
Bobrowski w artykule [33].
84
A. P e l c z a r
z powodzeniem stosowane i rozwijane także w ośrodku krakowskim (co implicite nawiązuje do idei Tadeusza Ważewskiego, o czym już wspomniano
wyżej).
Wielu matematyków, których główne zainteresowania nie koncentrowały
się wcale na teorii równań różniczkowych, miało jednak twórcze z nią kontakty; np. Czesław Ryll-Nardzewski podał pewne oszacowania odległości zer
rozwiązań oscylujących, a w pracy [169] określił pewne własności asymptotyczne rozwiązań równań liniowych n-tego rzędu.
Kończąc w ten sposób próbę zarysowania historii równań zwyczajnych
i cząstkowych pierwszego rzędu do mniej więcej połowy minionego stulecia,
przejdziemy do równań cząstkowych wyższych rzędów.
Trzecie ćwierćwiecze XX wieku scharakteryzowane będzie skrótowo, zarówno w odniesieniu do równań zwyczajnych jak i cząstkowych przez przytoczenie na zakończenie tego opracowania syntezy zawartej w materiałach
II Kongresu Nauki Polskiej i krótkich komentarzy do niej.
5. Równania różniczkowe cząstkowe rzędów wyższych niż pierwszy. Za początek historii prawdziwych badań w Polsce w zakresie równań
cząstkowych rzędu drugiego i rzędów wyższych, wypada uznać działalność
Stanisława Zaremby. Był to początek wspaniały, wprowadzający od razu
matematykę polską na arenę międzynarodową. Wymaga więc omówienia
szerszego niż tylko wymieniającego hasła i tematy.
Stanisław Zaremba urodził się 3 września 1863 roku w miejscowości Romanówka na Ukrainie, zmarł w Krakowie 22 listopada 1942 r. Ukończył studia inżynierskie w Instytucie Technologicznym w Petersburgu, potem zaś
odbył studia matematyczne we Francji i uzyskał w Paryżu doktorat w roku
1889, przedstawiając rozprawę doktorską Sur un problème concernant l’état
calorifique d’un corps homogène indéfini, w której przedstawił rozwiązanie
zagadnienia stanowiącego przedmiot konkursu ogłoszonego przez Paryską
Akademię Nauk w roku 1858. W roku 1861 Riemann przedstawił Akademii wyniki swoich badań na ten temat, ale jak piszą Ważewski i Szarski
w artykule [225], rozprawa Riemanna nie została jednak nagrodzona, gdyż
zawierała tylko szkicowane dowody, które nie miały dostatecznej siły przekonującej. (. . .) Zaremba pokazał, że uwadze Riemanna uszły pewne klasy
rozwiązań problemu oraz podał dowody dla przypadków rozpatrywanych przez
Riemanna. Praca ta zapoczątkowała naukową karierę Zaremby i wyznaczyła
główne pole jego zainteresowań, związanych przede wszystkim z problemami
pochodzącymi z fizyki. Był – jak piszą Ważewski i Szarski (por. [225]) –
pierwszym w Polsce matematykiem, który w skali międzynarodowej reprezentował ten rodzaj badań matematycznych. W tym kierunku, po przyjeździe
do Krakowa miał trudne przed sobą zadanie. W przeciwieństwie do sytuacji,
która panowała za granicą, w Polsce przed Zarembą nie było tradycji tego rodzaju badań i z tego powodu trudno było pozyskiwać dla nich adeptów. Przed
85
przyjazdem do Krakowa (w roku 1900 (24 )), opublikował Zaremba kilka
ważnych prac z zakresu równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego,
typu eliptycznego, pracując w charakterze – co warto podkreślić – profesora
szkół średnich w Digne, Nimes i Cahors. W szczególności, w pracy [232]
opisał własności funkcji Greena w przestrzeni trójwymiarowej, które pozwoliły na udowodnienie, że funkcja określona jako całka z iloczynu pochodnej
normalnej tej funkcji Greena i danej funkcji ciągłej σ jest rozwiązaniem problemu Dirichleta z obłożeniem σ, a także przedstawił dyskusję przypadku
nieciągłego obłożenia. Praca ta cytowana jest, jako jedna z podstawowych
dla tej tematyki, w przekrojowym artykule [177].
Praca [233] poświęcona jest metodzie kolejnych przybliżeń dla równania
∂u ∂u ∂u
(5)
∆u = f x, y, z, u,
,
,
.
∂x ∂y ∂z
Chcąc scharakteryzować krótko i bez wchodzenia w szczegóły techniczne
inne osiągnięcie Zaremby posłużmy się cytatem z artykułu Tadeusza Ważewskiego i Jacka Szarskiego [225]: Pod wpływem pewnych idei pochodzących od
Poincarégo, rozwinął Zaremba w całej serii prac swój prosty i piękny pomysł,
który okazał się przełomowym w teorii równań typu eliptycznego. Pomysł ten
pozwolił mu rozstrzygnąć wiele problemów wówczas jeszcze nie rozwiązanych
lub rozstrzygniętych tylko w szczególnych przypadkach. Pomysł ten polegał
na rozwiązywaniu problemu Dirichleta względnie Neumanna dla równania
(6)
∆u + ξu = 0
tzw. metodą średnich arytmetycznych Neumanna przy pomocy uogólnionego
potencjału warstwy pojedynczej względnie podwójnej; potencjały uogólnione (wprowadzone przez Zarembę) powstają z newtonowskich przez zastąpienie funkcji 1/r funkcją {exp(−µr)}/r, gdzie µ jest pierwiastkiem równania µ2 + ξ = 0 mającym część rzeczywistą dodatnią.
Tematyka pierwszych prac Zaremby zaczerpnięta z problematyki, jaką
zajmowali się podówczas najwybitniejsi matematycy francuscy, zdeterminowała kierunki jego badań w przyszłości. Pobyt Zaremby we Francji zaowocował zresztą sentymentem do tego kraju i to nie tylko poprzez istotne
kontakty naukowe. Jego żona Henriette, z domu Cauvin (1866–1953), była
Francuzką.
Po przybyciu do Krakowa zajmował się Zaremba nadal równaniami eliptycznymi uzyskując wiele ważnych rezultatów w pracach, spośród których
wymieńmy przykładowo [236]–[242]. Najważniejsze wyniki dotyczą problemu
Dirichleta (który był już tematem najwcześniejszych prac Zaremby [231]
i [232]). Temu problemowi poświęcił swe wystąpienie na IV Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Rzymie w 1908 r. (por. [241]). Rozwijając
(24 ) Jego pierwszy wykład odbył się 22 października, a poświęcony był pojęciu granicy
i całce niewłaściwej.
86
A. P e l c z a r
funkcje harmoniczne w szeregi funkcji fundamentalnych (por. [235]), wprowadził Zaremba w pracach [240] i [241] do metody bezpośredniej rachunku
wariacyjnego, pochodzącej od Hilberta, rozwiązania uogólnione, co okazało
się nader ważne (por. przedmowę do polskiego wydania książki Jeana Mawhina [98]). W pracy [242] podany został przykład obszaru, dla którego
liniowy problem Dirichleta nie ma rozwiązań; według Mawhina [98] jest to
pierwszy taki przykład w literaturze (25 ). To, co zrobił Zaremba w zakresie
tej tematyki, można skomentować najlepiej cytatem z powoływanej wyżej
książki Jeana Mawhina (26 ): Zdaniem Bouliganda (por. [39], ref. za [98])
wkład Zaremby w rozwój teorii problemu Dirichleta jest taki sam, jak Poincarégo i Lebesgue’a. Problemom Dirichleta i Neumanna poświęcona jest
praca [244], w której rozwinięto pomysł z pracy [240] polegający na zastąpieniu wyjściowego problemu Dirichleta przez inny problem brzegowy. W pracy
[241] Zaremba dał początek metodzie rzutów ortogonalnych. Metoda ta została potem rozwinięta przez Ottona Marcina Nikodyma (1889–1974) (por.
[117], [118]) i Hermanna Weyla (1885–1955) i stała się jedną z klasycznych
metod badania problemów Dirichleta (27 ).
Pewne rezultaty Zaremby dotyczące równań eliptycznych i funkcji Greena bywały niejako „na nowo odkrywane”. W roku 1950 N. Aronszajn
w pracy [9] zwrócił uwagę na to, że pewien ważny nurt badań nad tzw. jądrami reprodukującymi (reproducing kernels) został zapoczątkowany przez
Zarembę w pracach [237] i [238] na temat problemów brzegowych dla funkcji harmonicznych i biharmonicznych. Zaremba wprowadził tam funkcje nazywane teraz jądrami reprodukującymi, ale nie nadał im żadnej specjalnej
nazwy. Teraz jest to już cała teoria (28 ).
(25 ) Zaremba został wymieniony w książce [148] (omówionej w drugiej części przypisu 13) jako autor pierwszego takiego przykładu umieszczonego na liście najważniejszych
osiągnięć matematyki w roku 1909; jako inne osiągnięcie tego roku uznano wprowadzoną
przez Zarembę metodę projekcji ortogonalnych w teorii problemu Dirichleta.
(26 ) Skorzystano tutaj kilkakrotnie z komentarzy na temat prac Zaremby z przedmowy do książki [98]. Warto z tej przedmowy przytoczyć jeszcze cytat dotyczący innego
fragmentu wkładu matematyków polskich w rozwój równań różniczkowych: Na szczególną
uwagę zasługuje krótka nota S. Mazura i J. Schaudera przedstawiona na Międzynarodowym
Kongresie Matematyki w Oslo w 1936 r. dotycząca podejścia wariacyjnego do problemów
nieliniowych {chodzi o notę [99]}. Stanisław Mazur (1905–1981), jeden ze współtwórców
lwowskiej szkoły matematycznej, po wojnie pracował w Łodzi i Warszawie; trudno tu
przypominać – nawet ograniczając się do najważniejszych – jego osiągnięcia w analizie
funkcjonalnej, teorii funkcji rzeczywistych i innych dziedzinach.
(27 ) Nikodym udowodnił też m.in. twierdzenie o istnieniu w każdym domkniętym
i wypukłym podzbiorze przestrzeni Hilberta jedynego elementu o najmniejszej normie
(por. [116]), co – jak słusznie zauważyła Alicja Derkowska w biografii Nikodyma [43] –
było jednym z elementów podstaw przyszłej teorii sterowania.
(28 ) W kwietniu 2000 r. odbyła się w Krakowie międzynarodowa konferencja pod
hasłem 90 years of the reproducing kernel property, zorganizowana przez Katedrę Analizy
Funkcjonalnej UJ kierowaną przez prof. Franciszka Hugona Szafrańca.
87
Zaremba zajmował się też równaniami typów innych iż eliptyczne.
W szczególności na VII Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Strasburgu w roku 1920 swe wystąpienie poświęcił równaniu Fouriera
(7)
∆x u − ∂u/∂t = 0;
u = u(x, t), x = (x1 , . . . , xn ).
W 1915 roku rozważając równanie hiperboliczne fali sferycznej zastosował Zaremba po raz pierwszy pewien sposób oceny całki z sumy kwadratów
pierwszych pochodnych rozwiązania tego równania. Pomysł ten, jak piszą
Ważewski i Szarski [225], wykorzystali potem Friedrichs i Lewy. Nierówności
te uogólnił następnie Juliusz Schauder; okazały się one podstawowymi dla
rozwoju teorii równań hiperbolicznych.
Warto w tym miejscu dodać, że na wspomnianym Kongresie Stanisław
Zaremba był nie tylko czynnym uczestnikiem przedstawiającym swe wyniki naukowe, ale oficjalnie reprezentował matematyków polskich i w imieniu Polski podpisał dokument powołujący do życia Międzynarodową Unię
Matematyczną (International Mathematical Union) (29 ), potwierdzając niejako to, co napisał Ślebodziński w artykule [199] w dalszym ciągu cytowanego wyżej tekstu mówiącego o znaczeniu działań Żorawskiego i Zaremby
w Krakowie. Odnosiło się to wprawdzie do pierwszych lat XX stulecia, ale
– jak widać – miało pewne odniesienie (powiedzmy – częściowe, gdyż siła
matematyki polskiej opierała się już wtedy także na mocnych ośrodkach
w Warszawie i Lwowie, a nazwiska osób tworzących te ośrodki były już
dobrze znane) jeszcze i do roku 1920: Ówczesne warunki polityczne sprawiły, że przez kilkanaście lat Stanisław Zaremba i Kazimierz Żorawski byli
jedynymi reprezentantami matematyki wobec zagranicy. Stanisław Zaremba
był jeszcze raz zaangażowany w sprawy organizacyjne na szerokiej płaszczyźnie międzynarodowej, gdy został powołany do komisji mającej się zająć
stałą współpracą międzynarodową w zakresie matematyki, zgodnie z decyzją Zgromadzenia Ogólnego Międzynarodowej Unii Matematycznej podjętą
w czasie Kongresu Matematyków w Zürichu w roku 1932. Do komisji tej weszli: F. Severi (Rzym) jako przewodniczący, P. S. Aleksandrow (Moskwa),
H. Bohr (Kopenhaga), L. Fejér (Budapeszt), G. Julia (Paryż), L. J. Mordell
(Manchester), E. Terradas (Madryt), Ch. de la Vallée Poussin (Louvain),
O. Veblen (Princeton), H. Weyl (Getynga) i S. Zaremba (Kraków). Samo
zestawienie nazwisk osób wchodzących do tej komisji mówi o prestiżu, jakim
musiał się cieszyć Zaremba. Dodajmy, że został on jednym z wiceprzewodniczących Kongresu w Zürichu (przewodniczącym został Feuter z Zürichu,
a pozostałymi wiceprzewodniczącymi: E. Cartan, H. Weyl, O. Veblen i F. Severi).
(29 ) Stało się to 20 września 1920 r. Państwami-założycielami były: Belgia, Czechosłowacja, Francja, Grecja, Japonia, Polska, Portugalia, Serbia, Stany Zjednoczone, Wielka
Brytania, Włochy.
88
A. P e l c z a r
Charakterystyczną cechą naukowej aktywności Stanisława Zaremby były
jego stałe zainteresowania problemami z zakresu fizyki teoretycznej; można
powiedzieć, że duża część prac dotyczyła bezpośrednio lub pośrednio fizyki
(w szczególności, gdy chodziło o ważne zastosowania wyników „czysto matematycznych” w fizyce). Wśród prac z fizyki teoretycznej wymienić można
przykładowo notę [243] (a także pracę [239]). Był też Zaremba autorem
prac z teorii relaksacji i krystalografii. Tematyka prac z zakresu teorii tarcia wewnętrznego, lepkosprężystości (visco-elasticity), podwójnego odbicia
i relaksacji, stała się przedmiotem gorących polemik naukowych między Stanisławem Zarembą i wybitnym fizykiem Władysławem Natansonem. Spór
dotyczył zarówno zakresu przybliżeń i stopnia ścisłości, jak i interpretacji wyników. Przez kilka lat ukazywały się na łamach Biuletynu Akademii
Umiejętności artykuły polemiczne obu tych uczonych, aż wreszcie – wyraźnie zniecierpliwiona – redakcja Sekcji Nauk Matematyczno-Przyrodniczych
Biuletynu dołączyła do numeru marcowego z roku 1904 krótką notkę takiej
treści: La Classe des Sciences mathématiques et naturelles de l’Académie de
Cracovie a decidé de ne publier , dans son Bulletin aucun nouvel article relatif a la polémique qui s’est engagée entre M. Natanson et M. Zaremba. Warto
poświęcić więcej uwagi jednemu z głównych przedmiotów sporu, którym
było dokonane przez Natansona, a skrytykowane przez Zarembę, uogólnienie
na przypadek trójwymiarowy jednowymiarowej (pochodzącej od Maxwella)
teorii lepkosprężystości. Czas pokazał – jak napisali C. Truesdell i W. Noll
w encyklopedii Handbuch der Physik w roku 1965 (por. [203]) – że to Zaremba miał rację, jakkolwiek nie znalazło to właściwego odbicia w literaturze
przedmiotu: While the decision of time has been wholly for Zaremba, it has
come late, and the vast literature on ,,plasticity” ignores it.
Wspomniana encyklopedia używa konsekwentnie terminu forma Zaremby
–Jaumanna na określenie zasady niezmienniczości pewnego podstawowego
równania występującego we wspomnianej teorii (30 ).
Kończąc to szkicowe i pobieżne omówienie kilku nurtów działalności naukowej Stanisława Zaremby, dobrze będzie przytoczyć wybrane opinie o nim,
pochodzące od współczesnych mu wybitnych matematyków.
W cytowanym już wielokrotnie artykule [225] czytamy: Znamienna jest
opinia Henryka Lebesgue’a, który wyraził się, że Zaremba nie ogłosił żadnej pracy niepotrzebnie. Istotnie, wśród prac Zaremby, z których wiele ma
podstawowe znaczenie w matematyce, nie ma prac o charakterze przyczynkowym. Jacques Hadamard w liście gratulacyjnym nadesłanym z okazji uroczystości nadania Zarembie godności doktora honoris causa UJ w dniu 1 lutego
(30 ) Obszerne omówienie prac Zaremby z fizyki teoretycznej, a także prac Żorawskiego,
który napisał kilka artykułów z tego zakresu, znajduje się w artykułach Bronisława Średniawy [200], [201].
89
1930 roku (31 ), napisał m.in. Głębokie, pochodzące od niego [Zaremby] uogólnienie przekształciło niedawno podstawy teorii potencjału i stało się natychmiast punktem wyjścia do badań młodych matematyków szkoły francuskiej.
I wreszcie cytat z listu Charlesa Emila Picarda nadesłanego z tej samej okazji: Zaremba jest jednym z najznamienitszych matematyków naszych czasów.
Jego piękne prace z teorii równań różniczkowych i teorii funkcji harmonicznych są podziwiane przez wszystkich zajmujących się analizą.
Stanisław Zaremba przywiązywał ogromną wagę do tego, by powstawały
polskie podręczniki. Sam był autorem kilku. Nie lekceważył też popularyzacji. Jako przykład takiej jego działalności można podać artykuł [245] z roku
1931.
Wspomniany poprzednio Leon Lichtenstein uzyskał wiele istotnych wyników dotyczących równań cząstkowych. Wnikliwe omówienie jego rezultatów z tego zakresu przedstawił Juliusz Schauder w artykule [176]. Artykuł ten zaczyna się od stwierdzenia, że należy przede wszystkim zwrócić
uwagę na twórczość Lichtensteina w dziedzinie równań cząstkowych rzędu
drugiego typu eliptycznego (32 ), gdyż: Był on jednym z pierwszych budowniczych tej teorii, nadając tu niejednokrotnie kierunek dalszym badaniom
([176], str. 149). Pierwsze prace Lichtensteina z tego zakresu dotyczą problemu Dirichleta dla równań eliptycznych liniowych o współczynnikach spełniających warunek Höldera (i dwóch zmiennych niezależnych). Inne ważne
wyniki dotyczą równań samosprzężonych. Dla równań quasiliniowych udowodnił Lichtenstein m.in. twierdzenie o analityczności rozwiązań klasy C2 ,
jeśli współczynniki są analityczne (por. [90]), wzmacniając tym samym wynik S. Bernsteina z [18], który zakładał trzykrotną różniczkowalność rozwiązania. W cytowanej już (przy omawianiu równań zwyczajnych) pracy [91]
zastosował Lichtenstein metody wariacyjne do równań cząstkowych. Prace
Lichtensteina na ten temat, a także prace z hydrodynamiki są obszernie
(31 ) Warto przytoczyć nazwiska matematyków, którzy byli obecni na tej uroczystości, albo nadesłali listy lub telegramy gratulacyjne; byli to m.in.: Stefan Banach, Wilhelm
Blaschke, Emile Borel, Georges Bouligand, Elie Cartan, Arnaud Denjoy, Maurice Fréchet,
Guido Fubini, Jacques Hadamard, Bronisław Knaster, Henri Lebesgue, Beppo Levi, Tullio Levi-Civitá, Leon Lichtenstein, Franciszek Leja, Stefan Mazurkiewicz, Paul Montel,
Paul Painlevé, Giuseppe Peano, Emile Picard, Frédéric Riesz, Wacław Sierpiński, Hugo
Steinhaus, Leonida Tonelli, Vito Volterra.
(32 ) Zajmował się jednak także i równaniami innych typów; podczas Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego we Lwowie (7–10 września 1927) wygłosił odczyt O zastosowaniach metody Fourier’a do równań różniczkowych typu hiperbolicznego. Dodajmy,
że Lichtenstein był członkiem Komitetu Honorowego tego Zjazdu. Członkami Komitetu
Honorowego byli też m.in.Stanisław Zaremba i Kazimierz Żorawski oraz Władysław Natanson i Tadeusz Banachiewicz (którzy jednak nie byli obecni na Zjeździe – Zaremba
z powodu poważnej choroby; o nieobecności pozostałych, a także kilku innych wybitnych
uczonych, S. Warhaftman przedstawiający w II tomie Mathesis Polskiej , sprawozdanie ze
Zjazdu, pisze z żalem jako o rzeczy, która raziła).
90
A. P e l c z a r
cytowane przez Louisa Nirenberga w opracowanym przez niego rozdziale
Partial Differential Equations in the First Half of the Century książki [148].
W książce tej na liście najważniejszych osiągnięć roku 1915 (str. 9) wymieniono przy nazwisku Lichtensteina: Hilbert space techniques in the calculus
of variations.
Do dorobku matematyki polskiej w zakresie równań różniczkowych zaliczyć trzeba także i to, co zrobił w tym zakresie Nachman Aronszajn (1907–
1980). Urodzony w Warszawie, odbył studia na Uniwersytecie Warszawskim,
gdzie w roku 1929 doktoryzował się (33 ), w latach trzydziestych przebywał
w Paryżu, w czasie wojny był w Wojsku Polskim, od roku 1942 oddelegowany z Armii Polskiej – jak pisze Paweł Szeptycki w artykule [194] – do
admiralicji brytyjskiej dla prac nad zagadnieniami matematycznymi związanymi z działaniami wojennymi, potem zaś, od roku 1949 pracował w Stanach Zjednoczonych. Wśród wielu wątków jego działalności badawczej były
także równania różniczkowe (którymi zaczął się interesować po przyjeździe
do Francji). Wspomniana uprzednio (przy omawianiu dorobku Zaremby)
praca [9] nawiązywała do wcześniejszych z tej tematyki (pierwszą z nich była
praca [7]); ich rezultaty znalazły bezpośrednie zastosowania w teorii równań
eliptycznych (por. prace [8] i [10], które – jak pisze P.Szeptycki w cytowanym
artykule [194] – zawierają być może pierwszy dowód istnienia funkcji Greena dla ogólnych zagadnień brzegowych dla równań eliptycznych wysokiego
rzędu). Inny nurt badawczy, o którym należy tu wspomnieć, był związany
z metodami przybliżania wartości własnych zagadnień brzegowych. Początek dała praca [16]; po niej, w ciągu 33 lat, ukazało się ponad dwadzieścia
prac dotyczących tej tematyki lub z nią luźniej związanych, a ostateczną
wersję wypracowanej metody zawiera praca wspólna z R. D. Brownem [14].
Dodajmy, że metoda ta okazała się bardzo efektywna w pracy [13] o równaniach zwyczajnych; mowa jest o niej w tym miejscu, a nie w rozdziale
o równaniach zwyczajnych, właśnie ze względu na użytą w niej metodę.
Na koniec lat dwudziestych i lata trzydzieste XX wieku przypada działalność Juliusza Pawła Schaudera (1896–1943), którego znany powszechnie
dorobek dotyczy przede wszystkim analizy funkcjonalnej, ale obejmuje także
m.in. bardzo ważne prace z równań różniczkowych. Przypomnijmy przede
wszystkim, że Schauder jest autorem podstawowego twierdzenia o punktach
stałych odwzorowań ciągłych przeprowadzających zwarte i wypukłe podzbiory przestrzeni Banacha w siebie (por. [172]; wcześniejsza, słabsza wersja
w pracy [170]). Twierdzenie to – jak dobrze wiadomo – stosowane do odpowiednich przestrzeni funkcyjnych pozwala na uzyskiwanie twierdzeń o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych wielu typów; ma też wiele innych,
(33 ) Pod kierunkiem Stefana Mazurkiewicza, na podstawie rozprawy O metryce i metryzacji.
91
ogromnie ważnych zastosowań (34 ). Juliusz Schauder napisał ważne prace na
temat równań różniczkowych cząstkowych, w tym m.in. o równaniach hiperbolicznych (por. [174], [175]) (35 ) oraz eliptycznych (por. np. [171] i [173]).
Podczas wspomnianego już Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego
we Lwowie wygłosił referat Rozwiązanie równań różniczkowych cząstkowych
rzędu drugiego typu eliptycznego (przy danych warunkach brzegowych) w otoczeniu całki szczególnej (por. [82], str. 146). Powiedzmy krótko, że Schauder
pierwszy wprowadził do teorii równań różniczkowych zaawansowane metody analizy funkcjonalnej i zastosował w niej ogólne twierdzenia (w tym
twierdzenie o punktach stałych) z teorii ogólnych przestrzeni funkcyjnych.
Aparatu analizy funkcjonalnej użył w ten sposób, że twierdzenia o punktach stałych zastosował do odpowiednich równań całkowych równoważnych
równaniom różniczkowym rozważanym wraz z zadanymi warunkami początkowymi i brzegowymi (36 ). Był też Schauder współautorem pracy [89] napisanej wspólnie z Jeanem Lerayem, która okazała się, jak wiadomo, jednym
z podstawowych elementów pozwalających na zastosowania metod topologii algebraicznej w teorii równań różniczkowych, przede wszystkim równań
cząstkowych. Badania równań różniczkowych oparte na tych metodach znalazły się później w pracach matematyków polskich (o czym wspomniano już
mówiąc o Andrzeju Granasie i jego współpracownikach).
Jacek Szarski, o którym była mowa w związku z równaniami zwyczajnymi i cząstkowymi rzędu pierwszego oraz nierównościami różniczkowymi,
ma też swój udział w rozwoju teorii równań cząstkowych rzędów wyższych
i związanych z nimi nierówności różniczkowych. Jeden z ciekawych rezultatów dotyczących równań cząstkowych drugiego rzędu prawie-liniowych zawiera praca [185] o tzw. konoidzie charakterystycznej.
Szereg wyników dotyczących równań eliptycznych rzędu drugiego, równania biharmonicznego oraz równania parabolicznego rzędu drugiego, otrzymał wspomniany już poprzednio Alfred Rosenblatt. Stanisław Turski, także
(34 ) W tym kontekście trzeba przypomnieć o Stefanie Banachu (1892–1945). Gdyby
w wieku XIX dysponowano twierdzeniem Banacha o punkcie stałym (przypomnijmy pracę
[17]), to dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań problemów Cauchy’go
przy stosownych założeniach o prawych stronach rozważanych równań byłby podany
w kilku, może w kilkunastu, linijkach. Dodajmy, że Banach miał też bezpośredni udział
w rozwoju równań różniczkowych. Zastosował swoje wyniki z analizy funkcjonalnej do
dowodu nowego twierdzenia o ciągłej zależności rozwiązań liniowych równań cząstkowych
i pochodnych tych rozwiązań od warunków brzegowych.
(35 ) Fragment rozumowania w pracy [174] zawierał pewną lukę, którą zauważył i usunął Jacek Szarski [182].
(36 ) Wspominana już dwukrotnie książka [148] (por. przypisy 13 i 25) wymienia wśród
najważniejszych osiągnięć matematyki w roku 1935: „Schauder J., Functional analytic
approach to hyperbolic equations”, a w roku 1934: „Cacciopoli R., Schauder J., Elliptic
linear equations with Hölderian coefficients”.
92
A. P e l c z a r
wspomniany uprzednio, udowodnił w połowie lat trzydziestych (por. [207])
istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Darboux dla równania cząstkowego typu hiperbolicznego rzędu drugiego przy założeniach znacznie słabszych od przyjmowanych poprzednio. Franciszek Leja, który, jak to już powiedziano, w swej pracy doktorskiej zajął się tematyką Żorawskiego, potem zaś
stał się wybitnym specjalistą w zakresie funkcji analitycznych zespolonych,
uzyskał, przy użyciu swej niezwykle płodnej metody punktów ekstremalnych,
rezultaty dotyczące problemu Dirichleta, w tym charakteryzację punktów regularnych. Był też autorem wyników o problemie Dirichleta z warunkiem
brzegowym nieciągłym; referat na ten temat wygłosił na VI Zjeździe Matematyków Polskich, który odbył się w dniach 20–23 września 1948 r. w Warszawie
(por. [88], gdzie znajdują się odsyłacze do innych jego prac, w szczególności
do pracy [87], w której
udowodniono zbieżność do funkcji Greena ciągów
postaci n1 (log |Ln |) , gdzie Ln są wielomianami Lagrange’a).
Wspomniany uprzednio Witold Pogorzelski uzyskał wiele wyników dotyczących równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego i parabolicznego stosując rezultaty z teorii równań całkowych. Między innymi rozwiązał
tzw. uogólniony problem Poincarégo dla równania Laplace’a oraz nieliniowy
problem Hilberta dla funkcji harmonicznych.
Po drugiej wojnie światowej pracował w Krakowie Mirosław Krzyżański
(1907–1965), najpierw na Politechnice Krakowskiej (na początku były to
Wydziały Politechniczne AGH), zaś od 1 września 1952 – na Uniwersytecie Jagiellońskim (37 ). W latach 1936–1940 uczył matematyki w gimnazjum
OO. Pijarów w Wilnie utrzymując kontakty z Uniwersytetem Stefana Batorego; w roku akademickim 1938/1939 prowadził na tym Uniwersytecie
wykłady zlecone z równań różniczkowych. W roku 1934 uzyskał stypendium
Funduszu Kultury Narodowej, co umożliwiło mu studia pod kierunkiem Juliusza Schaudera. Napisali wspólnie pracę [79]. Rozprawa habilitacyjna [74],
przedstawiona na Uniwersytecie Jagiellońskim w roku 1948, dotyczyła równań eliptycznych w obszarach nieograniczonych (38 ). W tym samym roku
(37 ) Profesorem zwyczajnym na UJ został 29 grudnia 1960 r.
(38 ) Rozwinięcie metod zastosowanych w tej pracy zawiera praca [76], w której autor
rozważa równania eliptyczne i paraboliczne w obszarach nieograniczonych. Równaniom parabolicznym w obszarze nieograniczonym poświęcona jest praca [73], opublikowana 1941 r.
w USA. Interesujące jest to, że w przypisie odsyłającym do prac Picone i Tichonowa z lat
1929 i 1935 znajduje się dodatkowe zdanie: „Cf. aussi le travail récent de M. F. G. Dressel,
The fundamental solution of the parabolic equation, Duke Mathematical Journal, Tome 7
(1940), pp. 186–203. M. Krzyżański był wtedy w Wilnie i jeśli można przyjąć, że prace
przesłał albo jeszcze wtedy, gdy Wilno miało kontakty z USA (względnie Europą Zachodnią) albo jakimś sposobem potem, to trudno uznać, że mógł mieć dostęp w roku 1940 do
najnowszych publikacji zachodnich; może więc przytoczony dopisek jest autorstwa redakcji
lub kogoś, kto pracę przekazał (Picone?).
Krzyżański interesował się także równaniami z nieograniczonymi współczynnikami
(por. pracę [77] i wspólną z Andrzejem Szybiakiem [80]).
93
przedstawił na VI Zjeździe Matematyków Polskich mało znaną, a ciekawą
pracę o rozwiązaniach równania parabolicznego z nieciągłym warunkiem na
charakterystyce (por. [75]). Bolesław Szafirski w swym eseju [181] tak charakteryzuje działalność i wyniki Krzyżańskiego. Równania różniczkowe typu
parabolicznego i eliptycznego były główną dziedziną badań profesora Krzyżańskiego. Wiele prac dotyczy istnienia, jednoznaczności i zasady ekstremum dla rozwiązań problemów brzegowych. W pracach tych bardzo często
pojawia się tzw. dzielnik tłumiący. Stał się on, wraz z zasadą ekstremum,
eleganckim, bo prostym i sugestywnym narzędziem do badania jednoznaczności problemów brzegowych. Dzielnik tłumiący i zasada ekstremum odgrywają również istotną rolę w pracach na temat asymptotycznego zachowania się rozwiązań parabolicznych. Wyniki tu uzyskane pozostają w ścisłym
związku z badaniami matematyków włoskich (M. Picone), którym Mirosław
Krzyżański często składał wizyty naukowe. Zespół prac na temat rozwiązań
podstawowych równań parabolicznych wymaga szczególnej uwagi. Są w nich
zawarte metody konstrukcji, dowody twierdzeń o istnieniu, jednoznaczności rozwiązań i nieujemności rozwiązań podstawowych. Twierdzenia dotyczą również sytuacji, kiedy współczynniki równania nie są ograniczone. Ale
przede wszystkim prace te stanowią pomost między dwiema dziedzinami matematyki: teorią równań różniczkowych i teorią prawdopodobieństwa. Chodzi
o to, że wiele procesów stochastycznych, dla których naturalnym językiem
jest teoria prawdopodobieństwa, daje się opisać i badać za pomocą równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych typu parabolicznego. Pierwszy,
który fakt ten dostrzegł, był fizyk Marian Smoluchowski, profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego (39 ). Z punktu widzenia procesów stochastycznych nie
każde rozwiązanie równania typu parabolicznego jest interesujące. Ale interesujące są właśnie rozwiązania podstawowe tych równań. Dzięki temu prace
profesora Krzyżańskiego dotyczące rozwiązań podstawowych równań parabolicznych miały istotne znaczenie.
Dziełem życia Mirosława Krzyżańskiego i właściwie podsumowaniem
jego badań jest monografia Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego
(39 ) Przytoczmy za esejem Andrzeja Fulińskiego [49] kilka informacji o tym wybitnym
fizyku. Marian Smoluchowski (1872–1917) studiował w Wiedniu i uzyskał doktorat w roku
1895, ze specjalnym wyróżnieniem, a następnie przebywał w Paryżu, Glasgow i Berlinie,
gdzie rozpoczął badania nad kinetyczną teorią gazów. W r. 1897 uzyskał w Wiedniu veniam
legendi , w r. 1903 został profesorem zwyczajnym na Uniwersytecie Lwowskim, w r. 1913
objął katedrę na Uniwersytecie Jagiellońskim; w latach 1916–1917 był dziekanem, tuż
przed śmiercią został wybrany rektorem UJ (ale funkcji już nie objął; w latach 1917–1918
rektorem UJ był Kazimierz Żorawski). Był zapalonym alpinistą i narciarzem. W historii fizyki Marian Smoluchowski ma zapewnione miejsce jako ten, który położył zasadnicze
zasługi w dowodzeniu prawdziwości atomistycznej budowy materii /. . ./. Trzeba tu przypomnieć – o czym dziś się już na ogół nie pamięta – że kiedyś „hipoteza molekularna”
wymagała dowodów i że pierwsze dowody były oparte na stworzone przez Smoluchowskiego
teorii ruchów Browna i fluktuacji (cytat z [49], str. 461–462).
94
A. P e l c z a r
w dwóch częściach (por. [78]), z której ciągle korzystają matematycy zajmujący się równaniami cząstkowymi.
6. Równania różniczkowe w trzecim ćwierćwieczu XX stulecia.
Przed skrótowym omówieniem najważniejszych wyników z tego okresu przytoczyć może warto pewne dane liczbowe obrazujące aktywność publikacyjną
matematyków polskich w zakresie równań różniczkowych. W pierwszych
dziesięciu tomach Annales Polonici Mathematici (40 ), pisma, które poświęcało i poświęca najwięcej miejsca szeroko rozumianej analizie, znalazło się
ogółem 279 prac, z których 110 (czyli niemal 40%) dotyczyło równań różniczkowych i było napisanych przez autorów polskich. Do tych 110 prac
należy dodać takich kilka prac autorów z innych krajów, które związane
były bezpośrednio z badaniami polskimi (w tym prace doktorantów zagranicznych studiujących w Polsce). Te wybrane (ale istotne, ze względu na
charakter czasopisma) dane obrazują, przynajmniej częściowo, „rozwój ilościowy” teorii równań różniczkowych w pierwszych latach drugiej połowy
XX wieku.
Omówienie najważniejszych dokonań w matematyce polskiej, w tym w zakresie równań różniczkowych, w latach 1951–1971 zawierają materiały [1].
W szczególności rozdział Stan i perspektywy rozwojowe matematyki opracowany przez Zbigniewa Ciesielskiego zawiera opis sytuacji matematyki polskiej na początku ostatniego trzydziestolecia XX wieku. Podrozdział tego
rozdziału Rozwój i osiągnięcia matematyki w Polsce w latach 1951–1971 ,
w ustępie Równania różniczkowe z teorią sterowania, ujmuje syntetycznie
to, co zrobiono w zakresie interesującej nas tematyki. Zapewne najwłaściwszym więc będzie posłużenie się tym materiałem poprzez wybrane cytaty.
Pozwolą one na pewnego rodzaju podsumowanie obejmujące także część
tego, co omówiono bardziej szczegółowo w paragrafach poprzednich, z odwołaniem się do działań i osiągnięć niektórych ze wspominanych wcześniej
matematyków.
Na wstępie stwierdza się, że: Ośrodek krakowski ma głębokie tradycje
w analizie klasycznej, na gruncie których T. Ważewski w okresie powojennym stworzył szkołę równań różniczkowych. Osiągnięcia tej szkoły zaliczyć
należy do najpoważniejszych sukcesów matematyki polskiej w okresie powojennym. Duże zasługi w rozwoju tej dyscypliny mają także: w Krakowie –
J. Szarski i M. Krzyżański, w Warszawie – K. Maurin i W. Pogorzelski
oraz w Lublinie – A. Bielecki.
Po kilku uwagach ogólnych przedstawiono następnie w omawianym podrozdziale (41 ) najważniejsze osiągnięcia w dziale równań różniczkowych cząst(40 ) Tomy: I (1955), II (1955), III (1956), IV (1957–1958), V (1958–1959), VI (1959),
VII (1960), VIII (1960), IX (1960–1961), X (1961–1962).
(41 ) Materiały [1], str.42 i 43.
95
kowych: A. Pliś rozwinął teorię charakterystyk oraz skonstruował nieoczekiwany przykład układu równań cząstkowych o gładkich współczynnikach, dla
którego problem Cauchy’ego nie ma jednoznacznego rozwiązania, W. Pogorzelski rozwinął zastosowania równań całkowych do teorii równań parabolicznych i teorii zagadnień brzegowych funkcji analitycznych. B. Bojarski
uzyskał wyniki dotyczące równań eliptycznych dwuwymiarowych z mierzalnymi współczynnikami i zastosował je do odwzorowań quasi-konforemnych.
Ponadto istotny wkład w rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych
wnieśli: J. Szarski (nierówności różniczkowe paraboliczne), M. Krzyżański
(równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu), K. Maurin, H. Marcinkowska (metody przestrzeni Hilberta), J. Mikusiński (zastosowania rachunku
operatorowego do równań różniczkowych cząstkowych), Z. Szmydt, A. Pelczar , A. Lasota, J. Kisyński (równania hiperboliczne o dwóch zmiennych
niezależnych), J. Kisyński (teoria półgrup operatorów w zastosowaniu do
problemu Cauchy’ego), P. Besala (równania paraboliczne w obszarach nieograniczonych), Z. Kowalski, S.Łojasiewicz (metody różnicowe), T. Bałaban
(zagadnienia mieszane dla równań hiperbolicznych), A. Piskorek , W. Żakowski, J. Wolska-Bochenek (zastosowania równań całkowych w teorii równań
cząstkowych).
Omawianie równań zwyczajnych zaczęto od stwierdzenia, że: Bujny rozwój tego działu w Polsce jest ściśle związany ze szkołą krakowską. Najważniejsze sukcesy tej szkoły, to metoda retraktowa Ważewskiego (. . .), rozwinięcie teorii nierówności różniczkowych oraz liczne wyniki z zagadnień brzegowych. (. . .) W jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych, w badaniach punktów osobliwych i przebiegu asymptotycznego rozwiązań, metoda
topologiczna T. Ważewskiego znajduje piękne zastosowanie. Wymienić tu
należy wyniki A. Bieleckiego, S. Łojasiewicza, C. Klucznego, Z. MikołajskiejMlakowej , C. Olecha, A. Pelczara, A. Plisia, Z. Szmydt, K. Tatarkiewicza,
T. Ważewskiego. Globalną asymptotyczną stabilność układów dynamicznych
w dwu i więcej wymiarach badali: C. Olech i inni. Sukcesem szkoły Ważewskiego jest teoria nierówności różniczkowych (. . .). Wychodząc z prac
T. Ważewskiego teorię tę rozwijali: S. Łojasiewicz , W. Mlak , C. Olech,
Z. Opial, A. Pliś, J. Szarski. Teorię nierówności cząstkowych ujął w osobnej monografii J. Szarski. Rezultaty typu oscylacyjnego i rezultaty dotyczące
algebraicznych własności rozwiązań uzyskali: M. Biernacki, Z. Butlewski,
A. Lasota, J. Mikusiński, Z. Opial. Wyniki z zakresu rozwiązań okresowych
i prawie okresowych (. . .) uzyskali także A. Lasota, Z. Mikołajska-Mlakowa,
C. Olech, Z. Opial. W zakresie nowych metod w problemach brzegowych dla
równań różniczkowych zwyczajnych prace prowadzili: A. Bielecki, A. Lasota i Z. Opial. Prowadzono także badania dotyczące istnienia rozwiązań
równań różniczkowych zwyczajnych, ich jednoznaczności i zbieżności metody kolejnych przybliżeń, równań różniczkowych zwyczajnych. (. . .) Zadziwiający przykład równania jednoznacznego lewostronnie i niejednoznacznego
96
A. P e l c z a r
prawostronnie podał A. Pliś. Wyjaśniono znaczenie założenia monotoniczności funkcji porównawczej pojawiającej się w twierdzeniach o jednoznaczności rozwiązań i zbieżności kolejnych przybliżeń – C. Olech, A. Pliś. Inne
wyniki w tej dziedzinie uzyskali m.in. A. Bielecki, J. Kisyński, A. Lasota,
W. Mlak , T. Ważewski, S. Szufla. Metody algebraiczne w teorii równań
różniczkowych zwyczajnych stosowali W. Kierat, J. Mikusiński, D. Przeworska-Rolewicz (42 ). (. . .) T. Ważewski zainicjował badania nad metodą pola
orientorowego w teorii sterowania optymalnego i wprowadził pojęcie quasitrajektorii. Prace te były kontynuowane przez C. Olecha, A. Plisia, A. Turowicza. Teoria równań różniczkowych z przesuniętym argumentem była
rozwijana przez A. Bieleckiego, B. Krzyżową, Z. Mikołajską-Mlakową,
D. Przeworską-Rolewicz oraz innych matematyków środowiska warszawskiego, katowickiego i lubelskiego.
Omówienie teorii sterowania (43 ), wiążącej się ściśle z równaniami różniczkowymi, rozpoczyna ogólny komentarz na temat nieznacznego ilościowo,
ale pozytywnie ocenianego w świecie, udziału w niej matematyki polskiej.
Następnie stwierdza się, że: Z uzyskanych rezultatów należy odnotować prace
C.Olecha dotyczące liniowych problemów optymalnych i związanej z nimi
teorii całkowania funkcji wielowartościowych, rezultaty C.Olecha i A.Lasoty
związane z zagadnieniami istnienia rozwiązań optymalnych. S.Rolewicz badał istnienie sterowania czasowo-optymalnego dla rodzin operatorów linowych w przestrzeniach Banacha. Ponadto optymalnemu sterowaniu prace
poświęcili K. Malanowski i A. Manitius.
Zestawienia te wymagają pewnych komentarzy i uzupełnień narzucających się teraz, gdy można się wypowiadać z odleglejszego „dystansu czasowego”. Trzeba przede wszystkim zwrócić uwagę na to, że dla rozwoju teorii równań różniczkowych ogromne znaczenie mają podstawowe twierdzenia
Stanisława Łojasiewicza z teorii dystrybucji, a także algebraiczne podejście
przez teorię operatorów Jana Mikusińskiego. Naturalnym będzie więc zacytowanie w tym miejscu fragmentu przywołanych wyżej materiałów z II Kongresu Nauki Polskiej [1] (str. 40): Wyniki S. Łojasiewicza, w szczególności
rozwiązanie problemu dzielenia dystrybucji przez funkcje analityczne (44 ),
zalicza się do największych indywidualnych osiągnięć matematyki w okresie
powojennym. Wypracowane przez Łojasiewicza do tego celu subtelne metody
miały daleko idące konsekwencje w teorii równań różniczkowych cząstkowych
i analizie różniczkowej oraz stanowiły punkt wyjścia do stworzenia przez
niego teorii zbiorów semi-analitycznych. Rozwinięta zostaje teoria operatorów J. Mikusińskiego (45 ) powszechnie nazywanych jego imieniem. Teoria ta
(42 ) Por. książkę [163].
(43 ) Por. [1], str. 44 i 45.
(44 ) Por. [94].
(45 ) Por. wspomnianą już monografię [108]. Zwięzłe omówienie teorii Mikusińskiego
przedstawił Władysław Kierat w artykule [59].
97
stanowi trwały wkład matematyki polskiej w naukę światową. (. . .) Na wyróżnienie zasługuje także opracowanie podstaw teorii ciągowej dystrybucji –
P. Antosik , J. Mikusiński, R. Sikorski. Twierdzenie o dzieleniu dystrybucji pozwoliło na uzyskanie twierdzeń o istnieniu rozwiązań dystrybucyjnych
wielu równań liniowych, dla których przedtem nie było metod rozwiązywania, a które teraz można było rozwiązywać przy użyciu transformacji
Fouriera.
Takie syntetyczne opracowanie, z jakiego skorzystano powyżej, nie może
oczywiście podawać zbyt wielu szczegółów dotyczących np. danych bibliograficznych. Brak miejsca nie pozwala na szerokie uzupełnianie tych danych. Warto jednak dodać, że spośród wymienianych wyżej autorów najważniejszych osiągnięć, Zdzisław Opial napisał około 70 prac z zakresu
równań i nierówności różniczkowych, a także nierówności całkowych będących w ścisłym związku z teorią nierówności różniczkowych. Wspomniane
w cytowanych fragmentach opracowania [1] jego wyniki dotyczące problemów brzegowych wiążą się z zagadnieniem istnienia rozwiązań okresowych
i prawie-okresowych; jako przykłady wymieńmy prace [129]–[132] dotyczące
tych tematów. Jednym z najważniejszych, spośród wielu ważnych, wyników
dotyczących równań drugiego rzędu jest twierdzenie z pracy [134] o ciągłej
zależności rozwiązań od prawej strony (w topologii L1 ) równania drugiego
rzędu. Frapujący przykład równania zwyczajnego y ′ = f (x, y) o prawej stronie prawie okresowej ze względu na x, dla którego wszystkie rozwiązania są
ograniczone, ale żadne nie jest prawie okresowe, podał Opial w pracy [135].
Wiele prac Opiala zainspirowało innych autorów (a spektakularnym przykładem jest praca [127], o której była już mowa). Trzeba koniecznie dodać, że
Zdzisław Opial był także autorem ważnych artykułów i opracowań z historii
matematyki; odnotowano tu dwie pozycje [125] i [126] (z których zresztą
korzystano przy pisaniu tego artykułu). Wnikliwe omówienie działalności
naukowej Zdzisława Opiala można znaleźć w artykule [86].
Szerszego omówienia wymagają wyniki Andrzeja Plisia. Była już mowa
(w paragrafie 4) o zaskakujących przykładach równań, dla których nie ma
jednoznaczności rozwiązań. Trzeba powiedzieć, że rezultaty te (oraz ich późniejsze modyfikacje, w tym z lat 1959 i 1961, dotyczące równań eliptycznych)
były wielokrotnie cytowane w oryginalnych pracach i różnych monografiach,
a niektóre były referowane na słynnym seminarium Bourbaki’ego w Paryżu.
W pracy [157] skonstruowany jest przykład równania eliptycznego czwartego rzędu o współczynnikach klasy C∞ w R3 , dla którego rozwiązania problemu Cauchy’ego nie są jednoznaczne oraz inny przykład takiego równania, dla którego nie istnieje rozwiązanie problemu Cauchy’ego określone na
sferze jednostkowej, a także przykłady równań na płaszczyźnie, czwartego
rzędu, eliptycznych, o współczynnikach zespolonych klasy C∞ , dla których
problem Cauchy’ego nie ma jednoznacznego rozwiązania. Wyrazem międzynarodowego uznania dla osiągnięć Andrzeja Plisia z lat pięćdziesiątych
98
A. P e l c z a r
i początku lat sześćdziesiątych, było zaproszenie go do wygłoszenia referatu
na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Sztokholmie w roku 1962
(por. [158]).
Na szczególne podkreślenie zasługują osiągnięcia Czesława Olecha w teorii sterowania (46 ).
Na początku lat siedemdziesiątych zintensyfikowano badania problemów,
w których poszukuje się rozwiązań uogólnionych (w odpowiednich przestrzeniach Sobolewa, rozwiązań dystrybucyjnych). Prace na ten temat pisały
m.in. Hanna Marcinkowska i Zofia Szmydt, które ujęły obszerne partie materiału z tej tematyki w swych świetnych książkach [95] i [197]. Dodajmy, że
równaniami w sensie „prawie wszędzie” zajął się jako chyba pierwszy w Polsce Witold Wilkosz (1891–1941) w 1927 roku (por. [226]). Istotne uwagi na
temat równań o prawych stronach spełniających warunki Carathéodory’ego
(analizując pewne warunki równoważne warunkom Carathéodory’ego) przedstawił Zdzisław Opial w pracy [133].
Do informacji o badaniach Witolda Pogorzelskiego trzeba dodać, że podsumowanie jego osiągnięć zawarte jest w czterotomowej monografii [160],
w której przedstawione są jego główne rezultaty dotyczące równań parabolicznych i eliptycznych (47 ).
W roku 1962 ukazała się obszerna praca [15] N. Aronszajna, A. Krzywickiego i J. Szarskiego zawierająca ważne i mocne rezultaty o przedłużalności rozwiązań pewnych równań eliptycznych na rozmaitościach Riemanna.
Autorzy nawiązali w niej do kilku wcześniejszych prac Aronszajna (por.
[11], [12]).
Jako dalsze uzupełnienie potraktujmy, właściwy tu, cytat z artykułu
Stanisława Hartmana (1914–1992) [53]: W szkole W. Pogorzelskiego uzyskano wiele twierdzeń o istnieniu rozwiązań problemów nieliniowych dla
równań eliptycznych, parabolicznych i równań hydrodynamiki (W. Pogorzelski, H. Grużewska, A. Piskorek , J. Wolska-Bochenek i inni). Wiele prac
poświęcono teorii rozwiązań podstawowych dla równań eliptycznych i parabolicznych (szkoła Pogorzelskiego oraz M. Krzyżański i A. Szybiak (48 )).
Uzyskano zastosowania stochastyczne równań parabolicznych (M. Krzyżański, H. Grużewska). Własnościami linii węzłów drgającej membrany zajmował się F.Barański (49 ).
Informację o wynikach Piotra Besali o równaniach cząstkowych w obszarach nieograniczonych uzupełnić wypada odesłaniem do kilku przynajmniej
(46 ) Spośród wielu prac o podstawowym znaczeniu wymieńmy obszerny artykuł o ekstremalnych rozwiązaniach problemów sterowania [122].
(47 ) O działalności Witolda Pogorzelskiego mówi artykuł [229]; por. też np. [188].
(48 ) O ich wynikach w tym zakresie wspomniano przy omawianiu działalności M. Krzyżańskiego (por. [80]).
(49 ) Artykuł [53] omawia wprawdzie lata 1945–1965, ale przedstawiony cytat dotyczy
de facto lat 1950–1965.
99
jego prac z tego zakresu [19]–[22] i uzupełnić uwagą, że interesujące wyniki otrzymał także dla równań z nieograniczonymi współczynnikami (por.
[23] oraz prace wspólne z D. G. Aronsonem [5], [6]). Całość dorobku Piotra
Besali omawia szczegółowo Zdzisław Kamont w artykule [56]. Wśród wyników Zbigniewa Kowalskiego przypomnieć należy m.in. rezultaty dotyczące
metod aproksymacyjnych dla pewnych równań „nie rozwiązanych względem
pochodnej”:
y ′ = f (x, y, y, y ′ );
por. np. [67] i [68]. Metody aproksymacyjne (różnicowe, metody siatek, metoda Czapłygina i inne) stosowane były do różnych problemów przez m.in.
Andrzeja Plisia, Włodzimierza Mlaka, Mariana Malca, Stanisława Brzychczego i wielu innych autorów.
Problemy brzegowe i istnienie rozwiązań okresowych były przedmiotami
prac wielu autorów; poza matematykami wymienionymi w opracowaniu [1]
zajmował się takimi zagadnieniami Stanisław Sędziwy, który w szczególności otrzymał istotne wyniki dotyczące rozwiązań okresowych i cykli granicznych dla równań rzędów wyższych niż jeden. Rozwiązania oscylacyjne
równań zwyczajnych badał w Poznaniu Dobiesław Bobrowski. Zbigiew Polniakowski (1925–1977), który doktorat uzyskał w roku 1962 u Władysława
Orlicza, zajmował się zagadnieniami asymptotycznych własności rozwiązań
pewnych równań zwyczajnych, liniowych, rzędu drugiego i rzędów wyższych,
w związku z tzw. twierdzeniami odwrotnymi teorii sumowalności (50 ).
W pracach o równaniach cząstkowych rzędu drugiego typu hiperbolicznego stosowano zarówno twierdzenie Schaudera o punktach stałych jak i metodę kolejnych przybliżeń w różnych wariantach; por. np. [60], [61], [62], [63],
[195], [196].
Adam Piskorek, o którego wynikach dotyczących zastosowań równań całkowych do równań różniczkowych cząstkowych jest mowa w cytowanym
fragmencie opracowania [1] (51 ), jest autorem szeregu prac z teorii równań cząstkowych, w szczególności o równaniach parabolicznych w obszarach
niecylindrycznych.
W rozwoju teorii odwzorowań quasi-konforemnych w związku z równaniami eliptycznymi miał swój udział, oprócz wspomnianego w powyżej
przytoczonym cytacie z opracowania [1] Bogdana Bojarskiego, także Tadeusz Iwaniec (por. ich wspólną pracę [35], a także ciekawy artykuł przeglądowy [36]).
(50 ) Omówienie dorobku naukowego Zbigniewa Polniakowskiego zawiera artykuł [137]
Władysława Orlicza.
(51 ) Por. książkę [149], w której są dwa rozdziały poświęcone równaniom różniczkowym
cząstkowym.
100
A. P e l c z a r
Powinno się wreszcie powiedzieć, że z perspektywy czasu wykraczającego poza omawiany powyżej okres widać, iż pewne badania zapoczątkowane w Krakowie przez Tadeusza Ważewskiego dały impulsy owocujące nadal wynikami uzyskiwanymi zarówno przez bezpośrednich i pośrednich jego
uczniów, jak i przez bardzo wielu innych matematyków z ośrodków polskich
i zagranicznych. O metodzie topologicznej i jej zastosowaniach, uogólnieniach oraz jej konsekwencjach dla rozwoju innych metod, wymagających
kolejnych, wyższych poziomów abstrakcji (w tym metod topologii algebraicznej) była już mowa (52 ). Klasyczna metoda kolejnych przybliżeń była
intensywnie badana, rozwijana i używana w różnych wariantach przez matematyków polskich, przede wszystkim krakowskich, od samego początku
ich zainteresowania równaniami różniczkowymi. Tadeusz Ważewski uwypuklił pewne jej aspekty, proponując bardzo istotne modyfikacje klasycznych
schematów; modyfikacje te, rozwijane potem przez innych, służyły i służą
do uzyskiwania nowych rezultatów zarówno w teorii równań różniczkowych
zwyczajnych i cząstkowych, jak i różniczkowo-funkcyjnych i różniczkowofunkcjonalnych. W naturalnym związku z tą metodą były i są badania nad
warunkami gwarantującymi jednoznaczność rozwiązań problemów początkowych i brzegowych. Analizę pewnej klasy tych warunków przedstawił Czesław Olech w pracy [121] kończąc pewien etap badań, a kilka lat później
wspólna praca Olecha i Plisia [124], o której jest implicite mowa w cytowanym fragmencie opracowania [1], zamknęła właściwie cały rozdział teorii.
Pewne uzupełnienia dotyczą rezultatów, które nie mogły już być objęte materiałami II Kongresu Nauki Polskiej, gdyż zostały opublikowane
co prawda jeszcze w latach 70-tych, ale już po Kongresie. Trzeba tu wymienić w szczególności rezultaty Bolesława Szafirskiego z teorii turbulencji
(por. [180]). Okazały się one bardzo ważne dla zastosowań. W roku 1978
ukazała się w Kijowie książka dwóch autorów Ju. T. Borszczewskiego i S. N.
Rudina [38], której obszerna część jest oparta na tych wynikach Szafirskiego
i jest poświęcona ich zastosowaniom. Powiedzieć trzeba przy tej okazji, że
równania fizyki matematycznej były badane przez wielu matematyków polskich. W latach sześćdziesiątych ukazały się m.in. prace Andrzeja Krzywickiego o równaniu Naviera–Stokesa (por. [69], [70]).
Powinno się dodać, że równaniami cząstkowymi parabolicznymi zajmowali się – poza osobami już wymienionymi – m.in. Irena Łojczyk-Królikiewicz
(52 ) Jako uzupełnienie bibliograficzne do tego co powiedziano w cytowanym wyżej
opracowaniu [1], dodajmy np. odesłanie do prac [3], [64], [65], [143], [152], [202], a także
wspomniane już prace [24]–[26]. Licząc publikacje z tego zakresu (nawet dość wąsko rozumianego) trzeba już używać liczb trzycyfrowych. Wiele poważnych prac traktujących
o zastosowaniach topologii algebraicznej w równaniach różniczkowych, np. o indeksie Conley’a i jego modyfikacjach przypomina na początku o idei Ważewskiego i definicjach pochodzących od niego (np. punktów wyjścia, punktów silnego wyjścia rozwiązań z danego
zbioru).
101
w Krakowie, Jan Chabrowski w Katowicach (por. pracę [41] o równaniach
z nieograniczonymi współczynnikami), Włodzimierz Bodanko (1937–1970)
w Częstochowie (53 ) i Tadeusz Rumak w Rzeszowie, a równaniami eliptycznymi Jan Bochenek w Krakowie (54 ). Równania cząstkowe hiperboliczne
rzędu drugiego i wyższych były badane, poza ośrodkami wymienionymi
w opracowaniu [1], w Gdańsku (por. pracę [81] Mariana Kwapisza, Bolesław Palczewskiego i Wacława Pawelskiego o zagadnieniu typu problemu
Darboux dla równania trzeciego rzędu). Równania różniczkowe w przestrzeniach Banacha były badane przez matematyków krakowskich, a także przez
Stanisława Szuflę w Poznaniu i Jana Kisyńskiego (por. w szczególności obszerną pracę [62] o operatorach Greena dla abstrakcyjnych problemów Cauchy’ego) oraz Kazimierza Goebla w Lublinie.
Do informacji o badaniach nad równaniami różniczkowo-funkcyjnymi,
w szczególności nad równaniami z przesuniętym argumentem, dodajmy, że
oprócz wymienionych w opracowaniu [1] ośrodków, zaczęto je prowadzić
także w Gdańsku i Zielonej Górze (55 ). Przypomnieć należy tutaj, że równaniami i nierównościami różniczkowo-funkcyjnymi i różniczkowo-funkcjonalnymi zajmował się Jacek Szarski; była o tym mowa przy omawianiu szkoły
Tadeusza Ważewskiego. Zofia Mikołajska-Mlakowa otrzymała wyniki dotyczące rozwiązań okresowych równań z opóźnieniem (np. [103]) oraz, stosując
metodę topologiczną Ważewskiego, twierdzenia o „asymptotycznej równoważności” rozwiązań równań z opóźnieniem różniących się „o małą perturbację” (por. [104]).
Trzeba też dodać, że na początku lat siedemdziesiątych z powodzeniem
zastosowano w Krakowie metodę Ważewskiego w teorii równań różniczkowych cząstkowych rzędu pierwszego uzyskując analogon klasycznego twierdzenia retraktowego. Podjęto też w Krakowie badania nad ogólną teorią
stabilności dla topologicznych układów dynamicznych (których teoria wyrasta w naturalny sposób z jakościowej teorii równań różniczkowych) oraz ich
uogólnień, uzyskując m.in. twierdzenia charakteryzujące pewne własności
stabilności przy pomocy uogólnionych funkcji Lapunowa.
Gładkim układom dynamicznym poświęcił większość swych prac i opublikowaną w roku 1982 książkę Wiesław Szlenk (1935–1995), który swą karierę naukową związał z Uniwersytetem Warszawskim (56 ).
(53 ) Do interesującej pracy [34] W. Bodanki nawiązują autorzy pracy [6].
(54 ) Pewne specjalne równania eliptyczne badali w Krakowie m.in. także Feliks Barański i Jan Musiałek.
(55 ) Prowadzili je m.in. wspomniany już poprzednio Marian Kwapisz i Bolesław Palczewski, a potem Zdzisław Kamont i Jan Turo w Gdańsku, Michał Kisielewicz w Zielonej
Górze oraz – poza wymienionymi w [1] – Włodzimierz Mlak, Józef Myjak i Zdzisław Denkowski w Krakowie, a także Kazimierz Zima, Tadeusz Dłotko i Jan Błaż w Katowicach.
Podsumowaniem ważnego nurtu badań z tego zakresu jest książka [55].
(56 ) O Wiesławie Szlenku napisał Tomasz Nowicki [119].
102
A. P e l c z a r
W nurcie badań nad metodami algebraicznymi znalazły się prace Ryszarda Bittnera (1927–1998), o którego działalności mówi artykuł [100].
Dla teorii równań różniczkowych ogromne znaczenie mają twierdzenia
o punktach stałych. Wiele z tych twierdzeń pojawiło się właśnie z inspiracji
pochodzących od równań różniczkowych i całkowych. Nie ma tu miejsca
na szerokie ich omawianie. Właściwe natomiast wydaje się wspomnienie
o publikacjach podsumowujących pewne nurty badawcze z tego zakresu; są
nimi w szczególności książki Jamesa Dugundji’ego i Andrzeja Granasa [48],
Kazimierza Goebla i Williama Kirka [50] oraz Lecha Górniewicza [51].
Kończąc omawianie polskiej historii równań różniczkowych na mniej więcej połowie lat siedemdziesiątych (co podyktowane jest zarówno brakiem
miejsca na to, by omówić ostatnie ćwierćwiecze XX stulecia, jak i tym, że
do tego, aby w sposób bezdyskusyjny wybrać i właściwie ocenić najważniejsze wyniki tego okresu i przedstawić je w sposób kompletny powinno
się mieć możliwość ich oglądu z nieco większego dystansu czasowego), pragnę tylko wspomnieć o tym, że do historii, niestety przedwcześnie zakończonej, przeszły rezultaty kilku matematyków działających w ostatnich latach, którzy mieli już na swym koncie ważne wyniki, a przed sobą świetną
przyszłość. Bogdan Ziemian (1953–1997) zajmował się zaawansowanymi teoriami problemów dotyczących równań różniczkowych m.in. w związku z teorią uogólnionych funkcji analitycznych. Jego osiągnięcia są wielkiej wartości i zyskały mu międzynarodowe uznanie (57 ). Pewnym podsumowaniem
znacznej części wyników jego badań jest rozprawa [248]. Marcin Poźniak
(1963–1996) uzyskał subtelne rezultaty dotyczące zastosowań metod topologii algebraicznej w układach dynamicznych, a Konstanty Holly (1954–
1998) miał ważkie wyniki z zakresu równań różniczkowych fizyki matematycznej.
7. Kilka uzupełnień i próba krótkiego podsumowania. Teoria
równań różniczkowych obejmuje zagadnienia bardzo różne, na wielu „poziomach abstrakcji” i stopniach ogólności. Ogromna część tematyki tej teorii czerpie impulsy z problemów fizycznych, przyrodniczych i technicznych.
Ogromna także część jej rezultatów ma bezpośrednie lub pośrednie zastosowania; służy do opisu szeroko rozumianych zjawisk przyrody. Zwracaliśmy już na to uwagę przy omawianiu m.in. prac Stanisława Zaremby, Witolda Pogorzelskiego czy Leona Lichtensteina (58 ). Dla kompletności obrazu
(57 ) Obszerne omówienie dorobku Bogdana Ziemiana znajduje się w artykule Zofii
Szmydt [198].
(58 ) Także inni wybitni matematycy, o których była mowa wyżej, interesowali się
bezpośrednimi zastosowaniami równań różniczkowych; np. Stanisław Gołąb i Jacek Szarski
zajmowali się pewnymi równaniami całkowo-różniczkowymi opisującymi ruch materiałów
sypkich (szczegółowe referencje można znaleźć w [145]).
103
powinno się jednak dodać informacje o wielu innych pracach z zastosowań
równań różniczkowych, włączając w to także niektóre prace typowo aplikacyjne, w tym, w szczególności inżynierskie, jak również podać, choćby
fragmentarycznie, bibliografię prac ściśle matematycznych, których autorami byli np. inżynierowie. Rozsadziłoby to jednak ramy tego artykułu
(i przekraczałoby zapewne kompetencje autora). Ograniczę się więc tylko
do przypomnienia, że spośród zajmujących się technicznymi zastosowaniami
równań różniczkowych Marek Burnat jest autorem prac z równań cząstkowych, a Stefan Drobot (1913–1998), który był zarówno matematykiem jak
i inżynierem, napisał nie tylko wiele prac technicznych, ale także, wspólnie z Janem Mikusińskim, prace o jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych (w związku z teorią operatorów Mikusińskiego; por. [46], [47]).
Był także Drobot autorem prac z historii matematyki, np. o Janie Śniadeckim. Napisał również (por. [45]) o Maksymilianie Tytusie Huberze (1872–
1950), znanym inżynierze mechaniku, którego działalność naukowa była
związana z zastosowaniami równań różniczkowych (59 ). Trwały ślad w polskiej (a chyba i nie tylko polskiej) historii zastosowań równań różniczkowych zostawił Witold Wolibner (1902–1961). Zajmował się m.in. hydrodynamiką. Na szczególną uwagę zasługuje praca [227] z roku 1937, dotycząca właśnie tej tematyki. Podane jest w niej – jak piszą A. Krzywicki
i J. Zamorski w artykule [71] – pozytywne rozwiązanie zagadnienia istnienia dla nieskończenie długiego czasu rozwiązania równań opisujących ruch
płaski cieczy doskonałej , zapełniającej dowolny stały obszar przy dowolnym
lokalnie całkowalnym rozkładzie początkowym wiru. Jest to pierwszy nielokalny wynik w przypadku tak skomplikowanych równań nieliniowych jak równania hydrodynamiki, którym poświęcono tyle prac – w pierwszym rzędzie
wymienić należy liczne prace Leona Lichtensteina – a które nie posuwały
się poza dowody istnienia lokalnego rozwiązań. Tego rodzaju wynik należy
uważać za wielki sukces, jeśli weźmie się pod uwagę, że nie dysponowano
wówczas takimi narzędziami jak metody topologiczne Leraya–Schaudera, powstałe w roku następnym. Omawiana praca z innego jeszcze względu zasługuje na uwagę. Jeśli porównamy ją z ówczesnymi pracami innych autorów , traktującymi podobny temat, uderzyć nas musi jej nasycenie treścią hydrodynamiczną; kolejne lematy wyrażają własności: rozkładu wirów ,
prędkości lub przemieszczeń cząstek cieczy. Po przerwie wojennej Wolibner wraca do pracy naukowej zaczynając w r. 1947 pracę na Uniwersytecie Wrocławskim; z tego okresu pochodzi m.in. kolejna praca z zakresu
hydrodynamiki [228]. Wolibner zajął się też odtworzeniem pewnych wyników Lichtensteina z hydrodynamiki, które nie zostały opublikowane przez
autora.
(59 ) Artykuł o Stefanie Drobocie napisali Wacław Kasprzak i Rościsław Rabczuk [57].
104
A. P e l c z a r
Po tych uzupełnieniach spróbujmy przedstawić bardzo krótkie podsumowanie sprowadzające się do przypomnienia wybranych nurtów badawczych
w zakresie równań różniczkowych uprawianych w Polsce. Początek twórczego udziału matematyki polskiej w rozwoju teorii równań różniczkowych
odnieść trzeba do działalności Kazimierza Paulina Żorawskiego i Stanisława
Zaremby. Można chyba powiedzieć, że ich działalność od razu zarysowała
dwa najważniejsze nurty badawcze: jakościowej teorii równań zwyczajnych
(mającej swe odniesienia do prac Żorawskiego stosującego idee Liego) oraz
teorii równań różniczkowych cząstkowych, w szczególności równań drugiego
rzędu (ze znaczącymi w skali międzynarodowej wynikami Zaremby, co przedstawiono dość szczegółowo wyżej). Doszedł do tego potem jeszcze nurt badań
nad równaniami cząstkowymi rzędu pierwszego (rozpoczęty przez Tadeusza
Ważewskiego, którego wyniki weszły na stałe do literatury; potem ważny
wkład wniósł Andrzej Pliś). Nurt jakościowy rozwinięty w Krakowie zaowocował przede wszystkim klasycznymi wynikami Ważewskiego (metoda topologiczna Ważewskiego, twierdzenie retraktowe, a także „efekty naskórkowe”)
i przyczynił się do rozwoju badań oraz osiągnięcia istotnych rezultatów w zakresie teorii optymalnego sterowania. Dalszy rozwój tego nurtu przyniósł
wyniki dotyczące rozwiązań okresowych i prawie okresowych oraz problemów brzegowych dla równań zwyczajnych, a także istotne rezultaty z teorii
stabilności i pokrewnych zagadnień dotyczących nie tylko równań różniczkowych, ale i ogólnych układów dynamicznych. Po upływie kilku dekad od powstania metod topologicznych Ważewskiego, jego idee powróciły w postaci
wyrafinowanych metod topologii algebraicznej. Dodajmy tu, że matematyka
polska może się poszczycić podstawowym wkładem w rozwój teorii nierówności różniczkowych (przypomnijmy monografię Jacka Szarskiego); rezultatów z tego zakresu używano do badań nad jednoznacznością rozwiązań oraz
zbieżnością metod kolejnych przybliżeń.
Nurt badań nad równaniami cząstkowymi rzędu drugiego objął w szczególności podstawowe zagadnienia problemu Dirichleta (wyniki Zaremby)
oraz inne zagadnienia dotyczące równań eliptycznych i parabolicznych, związanych w znacznej mierze (ale nie tylko) z tzw. fizyką matematyczną (por.
w szczególności prace Wacława Pogorzelskiego i Mirosława Krzyżańskiego).
Uzyskano też istotne wyniki z zakresu równań hiperbolicznych.
Szerzej nieco o tym, co zrobiono po roku 1950, mówi cytowane w poprzednim ustępie syntetyczne opracowanie [1].
Trzeba też przypomnieć o wynikach dotyczących równań różniczkowych
w przestrzeniach Banacha oraz badaniach różnego typu rozwiązań uogólnionych, a także o algebraicznych podejściach do teorii równań różniczkowych, z których najważniejsze, stanowiące już teraz klasyczną teorię, zostało
zaproponowane przez Jana Mikusińskiego. Niejako „specjalnością” krakowską stały się frapujące przykłady czy też „kontr-przykłady” (przypomnijmy
przykłady Stanisława Zaremby i Andrzeja Plisia).
105
Należy pamiętać o tym, że podstawowe znaczenie dla rozwoju teorii równań różniczkowych miały i mają twierdzenia o punktach stałych (Stefana
Banacha i Juliusza Schaudera), a także – w odniesieniu do równań liniowych
w sensie dystrybucyjnym – twierdzenie o dzieleniu dystrybucji (Stanisława
Łojasiewicza). Mówiąc o historii równań różniczkowych trzeba koniecznie
o tym przypomnieć.
Poruszony na początku ustępu wątek zastosowań i związków z „praktyką” skłania do stwierdzenia, że teoria równań różniczkowych dostarcza
dobrych argumentów tym, którzy skłonni są mówić o „matematycznym
uporządkowaniu świata”. Dlatego też na zakończenie przytoczmy charakterystyczne wyjątki z wypowiedzi dwóch matematyków z różnych epok.
Jan Brożek (1585–1652), wybitny matematyk i astronom krakowski:
„Zgoła kto pokornie wszystkie rzeczy upatruje, musi to przyznać, że rząd
tego świata dziwnym i mądrym porządkiem idzie, a gdzie ordo, tam musi
być wszystko pod liczbą, pod miarą i pod wagą, a to wszystko filozofowie
jednym słowem geometrią zwali i rachunek w niej zamykając”.
I trzysta lat później Tadeusz Ważewski: „(. . .) cała przyroda ma oblicze
matematyczne. Bez matematyki nie można by dokładnie ująć ilościowo praw
przyrody. Szybki rozwój techniki datuje się dopiero od chwili wynalazku rachunku różniczkowego i całkowego (. . .) Potrzeby fizyki i techniki wysuwają
ustawicznie zagadnienia, do których rozwiązania potrzeba nowych środków
matematycznych. Znalezienie tych środków jest zadaniem matematyków ”.
Z zadania tego dobrze wywiązywali się matematycy, o których była mowa
w tym artykule.
Opracowanie niniejsze oparte jest w znacznym stopniu na artykule autora Polska historia równań różniczkowych, który ukaże się w Sprawozdaniach Komisji Historii PAU;
pewne partie wspomnianego artykułu są „wchłonięte” tutaj bez zmian (co dzieje się za
wiedzą i zgodą Redakcji tych Sprawozdań), inne zostały dość znacznie zmienione i poszerzone. Wykorzystano też maszynopis autora „Polska historia równań różniczkowych
zwyczajnych i równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu” oraz artykuły [144]–
[147], a także artykuł Matematyka w Polsce u początków PTM (i nieco wcześniej ) ogłoszonym w Wiadomościach Matematycznych, 31 (1996), str. 138–115. Oprócz literatury
cytowanej tutaj explicite, korzystano z literatury cytowanej w przywołanych pracach,
a także z opracowań [125], [126], [188], [225], rezygnując z odsyłaczy wtedy, gdy chodziło o drobne szczegóły lub sprawy powszechnie znane. Dane biograficzne konfrontowano
z cennym słownikiem Uczeni polscy XIX–XX stulecia autorstwa Andrzeja Śródki (wyd.
Arles, t. I–IV, Warszawa, 1994, 1995, 1997, 1998). Autor dziękuje profesorowi Janowi
Rychlewskiemu za zwrócenie uwagi na omówienie prac S. Zaremby w książce [203], profesorowi Andrzejowi Krzywickiemu za kilka cennych sugestii, które ulepszyły powyższy
tekst, a inżynierowi Michałowi Kurdzielowi z Mielca za pomoc w dotarciu do źródeł archiwalnych, które pozwoliły na weryfikacje pewnych danych biograficznych. Szczególne
podziękowania kieruje autor pod adresem profesora Romana Dudy za wnikliwe uwagi redakcyjne oraz ostry ołówek korektorski i poprawienie wielu błędów literowych w tekście
autorskim.
106
A. P e l c z a r
Bibliografia
[1] II Kongres Nauki Polskiej , Materiały Kongresowe, Sekcja I Nauk Matematycznych,
Warszawa, czerwiec 1973.
[2] R. P. A g a r w a l, P. Y. H. P a n g, Opial Inequalities with Applications in Differential and Difference Equations, Kluwer, Dordrecht–Boston–London, 1995.
[3] F. A l b r e c h t, Remarque sur un théorème de T. Ważewski relatif a l’allure asymptotique des intégrales des équations différentielles, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III
2 (1954), 315–318.
[4] A. A l e x i e w i c z, W. O r l i c z, Some remarks on the existence and uniqueness
∂2z
∂z ∂z
of solution of the hyperbolic equation
= f x, y, z,
,
, Studia Math. 15
∂x∂y
∂x ∂y
(1956), 201–215.
[5] D. G. A r o n s o n, P. B e s a l a, Parabolic equations with unbounded coefficients,
J. Differential Equations 3 (1967), 1–14.
[6] D. G. A r o n s o n, P. B e s a l a, Uniqueness of positive solutions of parabolic equations with unbounded coefficients, Colloq. Math. 18 (1967), 125–135.
[7] N. A r o n s z a j n, La théorie des noyaux reproduisants et ses applications I , Proc.
Cambridge Philos. Soc. 39 (1943), 133–154.
[8] N. A r o n s z a j n, Reproducing and pseudo-reproducing kernels and their application
to partial differential equations of physics, Studies in Partial Differential Equations,
Harvard University Graduate School of Engineering, Cambridge, Techn. Report 5
(1948).
[9] N. A r o n s z a j n, Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc. 68 (1950),
337–404.
[10] N. A r o n s z a j n, Green’s functions and reproducing kernels, Proc. of the Symposium on Spectral Theory and Differential Problems, Oklahoma, A. and M. College,
Stillwater, Oklahoma (1951), 355–411.
[11] N. A r o n s z a j n, Sur l’unicité du prolongement des solutions des équations aux
dérivées partielles elliptiques du second ordre, C. R. Acad. Sci. Paris 242 (1956),
723–725.
[12] N. A r o n s z a j n, A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial
differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pures Appl. 36 (1957),
235–249.
[13] N. A r o n s z a j n, On a problem of Hermann Weyl in the theory of singular Sturm–
Liouville equation, Amer. J. Math. 79 (1957), 611–622.
[14] N. A r o n s z a j n, R. D. B r o w n, Finite dimensional perturbations of spectral
problems and variational approximation methods for eigenvalue problems I ; Finite
dimensional Perturbations, Studia Math. 36 (1970), 1–76.
[15] N. A r o n s z a j n, A. K r z y w i c k i, J. S z a r s k i, A unique continuation theorem for exterior differential forms on Riemannian manifolds, Ark. Mat. 4 (34) (1962),
417–453.
[16] N. A r o n s z t a j n, A. W e i n s t e i n, Sur la convergence d’un procédé variationnel d’approximation dans la theorie des plaques encastrées, C. R. Acad. Sci. Paris 204
(1937), 96–98.
[17] S. B a n a c h, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leurs applications
aux équations intégrales, Fund. Math. 3 (1922), 133–181.
107
[18] S. N. B e r n s t e i n, Sur la nature analytique des solutions de certaines équations
aux dérivées partielles du second ordre, Math. Ann. 59 (1904), 20–76.
[19] P. B e s a l a, On solution of Fourier’s first problem for a system of nonlinear
parabolic equations in an unbounded domain, Ann. Polon. Math. 13 (1963), 247–
265.
[20] P. B e s a l a, On solutions of first order partial differential equations defined in an
unbounded zone, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 12 (1964),
95–99.
[21] P. B e s a l a, Limitations of solutions of non-linear parabolic equations in unbounded
domains, Ann. Polon. Math. 17 (1965), 25–47.
[22] P. B e s a l a, On partial differential inequalities of the first order , Ann. Polon. Math.
25 (1971), 145–148.
[23] P. B e s a l a, On the existence of a fundamental solution for a parabolic differential
equation with unbounded coefficients, Ann. Polon. Math. 29 (1975), 403–409.
[24] A. B i e l e c k i, Sur certaines conditions nécessaires et suffisantes pour l’unicité des
solutions des systemes d’équations au paratingent, Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska
Sect. A 2 (1948), 49–106.
[25] A. B i e l e c k i, Extension de la méthode du rétracte de T. Ważewski aux équations
au paratingent, Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 9 (1955), 37–61.
[26] A. B i e l e c k i, Certaines propriétés topologiques des équations au paratingent, Ann.
Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 9 (1955), 63–79.
[27] A. B i e l e c k i, Równania różniczkowe zwyczajne i pewne ich uogólnienia, skrypt
PAN, Warszawa 1961.
[28] A. B i e l e c k i, Une remarque sur la méthode de Banach–Cacciopoli–Tikhonov dans
la théorie des équations différentielles ordinaires, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III
4 (1956), 261–264.
[29] A. B i e l e c k i, Sur les travaux de Mieczysław Biernacki de la théorie des équations
différentielles, Colloq. Math. 9 (1962), 372–377.
[30] M. B i e r n a c k i, Sur un problème d’interpolation relatif aux équations différentielles linéaires, Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 164–214.
[31] M. B i e r n a c k i, Sur l’équation différentielle x′′ + A(t)x = 0, Prace Mat.-Fiz. 40
(1933), 163–171.
[32] M. B i e r n a c k i, Sur l’équation différentielle y (4) + A(x)y = 0, Ann. Univ.
M. Curie-Skłodowska Sect. A 6 (1953), 65–78.
[33] D. B o b r o w s k i, Zygmunt Butlewski (1907–1980), Wiadom. Mat. 25 (2) (1984),
243–245.
[34] W. B o d a n k o, Sur le problème de Cauchy et les problèmes de Fourier pour les
équations paraboliques dans un domaine non borné, Ann. Polon. Math. 18 (1966),
79–94.
[35] B. B o j a r s k i, T. I w a n i e c, Quasiconformal mappings and non-linear elliptic
equations in two variables I , II , Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom.
Phys. 22 (1974), 473–478, 479–484.
[36] B. B o j a r s k i, T. I w a n i e c, Problemy analitycznej teorii odwzorowań quasikonforemnych, Wiadom. Mat. 23 (1981), 145–160.
[37] K. B o r s u k, Theory of Retracts, Monograf. Mat. 44, PWN, Warszawa 1967.
[38] Ju. T. B o r s z c z e w s k i j, S. N. R u d i n, Uprawlenije turbulentnym pogranicznym słojem, Kijew 1978.
[39] G. B o u l i g a n d, Fonctions harmoniques. Principes de Picard et Dirichlet, Memorial de Sciences Mathématiques, Paris, fasc. XI, Gauthier-Villars, 1926.
108
A. P e l c z a r
[40] Z. B u t l e w s k i, Sur les intégrales d’un système d’équations différentielles, Ann.
[41] J. C h a b r o w s k i, Sur la construction de la solution fondamentale de l’équation
parabolique aux coefficients non bornés, Colloq. Math. 21 (1970), 141–148.
[42] W. K. C l i f f o r d, Contribution to stability theory, Proc. London Math. Soc. 2
(1868), 60–61.
[43] A. D e r k o w s k a, Otton Marcin Nikodym (1889–1974), Wiadom. Mat. 25 (1)
(1983), 75–83.
[44] J. D i a n n i, A. W a c h u ł k a, Tysiąc lat polskiej myśli matematycznej , PZWS,
Warszawa 1963.
[45] S. D r o b o t, L’oeuvre scientifique de M. T. Huber (4.I.1872–9.XII.1950), Colloq.
Math. 3 (1955), 62–72.
[46] S. D r o b o t, J. M i k u s i ń s k i, Sur l’unicité des solutions des quelsques équations
différentielles dans les espaces abstraits, II , Studia Math. 11 (1949), 38–40.
[47] S. D r o b o t, J. M i k u s i ń s k i, Sur l’unicité des solutions des quelques equations
différentiells, Transactions of the common 3rd Congress of the Czechoslovak Mathematical Society and 7th Congress of the Polish Mathematicians in Prague (1949),
183–184.
[48] J. D u g u n d j i, A. G r a n a s, Fixed Point Theory, vol. I , Monograf. Mat. 61,
PWN, Warszawa 1982.
[49] A. F u l i ń s k i, Marian Smoluchowski (1872–1917), [w:] Wydział Matematyki i Fizyki, Złota Księga, 600-lecie Odnowienia Akademii Krakowskiej, Kraków 2000, 457–
465.
[50] K. G o e b e l, W. A. K i r k, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wyd.
UMCS, Lublin 1999 [wyd. ang. Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge
1990].
[51] L. G ó r n i e w i c z, Topological fixed point theory of multivalued mappings, Kluwer
Academic Press, Dodrecht–Boston–London, 1999.
[52] A. H a a r, Über Eindeutigkeit und Analyzität der Lösungen partieller Differentialgleichungen, Atti del Congresso internazionale dei matematici, Bologna 1928, vol. III,
str. 5.
[53] S. H a r t m a n, Osiągnięcia naukowe XX-lecia w zakresie matematyki, Wiadom.
Mat. 8 (1965), 1–21.
[54] E. H ö l d e r, Działalność naukowa Leona Lichtensteina (z okazji setnej rocznicy
urodzin), Wiadom. Mat. 24 (1982), 187–202.
[55] Z. K a m o n t, Hyperbolic Functional Differential Inequalities and Applications,
Kluwer Academic Press, 1999.
[56] Z. K a m o n t, Równania różniczkowe paraboliczne w pracach Profesora Piotra Besali, Wiadom. Mat. 35 (1999), 55–80.
[57] W. K a s p r z a k, R. R a b c z u k, Stefan Drobot (1913–1998), [w:] Z żałobnej
karty, Wiadom. Mat. 35 (1999), 212–216.
[58] S. K ę p i ń s k i, Podręcznik równań różniczkowych ze szczególnym uwzględnieniem
potrzeb techników i fizyków ; cz. I. Równania różniczkowe zwyczajne, cz. II. Równania
różniczkowe cząstkowe, Lwów 1907.
[59] W. K i e r a t, O algebraicznej teorii Mikusińskiego równań różniczkowych, Wiadom.
Mat. 28 (1988), 52–56.
[60] J. K i s y ń s k i, Sur l’existence et l’unicité des solutions des problèmes classiques
relatifs à l’équation s = F (x, y, z, p, q), Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A
11 (1957), 74–112.
109
[61] J. K i s y ń s k i, Sur la convergence des approximations successives pour l’équation
∂2z
∂z ∂x
= f x, y, z,
,
, Ann. Polon. Math. 7 (1960), 233–240.
∂x∂y
∂x ∂y
[62] J. K i s y ń s k i, Sur les opérateurs de Green des problèmes de Cauchy abstraits,
Studia Math. 23 (1964), 285–328.
[63] J. K i s y ń s k i, A. P e l c z a r, Comparison of solutions and successive approximations in the theory of the equation ∂ 2 z/∂x∂y = f (x, y, z, ∂z/∂x, ∂z/∂y), Dissertationes Math. 76 (1970), 3–74.
[64] C. K l u c z n y, Sur certaines families de courbes en relation avec la théorie des
équations différentielles ordinaires. I , Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A
15 (1960), 13–40.
[65] C. K l u c z n y, Sur certaines familles de courbes en relation avec la théorie des
équations différentielles ordinaires. II , Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A
16 (1961), 5–18.
[66] A. N. K o l m o g o r o v, A. P. Y u s h k e v i c h [red.], Mathematics of the 19th
Century. Constructive Function Theory. Ordinary Differential Equations. Calculus of
Variations. Theory of Differences, Birkhäuser, Basel–Boston–Berlin, 1998; tłumaczenie z języka rosyjskiego – Roger Cooke {część 2 autorstwa N. I. Simonowa i S. S.
Demidowa}.
[67] Z. K o w a l s k i, A difference method of solving the differential equation y ′ =
h(x, y, y, y ′ ), Ann. Polon. Math. 16 (1966), 121–148.
[68] Z. K o w a l s k i, The polygonal method of solving the differential equation y ′ =
f (x, y, y, y ′ ), Ann. Polon. Math. 19 (1967), 173–204.
[69] A. K r z y w i c k i, On a new finite-difference scheme for the Navier–Stokes equation,
Bull.Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 15 (1967), 385–388.
[70] A. K r z y w i c k i, O. A. Ł a d y ż e n s k a j a, Mietod sietok dla niestacjonarnych
urawnienij Navier–Stokesa, Trudy Mat. Inst. im. W. A. Stiekłowa 92 (1962), 93–99.
[71] A. K r z y w i c k i, J. Z a m o r s k i, Witold Wolibner , 1902–1961 , Wiadom. Mat.
6 (1962), 1–6.
[72] J. K r z y ż, Mieczysław Biernacki 26.III.1891–21.IX.1959 , Wiadom. Mat. 5 (1962),
1–14.
[73] M. K r z y ż a ń s k i, Sur les solutions des équations du type parabolique déterminées
dans une région illimitée, Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), 911–915.
[74] M. K r z y ż a ń s k i, Sur le problème de Dirichlet pour l’équation linéaire du type
elliptique dans un domaine non borné, Atti Acad. Naz. Lincei 4 (1948), 408–416.
[75] M. K r z y ż a ń s k i, Sur les solutions de l’équation aux dérivées partielles du type parabolique, discontinues sur la caractéristique, VI Zjazd Matematyków Polskich, Warszawa 20–23.IX.1948, Dodatek do Rocznika Polskiego Towarzystwa Matematycznego,
tom XXII, Kraków 1950, 48–49.
[76] M. K r z y ż a ń s k i, Sur le second problème aux limites pour les équations linéaires
aux derivées partielles du type elliptique et parabolique dans un domaine borné, Ann.
[77] M. K r z y ż a ń s k i, Evaluation des solutions de l’équation linéaire du type parabolique à coefficients non bornés, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom.
Phys. 11 (1962), 253–260.
[78] M. K r z y ż a ń s k i, Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego, cz. I , Biblioteka Matematyczna tom 15, PWN, Warszawa 1957, cz. II , Biblioteka Matematyczna
tom 21, PWN, Warszawa 1962.
[79] M. K r z y ż a ń s k i, J. S c h a u d e r, Quasilineare Differentialgleichungen zweiter
Ordnung vom hyperbolischen Typus. Gemischte Randweraufgaben, Studia Math. 6
(1936), 162–189.
110
A. P e l c z a r
[80] M. K r z y ż a ń s k i, A. S z y b i a k, Construction et l’étude de la solution fondamentale de l’équation linéaire parabolique dont le dernier coefficient est non borné,
Atti. Acad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 8 (1959), 1–10.
[81] M. K w a p i s z, B. P a l c z e w s k i, W. P a w e l s k i, Sur l’existence et l’unicité
des solutions de certaines équations différentielles du type uxyz = f (x, y, z, u, ux , uy ,
uz , uxy , uxz , uyz ), Ann. Polon. Math. 11 (1961), 75–106.
[82] Księga Pamiątkowa Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego, Lwów , 7–10.IX.
1927 , Dodatek do „Annales de la Société Polonaise de Mathématique”, Kraków,
1929.
[83] A. M. L a p u n o w, Obszczaja zadacza ob ustoicziwosti dwiżenia, Charkiw 1892;
Problème géneral de la stabilité de mouvement, Ann. Math. Stud. 17, Princeton Univ.
Press, Princeton 1927 [przedruk wydania tłumaczenia francuskiego].
[84] A. L a s o t a, Sur une généralisation du premier théorème de Fredholm, Bull. Acad.
Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 11 (1963), 89–94.
[85] A. L a s o t a, Une généralisation de premier théorème de Fredholm et ses applications à la théorie des équations différentielles ordinaires, Ann. Polon. Math. 18
(1966), 65–77.
[86] A. L a s o t a, C. O l e c h, Zdzisław Opial – a mathematician, 1930–1974 , Ann.
Polon. Math. 51 (1990), 7–20.
[87] F. L e j a, Sur les suites de polynômes, les ensembles fermés et la fonction de Green,
Ann. Soc. Polon. Math. 12 (1933), Kraków 1934, 57–71.
[88] F. L e j a, O problemie Dirichleta przy obłożeniu nieciągłym, VI Zjazd Matematyków Polskich, Warszawa 20–23.IX.1948, Dodatek do Rocznika Polskiego Towarzystwa
Matematycznego Tom XII, Kraków 1950.
[89] J. L e r a y, J. S c h a u d e r, Topologie et équations fonctionnelles, Ann. Sci. École
Norm. Sup. 51 (1934), 45–78.
[90] L. L i c h t e n s t e i n, Über den analytischen Charakter der Lösungen regulärer zweidimensionaler Variationspprobleme, Bull. Intérnat. Acad. Polon. Sci. Cracovie (1913),
915–941.
[91] L. L i c h t e n s t e i n, Über einige Existenzprobleme der Variationsrechnung. Methode der unendlichviele Variablen, J. Reine Angew. Math. 145 (1915), 24–85.
[92] L. L i c h t e n s t e i n, Vorlesungen über einige Klasse nichtlinearen Intergralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen, Julius Springer,
Berlin 1931.
[93] L. L i c h t e n s t e i n, Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, [w:] Encyklopedie der mathematischen Wissenschaften, II C 12, B. G. Teubner, Leipzig 1924, 1277–1334.
[94] S. Ł o j a s i e w i c z, Sur le problème de la division, Rozprawy Mat. 22 (1961).
[95] H. M a r c i n k o w s k a, Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych, Biblioteka Matematyczna, tom 43, PWN, Warszawa 1972.
[96] A. M a r c h a u d, Sur les champs de demi-droites et les équations différentielles du
premier ordre, Bull. Soc. Math. France 62 (1934), 1–38.
[97] A. M a r c h a u d, Sur les champs continus de demi-cônes convexes et leurs intégrales, Compositio Math. 3 (1936), 89–127.
[98] J. M a w h i n, Metody wariacyjne dla nieliniowych problemów Dirichleta, WN-T,
Warszawa 1994 (tyt. oryg. Problèmes de Dirichlet variationnels non linéaires, Montréal, 1987; tłum. z francuskiego D. P. Idczak, A. Nowakowski, S. Walczak).
[99] S. M a z u r, J. S c h a u d e r, Über ein Prinzip in der Variationsrechnung, Comptes
Rendus du Congres Intérnational des Mathématiciens, Oslo 1936, vol. II, 65.
111
[100] E. M i e l o s z y k, E. S a d o w s k a, Z. S m e n t e k, Ryszard Bittner (1927–
1998), Wiadom. Mat. 35 (1999), 183–187.
[101] Z. M i k o ł a j s k a, Sur l’allure asymptotique des intégrales des systèmes d’équations différentielles au voisinage d’un point asymptotiquement singulier , Ann. Polon.
Math. 1 (1954), 277–305.
[102] Z. M i k o ł a j s k a, Sur une propriété asymptotique des intégrales d’une équation
différentielle du second ordre, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 2 (1954), 309–313.
[103] Z. M i k o ł a j s k a - M l a k, Sur l’existence d’une solution périodique d’une équation différentielle du premier ordre avec un paramètre retardé, Ann. Polon. Math.
23 (1970), 25–36.
[104] Z. M i k o ł a j s k a - M l a k, Sur l’équivalence asymptotique de l’équation non perturbé et l’équation perturbé dans le cas des équations différentielles avec le paramètre
retardé, Ann. Polon. Math. 29 (1974), 119–132.
[105] J. M i k u s i ń s k i, Sur les intégrales de quelques équations différentielles linéaires,
Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 1 (2) (1946), 23–40.
[106] J. M i k u s i ń s k i, L’anneau algébrique et ses applications dans l’analyse fonctionnelle (Première partie), Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 2 (1947), 1–47.
[107] J. M i k u s i ń s k i, L’anneau algébrique et ses applications dans l’analyse fonctionnelle (Deuxième partie), Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 3 (1949), 1–84.
[108] J. M i k u s i ń s k i, Rachunek operatorów , Monograf. Mat. 30, PWN, Warszawa
1957.
[109] W. M l a k, On the epidermic effect for ordinary differential inequalities of the first
order , Ann. Polon. Math. 3 (1956), 37–40.
[110] W. M l a k, The epidermic effect for partial differential inequalities of the first order ,
Ann. Polon. Math. 3 (1956), 157–164.
[111] W. M l a k, Differential inequalities in linear spaces, Ann. Polon. Math. 5 (1958),
95–101.
[112] W. M l a k, Differential inequalities with unbounded operators in Banach spaces,
Ann. Polon. Math. 9 (1961), 101–111.
[113] W. M l a k, C. O l e c h, Integration of infinite systems of differential inequalities,
Ann. Polon. Math. 12 (1962), 105–112.
[114] W. N i k l i b o r c, Sur les équations linéaires aux différentielles totales, Studia
Math. 1 (1929), 41–49.
[115] W. N i k l i b o r c, Sur l’application de la méthode des approximations successives
dans la théorie des équations différentielles, Studia Math. 1 (1929), 201–209.
[116] O. N i k o d y m, Sur le principe de minimum dans le problème de Dirichlet, Ann.
Soc. Polon. Math. 10 (1931), 120–121.
[117] O. N i k o d y m, Sur une classe de fonctions considérées dans l’étude du problème
de Dirichlet, Fund. Math. 21 (1933), 129–150.
[118] O. N i k o d y m, Sur un théorème de M. S. Zaremba concernant les fonctions harmoniques, J. Math. Pures Appl. 12 (1933), 95–109.
[119] T. N o w i c k i, Wiesław Szlenk (1935–1995), Wiadom. Mat. 33 (1997), 204–206.
[120] C. O l e c h, On the Ważewski Equation, Univ. Iagel. Acta Math. 36 (1998), 55–64.
[121] C. O l e c h, Remarks concerning criteria for uniqueness of solutions of ordinary
differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 8
(1960), 661–666.
[122] C. O l e c h, Extremal solutions of a control system, J. Differential Equations 2
(1966), 74–101.
[123] C. O l e c h, J. S z a r s k i, Z. S z m y d t, Tadeusz Ważewski (1896–1972), Ann.
Polon. Math. 29 (1974), 1–13.
112
A. P e l c z a r
[124] C. O l e c h, A. P l i ś, Monotonicity assumptions in uniqueness criteria for differential equations, Colloq. Math. 18 (1967), 43–57.
[125] Z. O p i a l, Zarys dziejów matematyki w Uniwersytecie Jagiellońskim w drugiej
połowie XIX wieku, [w:] Studia z dziejów katedr Wydziału Matematyki, Fizyki,
Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego, red. S. Gołąb, Kraków 1964, 59–74.
[126] Z. O p i a l, Dzieje nauk matematycznych w Polsce, [w:] Studia i materiały z dziejów
nauki polskiej , ser. B, Zeszyt 10 (1966), Zakład Historii Nauki i Techniki PAN, 137–
166.
[127] Z. O p i a l, Sur une inégalité, Ann. Polon. Math. 8 (1960), 29–32.
[128] Z. O p i a l, Sur les intégrales oscillantes de l’équation différentielle u′′ + a(t)u′ +
b(t)u = 0, Ann. Polon. Math. 4 (1958), 308–313.
[129] Z. O p i a l, Nouvelles remarques sur l’équation différentielle u′′ + a(t)u = 0, Ann.
Polon. Math. 6 (1959), 75–81.
[130] Z. O p i a l, Sur un critère d’oscillation des intégrales de l’équation différentielle
(Q(t)x′ )′ + f (t)x = 0, Ann. Polon. Math. 6 (1959), 99–100.
[131] Z. O p i a l, Sur l’existence des solutions périodiques de l’équation différentielle du
second ordre, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 7 (1959),
71–75.
[132] Z. O p i a l, Sur les solutions périodiques et presque-périodiques de l’équation différentielle x′′ + kf (x)x′ + g(x) = kp(t), Ann. Polon. Math. 7 (1960), 151–156.
[133] Z. O p i a l, Sur l’équation différentielle du premier ordre dont le second membre
satisfait aux conditions de Carathéodory, Ann. Polon. Math. 8 (1960), 23–28.
[134] Z. O p i a l, Sur la dépendance des solutions d’un système d’équations différentielles
de leurs second membres. Applications aux systèmes presque autonomes, Ann. Polon.
Math. 8 (1960), 75–89.
[135] Z. O p i a l, Sur une équation différentielle presque-périodique sans solutions presquepériodiques, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 9 (1961), 673–676.
[136] W. O r l i c z, Zur Theorie der Differentialgleichung y ′ = f (x, y), Bull. Int. Acad.
Polon. Sci. Sér. A (1932), 201–218.
[137] W. O r l i c z, Zbigniew Polniakowski (1925–1977), Wiadom. Mat. 25 (2) (1984),
247–252.
[138] W. P a w e l s k i, Appréciation du domaine d’existence de l’intégrale d’un systeme
involutif d’équation aux dérivées partielles du premier odre, Ann. Polon. Math. 2
(1955), 29–36.
[139] W. P a w e l s k i, Remarque sur des inégalités mixtes entre les intégrales des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Ann. Polon. Math. 11 (1962), 309–326.
[140] Z. P a w l i k o w s k a - B r o ż e k, Zofia Mikołajska-Mlak (1923–1993), Wiadom.
Mat. 30 (2) (1994), 283–286.
[141] Z. P a w l i k o w s k a - B r o ż e k, Włodzimerz Mlak (1931–1994), Wiadom. Mat.
31 (1995), 183–187.
[142] G. P e a n o, Démonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Math. Ann. 30 (1890), 182–228.
[143] A. P e l c z a r, A local version of the generalized retract theorem of Ważewski with
applications in the theory of partial differential equations of the first order , Ann.
Polon. Math. 36 (1975), 11–28.
[144] A. P e l c z a r, Wybrane karty z polskiej historii równań różniczkowych, Prace Komisji Historii Nauki PAU 1 (1999), 23–38.
[145] A. P e l c z a r, On a functional-differential equation (in a historical context), Opuscula Math. 19 (1999), 46–61.
113
[146] A. P e l c z a r, Stanisław Zaremba (1863–1942), Kazimierz Paulin Żorawski (1866–
1953), [w:] Wydział Matematyki i Fizyki, Złota Księga, 600-lecie odnowienia Akademii Krakowskiej, Kraków 2000.
[147] A. P e l c z a r, Tadeusz Ważewski (1896–1972), uczony i nauczyciel , [w:] Wydział
Matematyki i Fizyki, Złota Księga, 600-lecie odnowienia Akademii Krakowskiej, Kraków 2000, 341–356.
[148] J.-P. P i e r [red.], Development of Mathematics 1900–1950 , Birhäuser Verlag, Basel–
Boston–Berlin, 1994.
[149] A. P i s k o r e k, Równania całkowe. Elementy teorii i zastosowań, WN-T, Warszawa, I wyd. 1971, II wyd. 1980.
[150] A. P l i ś, Characteristics of nonlinear partial equations, Bull. Acad. Polon. Sci.
Cl. III 2 (1954), 125–129.
[151] A. P l i ś, The problem of uniqueness for the solution of a system of partial differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 2 (1954), 55–57.
[152] A. P l i ś, On a topological method for studying the behavior of the integrals of
ordinary differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 4 (1956), 415–418.
[153] A. P l i ś, On characteristics of partial differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci.
Cl. III 5 (1957), 957–958.
[154] A. P l i ś, The problem of non-local existence of solutions of linear partial differential
equations of the first order , Ann. Polon. Math. 2 (1957), 271–293.
[155] A. P l i ś, On the problem of non-local existence for first integrals of a system of
ordinary differential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 3 (2) (1955), 63–67.
[156] A. P l i ś, One-sided non-uniqueness in ordinary differential equations, Bull. Acad.
Polon. Sci. Cl. III 5 (1957), 583–588.
[157] A. P l i ś, A smooth linear elliptic differental equation without any solution in a
sphere, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 599–617.
[158] A. P l i ś, Unique continuation theorems for solutions of partial differential equations, [w:] Proceedings of the International Congress of Mathematicians 15–22 August 1962, Institut Mittag-Leffler, Djursholm, Sweden, 1963, 397–402.
[159] A. P ł o s k i, O dziele Józefa Puzyny „Teorya Funkcyj Analitycznych”, [w:] Matematyka XIX wieku, Materiały z II Ogólnopolskiej Szkoły Historii Matematyki, red.
S. Fudali, Szczecin 1988, 237–244.
[160] W. P o g o r z e l s k i, Równania całkowe i ich zastosowania, PWN, Warszawa,
tom 1, 1953, tom 2, 1958, tom 3, 1960, tom 4, 1970.
[161] H. P o i n c a r é, Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle,
J. Math. Pures Appl. 7 (1881), 375–422; 8 (1882), 251–286; 1 (4) (1885), 167–244;
2 (4) (1886), 151–217. Por. także Ouvres, vol. 1, Paris 1928, str. 3–84, 99–158, 167–
222.
[162] H. P o i n c a r é, Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 tomy, Paris 1892–
1899.
[163] D. P r z e w o r s k a - R o l e w i c z, Equations in linear spaces, PWN, Warszawa
1968.
[164] J. P u z y n a, Zastosowanie równań całkowych do tworzenia równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu pierwszego i drugiego i równań różniczkowych cząstkowych rzędu
pierwszego – Anwendung der Integralgleichungen an Bildung der ordinären Differentialgleichungen ersten und zweiten Ordnung und der partieller Differentialgleichungen ersten Ordnung, Bull. Intérnat. Acad. Polon. Sci. Cl. Sci. Math. Nat. Sect. A
(1913), 1–45.
[165] A. R o s e n b l a t t, Sur l’unicité des solutions des équations aux dérivées partielles
du premier ordre, C. R. Acad. Paris, Séance du 20 octobre 1930, 647–648.
114
A. P e l c z a r
du premier ordre, C. R. Acad. Paris, Séance du 8 juin 1931, 1431–1433.
du premier ordre, C. R. Acad. Paris, Séance du 17 octobre 1932, 641–642.
[168] E. J. R o u t h, A Treatise of the Stability of a Given State of Motion, Particularly
Steady Motion, Macmillan and Co., London 1877.
[169] C. R y l l - N a r d z e w s k i, Sur la dérivée logarithmique des fonctions monotones,
Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A. 4 (1950), 9–12.
[170] J. S c h a u d e r, Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen, Mathesis
26 (1927), 47–65, 417–431.
[171] J. S c h a u d e r, Sur les équations linéaires du type elliptique à coefficients continus,
C. R. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 1366–1368.
[172] J. S c h a u d e r, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2 (1930),
171–180.
[173] J. S c h a u d e r, Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
Math. Z. 38 (1934), 257–379.
[174] J. S c h a u d e r, Das Anfangsproblem einer quasilinearen hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung in belibieger Anzahl von unabhängigen Veränderlichen,
Fund. Math. 24 (1935), 213–246.
[175] J. S c h a u d e r, Gemischte Randweraufgaben bei partiellen Differentialgleichungen
vom hyperbolischen Typus, Studia Math. 6 (1936), 190–198.
[176] J. S c h a u d e r, Twórczość Leona Lichtensteina w dziedzinie równań różniczkowych
cząstkowych, Mathesis Polska VIII (1933), Nr 9–10, Zeszyt poświęcony pamięci Prof.
Leona Lichtensteina, 149–156.
[177] A. S o m m e r f e l d, Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, [w:] Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, Band II, Leipzig 1907, 505–570.
[178] L. A. S t e e n, Matematyka dzisiaj , [w:] Matematyka współczesna. Dwanaście esejów , red. L. A. Steen, PWN, Warszawa 1983, str. 13–24 (tłum. z: Mathematics Today.
Twelve Informal Essays, ed. L. A. Steen, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,
Berlin, 1978).
[179] H. S t e i n h a u s, Leon Lichtenstein. Wspomnienie pośmiertne, Mathesis Polska,
VIII (1933), Nr 9–10, Zeszyt poświęcony pamięci Prof. Leona Lichtensteina, 131–142.
[180] B. S z a f i r s k i, Diffusion by turbulent movements, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III
19 (8) (1971).
[181] B. S z a f i r s k i, Mirosław Krzyżański (1907–1965), [w:] Wydział Matematyki i Fizyki, Złota Księga, 600-lecie odnowienia Akademii Krakowskiej, Kraków 2000, 363–
368.
[182] J. S z a r s k i, Remarque sur un travail de J. Schauder , Ann. Polon. Math. 6 (1959),
157–160.
[183] J. S z a r s k i, Sur certains systèmes d’inégalités différentielles aux dérivées partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 21 (1948), 8–25.
[184] J. S z a r s k i, Sur certaines inégalités entre les intégrales des équations différentielles
aux dérivées partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 22 (1949), 2–33.
[185] J. S z a r s k i, Evaluation du domaine de régularité du conoı̈de caractéristique, Ann.
Soc. Polon. Math. 24 (1953), 85–110.
[186] J. S z a r s k i, Differential Inequalities, Monograf. Mat. 43, PWN, wyd. I, Warszawa
1965, wyd. II, Warszawa 1967.
115
[187] J. S z a r s k i, Characteristics and Cauchy Problem for Non-linear Partial Differential Equations of the First Order , University of Kansas, Department of Mathematics,
Technical Report 21 (1959) [preprint].
[188] J. S z a r s k i, Osiągnięcia matematyków polskich w dziedzinie równań różniczkowych, [w:] W. W. Stiepanow, Równania różniczkowe (tłum. z ros. A. Goetz, S. Drobot, R. Hampel), PWN, Warszawa 1956, Przypis II, 479–481.
[189] J. S z a r s k i, Sur un système non linéaire d’inégalités différentielles contenant des
fonctionnelles, Colloq. Math. 16 (1967), 141–145.
[190] J. S z a r s k i, Uniqueness of solutions of a mixed problem for parabolic differentialfunctional equations, Ann. Polon. Math. 28 (1973), 57–65.
[191] J. S z a r s k i, Strong maximum principle for nonlinear parabolic differerntial-functional inequalities, Ann. Polon. Math. 29 (1974), 207–214.
[192] J. S z a r s k i, Strong maximum principle for nonlinear parabolic differential-functional equations in arbitrary domains, Ann. Polon. Math. 31 (1975), 197–203.
[193] J. S z a r s k i, Infinite systems of parabolic differential-functional inequalities, Bull.
Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 28 (1980), 477–481.
[194] P. S z e p t y c k i, Nachman Aronszajn (1907–1980), Wiadom. Mat. 25 (1) (1983),
89–96.
[195] Z. S z m y d t, Sur l’existence de solutions de ceratins noveaux problèmes pour un
système d’équations différentielles hyperboliques du second ordre à deux variables
indépendentes, Ann. Polon. Math. 4 (1957), 40–60.
[196] Z. S z m y d t, Sur un noveaux type de problèmes pour un système d’équations
différentielles hyperboliques du second ordre à deux variables indépendantes, Bull.
Acad. Polon. Sci. Cl. III 4 (1957), 57–61.
[197] Z. S z m y d t, Transformacja Fouriera i równania różniczkowe liniowe, Biblioteka
Matematyczna, tom 44, PWN, Warszawa 1972.
[198] Z. S z m y d t, Bogdan Ziemian (1953–1997), Wiadom. Mat. 35 (1999), 153–165.
[199] W. Ś l e b o d z i ń ski, Kazimierz Żorawski, [w:] Studia z dziejów katedr Wydziału
Matematyki, Fizyki, Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego, red. S. Gołąb, Kraków
1964, 87–101.
[200] B. Ś r e d n i a w a, History of theoretical physics at Jagellonian University in Cracow in XIXth century and in the first half of XXth century, Zesz. Nauk. UJ, Prace
Fizyczne 24 (1985).
[201] B. Ś r e d n i a w a, Współpraca matematyków , fizyków i astronomów w Uniwersytecie Jagiellońskim w XIX i pierwszej połowie XX wieku, [w:] Studia z historii astronomii, fizyki i matematyki w Uniwersytecie Jagiellońskim, Zesz. Nauk. UJ, Prace
Fizyczne 25 (1986), 53–82.
[202] K. T a t a r k i e w i c z, Sur l’allure asymptotique des solutions de l’équation différentielle du second ordre, Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 7 (1953), 19–81.
[203] C. T r u e s d e l l, W. N o l l, The Non-Linear Field Theories of Mechanics, [w:]
Encyclopedia of Physics/Handbuch der Physik , red. S. Flüge, tom III, część 3,
Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1963.
[204] A. T u r o w i c z, Sur les trajectoires et quasi-trajectoires des systèmes de commande
non linéaire, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962), 529–
531.
[205] A. T u r o w i c z, Sur les zones d’émision des trajectoires et des quasi-trajectoires
des systèmes de commande non linéaires, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math.
Astronom. Phys. 11 (1963), 47–50.
[206] S. T u r s k i, Sur l’unicité et la limitation des integrales des équations aux derivées
partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 12 (1933), 81–86.
116
A. P e l c z a r
[207] S. T u r s k i, O pewnym uogólnieniu twierdzeń o istnieniu i jednotliwości całek rów
∂2z
∂z ∂z
nań hiperbolicznych typu
= f x, y, z,
,
, Dodatek do Rocznika PTM,
∂x∂y
∂x ∂y
Kraków 1935.
[208] T. W a ż e w s k i, Sur l’unicité et la limitation des intégrales des équations aux
dérivées partielles du premier ordre, Atti Accad. Naz. Lincei 1933, 372–376.
[209] T. W a ż e w s k i, O zasięgu całek równań cząstkowych rzędu pierwszego, [w:] Pamiętnik XIV Zjazdu Lekarzy i Przyrodników w Poznaniu, 11–15 IX 1934, 187–194.
[210] T. W a ż e w s k i, Sur le domaine d’existence des intégrales de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 13 (1934), 1–9.
[211] T. W a ż e w s k i, Sur l’équation aux dérivées partielles du premier ordre essentiellement non-linéaire, Ann. Soc. Polon. Math. 13 (1934), 10–12.
[212] T. W a ż e w s k i, Sur l’appréciation du domaine d’existénce des intégrales de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 14 (1935),
149–177.
[213] T. W a ż e w s k i, Sur l’unicité et la limitation des intégrales de certains systèmes
d’équations aux dérivées partielles du premier ordre, Ann. Mat. Pura Appl. Sér. IV
15 (1937), 155–158.
[214] T. W a ż e w s k i, Sur le problème de Cauchy rélatif à un système d’équations aux
dérivées partielles, Ann. Soc. Polon. Math. 15 (1936), 101–127.
[215] T. W a ż e w s k i, Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, Math. Z. 43 (1938), 522–532.
[216] T. W a ż e w s k i, Sur un principe topologique de l’examen de l’allure asymptotique
des intégrales des équations différentielles ordinaires, Ann. Soc. Polon. Math. 20
(1947), 279–313.
[217] T. W a ż e w s k i, Une méthode topologique de l’examen du phénomène asymptotique relativement aux équations différentielles ordinaires, Atti Accad. Naz. Lincei
Ser. VIII 3 (1947), 210–215.
[218] T. W a ż e w s k i, Sur l’évaluation du domaine d’existence des fonctions implicités
réelles ou complexes, Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 81–120.
[219] T. W a ż e w s k i, Sur la coı̈ncidence asymptotique des intégrales de deux systèmes
d’équations différentielles, Bull. Acad. Polon. Sci. Lett. Sér. A Sci. Math. Nat.
(1949), 147–150.
[220] T. W a ż e w s k i, Sur certaines conditions de coı̈ncidence asymptotique des intégrales des deux systèmes d’équations différentielles, C. R. Soc. Sci. Lett. Varsovie
Cl. III 42 (1949), 198–203.
[221] T. W a ż e w s k i, Certaines propositions de caractère “epidermique” relatives aux
inégalités différentielles, Ann. Soc. Polon. Math. 24 (1951), 1–12.
[222] T. W a ż e w s k i, Sur une méthode topologique de l’examen de l’allure asymptotique des intégrales des équations différentielles, [w:] Proceedings of the International
Congress of Mathematicians 1954, 3 (1956), 132–139.
[223] T. W a ż e w s k i, Systèmes de comande et équations au contingent, Bull. Acad.
Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 9 (1961), 151–155.
[224] T. W a ż e w s k i, Sur une généralisation de la notion des solutions d’une équation
au contingent, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962),
11–15.
[225] T. W a ż e w s k i, J. S z a r s k i, Stanisław Zaremba, [w:] Studia z Dziejów Katedr Wydziału Matematyki, Fizyki, Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego, pod red.
S. Gołąba, Kraków 1964, 103–117.
117
[226] W. W i l k o s z, La théorie des quasi-équations, C. R. Soc. Polon. Math. Sect.
Cracovie (19.XI.1927), Ann. Soc. Polon. Math. 6 (1927), 120.
[227] W. W o l i b n e r, Un théorème sur l’existence du mouvement plan d’un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant un temps infiniment long, Math. Z. 37
(1933), 698–726.
[228] W. W o l i b n e r, Sur le mouvement plan du liquide visqueux , incompressible, entourant une courbe simple fermée, Studia Math. 12 (1951), 279–285.
[229] J. W o l s k a - B o c h e n e k, A. P i s k o r e k, In Memory of Witold Pogorzelski,
Ann. Polon. Math. 16 (1964–1965), 1–16.
[230] W. Z a j ą c z k o w s k i, Wykład nauki o równaniach różniczkowych, Paryż 1877.
[231] S. Z a r e m b a, Contribution à la théorie de la fonction de Green, Bull. Soc. Math.
France 24 (1896), 19–24.
[232] S. Z a r e m b a, Sur le problème de Dirichlet, Ann. Ecole Norm. (3) 14 (1897),
251–258.
[233] S. Z a r e m b a, Sur la méthode des approximations successives de M. Picard,
J. Math. Pures Appl. (5) 3 (1897), 311–329.
[234] S. Z a r e m b a, Sur l’équation aux dérivées partielles et les fonctions harmoniques,
Ann. École Norm. (3) 6 (1899), 427–465.
[235] S. Z a r e m b a, Sur le développement d’une fonctions arbitraire en une série procédent suivant les fonctions harmoniques, J. Math. Pures Appl. 6 (1900), 47–72.
[236] S. Z a r e m b a, Sur l’intégration de l’équation ∆u + ξu = 0, J. Math. Pures Appl.
8 (5) (1902), 59–117.
[237] S. Z a r e m b a, L’équation biharmonique et une classe remarquable de fonctions
fondamentales harmoniques, Bull. Intérnat. Acad. Sci. Cracovie Cl. Sci. Math. Nat.
1907 (3), 147–196.
[238] S. Z a r e m b a, Le problème biharmonique restreint, Ann. École Norm. 26 (3)
(1909), 337–404.
[239] S. Z a r e m b a, Sur le calcul numérique des fonctions demandées dans le problème
de Dirichlet et le problème hydrodynamique, Bull. Intérnat. Acad. Sci. Cracovie Cl.
Sci. Math. Nat. 1909 (2), 125–195.
[240] S. Z a r e m b a, Sur le principe de minimum, Bull. Intérnat. Acad. Polon. Sci.
Cracovie Cl. Sci. Math. Nat. 7 (1909), 197–264.
[241] S. Z a r e m b a, Sur un principe de Dirichlet, Atti del IV Congresso Internazionale
dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908), II: Communicazioni delle sezioni I e II,
Roma 1909, 194–199.
[242] S. Z a r e m b a, Sur le principe de Dirichlet, Acta Math. 34 (1911), 293–316.
[243] S. Z a r e m b a, Sur un groupe de transformations qui se présentent en électrodynamique, Ann. Soc. Polon. Math. 6 (1929), 8–49.
[244] S. Z a r e m b a, Sur un problème toujurs possible comprenant à titre de cas particulier le problème de Dirichlet et celui de Neumann, J. Math. Pures Appl. 6, no. 9
(1927), 313–344.
[245] S. Z a r e m b a, Pogląd na współczesny stan teorji potencjału, Mathesis Polska VI
(1931), Nr 7–8, 131–145.
[246] S. K. Z a r e m b a, O równaniach paratyngensowych, Dodatek do Rocznika PTM
9 (1935), 1–22.
[247] S. K. Z a r e m b a, Sur certaines familles de courbes en relation avec la théorie des
équations différentielles, Ann. Soc. Polon. Math. 15 (1936), 83–100.
[248] B. Z i e m i a n, Generalized analytic functions with applications to singular ordinary
and partial differential equations, Dissertationes Math. 354 (1996).
118
A. P e l c z a r
[249] K. Ż o r a w s k i, O całkowaniu pewnej kategorii równań różniczkowych zwyczajnych rzędu trzeciego, Rozprawy Akademii Umiejętności, Wydział MatematycznoPrzyrodniczy, seria II, 34 (1898), 141–205.
[250] K. Ż o r a w s k i, Über Differentialinvarianten gewisser Systeme gewönlicher Differentialgleichungen gegenüber Punktransformationen, Bull. Intérnat. Acad. Polon.
Sci. Cracovie Cl. Sci. Math. Nat. 1915, 241–274.
[251] K. Ż o r a w s k i, O jistych differenciálnich invariantech systemu obyčejnych differentialnich rovnic druhého pořáda, Rozpravy Česke Akademie, 2, 1915.
[252] K. Ż o r a w s k i, Über gewisse Differentialinvarianten der Systeme gewöhnlicher
Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Bulletin de l’Académie de Bôhème, 20,
1915.

Równania różniczkowe w Polsce. Zarys historii

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

teoria dystrybucji

Metody matematyczne fizyki

1 matematyka iv ects 2) 4,0 - Wydział Budownictwa i Inżynierii