Badanie niespłacalności kredytów za pomocą - e

Transkrypt

Jerzy Marzec, Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
Jerzy Marzec
BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA
POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI
DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1
1. Wprowadzenie
W bankowości i analizie finansowej często stosuje się tzw. modele mikroekonometryczne, które
wykorzystując dane liczbowe o pojedynczej jednostce badania, np. gospodarstwie domowym lub kliencie
banku, opisują decyzje lub wybory dokonywane przez te jednostki. Przykładem takich modeli
mikroekonometrycznych, mających szerokie zastosowanie w zarządzaniu finansami, są scoringowe modele
oceny ryzyka kredytowego oparte na modelach dla danych jakościowych. W polskiej literaturze monografia
M. Gruszczyńskiego [2001] stanowi prezentację aktualnego dorobku mikroekonometrii zastosowanej w
finansach i bankowości. Modelowanie ekonometryczne zmiennych dyskretnych (jakościowych) w ujęciu
klasycznym stanowi standardową treść średnio zaawansowanych anglojęzycznych podręczników
ekonometrii. Natomiast prace empiryczne z zakresu wykorzystania tych metod w finansach i bankowości
zamieszczane są m.in. w takich czasopismach jak Journal of Finance, Journal of Banking and Finance,
Journal of Lending and Credit Risk Management. Z drugiej strony, w ciągu ostatnich kilkunastu lat na
gruncie ekonometrii bayesowskiej pojawiło się wiele metodologicznych propozycji dotyczących
bayesowskiej specyfikacji, estymacji i uogólnień klasycznych modeli dla danych jakościowych.
Głównych celem referatu jest prezentacja nowych (bayesowskich) podejść do modelowania
zmiennych jakościowych i ich zastosowanie dla rzeczywistych danych finansowych. W szczególności w
niniejszej pracy przedstawimy specyfikację bayesowskich modeli dwumianowych, tzn. dla zmiennych
binarnych (dychotomicznych), zaproponowaną przez Alberta i Chiba [1993]. Zaprezentujemy przypadek
modelu opartego na rozkładzie t-Studenta z nieznaną (podlegającą estymacji) liczbą stopni swobody, który
stanowi uogólnienie najczęściej stosowanego w praktyce modelu probitowego. Następnie zastosujemy to
podejście do badania ryzyka kredytowego pojedynczej umowy kredytowej dla klientów detalicznych
pewnego polskiego banku komercyjnego. W celu uzyskania momentów i gęstości brzegowych rozkładów a
posteriori dla parametrów modeli wykorzystamy losowanie Gibbsa. Wyniki empiryczne pokazują, że
zaproponowane uogólnienie (związane z rozkładem t-Studenta) najlepiej opisuje dane empiryczne, więc jego
wykorzystanie w tych badaniach jest uzasadnione.
1
Praca wykonana w ramach projektu badawczego nr 1-H02B-022-18 Komitetu Badań Naukowych. Autor pragnie wyrazić
wdzięczność Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu za cenne uwagi merytoryczne i dyskusje.
1
2. Specyfikacja modeli ekonometrycznych
W przypadku analizy danych jakościowych najprostszym i najczęściej stosowanym modelem jest
model dwumianowy (dychotomiczny) dla zmiennej binarnej yt. Jeżeli przez pt oznaczymy
prawdopodobieństwo sukcesu, Pr(yt=1), to model ma postać
pt = F (xt ⋅ β ) dla t=1,…,T,
(1)
gdzie β to k-wymiarowy wektor nieznanych parametrów, zaś xt=(xt1… xtk) oznacza wektor ustalonych
wartości k zmiennych egzogenicznych, F(⋅) jest znaną funkcją wiążącą prawdopodobieństwo pt z xt oraz β,
określającą klasę modelu. Indeks t identyfikuje badaną jednostkę, w omawianym dalej przykładzie - klienta
banku. Jeżeli F(⋅) jest dystrybuantą standaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, to mamy do
czynienia z modelem probitowym, gdy zaś jest dystrybuantą zmiennej logistycznej, to z modelem
logitowym. Klasyczne ujęcie tych modeli, a także modeli wielomianowych przedstawiają np. Green [1993] i
Amemiya [1985].
W celu prezentacji podejścia bayesowskiego wprowadzimy równoważny zapis modelu (1),
uwzględniający dodatkowo T niezależnych zmiennych ukrytych (nieobserwowalnych) z1,…,zT. Niech yt
przyjmuje wartość 1, gdy zt≥0 i yt=0 w przeciwnym przypadku. Model dyskretnego wyboru formułujemy za
pomocą dwóch równań
z t = xt ⋅ β + ε t
yt = I{0,∞ ) (zt ),
(2)
gdzie funkcja wskaźnikowa IΩ(w)=1, gdy w∈Ω i IΩ(w)=0, jeżeli w∉Ω; zob. Poirier i Ruud [1988], Albert i
Chib [1993].
Typ rozkładu przyjęty dla zmiennej losowej εt definiuje klasę modelu. W ramach niniejszego
opracowania rozważymy dwa przypadki: założenie o rozkładzie normalnym i o rozkładzie t-Studenta. Model
probitowy otrzymamy, gdy przyjmiemy dla zmiennych ετ standaryzowane (niezależne) rozkłady normalne,
εt ~N(0, 1). Specyfikacja modelu dwumianowego poprzez wprowadzenie w (2) zmiennych ukrytych zi
pozwala na uogólnienie modelu probitowego. Uzyskujemy je przyjmując dla εt rozkład t-Studenta z
parametrem położenia (niecentralności) równym zero, jednostkowym parametrem skali i o nieznanej liczbie
stopni swobody podlegającej estymacji. Stosowanie tego rozkładu jest tym bardziej uzasadnione, że (jak
sugerują Albert i Chib [1993]) model logistyczny (także często stosowany w praktyce) odpowiada przyjęciu
założenia o około 8 - 9 stopniach swobody dla rozkładu t-Studenta.2 Zatem w ramach modelu z rozkładem tStudenta można dokonać przybliżonego testowania obu najbardziej znanych modeli dla danych
jakościowych, tj. logistycznego i probitowego, które w badaniach empirycznych są zwykle przyjmowane
arbitralnie. Bayesowskie modele probitowe do analizy danych jakościowych stosują m.in. Albert i Chib
[1993], McCulloch i Rossi [1993], McCulloch, Polson i Rossi [2000].
Na gruncie bayesowskim każdą nieznaną wielkość w modelu (2) traktujemy jako zmienną losową,
zarówno wektor zmiennych ukrytych z, jak i wektor nieznanych parametrów β. Ogólne zasady estymacji
wektora θ′=(β′ z′) sprowadzają się do wyznaczenia z rozkładu łącznego p(y, θ) warunkowej gęstości dla
wektora θ, przy zaobserwowanym wektorze y, czyli funkcji gęstości tzw. rozkładu a posteriori; zob.
Osiewalski [1991]. Korzystając z faktu, że model (2) jest przykładem modelu hierarchicznego, zgodnie ze
wzorem Bayesa otrzymamy postać łącznej funkcji gęstości rozkładu a posteriori dla wektorów β i z:
2
Albert i Chib [1993] uzyskali m.in. wyniki a posteriori dla modelu t-Studenta z 8 stopniami swobody identyczne z wynikami
modelu logitowego. Ponadto odwołują się wniosku z pracy G. Mudholkara i E. George’a (”A Remark on the Shape of the Logistic
Distribution”, Biometrica, 1978. s. 667-668), że rozkład logistyczny ma identyczną kurtozę jak rozkład t-Studenta z 9 stopniami
swobody. Wyniki otrzymane w niniejszej pracy nie potwierdzają jednoznacznie tej hipotezy.
2
p (z , β y ) =
p( y, z , β )
∝ p ( y z , β ) ⋅ p (z β ) ⋅ p(β ) ,
p( y )
(3)
gdzie p(β) to rozkład a priori, a p(z|β) to warunkowa gęstość rozkładu wektora zmiennych ukrytych z, której
postać zależy od specyfikacji rozkładu dla εt. Natomiast gęstość rozkładu zaobserwowanego wektora y
(warunkowego względem z i β ) ma postać
p ( y z , β ) = ∏t =1 ( yt ⋅ I [ 0 ,∞ ) ( zt ) + (1 − yt ) ⋅ I ( −∞ , 0 ) (z t )) .
T
(4)
W przypadku modelu probitowego, gdy wektor składników losowych ma wielowymiarowy rozkład
normalny o jednostkowej macierzy kowariancji (IT) scentrowany wokół zera, ε ~ N(T)(0,IT), łączna funkcja
gęstości dla β i z przy danym y jest proporcjonalna do
p (z , β y ) ∝
p(β ) ⋅ ∏t =1 ( yt ⋅ I [ 0 ,∞ ) ( zt ) + (1 − yt ) ⋅ I ( −∞ , 0 ) ( zt )) ⋅ f N (zt xt β , 1)
T
(5)
gdzie fΝ(⋅|a,b) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej a i wariancji b. Jeżeli
chodzi o rozkład a priori dla wektora β, to Albert i Chib [1993] proponują rozkład niewłaściwy bądź
informacyjny rozkład normalny o takich wartościach parametrów, które odzwierciedlający brak
subiektywnej wiedzy badacza o parametrach. W niniejszej pracy wykorzystywaliśmy oba rozkłady a priori,
przy czym dla charakterystyk parametrów rozkładu normalnego przyjęliśmy zerowy wektor wartości
oczekiwanych i diagonalną macierz kowariancji. Dobór rozkładu a priori dla β nie miał wpływu na wyniki a
posteriori.
W celu specyfikacji bayesowskiego modelu t-Studenta wygodnie będzie nam wprowadzić w modelu
(2) dodatkowe nieobserwowalne zmienne λ1,…, λT o rozkładzie gamma z jednostkową wartością
oczekiwaną i wariancją równą 2/ν. Równoważny zapis modelu otrzymamy, gdy dla zt przyjmiemy rozkład
normalny (warunkowy względem λt) o parametrach xtβ i λt-1, zob. Osiewalski [1991] str. 183. Przyjmując
(jak Albert i Chib [1993]) niewłaściwy rozkład a priori dla β , otrzymamy łączną funkcję gęstości rozkładu a
posteriori dla z, β, λ i ν postaci
p (z , β , λ ,ν y ) ∝ p(ν ) ⋅
T
∏t =1 [(yt ⋅ I [ 0,∞ ) (zt ) + (1 − yt ) ⋅ I ( −∞ , 0) (zt )) ⋅ f N (zt xt β , λ−t 1 ) ⋅ f G (λt ν 2 ,ν 2)],
(6)
gdzie fΓ(⋅|a,b) jest funkcją gęstości rozkładu gamma o wartości oczekiwanej a/b i wariancji a/b2, p(ν) to
rozkład a priori dla stopni swobody, tj. rozkład wykładniczy z parametrem γ o funkcji gęstości p(ν)=γ
⋅exp(-γ⋅ν); zob. Albert i Chib [1993].
Podejście bayesowskie pozwala opisać w sposób probabilistyczny wszystkie informacje o
wielkościach nieobserwowalnych (wstępne i pochodzące z danych) w postaci rozkładu a posteriori o łącznej
gęstości p(z, β | y) albo p(z, β, λ, ν| y). Dogodnym sposobem sumaryzacji wiedzy zawartej w łącznym
rozkładzie a posteriori jest obliczenie takich jego charakterystyk, jak podstawowe momenty (wartości
oczekiwane, wariancje i kowariancje - jeśli istnieją). Wnioskowanie np. o pojedynczych składowych β
wymaga wyznaczenia z łącznej gęstości odpowiednich jednowymiarowych brzegowych funkcji gęstości a
posteriori. Momenty i gęstości brzegowe są dane całkami, które nie mogą być znalezione analitycznie ze
względu na zbyt skomplikowaną postać funkcji podcałkowych (5) i (6). W tego typu zagadnieniach
wykorzystuje się metody numerycznej aproksymacji brzegowych rozkładów a posteriori stosując losowanie
Gibbsa (ang. Gibbs Sampling). W metodzie tej posługujemy się jedynie rozkładami warunkowymi, z których
uzyskujemy poprzez wielokrotne generowanie liczb pseudolosowych próbę z rozkładu a posteriori (choć
tylko w sensie asymptotycznym), zob. np. Tierney [1994], O’Hagan [1994], Osiewalski [2001].
W omawianych przypadkach bayesowskiego modelu probitowego i t-Studenta Albert i Chib [1993]
proponują wykorzystanie losowanie Gibbsa jako prostego narzędzia estymacji. Z łącznych funkcji gęstości
rozkładu a posteriori danych wzorami (5) i (6) możemy wyznaczyć odpowiednie rozkłady warunkowe a
3
posteriori dla nieznanych parametrów i zmiennych ukrytych. Jedynie dla parametru stopni swobody w
ramach schematu Gibbsa musimy zastosować inną technikę, np. losowanie z odrzucaniem (ang. acceptance
– rejection sampling), zob. Geweke [1996]. Szczegółową specyfikację rozkładów warunkowych
wykorzystywanych w próbkowaniu Gibbsa podają Albert i Chib [1993].
3. Wyniki estymacji
W celu empirycznej prezentacji obu modeli bayesowskich wykorzystamy dane o kredytach
detalicznych, tj. kredytach konsumpcyjnych i hipotecznych, udzielonych klientom indywidualnym pewnego
polskiego banku komercyjnego w okresie 01.01.2000 - 30.09.2001 r.3
Przyjmijmy, że dychotomiczna zmienna objaśniana yt przyjmuje wartości:
• yt=1 w przypadku, gdy kredytobiorca na dzień 30.09.2001 ma zaległości w spłacie rat kapitałowoodsetkowych, tzn. opóźnienie w spłacie ostatniej raty wynosi więcej niż jeden miesiąc. W tym
przypadku bank ma obowiązek utworzyć rezerwy celowe w wysokości 20%, albo 50%, albo 100%
wartości zadłużenia w zależności od okresu niespłacania rat przez klienta4.
• yt =0 w przypadku, gdy kredytobiorca na dzień 30.09.2001 w terminie spłaca raty kapitałowo-odsetkowe
od zaciągniętego kredytu.
Dla uproszczenia możemy zatem przyjąć, że jeżeli yt=1, to kredytobiorca jest „złym” klientem, a w
przeciwnym przypadku „dobrym” (z punku widzenia banku).
Jeżeli chodzi o dobór zmiennych objaśniających ryzyko niespłacalności pojedynczego kredytu, to w
literaturze z tego zakresu proponuje się, aby uwzględnić m.in. zmienne charakteryzujące cechy osobowe i
demograficzne kredytobiorcy (płeć, wiek, stan cywilny, miejsce zamieszkania, wykształcenie, liczbę osób na
utrzymaniu itp.), zmienne charakteryzujące zatrudnienie (m.in. zawód, miejsce pracy), zmienne
ekonomiczne opisujące zamożność (np. posiadanie własnego domu lub mieszkania, samochodu itp.),
zmienne finansowe przedstawiające dotychczasowe relacje klienta z bankiem (np. posiadanie kart
płatniczych, rachunków depozytowych, zaciąganie i przebieg spłaty dotychczasowych kredytów); zob.
Gruszczyński [2001].
W niniejszej pracy przy doborze zmiennych objaśniających uwzględniliśmy powyższe wskazówki,
przy czym część informacji o kredytobiorcach uzyskanej z badanego banku była niekompletna, co wpłynęło
zarówno na liczbę zmiennych, jak i liczebność zbioru obserwacji poddanych modelowaniu. W efekcie, w
analizie wykorzystaliśmy prawie 40 tysięcy rachunków kredytowych, a jako potencjalne zmienne
egzogeniczne wyjaśniające ryzyko pojedynczej umowy kredytowej przyjęliśmy (jak Marzec [2003]):5
• płeć (zmienna przyjmuje wartość 1, jeżeli kredytobiorca jest mężczyzną, 0 w przypadku kobiety),
• wiek kredytobiorcy (w setkach lat, aby odpowiednio wyskalować dane),
• wpływy, tzn. wielkość miesięcznych wpływów w latach 2000-2001 (w setkach tys. zł) na rachunki a
vista kredytobiorcy w badanym banku (przede wszystkim rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe,
ROR); jeżeli nie posiada ROR w tym banku przyjęto, że wpływy wynoszą zero,
• posiadanie ROR w analizowanym banku (1 - posiada, 0 – nie posiada),
3
Wcześniej te dane wykorzystano w pracy Marzec [2003] do estymacji modelu logitowego i probitowego metodą największej
wiarygodności.
4
Uchwała nr 8/1999 Komisji Nadzoru Bankowego z 22 grudnia 1999 r. stanowi zasady tworzenia przez banki rezerw celowych od
należności zagrożonych.
5
Podstawowe charakterystyki tego zbioru danych zostały przedstawione w pracy Marzec [2003].
4
•
informację o tym, czy kredytobiorca posiada karty płatnicze wydane przez bank (1 - posiada choć jedną
kartę płatniczą, 0 - nie posiada),
• sposób udzielenia kredytu (1 - poprzez pośrednika kredytowego, 0 – bezpośrednio przez bank),
• typ kredytu (1 - kredyt konsumpcyjny, 0 – kredyt hipoteczny),
• podstawowe źródło dochodu uzyskiwanego przez kredytobiorcę (zmienne zrdoch), tj. umowa o pracę,
albo renta lub emerytura, albo własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, albo inne źródło
(np. stypendium).
Zmienne zrdoch rozróżniają cztery sytuacje. Chcąc je uwzględnić w równaniu regresji z wyrazem wolnym,
za referencyjne źródło dochodu przyjęliśmy umowę o pracę (dla 75% kredytobiorców stanowi podstawowe
źródło dochodu). Typ źródła dochodu zdefiniowaliśmy przez trzy następujące zmienne zerojedynkowe
zrdoch1, zrdoch2, zrdoch3, przy czym źródłem dochodu kredytobiorcy jest umowa o pracę, jeżeli wszystkie
te zmienne przyjmują wartość jeden. W pozostałych przypadkach, gdy
• źródłem dochodu kredytobiorcy jest renta lub emerytura, to zrdoch1 = 0 i zrdoch2=zrdoch3 = 1,
• źródłem dochodu kredytobiorcy jest własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, to
zrdoch2 = 0 i zrdoch1=zrdoch3 = 1,
• źródło dochodu jest inne niż wcześniej wymienione, np. stypendium, to zrdoch3 = 0 i
zrdoch1=zrdoch2 = 1.
W dalszej części przedstawiamy wyniki estymacji parametrów przedstawionych modeli bayesowskich
na tle rezultatów, które uzyskano dla modelu probitowego stosując metodę największej wiarygodności
(MNW), por. Marzec [2003]. Dodatkowo dokonaliśmy także estymacji modelu t-Studenta z ustaloną liczbą
stopni swobody na poziomie 300 i uzyskaliśmy (zgodnie z oczekiwaniami) wyniki pokrywające się
z ocenami modelu probitowego.
Tabela 1. Oceny MNW oraz wartości oczekiwanych i odchylenia standardowe a posteriori dla
parametrów modeli.
Model probitowy MNW
β1
β2
β3
β4
β5
β6
β7
β8
β9
β10
β11
ν
Zmienna
Oceny
Stała
Płeć
Wiek
Wpływy
ROR
Karty
Pośrednik
typ kredytu
Zrdoch1
Zrdoch2
Zrdoch3
-
Bayesowski model
probitowy
E( | y)
D( | y)
Bayesowski model
t-Studenta
E( | y)
D( | y)
-1,204
0,043
-0,857
-1,682
-0,285
-0,174
1,269
0,181
0,089
-0,311
0,227
Błędy
szacunku
0,122
0,018
0,086
0,220
0,038
0,033
0,031
0,065
0,029
0,041
0,074
Statystyka
t
-9,9
2,4
-10,0
-7,6
-7,5
-5,2
40,5
2,8
3,1
-7,6
3,1
-1,209
0,043
-0,855
-1,675
-0,286
-0,174
1,270
0,181
0,089
-0,310
0,229
0,122
0,017
0,085
0,107
0,036
0,033
0,031
0,065
0,029
0,040
0,075
-3,171
0,020
-1,121
-42,054
0,650
-0,269
1,815
1,199
0,104
-0,093
0,511
0,403
0,024
0,115
0,487
0,083
0,100
0,075
0,360
0,038
0,073
0,133
-
-
-
-
-
1,974
0,070
Źródło: obliczenia własne.
Wartość oczekiwana a posteriori dla stopni swobody w modelu t-Studenta wynosi prawie 2 przy
niewielkim odchyleniu standardowym. Zatem w świetle danych ogólniejszy model t-Studenta jest
zdecydowanie bardziej preferowany niż model probitowy6. Dane zdecydowanie odrzucają założenie o
normalności składnika losowego w modelu próbkowym (2) na rzecz rozkładu o nieskończonej wariancji.
W przypadku modelu probitowego obie metody - MNW i podejście bayesowskie – zgodnie z intuicją - dały
6
Jeżeliby przyjąć sugestię Alberta i Chiba , że model t-Studenta dla 8 stopni swobody odpowiada modelowi logitowemu, to
uzyskane wyniki odrzucają także model logitowy.
5
prawie identyczne wyniki. Warto zauważyć zgodność znaków przy ocenach parametrów we wszystkich
trzech modelach, z wyłączeniem oceny parametru przy zmiennej ROR w modelu t-Studenta. Ten ostatni
model przypisuje relatywnie większą rolę w wyjaśnianiu przyczyn złych kredytów większości zmiennym
objaśniającym (z wyłączeniem zmiennych płeć i zdoch2), a szczególnie wielkości wpływów na rachunek
ROR i rodzajowi kredytu. Przy czym duże odchylenia standardowe dla β2 i β10 wskazują, iż wartości zero dla
tych parametrów są bardzo prawdopodobne a posteriori.
Z punktu widzenia praktycznego – zarządzania ryzykiem kredytowym – interesująca jest interpretacja
składowych wektora β oraz kalkulacja prawdopodobieństwa ewentualnego zaniechania spłaty rat
kapitałowo-odsetkowych (pt) przez potencjalnego kredytobiorcę. Znaki i wartości ocen parametrów przy
zmiennych objaśniających informują nas o kierunku i sile wpływu tych zmiennych na prawdopodobieństwo
niewypłacalności kredytobiorcy. Na ich podstawie wnioskujemy m.in., że prawdopodobieństwo niespłacenia
kredytu w przypadku klienta będącego mężczyzną jest nieznacznie większe niż w przypadku kobiety.
Prawdopodobieństwo to jest niższe, jeżeli klient korzysta z kart płatniczych i maleje ono wraz z wiekiem
klienta oraz wielkością wpływów na rachunek ROR (przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych).
W modelu t-Studenta - odwrotnie niż w modelu probitowym - posiadanie przez kredytobiorcę rachunku
ROR w badanym banku zwiększa ryzyko niespłacenia kredytu. Forma zabezpieczenia i przeznaczenie
kredytu ma wpływ na terminowość i rzetelność spłaty kredytu przez klienta, więc mniejsze ryzyko związane
jest z kredytem hipotecznym niż konsumpcyjnym. Innym czynnikiem zmniejszającym pt jest źródło
dochodu, przy czym studenci korzystający z kredytu studenckiego (Zrdoch3) oraz emeryci i renciści
(Zrdoch1) są lepszymi (mniej ryzykownymi) kredytobiorcami niż klienci zatrudnieni na umowę o pracę.
Duże ryzyko kredytowe wiąże się z udzieleniem kredytu detalicznego klientom prowadzącym własną
działalność gospodarczą (Zrdoch2).
Spośród zmiennych zerojedynkowych głównym czynnikiem, który ma wpływ na wielkość ryzyka
pojedynczego wniosku kredytowego, jest sposób udzielenia kredytu klientowi (zmienna pośrednik). W
przypadku badanego banku korzystanie z usług pośredników, którzy w założeniu mieli pozyskać klientów
spełniających wymagania stawiane kredytobiorcom, doprowadziło do pogorszenia jakości posiadanego
portfela kredytowego. Ta zmienna oraz wielkości wpływów na rachunek ROR posiadają istotną rolę w
kształtowaniu się prawdopodobieństwa niewypłacalności kredytobiorcy. Ich rolę ilustrują wykresy 1 i 2,
które przedstawiają w jaki sposób zmienia się pt w zależności od wartości wspomnianych zmiennych oraz
wieku kredytobiorcy (przy wartościach pozostałych zmiennych zerojedynkowych ustalonych jako wartości
najczęstsze w próbie, a w przypadku zmiennych ciągłych - na poziomie przeciętnym). Dodatkowo
uwzględnienie trzech odchyleń standardowych a posteriori informuje nas o skali niepewności związanej z
szacowaną wielkością pt. Obserwujemy, że po pierwsze pt jest dużo większe dla kredytu udzielonego za
pomocą pośrednika, a po drugie zmienia się w zależności do wielkości wpływów klienta na rachunek ROR –
jest szybko malejącą funkcją wielkości wpływów.
W modelu t-Studenta, gdy wpływy klienta pozyskanego bezpośrednio przez bank oraz poprzez
pośrednika są mniejsze niż 5 tys. złotych, to prawdopodobieństwo zaniechania spłaty kredytu przez
pierwszego klienta szybko maleje ze wzrostem wpływów średnio od 0,17 do 0,04, natomiast drugiego jest
znacząco większe i kształtuje się od 0,69 do 0,14. Zatem największe ryzyko kredytowe i największe jego
zmiany obserwujemy – zgodnie z intuicją – dla klientów z wpływami do 5 tys. zł, przy czym w mniejszym
stopniu dotyczy to kredytobiorców, którzy otrzymali kredyt bezpośrednio przez bank. Rola zmiennej
pośrednik maleje wraz ze wzrostem wpływów na rachunek ROR, przy czym jest ona niewielka w przypadku
wpływów rzędu 10 tys. zł miesięcznie i więcej. W modelu probitowym, w analizowanym obszarze
zmienności, funkcja wyrażająca zależność zmiennej pośrednik od wpływów ma płaski kształt. Zatem zaniża
w stosunku do modelu t-Studenta wartość pt dla niskich wpływów i jednocześnie zawyża dla wysokich. W
efekcie dopiero przy bardzo wysokich wpływach (80 tys. zł i więcej) rola zmiennej pośrednik jest nieistotna.
Wykres 2 przedstawia zależności pt od wieku klienta i zmiennej pośrednik. Wraz z wiekiem wielkość ryzyka
kredytowego maleje, aczkolwiek duże odchylenia standardowe a posteriori powodują, że nie ma
statystycznej różnicy między klientami mającymi np. 20 a 50 lat bądź 35 i 65 lat. Sposób udzielenia kredytu
6
badanemu klientowi ma wpływ na wielkość pt, lecz jest ono na tyle małe (około 0,02 – 0,04), że z punktu
widzenia zarządzania ryzykiem nie ma to istotnego znaczenia.
0,8
Kredyt udzielony poprzez pośrednika (t-Student)
Kredyt udzielony poprzez pośrednika (probit)
bezpośrednio przez bank (t-Student)
bezpośrednio przez bank (probit)
prawdopodobieństwo (yt=1)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
2
4
6
8
10
12
wielkość wpływów na ROR w tys. zł
14
16
Wykres 1. Ryzyko niespłacalności kredytu jako funkcja wielkości wpływów.
0,05
Kredyt udzielony klientowi poprzez pośrednika
prawdopodobieństwo (yt=1)
bezpośrednio przez bank
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
20
25
30
35
40
45
wiek klienta
50
55
60
65
Wykres 2. Ryzyko niespłacalności kredytu jako funkcja wieku (model t-Studenta)
Głównym sposobem praktycznego wykorzystania omawianych modeli jest wykorzystanie ich do
analizy scoringowej, czyli szacowania prawdopodobieństwa niespłacenia kredytu przez potencjalnego
kredytobiorcę. Dla uproszczenia przyjmijmy, że rozważamy cztery hipotetyczne sylwetki potencjalnych
klientów starających się o kredyt, które przedstawia Tabela 2. Prezentujemy w niej również wyniki dla
modelu logitowego i t-Studenta o 8 stopniach swobody.
Zauważmy, iż uzyskane wyniki w przypadku preferowanego przez dane modelu t-Studenta (ze
stopniami swobody oszacowanymi na poziomie około 2) istotnie różnią się od rezultatów w pozostałych
modelach. Największe różnice w oszacowaniu pt dotyczą „najczęstszego klienta”, który uzyskał kredyt
7
poprzez pośrednika. Modele z „grubymi ogonami”. tj. model logitowy i t-Studenta dla ν=8, szacują pt
między 0,24 a 0,19, czyli relatywnie na poziomie niższym niż model probitowy, który prognozuje to ryzyko
na poziomie prawie 0,31. W przypadku modelu t-Studenta prawdopodobieństwo to wynosi zaledwie tylko
0,034 i jest niższe niż w przypadku „starszej pani”, która w pozostałych modelach jest wskazywana jako
klient charakteryzujący się najmniejszym ryzykiem. W modelu t-Studenta spośród czterech potencjalnych
klientów, najmniejsze ryzyko dotyczy „najczęstszego klienta”, któremu bank bezpośrednio udzielił kredyt.
Główną przyczyną wspomnianych różnić jest m.in. ogromna rolą zmiennej wpływy w wyjaśnianiu
zmienności ryzyka kredytowego w modelu t-Studenta, por. Wykres 1. Podobnie, prawdopodobieństwa
niespłacenia kredytu hipotecznego przez „starszą pani” i kredytu konsumpcyjnego przez „najczęstszego
klienta”, udzielonych bezpośrednio przez bank, różnią się w poszczególnych modelach, aczkolwiek z punktu
widzenia banku ryzyko niespłacenia w każdym modelu jest bardzo małe. Największe ryzyko związane jest z
udzieleniem poprzez pośrednika kredytu konsumpcyjnego młodemu mężczyźnie, który uzyskuje dochód z
własnej działalności i nie korzysta z jakichkolwiek innych usług badanego banku. Wszystkie modele zgodnie
szacują to prawdopodobieństwo na bardzo wysokim poziomie 0,58-0,67.
Tabela 2. Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori prawdopodobieństwa niespłacenia kredytu - pr(yt=1)=pt=F(xtβ)
- w przypadku wybranych klientów.
Zmienna
Stała
Płeć: mężczyzna
Wiek w latach
Wpływy w tys. zł
Posiada ROR
Posiada karty płatnicze
Od pośrednika
Typ kredytu: konsumpcyjny
Zrdoch1 (emeryt)
Zrdoch2 (biznesmen)
Zrdoch3 (student)
Ocena pt
Błąd szacunku
E(pt | y)
D(pt | y)
Ocena pt
Błąd szacunku
Najczęstszy
Klient
Młody
biznesmen
Pośrednik=1
Pośrednik=0
1
1
1
1
1
1
40,2
40,2
21
10,2
10,2
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
Model probitowy (MNW)
0,306
0,038
0,664
(0,014)
(0,002)
(0,016)
Bayesowski model probitowy
0,306
0,038
0,664
(0,013)
(0,002)
(0,016)
Model logitowy (MNW)
0,244
0,033
0,666
(0,018)
(0,014)
(0,018)
Starsza pani
1
0
60
1
1
1
0
0
0
1
1
0,011
(0,002)
0,011
(0,002)
0,020
(0,037)
E(pt | y)
D(pt | y)
Bayesowski model t-Studenta ν=8
0,191
0,025
0,664
(0,012)
(0,001)
(0,019)
0,025
(0,004)
E(pt | y)
D(pt | y)
Bayesowski model t-Studenta (ν swobodne)
0,034
0,016
0,584
(0,002)
(0,001)
(0,025)
0,039
(0,007)
4. Podsumowanie
8
W niniejszym opracowaniu przedstawiliśmy, odwołując się do literatury przedmiotu, specyfikację
bayesowskich modeli dla danych dwumianowych, zarówno z normalnym składnikiem losowym, jak i z
rozkładem t-Studenta o nieznanej liczbie stopni swobody. Wyniki przeprowadzonych badań uzasadniają
potrzebę stosowania - nawet w przypadku dużej liczby obserwacji - modelu t-Studenta i podejścia
bayesowskiego, choćby za cenę dłuższego czasu obliczeń. Po pierwsze, dane zdecydowanie odrzucają model
probitowy na korzyść ogólniejszego modelu t-Studenta (z około dwoma stopniami swobody). Po drugie, z
punktu widzenia zarządzania ryzyka kredytowego, model t-Studenta daje jakościowo lepsze – zgodne z
intuicją – oszacowanie prawdopodobieństwa „złego kredytu”. Wobec powyższego, wykorzystanie w tym
przypadku najczęściej stosowanego modelu probitowego czy logitowego nie ma statystycznego
uzasadnienia. Warto dodać, że metoda największej wiarygodności, wystarczająca w przypadku modelu
probitowego (przy dużej liczbie obserwacji), nie ma pożądanych własności w przypadku modelu t-Studenta.
Pozostaje więc podejście bayesowskie, omówione w tej pracy.
Na podstawie przedstawionych wyników empirycznych określiliśmy kierunek i siłę wpływu
wyróżnionych cech kredytobiorców na ich decyzje dotyczące spłaty (bądź jej zaniechania) rat kapitałowoodsetkowych od zaciągniętych kredytów w badanym banku. Spośród nich dwa czynniki tj. wpływy
kredytobiorcy na rachunek ROR i sposób pozyskania klienta przez bank, mają decydujący wpływ na ryzyko
pojedynczej umowy kredytowej.
Bibliografia
Amemiya T. [1985], Advanced Econometrics, Harvard University Press, Cambrige Massachusetts.
Greene W.H. [1993], Econometric Analysis, Macmillan Publishing Company, New York.
Albert J., Chib S. [1993], Bayesian Analysis of Binary and Polychotomous Response Data, Journal of the American
Statistical Association, 88, s. 669-679.
Geweke J. [1996], Monte Carlo Simulation and Numerical Integration: in H. Amman, D. Kendrick and J. Rust (eds.),
Handbook of Computational Economics, Amsterdam: North-Holland.
Gruszczyński M. [2001], Modele i prognozy zmiennych jakościowych w finansach i bankowości, Monografie i
Opracowania SGH, Warszawa, nr 6.
Marzec J. [2003], Badanie niewypłacalności kredytobiorcy na podstawie modeli logitowych i probitowych, Zeszyty
Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków, w druku.
McCulloch R.E, N.G. Polson, P. E. Rossi [2000], A Bayesian Analysis of the Multinomial Probit Model with Fully
Identified Parameters, Journal of Econometrics, 99, s. 173-193.
McCulloch R.E., P. E. Rossi [1993], An exact Likelihood Analysis of the Multinominal Probit Model, Journal of
Econometrics, 64, s. 207-240.
O’Hagan A. [1994], Bayesian Inference, J. Wiley, New York.
Osiewalski J. [1991, Bayesowska estymacja i predykcja dla jednorównaniowych modeli ekonometrycznych”, Zeszyty
Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Seria specjalna: Monografie, Kraków, nr 100.
Osiewalski J. [2001], Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Krakowie, Kraków.
Poirier D.J., P.A. Ruud [1988], Probit with dependent observations, Review of Economics Studies, 55, s. 593-614.
Tierney, L [1994], Markov chains for exploring posterior distributions (with discussion), Annals of Statistics, 22, s.
1701-1762.
9

Badanie niespłacalności kredytów za pomocą - e

Transkrypt

Podobne dokumenty

Bayesowska analiza modeli dyskretnego wyboru - e

SPECYFIKACJA PRODUKTU KREDYT KONSUMPCYJNY

12. KREDYTY HIPOTECZNE KONSUMPCYJNE 12.1. Opłata

Oferta kredytowa dla Klientów firmy Olczyska Sp. z o.o.:

Kredyty hipoteczne Lublin - FD Consulting NIERUCHOMOŚCI

Kredyty hipoteczne marzec 2015

Wniosek o całkowitą spłatę kredytu/pożyczki

(Symulacja kredyt\363w - Zielona Energia