docNiezawodnosc.
download 
Reklamacja Transkrypt
Niezawodnosc.
Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Niezawodność. 3 marca 2015 Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Ogólnie: Definicja Niezawodność obiektu to jego zdolność do pełnienia przewidzianych funkcji w określonych warunkach eksploatacji. W szczególności przy założeniu dostarczenia z otoczenia wymaganych do pracy środków (np. energii elektrycznej). Przykładowa definicja szczegółowe: Definicja Niezawodność systemu wodociagowego ˛ to zdolność dostarczenia wody do miejsc użytkowania w odpowiedniej ilości, jakości, ciśnieniu i w dowolnym czasie w określonych warunkach istnienia eksploatacji. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Ogólnie: Definicja Niezawodność obiektu to jego zdolność do pełnienia przewidzianych funkcji w określonych warunkach eksploatacji. W szczególności przy założeniu dostarczenia z otoczenia wymaganych do pracy środków (np. energii elektrycznej). Przykładowa definicja szczegółowe: Definicja Niezawodność systemu wodociagowego ˛ to zdolność dostarczenia wody do miejsc użytkowania w odpowiedniej ilości, jakości, ciśnieniu i w dowolnym czasie w określonych warunkach istnienia eksploatacji. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności W celu oceny niezawodności systemu rozważamy niezawodność jego poszczególnych elementów. Z założenia element jest najmniejsza˛ czastk ˛ a˛ systemu nie podlegajacym ˛ dalszym podziałom z przyjetego ˛ punktu widzenia. Elementem może być np. uszczelka, ale również zawór który składa sie˛ z cz˛eści, jednak z punktu widzenia systemu jest traktowany jako całość. Definicja Niezawodność obiektów to określenie ich zdatności/niezdatności do pracy w czasie czyli ich trwałości. Obiekt może pozostawać w jednym z dwóch stanów: 1 zdatność do pracy (1), 2 niezdatność do pracy (0). Niezawodność elementu można opisać jako funkcje˛ zależna˛ od czasu o dwóch możliwych wartościach 0, i 1. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności W celu oceny niezawodności systemu rozważamy niezawodność jego poszczególnych elementów. Z założenia element jest najmniejsza˛ czastk ˛ a˛ systemu nie podlegajacym ˛ dalszym podziałom z przyjetego ˛ punktu widzenia. Elementem może być np. uszczelka, ale również zawór który składa sie˛ z cz˛eści, jednak z punktu widzenia systemu jest traktowany jako całość. Definicja Niezawodność obiektów to określenie ich zdatności/niezdatności do pracy w czasie czyli ich trwałości. Obiekt może pozostawać w jednym z dwóch stanów: 1 zdatność do pracy (1), 2 niezdatność do pracy (0). Niezawodność elementu można opisać jako funkcje˛ zależna˛ od czasu o dwóch możliwych wartościach 0, i 1. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności W celu oceny niezawodności systemu rozważamy niezawodność jego poszczególnych elementów. Z założenia element jest najmniejsza˛ czastk ˛ a˛ systemu nie podlegajacym ˛ dalszym podziałom z przyjetego ˛ punktu widzenia. Elementem może być np. uszczelka, ale również zawór który składa sie˛ z cz˛eści, jednak z punktu widzenia systemu jest traktowany jako całość. Definicja Niezawodność obiektów to określenie ich zdatności/niezdatności do pracy w czasie czyli ich trwałości. Obiekt może pozostawać w jednym z dwóch stanów: 1 zdatność do pracy (1), 2 niezdatność do pracy (0). Niezawodność elementu można opisać jako funkcje˛ zależna˛ od czasu o dwóch możliwych wartościach 0, i 1. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Obiekty które nie moga˛ powrócić ze stanu niezdatności do stanu zdatności nazywamy nieodnawialnymi np.: materiały eksploatacyjne, cierne, uszczelniajace, ˛ zwiazane ˛ z bezpieczeństwem. Obiekty które moga˛ przejść ze stanu niezdatności w chwili t1 w stan zdatności w chwili t2 nazywamy odnawialnymi (awarie urzadze ˛ ń naprawialne.) W przypadku obiektów odnawialnych, niezawodność opisuje ciag ˛ liczb określajacych ˛ czasy zdatności pomiedzy ˛ naprawami, ale również czasy naprawy. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Obiekty które nie moga˛ powrócić ze stanu niezdatności do stanu zdatności nazywamy nieodnawialnymi np.: materiały eksploatacyjne, cierne, uszczelniajace, ˛ zwiazane ˛ z bezpieczeństwem. Obiekty które moga˛ przejść ze stanu niezdatności w chwili t1 w stan zdatności w chwili t2 nazywamy odnawialnymi (awarie urzadze ˛ ń naprawialne.) W przypadku obiektów odnawialnych, niezawodność opisuje ciag ˛ liczb określajacych ˛ czasy zdatności pomiedzy ˛ naprawami, ale również czasy naprawy. Wykład 2 - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Element nieodnawialny: Niezawodność obiektów nieodnawialnych opisuje jedna liczba t1 bed ˛ aca ˛ jego czasem zdatności. W przypadku gdy t0 6= 0 czas zdatności to t1 − t0 . + sprawność niesprawność t0 t1 Wykład 2 – - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Element nieodnawialny: Niezawodność obiektów nieodnawialnych opisuje jedna liczba t1 bed ˛ aca ˛ jego czasem zdatności. W przypadku gdy t0 6= 0 czas zdatności to t1 − t0 . + sprawność niesprawność t0 t1 Wykład 2 – - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Element nieodnawialny: Niezawodność obiektów nieodnawialnych opisuje jedna liczba t1 bed ˛ aca ˛ jego czasem zdatności. W przypadku gdy t0 6= 0 czas zdatności to t1 − t0 . + sprawność niesprawność t0 t1 Wykład 2 – - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Element odnawialny: W przypadku obiektów odnawialnych, niezawodność opisuje ciag ˛ liczb określajacych ˛ czasy zdatności pomiedzy ˛ naprawami (τ1 , τ2 , τ3 ), ale również czasy naprawy(θ1 , θ2 , θ3 ). τ1 + sprawność niesprawność t0 τ3 τ2 + t1 – t10 + t2 θ1 – θ2 Wykład 2 t20 t3 – θ3 t30 - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Element odnawialny: W przypadku obiektów odnawialnych, niezawodność opisuje ciag ˛ liczb określajacych ˛ czasy zdatności pomiedzy ˛ naprawami (τ1 , τ2 , τ3 ), ale również czasy naprawy(θ1 , θ2 , θ3 ). τ1 + sprawność niesprawność t0 τ3 τ2 + t1 – t10 + t2 θ1 – θ2 Wykład 2 t20 t3 – θ3 t30 - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe Element odnawialny: W przypadku obiektów odnawialnych, niezawodność opisuje ciag ˛ liczb określajacych ˛ czasy zdatności pomiedzy ˛ naprawami (τ1 , τ2 , τ3 ), ale również czasy naprawy(θ1 , θ2 , θ3 ). τ1 + sprawność niesprawność t0 τ3 τ2 + t1 – t10 + t2 θ1 – θ2 Wykład 2 t20 t3 – θ3 t30 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Stany zdatności można rozpatrywać bardziej szczegółowo: 1 Zdatność do pracy: a praca, b gotowość do pracy (np. wały przeciwpowodziowe pozostaja˛ przez wiekszość ˛ czasu w stanie gotowości do pracy). 2 Niezdatność do pracy: a Zużycie lub awaria elementów nieodnawialnych, b Zużycie - wyeksploatowanie elementów odnawialnych: naprawa możliwa ale nieopłacalna ze wzgledu ˛ i na wysoki koszt w stosunku do urzadzenia ˛ nowego (typowe dla podzespołów komputerowych), τ +···+τ ˛ czasów ii wysoki współczynniki θnn +···+θn+i czyli stosunek łacznych n+i napraw do łacznych ˛ czasów eksploatacji (np. luzy korpusu uniemożliwiajace ˛ trwałe uszczelnienie) c Awaria: i oczekiwanie na naprawe: ˛ - urzadzenie ˛ nie jest w stanie pracować, - urzadzenie ˛ pracuje z obniżona˛ wydajnościa˛ (np. przesiakaj ˛ acy ˛ wał przeciwpowodziowy), ii naprawa Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Analiz˛e niezawodności można dokonać w sposób jakościowy wskazujac ˛ możliwe scenariusze i rodzaje awarii oraz próbujac ˛ je klasyfikować ze wzgledu ˛ na szkodliwość. Drugi sposób ilościowy ma za zadanie dodatkowo oszacować prawdopodobieństwa danych scenariuszy. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Analiz˛e niezawodności można dokonać w sposób jakościowy wskazujac ˛ możliwe scenariusze i rodzaje awarii oraz próbujac ˛ je klasyfikować ze wzgledu ˛ na szkodliwość. Drugi sposób ilościowy ma za zadanie dodatkowo oszacować prawdopodobieństwa danych scenariuszy. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Analiz˛e niezawodności można dokonać w sposób jakościowy wskazujac ˛ możliwe scenariusze i rodzaje awarii oraz próbujac ˛ je klasyfikować ze wzgledu ˛ na szkodliwość. Drugi sposób ilościowy ma za zadanie dodatkowo oszacować prawdopodobieństwa danych scenariuszy. Dość intuicyjnie prawdopodobieństwo awarii niektórych urza˛ dzeń jest wieksze ˛ podczas pracy niż w stanie gotowości do pracy (np. wał przeciwpowodziowy.) W innych wypadkach długotrwałe pozostawanie w spoczynku zwieksza ˛ prawdopodobieństwo awarii przy uruchomieniu urzadzenia ˛ (wszelkiego rodzaju silniki.) Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - definicja opisowa - definicja ilościowa - obiekty odnawialne i nieodnawialne - analiza niezawodności Analiz˛e niezawodności można dokonać w sposób jakościowy wskazujac ˛ możliwe scenariusze i rodzaje awarii oraz próbujac ˛ je klasyfikować ze wzgledu ˛ na szkodliwość. Drugi sposób ilościowy ma za zadanie dodatkowo oszacować prawdopodobieństwa danych scenariuszy. W przypadku samej awarii jej różny status jest również obarczony różnym prawdopodobieństwem. Jednak zawsze można wyznaczyć granice˛ od której urzadzenie ˛ uznamy za niesprawne, sprowadzajac ˛ model do prostego układu zdatność/niezdatność. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Rozważmy jako przestrzeń probabilistyczna populacje˛ wszystkich elementów tego samego rodzaju (np. wszystkich zaworów określonego producenta i modelu). Zmienna losowa T przypisuje wylosowanemu elementowi (konkretnemu zaworowi) czas zdatności (który poznamy dopiero w momencie awarii.) W ten sposób otrzymujemy zmienna˛ losowa˛ T której wartościami sa˛ liczby określajace ˛ czas zdatności. W przypadku obiektów odnawialnych rozpatrujemy dwie zmienne losowe: Tp - łaczny ˛ czas sprawności, Tn - łaczny ˛ czas niesprawności (czyli czas naprawy i oczekiwania na naprawe). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Rozważmy jako przestrzeń probabilistyczna populacje˛ wszystkich elementów tego samego rodzaju (np. wszystkich zaworów określonego producenta i modelu). Zmienna losowa T przypisuje wylosowanemu elementowi (konkretnemu zaworowi) czas zdatności (który poznamy dopiero w momencie awarii.) W ten sposób otrzymujemy zmienna˛ losowa˛ T której wartościami sa˛ liczby określajace ˛ czas zdatności. W przypadku obiektów odnawialnych rozpatrujemy dwie zmienne losowe: Tp - łaczny ˛ czas sprawności, Tn - łaczny ˛ czas niesprawności (czyli czas naprawy i oczekiwania na naprawe). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Rozważmy jako przestrzeń probabilistyczna populacje˛ wszystkich elementów tego samego rodzaju (np. wszystkich zaworów określonego producenta i modelu). Zmienna losowa T przypisuje wylosowanemu elementowi (konkretnemu zaworowi) czas zdatności (który poznamy dopiero w momencie awarii.) W ten sposób otrzymujemy zmienna˛ losowa˛ T której wartościami sa˛ liczby określajace ˛ czas zdatności. W przypadku obiektów odnawialnych rozpatrujemy dwie zmienne losowe: Tp - łaczny ˛ czas sprawności, Tn - łaczny ˛ czas niesprawności (czyli czas naprawy i oczekiwania na naprawe). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Rozważmy jako przestrzeń probabilistyczna populacje˛ wszystkich elementów tego samego rodzaju (np. wszystkich zaworów określonego producenta i modelu). Zmienna losowa T przypisuje wylosowanemu elementowi (konkretnemu zaworowi) czas zdatności (który poznamy dopiero w momencie awarii.) W ten sposób otrzymujemy zmienna˛ losowa˛ T której wartościami sa˛ liczby określajace ˛ czas zdatności. W przypadku obiektów odnawialnych rozpatrujemy dwie zmienne losowe: Tp - łaczny ˛ czas sprawności, Tn - łaczny ˛ czas niesprawności (czyli czas naprawy i oczekiwania na naprawe). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Kolejnym krokiem jest określenie rozkładu prawdopodobieństwa. Jeżeli jest to obiekt nieodnawialny, rozkład prawdopodobieństwa uzyskujemy w oparciu o dane statystyczne awaryjności (np. DEKRA przy zakupie samochodu). Jeżeli nie posiadamy takich danych, bo np. jest to nowy model, możemy posiłkować sie˛ tzw. opinia˛ ekspercka, ˛ która może być oparta np. na zastosowanych rozwiazaniach ˛ technologicznych, renomie producenta itd. W przypadku obiektu odnawialnego o pewnym okresie eksploatacji, danymi statystycznymi może być jego historia awaryjności. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Kolejnym krokiem jest określenie rozkładu prawdopodobieństwa. Jeżeli jest to obiekt nieodnawialny, rozkład prawdopodobieństwa uzyskujemy w oparciu o dane statystyczne awaryjności (np. DEKRA przy zakupie samochodu). Jeżeli nie posiadamy takich danych, bo np. jest to nowy model, możemy posiłkować sie˛ tzw. opinia˛ ekspercka, ˛ która może być oparta np. na zastosowanych rozwiazaniach ˛ technologicznych, renomie producenta itd. W przypadku obiektu odnawialnego o pewnym okresie eksploatacji, danymi statystycznymi może być jego historia awaryjności. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Kolejnym krokiem jest określenie rozkładu prawdopodobieństwa. Jeżeli jest to obiekt nieodnawialny, rozkład prawdopodobieństwa uzyskujemy w oparciu o dane statystyczne awaryjności (np. DEKRA przy zakupie samochodu). Jeżeli nie posiadamy takich danych, bo np. jest to nowy model, możemy posiłkować sie˛ tzw. opinia˛ ekspercka, ˛ która może być oparta np. na zastosowanych rozwiazaniach ˛ technologicznych, renomie producenta itd. W przypadku obiektu odnawialnego o pewnym okresie eksploatacji, danymi statystycznymi może być jego historia awaryjności. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Dla elementów nieodnawialnych określamy liczbowe miary niezawodności: Średni czas pracy do uszkodzenia TS = E(T ). gammaprocentowy zasób pracy (zapas zdatności) bed ˛ acy ˛ czasem tγ opisujacym ˛ ilość pracy jaka˛ z γ prawdopodobieństwem 100 może wykonać element. Wartość tγ jest spełnia równość P(T ≥ tγ ) = γ . 100 Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Dla elementów nieodnawialnych określamy liczbowe miary niezawodności: Średni czas pracy do uszkodzenia TS = E(T ). gammaprocentowy zasób pracy (zapas zdatności) bed ˛ acy ˛ czasem tγ opisujacym ˛ ilość pracy jaka˛ z γ prawdopodobieństwem 100 może wykonać element. Wartość tγ jest spełnia równość P(T ≥ tγ ) = γ . 100 Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Dla odnawialnych elementów określamy liczbowe miary niezawodności: średni czas sprawności Tps = E(Tp ), średni czas odnowy Tns = E(Tn ), określany gdy jest to czas znaczacy, ˛ stacjonarny wskaźnik gotowości K = też niezawodnościa), ˛ zawodność U = 1 − K = Tps Tps +Tns (nazywany Tns Tps +Tns , wskaźnik gotowości operacyjnej K0 (∆t) = K · P(T ≥ ∆t). Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Stacjonarny wskaźnik gotowości K interpretujemy jako prawdopodobieństwo, że w odpowiednio odległej chwili od właczenia ˛ urzadzenia/systemu ˛ bedzie ˛ ono w stanie zdatności. Zawodność U interpretujemy analogicznie jako prawdopodobieństwo, że w odpowiednio odległej chwili od właczenia ˛ urzadzenia/systemu ˛ bedzie ˛ ono w stanie niezdatności. Obydwa wskaźniki zakładaja˛ chwile˛ odległa˛ od właczenia, ˛ ponieważ prawdopodobieństwo awarii w poczatkowym ˛ okresie (np. pierwszym miesiacu) ˛ jest stosunkowo małe w porównaniu do prawdopodobieństwa awarii w dłuższym czasie (np. w ciagu ˛ pieciu ˛ lat). Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Stacjonarny wskaźnik gotowości K interpretujemy jako prawdopodobieństwo, że w odpowiednio odległej chwili od właczenia ˛ urzadzenia/systemu ˛ bedzie ˛ ono w stanie zdatności. Zawodność U interpretujemy analogicznie jako prawdopodobieństwo, że w odpowiednio odległej chwili od właczenia ˛ urzadzenia/systemu ˛ bedzie ˛ ono w stanie niezdatności. Obydwa wskaźniki zakładaja˛ chwile˛ odległa˛ od właczenia, ˛ ponieważ prawdopodobieństwo awarii w poczatkowym ˛ okresie (np. pierwszym miesiacu) ˛ jest stosunkowo małe w porównaniu do prawdopodobieństwa awarii w dłuższym czasie (np. w ciagu ˛ pieciu ˛ lat). Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Stacjonarny wskaźnik gotowości K interpretujemy jako prawdopodobieństwo, że w odpowiednio odległej chwili od właczenia ˛ urzadzenia/systemu ˛ bedzie ˛ ono w stanie zdatności. Zawodność U interpretujemy analogicznie jako prawdopodobieństwo, że w odpowiednio odległej chwili od właczenia ˛ urzadzenia/systemu ˛ bedzie ˛ ono w stanie niezdatności. Obydwa wskaźniki zakładaja˛ chwile˛ odległa˛ od właczenia, ˛ ponieważ prawdopodobieństwo awarii w poczatkowym ˛ okresie (np. pierwszym miesiacu) ˛ jest stosunkowo małe w porównaniu do prawdopodobieństwa awarii w dłuższym czasie (np. w ciagu ˛ pieciu ˛ lat). Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Wskaźnik gotowości operacyjnej K0 (∆t) interpretujemy jako ”chwilowe” prawdopodobieństwo awarii: Dokładnie jest to prawdopodobieństwo, że obiekt bedzie ˛ w stanie zdatności przez okres ∆t rozpoczynajac ˛ w dowolnej chwili odległej od właczenia. ˛ Prawdopodobieństwo awarii w 1 miesiacu ˛ może być wyższe niż prawdopodobieństwo w 61 miesiacu ˛ (nie w ciagu ˛ 61 miesiecy). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Wskaźnik gotowości operacyjnej K0 (∆t) interpretujemy jako ”chwilowe” prawdopodobieństwo awarii: Dokładnie jest to prawdopodobieństwo, że obiekt bedzie ˛ w stanie zdatności przez okres ∆t rozpoczynajac ˛ w dowolnej chwili odległej od właczenia. ˛ Prawdopodobieństwo awarii w 1 miesiacu ˛ może być wyższe niż prawdopodobieństwo w 61 miesiacu ˛ (nie w ciagu ˛ 61 miesiecy). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Wskaźnik gotowości operacyjnej K0 (∆t) interpretujemy jako ”chwilowe” prawdopodobieństwo awarii: Dokładnie jest to prawdopodobieństwo, że obiekt bedzie ˛ w stanie zdatności przez okres ∆t rozpoczynajac ˛ w dowolnej chwili odległej od właczenia. ˛ Prawdopodobieństwo awarii w 1 miesiacu ˛ może być wyższe niż prawdopodobieństwo w 61 miesiacu ˛ (nie w ciagu ˛ 61 miesiecy). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Majac ˛ określona˛ zmienna˛ losowa˛ i rozkład prawdopodobieństwa przechodzimy do konstruowania miar niezawodności: Definicja Funkcja˛ niezawodności nazywamy funkcje˛ określona˛ dla argumentu t > 0 oznaczana˛ jako R(t), i określona˛ wzorem: R(t) = P(T ≥ t). Wartościami funkcji niezawodności sa˛ wiec ˛ prawdopodobieństwa wystapienia ˛ pierwszej niezdatności do funkcjonowania po czasie dłuższym niż t, innymi słowy prawdopodobieństwa funkcjonowania obiektu w stanie zdatności przez okres czasu dłuższy niż t. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Majac ˛ określona˛ zmienna˛ losowa˛ i rozkład prawdopodobieństwa przechodzimy do konstruowania miar niezawodności: Definicja Funkcja˛ niezawodności nazywamy funkcje˛ określona˛ dla argumentu t > 0 oznaczana˛ jako R(t), i określona˛ wzorem: R(t) = P(T ≥ t). Wartościami funkcji niezawodności sa˛ wiec ˛ prawdopodobieństwa wystapienia ˛ pierwszej niezdatności do funkcjonowania po czasie dłuższym niż t, innymi słowy prawdopodobieństwa funkcjonowania obiektu w stanie zdatności przez okres czasu dłuższy niż t. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Definicja Funkcja˛ zawodności nazywamy funkcje˛ określona˛ dla argumentu t > 0 oznaczana˛ jako Q(t) określona˛ wzorem: Q(t) = P(T < t). Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Definicja Funkcja˛ zawodności nazywamy funkcje˛ określona˛ dla argumentu t > 0 oznaczana˛ jako Q(t) określona˛ wzorem: Q(t) = P(T < t). Wartościami funkcji zawodności sa˛ wiec ˛ prawdopodobieństwa wystapienia ˛ niezdatności do funkcjonowania wcześniej niż po czasie t. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Definicja Funkcja˛ zawodności nazywamy funkcje˛ określona˛ dla argumentu t > 0 oznaczana˛ jako Q(t) określona˛ wzorem: Q(t) = P(T < t). Uwaga Można uznać, że funkcja zawodności to dystrybuanta˛ rozkładu. Istotnie obie funkcje sa˛ określone tym samym wzorem. Pewna nieścisłość wynika z faktu, że funkcja zawodności jest określona dla t > 0 podczas gdy dystrybuanta jest określona dla dowolnego t. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Definicja Funkcja˛ zawodności nazywamy funkcje˛ określona˛ dla argumentu t > 0 oznaczana˛ jako Q(t) określona˛ wzorem: Q(t) = P(T < t). Uwaga Jednak dość naturalnym, jest założenie braku zawodności w czasie przeszłym tzn. przed umownym czasem 0 np. przyjmujac, ˛ że jest to moment rozpocz˛ecia eksploatacji urzadzenia ˛ . Wówczas funkcja zawodności dookreślona jako 0 dla czasów ujemnych jest dystrybuanta˛ zmiennej losowej T . Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Przy założeniu ciagłości ˛ rozkładu zmiennej losowej T określamy kolejne miary niezawodności: 1 funkcja gestości ˛ f (t). 2 funkcja intensywności uszkodzeń (niesprawności) określona wzorem: λ(t) = 3 f (t) . R(t) skumulowana intensywność uszkodzeń określona wzorem: Z Λ(t) = t λ(s)ds.(∗) 0 (∗)Funkcja ryzyka również została oznaczona litera˛ Λ. Nie istnieje jednak ryzyko kolizji oznaczeń ponieważ argumenty funkcji ryzyka to c lub (c, t) natomiast skumulowanej intensywności uszkodzeń to t. Każda z powyższych funkcji pozwala wyliczyć pozostałe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Przy założeniu ciagłości ˛ rozkładu zmiennej losowej T określamy kolejne miary niezawodności: 1 funkcja gestości ˛ f (t). 2 funkcja intensywności uszkodzeń (niesprawności) określona wzorem: λ(t) = 3 f (t) . R(t) skumulowana intensywność uszkodzeń określona wzorem: Z Λ(t) = t λ(s)ds.(∗) 0 (∗)Funkcja ryzyka również została oznaczona litera˛ Λ. Nie istnieje jednak ryzyko kolizji oznaczeń ponieważ argumenty funkcji ryzyka to c lub (c, t) natomiast skumulowanej intensywności uszkodzeń to t. Każda z powyższych funkcji pozwala wyliczyć pozostałe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Przy założeniu ciagłości ˛ rozkładu zmiennej losowej T określamy kolejne miary niezawodności: 1 funkcja gestości ˛ f (t). 2 funkcja intensywności uszkodzeń (niesprawności) określona wzorem: λ(t) = 3 f (t) . R(t) skumulowana intensywność uszkodzeń określona wzorem: Z Λ(t) = t λ(s)ds.(∗) 0 (∗)Funkcja ryzyka również została oznaczona litera˛ Λ. Nie istnieje jednak ryzyko kolizji oznaczeń ponieważ argumenty funkcji ryzyka to c lub (c, t) natomiast skumulowanej intensywności uszkodzeń to t. Każda z powyższych funkcji pozwala wyliczyć pozostałe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Przy założeniu ciagłości ˛ rozkładu zmiennej losowej T określamy kolejne miary niezawodności: 1 funkcja gestości ˛ f (t). 2 funkcja intensywności uszkodzeń (niesprawności) określona wzorem: λ(t) = 3 f (t) . R(t) skumulowana intensywność uszkodzeń określona wzorem: Z Λ(t) = t λ(s)ds.(∗) 0 (∗)Funkcja ryzyka również została oznaczona litera˛ Λ. Nie istnieje jednak ryzyko kolizji oznaczeń ponieważ argumenty funkcji ryzyka to c lub (c, t) natomiast skumulowanej intensywności uszkodzeń to t. Każda z powyższych funkcji pozwala wyliczyć pozostałe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Funkcje zawodności i niezawodności opisuja˛ prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych. Stad ˛ wzór: R(t) + Q(t) = 1 dla każdego t. Ze wzoru na prawdopodobieństwo w rozkładzie ciagłym ˛ dostajemy zwiazek: ˛ Z t Z ∞ Q(t) = f (τ )dτ, R(t) = f (τ )dτ 0 t a w konsekwencji dR(t) dQ(t) =− . dt dt Rt Na podobnej zasadzie z definicji Λ(t) = 0 λ(s)ds wnioskujemy f (t) = λ(t) = dΛ . dt Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Funkcje zawodności i niezawodności opisuja˛ prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych. Stad ˛ wzór: R(t) + Q(t) = 1 dla każdego t. Ze wzoru na prawdopodobieństwo w rozkładzie ciagłym ˛ dostajemy zwiazek: ˛ Z t Z ∞ Q(t) = f (τ )dτ, R(t) = f (τ )dτ 0 t a w konsekwencji dR(t) dQ(t) =− . dt dt Rt Na podobnej zasadzie z definicji Λ(t) = 0 λ(s)ds wnioskujemy f (t) = λ(t) = dΛ . dt Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Funkcje zawodności i niezawodności opisuja˛ prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych. Stad ˛ wzór: R(t) + Q(t) = 1 dla każdego t. Ze wzoru na prawdopodobieństwo w rozkładzie ciagłym ˛ dostajemy zwiazek: ˛ Z t Z ∞ Q(t) = f (τ )dτ, R(t) = f (τ )dτ 0 t a w konsekwencji dR(t) dQ(t) =− . dt dt Rt Na podobnej zasadzie z definicji Λ(t) = 0 λ(s)ds wnioskujemy f (t) = λ(t) = dΛ . dt Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Poniższy wzór Wienera łacz ˛ acy ˛ funkcje˛ intensywności uszkodzeń z gestości ˛ a˛ jest nazywany podstawowym prawem niezawodności: Rt R(t) = e− 0 λ(τ )dτ . dla dowodu policzmy: 1 dR(t) 1 −f (t) d ln(R(t)) = = (−f (t)) = = −λ(t). dt R(t) dt R(t) R(t) w konsekwencji Z ln(R(t)) = − t λ(τ )dτ 0 co dalej dowodzi naszego wzoru. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Poniższy wzór Wienera łacz ˛ acy ˛ funkcje˛ intensywności uszkodzeń z gestości ˛ a˛ jest nazywany podstawowym prawem niezawodności: Rt R(t) = e− 0 λ(τ )dτ . dla dowodu policzmy: d ln(R(t)) 1 dR(t) 1 −f (t) = = (−f (t)) = = −λ(t). dt R(t) dt R(t) R(t) w konsekwencji Z ln(R(t)) = − t λ(τ )dτ 0 co dalej dowodzi naszego wzoru. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Poniższy wzór Wienera łacz ˛ acy ˛ funkcje˛ intensywności uszkodzeń z gestości ˛ a˛ jest nazywany podstawowym prawem niezawodności: Rt R(t) = e− 0 λ(τ )dτ . dla dowodu policzmy: d ln(R(t)) 1 dR(t) 1 −f (t) = = (−f (t)) = = −λ(t). dt R(t) dt R(t) R(t) w konsekwencji Z ln(R(t)) = − t λ(τ )dτ 0 co dalej dowodzi naszego wzoru. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Poniższy wzór Wienera łacz ˛ acy ˛ funkcje˛ intensywności uszkodzeń z gestości ˛ a˛ jest nazywany podstawowym prawem niezawodności: Rt R(t) = e− 0 λ(τ )dτ . dla dowodu policzmy: d ln(R(t)) 1 dR(t) 1 −f (t) = = (−f (t)) = = −λ(t). dt R(t) dt R(t) R(t) w konsekwencji Z ln(R(t)) = − t λ(τ )dτ 0 co dalej dowodzi naszego wzoru. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Funkcja niezawodności jest funkcja˛ badajac ˛ a˛ prawdopodobieństwo funkcjonowania obiektu w stanie zdatności w czasie t. Należy ja˛ rozumieć jako miare˛ długotrwałego funkcjonowania obiektu np. z punktu widzenia obliczenia gwarancji. Funkcja intensywności uszkodzeń może być interpretowana jako prawdopodobieństwo nastapienia ˛ niesprawności w jednostce czasu (stosunkowo krótkiej) nastepuj ˛ acej ˛ bezpośrednio po chwili t w której obiekt był sprawny. W uproszczeniu funkcja niezawodności opisuje sprawność obiekty jako taka, ˛ podczas gdy funkcja intensywności uszkodzeń opisuje jego chwilowa˛ kondycje. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Funkcja niezawodności jest funkcja˛ badajac ˛ a˛ prawdopodobieństwo funkcjonowania obiektu w stanie zdatności w czasie t. Należy ja˛ rozumieć jako miare˛ długotrwałego funkcjonowania obiektu np. z punktu widzenia obliczenia gwarancji. Funkcja intensywności uszkodzeń może być interpretowana jako prawdopodobieństwo nastapienia ˛ niesprawności w jednostce czasu (stosunkowo krótkiej) nastepuj ˛ acej ˛ bezpośrednio po chwili t w której obiekt był sprawny. W uproszczeniu funkcja niezawodności opisuje sprawność obiekty jako taka, ˛ podczas gdy funkcja intensywności uszkodzeń opisuje jego chwilowa˛ kondycje. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Funkcja niezawodności jest funkcja˛ badajac ˛ a˛ prawdopodobieństwo funkcjonowania obiektu w stanie zdatności w czasie t. Należy ja˛ rozumieć jako miare˛ długotrwałego funkcjonowania obiektu np. z punktu widzenia obliczenia gwarancji. Funkcja intensywności uszkodzeń może być interpretowana jako prawdopodobieństwo nastapienia ˛ niesprawności w jednostce czasu (stosunkowo krótkiej) nastepuj ˛ acej ˛ bezpośrednio po chwili t w której obiekt był sprawny. W uproszczeniu funkcja niezawodności opisuje sprawność obiekty jako taka, ˛ podczas gdy funkcja intensywności uszkodzeń opisuje jego chwilowa˛ kondycje. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności Statystyka eksploatacyjna systemów technicznych wskazuje tzw. ”krzywa˛ wannowa” ˛ jako typowy przebieg funkcji intensywności uszkodzeń: λ(t) I II III t Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności W krzywej wannowej wyróżniamy 3 typowe okresy: λ(t) I II III t Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności I - duża, ale bardzo szybko malejaca ˛ intensywność uszkodzeń wynikajaca ˛ z ”docierania” sie˛ elementów systemu oraz błedów ˛ ludzkich wynikajacych ˛ z uczenia sie˛ jego obsługi, λ(t) I II III t Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności II - okres normalnej eksploatacji, bardzo cz˛esto funkcja intensywności uszkodzeń jest w tym okresie stała, λ(t) I II III t Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - zmienna losowa niezawodności - liczbowe miary niezawodności - funkcyjne miary niezawodności III - systematycznie wzrastajaca ˛ intensywność uszkodzeń ze wzgledy ˛ na starzenie sie˛ systemu na skutek procesów fizykotechnicznych typu korozja, zmeczenie ˛ materiału, ścieranie. λ(t) I II III t Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Czas w swojej naturze jest ciagły. ˛ Niezawodność urzadze ˛ ń możemy jednak badać jako zmienna˛ losowa˛ ciagł ˛ a˛ lub skokowa. ˛ Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako ciag ˛ poszczególnych ”zadziałań” należy stosować rozkłady typu dyskretnego. Kwalifikuja˛ sie˛ tu szeroko pojete ˛ urzadzenia ˛ właczaj ˛ aco-wył ˛ aczaj ˛ ace ˛ (np. głowica zaworu). Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako działanie w przedziale czasu wskazane jest użycie rozkładów typy ciagłego. ˛ Kwalifikuja˛ sie˛ tu np. pompy, grzałki, zbiorniki, wały przeciwpowodziowe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Czas w swojej naturze jest ciagły. ˛ Niezawodność urzadze ˛ ń możemy jednak badać jako zmienna˛ losowa˛ ciagł ˛ a˛ lub skokowa. ˛ Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako ciag ˛ poszczególnych ”zadziałań” należy stosować rozkłady typu dyskretnego. Kwalifikuja˛ sie˛ tu szeroko pojete ˛ urzadzenia ˛ właczaj ˛ aco-wył ˛ aczaj ˛ ace ˛ (np. głowica zaworu). Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako działanie w przedziale czasu wskazane jest użycie rozkładów typy ciagłego. ˛ Kwalifikuja˛ sie˛ tu np. pompy, grzałki, zbiorniki, wały przeciwpowodziowe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Czas w swojej naturze jest ciagły. ˛ Niezawodność urzadze ˛ ń możemy jednak badać jako zmienna˛ losowa˛ ciagł ˛ a˛ lub skokowa. ˛ Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako ciag ˛ poszczególnych ”zadziałań” należy stosować rozkłady typu dyskretnego. Kwalifikuja˛ sie˛ tu szeroko pojete ˛ urzadzenia ˛ właczaj ˛ aco-wył ˛ aczaj ˛ ace ˛ (np. głowica zaworu). Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako działanie w przedziale czasu wskazane jest użycie rozkładów typy ciagłego. ˛ Kwalifikuja˛ sie˛ tu np. pompy, grzałki, zbiorniki, wały przeciwpowodziowe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Czas w swojej naturze jest ciagły. ˛ Niezawodność urzadze ˛ ń możemy jednak badać jako zmienna˛ losowa˛ ciagł ˛ a˛ lub skokowa. ˛ Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako ciag ˛ poszczególnych ”zadziałań” należy stosować rozkłady typu dyskretnego. Kwalifikuja˛ sie˛ tu szeroko pojete ˛ urzadzenia ˛ właczaj ˛ aco-wył ˛ aczaj ˛ ace ˛ (np. głowica zaworu). Jeżeli prace˛ urzadzenia ˛ rozumiemy jako działanie w przedziale czasu wskazane jest użycie rozkładów typy ciagłego. ˛ Kwalifikuja˛ sie˛ tu np. pompy, grzałki, zbiorniki, wały przeciwpowodziowe. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przykład Rozważmy zawór. Jest to urzadzenie ˛ które można otwierać i zamykać co sugeruje rozkład dyskretny. Jednak zamkniety ˛ zawór wykonuje prace˛ ciagł ˛ a˛ powstrzymujac ˛ wypływ wody. Stad ˛ rozkład dyskretny zastosujemy do elementów zaworu odpowiedzialnych za jego otwieranie/zamykanie. Rozpatrujac ˛ zawór pod katem ˛ szczelności zastosujemy rozkład ciagły ˛ - wykładniczy omówiony za chwile. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przykład Rozważmy zawór. Jest to urzadzenie ˛ które można otwierać i zamykać co sugeruje rozkład dyskretny. Jednak zamkniety ˛ zawór wykonuje prace˛ ciagł ˛ a˛ powstrzymujac ˛ wypływ wody. Stad ˛ rozkład dyskretny zastosujemy do elementów zaworu odpowiedzialnych za jego otwieranie/zamykanie. Rozpatrujac ˛ zawór pod katem ˛ szczelności zastosujemy rozkład ciagły ˛ - wykładniczy omówiony za chwile. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przykład Rozważmy zawór. Jest to urzadzenie ˛ które można otwierać i zamykać co sugeruje rozkład dyskretny. Jednak zamkniety ˛ zawór wykonuje prace˛ ciagł ˛ a˛ powstrzymujac ˛ wypływ wody. Stad ˛ rozkład dyskretny zastosujemy do elementów zaworu odpowiedzialnych za jego otwieranie/zamykanie. Rozpatrujac ˛ zawór pod katem ˛ szczelności zastosujemy rozkład ciagły ˛ - wykładniczy omówiony za chwile. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przykład Rozważmy zawór. Jest to urzadzenie ˛ które można otwierać i zamykać co sugeruje rozkład dyskretny. Jednak zamkniety ˛ zawór wykonuje prace˛ ciagł ˛ a˛ powstrzymujac ˛ wypływ wody. Stad ˛ rozkład dyskretny zastosujemy do elementów zaworu odpowiedzialnych za jego otwieranie/zamykanie. Rozpatrujac ˛ zawór pod katem ˛ szczelności zastosujemy rozkład ciagły ˛ - wykładniczy omówiony za chwile. ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W oparciu o krzywa˛ wannowa˛ intensywność uszkodzeń w II okresie normalnej eksploatacji ma wartość stała. ˛ Wówczas powiemy, że urzadzenie ˛ ma brak pamieci. ˛ Definicja Urzadzenie ˛ ma brak pamieci ˛ jeżeli prawdopodobieństwo przejścia do stanu niesprawności w okresie czasu δt zależy tylko od długości tego przedziału. Prawdopodobieństwo takie nie zależy w szczególności od wieku eksploatacyjnego urzadzenia. ˛ Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej niezawodności urzadze ˛ ń o braku pamieci ˛ jest rozkładem wykładniczym. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W oparciu o krzywa˛ wannowa˛ intensywność uszkodzeń w II okresie normalnej eksploatacji ma wartość stała. ˛ Wówczas powiemy, że urzadzenie ˛ ma brak pamieci. ˛ Definicja Urzadzenie ˛ ma brak pamieci ˛ jeżeli prawdopodobieństwo przejścia do stanu niesprawności w okresie czasu δt zależy tylko od długości tego przedziału. Prawdopodobieństwo takie nie zależy w szczególności od wieku eksploatacyjnego urzadzenia. ˛ Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej niezawodności urzadze ˛ ń o braku pamieci ˛ jest rozkładem wykładniczym. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Dla ustalonej, stałej intensywności uszkodzeń λ0 miary niezawodności maja˛ postać: λ(t) = λ0 , R(t) = e−λ0 ·t , Q(t) = 1 − e−λ0 ·t , f (t) = λ0 · e−λ0 ·t , Λ(t) = λ0 · t, TS = λ1 , tγ = 1 λ0 ln 100 γ . Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przykładowe wartości intensywności w [1/106 h]: zawór kulowy - 0, 2 ÷ 10, pompa - 2 ÷ 400, zbiornik - 110 ÷ 160, zawór - 10 ÷ 130, wentylator - 9, przekładnia z˛ebata - 10 ÷ 50, łożysko toczne - 10 ÷ 20. na podstawie prac: Anderson R. T., Neri L. Reliability-Centered Maintenance. London, Elsevier Applied Science, 1990. Smith D. J. Reliability, maintainability and risk. Oxford, Butterworth-Heinmann, 2001. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W przypadku obiektów o których nie możemy założyć braku pamieci ˛ można zastosować inne rozkłady, poniżej podajemy dwa przykłady: rozkład jednostajny - prawdopodobieństwo awarii zależy od długości czasu użytkowania i rośnie z nim wprostproporcjonalne (na przykład elementy podlegajace ˛ zużyciu na skutek ścierania), rozkład logarytmiczno-normalny - niezawodność obiektów których uszkodzenie sa˛ wynikiem zmeczenia ˛ materiału (pekni ˛ ecia ˛ zmeczeniowe). ˛ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W przypadku obiektów nieodnawialnych zarówno Tp jak i Tn moga˛ mieć rozkład wykładniczy - załóżmy, że tak jest. Przez λ0 oznaczamy parametr dla zmiennej Tp , a przez µ0 parametr dla zmiennej Tn . Nazywamy je odpowiednio strumieniami uszkodzeń i odnowy. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W przypadku obiektów nieodnawialnych zarówno Tp jak i Tn moga˛ mieć rozkład wykładniczy - załóżmy, że tak jest. Przez λ0 oznaczamy parametr dla zmiennej Tp , a przez µ0 parametr dla zmiennej Tn . Nazywamy je odpowiednio strumieniami uszkodzeń i odnowy. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W przypadku obiektów nieodnawialnych zarówno Tp jak i Tn moga˛ mieć rozkład wykładniczy - załóżmy, że tak jest. Przez λ0 oznaczamy parametr dla zmiennej Tp , a przez µ0 parametr dla zmiennej Tn . Nazywamy je odpowiednio strumieniami uszkodzeń i odnowy. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W przypadku obiektów nieodnawialnych zarówno Tp jak i Tn moga˛ mieć rozkład wykładniczy - załóżmy, że tak jest. Przez λ0 oznaczamy parametr dla zmiennej Tp , a przez µ0 parametr dla zmiennej Tn . Nazywamy je odpowiednio strumieniami uszkodzeń i odnowy. Zachodza˛ zwiazki ˛ Tps = 1 , λ0 Tpn = Wykład 2 1 . µ0 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W przypadku obiektów nieodnawialnych zarówno Tp jak i Tn moga˛ mieć rozkład wykładniczy - załóżmy, że tak jest. Przez λ0 oznaczamy parametr dla zmiennej Tp , a przez µ0 parametr dla zmiennej Tn . Nazywamy je odpowiednio strumieniami uszkodzeń i odnowy. Określamy również niestacjonarny wskaźnik gotowości bed ˛ acy ˛ funkcja˛ zależna˛ od czasu t określona˛ wzorem: K (t) = µ0 + λ0 · e−(µ0 +λ0 )t . µ0 + λ 0 Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) jest rozkładem typu dyskretnego. Rozważamy n niezależnych doświadczeń o identycznych warunkach, których wyniki moga˛ być dokładnie dwa umownie nazwane 0 - porażka, 1 - sukces. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów wynosi n P(k ) = pk (1 − p)n−k k Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) jest rozkładem typu dyskretnego. Rozważamy n niezależnych doświadczeń o identycznych warunkach, których wyniki moga˛ być dokładnie dwa umownie nazwane 0 - porażka, 1 - sukces. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów wynosi n P(k ) = pk (1 − p)n−k k Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) jest rozkładem typu dyskretnego. Rozważamy n niezależnych doświadczeń o identycznych warunkach, których wyniki moga˛ być dokładnie dwa umownie nazwane 0 - porażka, 1 - sukces. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów wynosi n P(k ) = pk (1 − p)n−k k Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) jest rozkładem typu dyskretnego. Rozważamy n niezależnych doświadczeń o identycznych warunkach, których wyniki moga˛ być dokładnie dwa umownie nazwane 0 - porażka, 1 - sukces. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów wynosi n P(k ) = pk (1 − p)n−k k Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) jest rozkładem typu dyskretnego. Rozważamy n niezależnych doświadczeń o identycznych warunkach, których wyniki moga˛ być dokładnie dwa umownie nazwane 0 - porażka, 1 - sukces. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów wynosi n P(k ) = pk (1 − p)n−k k Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe W Excelu ROZK AD.DWUM(k , n, p, 0) obliczy P(X = k ) w rozkładzie dwumianowym, natomiast ROZK AD.DWUM(k , n, p, 1) obliczy P(X ≤ k ) w rozkładzie dwumianowym. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkładzie Poissona: zakłada sie˛ nieograniczona˛ liczbe˛ prób, prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie takie samo p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. P(k ) = λk −k e . k! W Excelu ROZK AD.POISSON(k , λ, 0) obliczy P(X = k ) w rozkładzie Poissona, natomiast ROZK AD.POISSON(k , λ, 1) obliczy P(X ≤ k ) w rozkładzie Poissona. Pewne zbieżności z rozkładem Bernoulliego nie sa˛ przypadkowe. Wartości rozkładu Poissona przybliżaja˛ rozkład Bernoulliego. W praktyce dla n > 50 i p < 0, 1 można stosować rozkład Poissona zamiast Bernoulliego. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkładzie Poissona: zakłada sie˛ nieograniczona˛ liczbe˛ prób, prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie takie samo p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. P(k ) = λk −k e . k! W Excelu ROZK AD.POISSON(k , λ, 0) obliczy P(X = k ) w rozkładzie Poissona, natomiast ROZK AD.POISSON(k , λ, 1) obliczy P(X ≤ k ) w rozkładzie Poissona. Pewne zbieżności z rozkładem Bernoulliego nie sa˛ przypadkowe. Wartości rozkładu Poissona przybliżaja˛ rozkład Bernoulliego. W praktyce dla n > 50 i p < 0, 1 można stosować rozkład Poissona zamiast Bernoulliego. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Rozkładzie Poissona: zakłada sie˛ nieograniczona˛ liczbe˛ prób, prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie takie samo p. Wartościa˛ zmiennej losowej o takim rozkładzie jest liczba k określajaca ˛ liczbe˛ sukcesów. P(k ) = λk −k e . k! W Excelu ROZK AD.POISSON(k , λ, 0) obliczy P(X = k ) w rozkładzie Poissona, natomiast ROZK AD.POISSON(k , λ, 1) obliczy P(X ≤ k ) w rozkładzie Poissona. Pewne zbieżności z rozkładem Bernoulliego nie sa˛ przypadkowe. Wartości rozkładu Poissona przybliżaja˛ rozkład Bernoulliego. W praktyce dla n > 50 i p < 0, 1 można stosować rozkład Poissona zamiast Bernoulliego. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Aby stosować rozkład Poissona lub Bernoulliego p w każdej próbie musi być stałe co oznacza spełnienie założeń: 1 odnowa elementów jest zupełna (po naprawie nie różnia˛ sie˛ od elementów nowych), 2 czas oczekiwania na naprawe˛ jest zerowy (”odpoczynek” nie wpływa na prawdopodobieństwo), 3 rozkłady czasów pracy pomiedzy ˛ uszkodzeniami oraz czasów niesprawności sa˛ wykładnicze, 4 rozpatruje sie˛ tzw. normalny okres eksploatacji (II okres na krzywej wannowej) czyli współczynniki rozkładów wykładniczych pracy i niesprawności maja˛ stałe współczynniki. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Aby stosować rozkład Poissona lub Bernoulliego p w każdej próbie musi być stałe co oznacza spełnienie założeń: 1 odnowa elementów jest zupełna (po naprawie nie różnia˛ sie˛ od elementów nowych), 2 czas oczekiwania na naprawe˛ jest zerowy (”odpoczynek” nie wpływa na prawdopodobieństwo), 3 rozkłady czasów pracy pomiedzy ˛ uszkodzeniami oraz czasów niesprawności sa˛ wykładnicze, 4 rozpatruje sie˛ tzw. normalny okres eksploatacji (II okres na krzywej wannowej) czyli współczynniki rozkładów wykładniczych pracy i niesprawności maja˛ stałe współczynniki. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Aby stosować rozkład Poissona lub Bernoulliego p w każdej próbie musi być stałe co oznacza spełnienie założeń: 1 odnowa elementów jest zupełna (po naprawie nie różnia˛ sie˛ od elementów nowych), 2 czas oczekiwania na naprawe˛ jest zerowy (”odpoczynek” nie wpływa na prawdopodobieństwo), 3 rozkłady czasów pracy pomiedzy ˛ uszkodzeniami oraz czasów niesprawności sa˛ wykładnicze, 4 rozpatruje sie˛ tzw. normalny okres eksploatacji (II okres na krzywej wannowej) czyli współczynniki rozkładów wykładniczych pracy i niesprawności maja˛ stałe współczynniki. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Aby stosować rozkład Poissona lub Bernoulliego p w każdej próbie musi być stałe co oznacza spełnienie założeń: 1 odnowa elementów jest zupełna (po naprawie nie różnia˛ sie˛ od elementów nowych), 2 czas oczekiwania na naprawe˛ jest zerowy (”odpoczynek” nie wpływa na prawdopodobieństwo), 3 rozkłady czasów pracy pomiedzy ˛ uszkodzeniami oraz czasów niesprawności sa˛ wykładnicze, 4 rozpatruje sie˛ tzw. normalny okres eksploatacji (II okres na krzywej wannowej) czyli współczynniki rozkładów wykładniczych pracy i niesprawności maja˛ stałe współczynniki. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Aby stosować rozkład Poissona lub Bernoulliego p w każdej próbie musi być stałe co oznacza spełnienie założeń: 1 odnowa elementów jest zupełna (po naprawie nie różnia˛ sie˛ od elementów nowych), 2 czas oczekiwania na naprawe˛ jest zerowy (”odpoczynek” nie wpływa na prawdopodobieństwo), 3 rozkłady czasów pracy pomiedzy ˛ uszkodzeniami oraz czasów niesprawności sa˛ wykładnicze, 4 rozpatruje sie˛ tzw. normalny okres eksploatacji (II okres na krzywej wannowej) czyli współczynniki rozkładów wykładniczych pracy i niesprawności maja˛ stałe współczynniki. Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przy dużych liczbach prób ni liczbie sukcesów k stosunkowo n odległej od n i 0 obliczenie jest trudne nawet z k wykorzystaniem komputera. W takiej sytuacji w oparciu o twierdzenie Moivre’a Laplace’a możemy użyć przybliżenia rozkładem normalnym. Stosujemy nastepuj ˛ ace ˛ przybliżenie: ! ! k + 0, 5 − np k − 0, 5 − np P(k ) = Φ p −Φ p , np(1 − p) np(1 − p) gdzie przez Φ rozumiemy dystrybuante˛ rozkładu normalnego, której wartości można znaleźć w stosownych tablicach. W Excelu możemy skorzystać z funkcji ROZKŁAD.NORMALNY. k −0,5−np √ używamy np(1−p) p ROZK AD.NORMALNY (k − 0, 5; np; np(1 − p); 1). Wówczas w celu obliczenia Φ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przy dużych liczbach prób ni liczbie sukcesów k stosunkowo n odległej od n i 0 obliczenie jest trudne nawet z k wykorzystaniem komputera. W takiej sytuacji w oparciu o twierdzenie Moivre’a Laplace’a możemy użyć przybliżenia rozkładem normalnym. Stosujemy nastepuj ˛ ace ˛ przybliżenie: ! ! k + 0, 5 − np k − 0, 5 − np P(k ) = Φ p −Φ p , np(1 − p) np(1 − p) gdzie przez Φ rozumiemy dystrybuante˛ rozkładu normalnego, której wartości można znaleźć w stosownych tablicach. W Excelu możemy skorzystać z funkcji ROZKŁAD.NORMALNY. k −0,5−np √ używamy np(1−p) p ROZK AD.NORMALNY (k − 0, 5; np; np(1 − p); 1). Wówczas w celu obliczenia Φ Wykład 2 Niezawodność Miary niezawodności Typowe rozkłady niezawodnościowe - rozkład wykładniczy - inne rozkłady ciagłe ˛ - rozkłady skokowe Przy dużych liczbach prób ni liczbie sukcesów k stosunkowo n odległej od n i 0 obliczenie jest trudne nawet z k wykorzystaniem komputera. W takiej sytuacji w oparciu o twierdzenie Moivre’a Laplace’a możemy użyć przybliżenia rozkładem normalnym. Stosujemy nastepuj ˛ ace ˛ przybliżenie: ! ! k + 0, 5 − np k − 0, 5 − np P(k ) = Φ p −Φ p , np(1 − p) np(1 − p) gdzie przez Φ rozumiemy dystrybuante˛ rozkładu normalnego, której wartości można znaleźć w stosownych tablicach. W Excelu możemy skorzystać z funkcji ROZKŁAD.NORMALNY. k −0,5−np √ używamy np(1−p) p ROZK AD.NORMALNY (k − 0, 5; np; np(1 − p); 1). Wówczas w celu obliczenia Φ Wykład 2
