Moduł różniczek

Transkrypt

Moduł różniczek

Moduł różniczek
Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
(e-mail: [email protected])
Luty 1994
Spis treści
1 Moduł Derk (A, M)
1.1 Derywacje A-modułu . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Derywacje modułu nad algebrą wielomianów . . .
1.3 Derywacje modułu nad ciałem funkcji wymiernych
1.4 Derywacje modułu nad algebrą ilorazową . . . . .
1.5 Homomorfizm Derk (f, M) . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Algebra A ⊕ M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
2
3
4
2 Definicja i konstrukcje modułu różniczek
2.1 Co to jest moduł różniczek? . . . . . . . .
2.2 Pierwsza konstrukcja modułu różniczek .
2.3 Druga konstrukcja modułu różniczek . . .
2.4 Reprezentowalność funktora Derk (A, ) .
2.5 Zerowy moduł różniczek . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
7
8
9
10
3 Podstawowe własności modułu różniczek
3.1 Homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rozszerzanie pierścienia współczynników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Iloczyn tensorowy algebr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
15
4 Przykłady
4.1 Moduł różniczek dla algebry wielomianów . . . . .
4.2 Moduł różniczek dla ciała funkcji wymiernych . . .
4.3 Uwaga o module różniczek dla pierścieni szeregów
4.4 Moduł różniczek dla k[T1 ,..., Tn ]/I . . . . . . . . .
4.5 Pierścienie k[t]/(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
18
19
5 Dwie zmienne
5.1 Krzywe gładkie . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Konsekwencje gładkości . . . . . . . . .
5.3 Przykłady dla wielomianów niegładkich
5.4 Lematy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Wielomian postaci yn - p(x) . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
23
24
24
26
.
.
.
.
.
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
6 Formy różniczkowe
6.1 Przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Różniczka funkcji regularnej . . . . . . . . .
6.3 Jednowymiarowe formy różniczkowe . . . .
6.4 Formy różniczkowe na kn . . . . . . . . . .
6.5 Pewne własności form różniczkowych . . . .
6.6 Przykłady dla zbiorów rzutowych . . . . . .
6.7 Formy różniczkowe na rozmaitości afinicznej
6.8 Formy różniczkowe wyższych stopni . . . .
Spis cytowanej literatury
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
28
29
30
31
32
33
34
34
1
1
Moduł Derk (A, M)
k
A
M
1.1
=
=
=
pierścień przemienny z jedynką,
k-algebra przemienna z jedynką,
A-moduł.
Derywacje A-modułu
Definicja 1.1.1. k-Derywacją A-modułu M nazywamy każde k-liniowe odwzorowanie
d : A −→ M takie, że d(ab) = ad(b) + bd(a) dla a, b ∈ A.
Niech d będzie k-derywacją A-modułu M . Wtedy d(1) = 0 oraz ad, gdzie a ∈ A, jest też kderywacją A-modułu M . Ponadto suma dwóch k-derywacji A-modułu M jest też k-derywacją tego
A-modułu. Zbiór Derk (A, M ), wszystkich k-derywacji A-modułu M , jest więc A-modułem.
Przykład 1.1.2. Derk (k, M ) = 0.
Dowód. d(k) = d(k · 1) = kd(1) = k · 0 = 0. Stwierdzenie 1.1.3. Jeżeli d ∈ Derk (A, M ), to Ker d = {a ∈ A; d(a) = 0} jest k-podalgebrą kalgebry A. Jeżeli A jest ciałem, to Ker d jest podciałem.
Dowód. To jest oczywiste. Wniosek 1.1.4. Załóżmy, że S jest zbiorem generatorów k-algebry A i niech d1 , d2 będą k-derywacjami A-modułu M . Jeżeli d1 (s) = d2 (s) dla wszystkich s ∈ S, to d1 = d2 .
Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 1.1.3 zastosowanego do derywacji d1 − d2 . 1.2
Derywacje modułu nad algebrą wielomianów
Stwierdzenie 1.2.1. Niech k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będzie k-algebrą wielomianów i niech M będzie k[T ]modułem. Dla każdego ciągu (m1 , . . . , mn ) elementów z M istnieje dokładnie jedna k-derywacja d :
k[T ] −→ M taka, że d(Ti ) = mi dla i = 1, . . . , n. Derywacja ta jest określona wzorem:
d(f ) =
∂f
∂f
m1 + · · · +
mn ,
∂T1
∂Tn
gdzie f ∈ k[T ].
Dowód. Proste zwykłe sprawdzenie. Jedyność jest konsekwencją Wniosku 1.1.4. Stwierdzenie 1.2.2. Niech k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]Qbędzie k-algebrą wielomianów i niech M będzie k[T ]n
modułem. Wtedy k[T ]-moduły Derk (k[T ], M ) i
i=1 M są izomorficzne.
Dowód. Izomorfizm zadaje przyporządkowanie d 7→ (d(T1 ), . . . , d(Tn )). Wynika to ze Stwierdzenia
1.2.1. Stwierdzenie 1.2.3. Niech A będzie k-algebrą i niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M .
Niech a = (a1 , . . . , an ) ∈ An i niech F będzie wielomianem należącym do k[T1 , . . . , Tn ]. Wtedy F (a)
jest elementem należącym do A i zachodzi równość:
d(F (a)) =
∂F
∂F
(a)d(a1 ) + · · · +
(a)d(an ).
∂T1
∂Tn
2
Dowód. Oznaczmy:
Sa = {F ∈ k[T1 , . . . , Tn ]; d(F (a)) =
∂F
∂F
(a)d(a1 ) + · · · +
(a)d(an )}.
∂T1
∂Tn
Wtedy k ⊂ Sa , Sa + Sa ⊆ Sa oraz z łatwością sprawdzamy, że Sa Sa ⊆ Sa . Ponadto T1 , . . . , Tn ∈ Sa .
Zatem Sa jest k-podalgebrą w k[T1 , . . . , Tn ] zawierającą k i T1 , . . . , Tn , czyli Sa = k[T1 , . . . , Tn ]. Jest oczywiste, że powyższe stwierdzenia są prawdziwe też dla k-algebr wielomianów dowolnej
ilości zmiennych.
1.3
Derywacje modułu nad ciałem funkcji wymiernych
Następujące trzy stwierdzenia dowodzimy tak samo jak odpowiednie stwierdzenia dla algebr wielomianów z Rozdziału 1.2.
Stwierdzenie 1.3.1. Niech k(T ) = k(T1 , . . . , Tn ) będzie ciałem funkcji wymiernych nad ciałem k i
niech M będzie k(T )-modułem. Dla każdego ciągu (m1 , . . . , mn ) elementów z M istnieje dokładnie
jedna k-derywacja d : k(T ) −→ M taka, że d(Ti ) = mi dla i = 1, . . . , n. Derywacja ta jest określona
wzorem:
∂f
∂f
m1 + · · · +
mn ,
d(f ) =
∂T1
∂Tn
gdzie f ∈ k(T ). Stwierdzenie 1.3.2. Niech k(T ) = k(T1 , . . . , Tn ) będzie ciałem funkcji
Qnwymiernych nad ciałem k i
niech M będzie k(T )-modułem. Wtedy k(T )-moduły Derk (k(T ), M ) i
i=1 M są izomorficzne. Stwierdzenie 1.3.3. Niech k ⊆ L będą ciałami i niech d : L −→ M będzie k-derywacją L-przestrzeni
M . Niech a = (a1 , . . . , an ) ∈ Ln i niech F = f /g będzie funkcją wymierną należącą do k(T1 , . . . , Tn )
taką, że g(a) 6= 0. Wtedy F (a) jest elementem należącym do L i zachodzi równość:
d(F (a)) =
∂F
∂F
(a)d(a1 ) + · · · +
(a)d(an ). ∂T1
∂Tn
Jest oczywiste, że powyższe stwierdzenia są prawdziwe też dla ciał funkcji wymiernych dowolnej
ilości zmiennych.
1.4
Derywacje modułu nad algebrą ilorazową
Niech I będzie ideałem w k-algebrze A i niech M będzie A-modułem. Mamy wtedy A-moduł
IM = {i1 m1 + · · · + is ms ; i1 , . . . , is ∈ I, m1 , . . . , ms ∈ M },
który jest A-podmodułem modułu M . Możemy zatem rozpatrzyć A-moduł M/IM . Ten A-moduł ma
strukturę A/I-modułu z mnożeniem
(a + I)(m + IM ) = am + IM.
Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Istotnie, jeżeli a+I = a1 +I oraz m+IM = m1 +IM
wtedy a − a1 ∈ I, m − m1 ∈ IM , a zatem (a − a1 )m, a1 (m − m1 ) ∈ IM więc
am − a1 m1 = (a − a1 )m + a1 (m − m1 ) ∈ IM,
czyli wtedy am + IM = a1 m1 + IM .
Stwierdzenie 1.4.1. Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M i niech I ⊂ A będzie
ideałem. Załóżmy, że d(I) ⊆ IM . Wtedy d : A/I −→ M/IM , (a + I) 7→ d(a) + IM jest dobrze
określonym odwzorowaniem, będącym k-derywacją A/I-modułu M/IM .
3
Dowód. Sprawdzamy poprawność definicji. Jeżeli a + I = a1 + I, to a − a1 ∈ I, więc d(a) − d(a1 ) =
d(a − a1 ) ∈ IM . To, że d jest k-derywacją wynika z następujących równości:
d((x + I)(y + I))
= d(xy + I) = d(xy) + IM = xd(y) + yd(x) + IM
= (x + I)(d(y) + IM ) + (y + I)(d(x) + IM )
=
(x + I)d(y + I) + (y + I)d(x + I). Każda więc k-derywacja d : A −→ M taka, że d(I) ⊆ IM indukuje k-derywację d taką, że
przemienny jest następujący diagram:
A
d
/M
d
/ M/IM,
η
ρ
A/I
gdzie η : A −→ A/I, ρ : M −→ M/IM są homomorfizmami naturalnymi. Czy każda k-derywacja
δ : A/I −→ M/IM powstaje w powyższy sposób? Jeżeli A = k[T1 , . . . , Tn ] jest k-algebrą wielomianów
to tak jest. Mówi o tym następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 1.4.2. Niech I będzie ideałem w k-algebrze wielomianów k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Niech
M będzie k[T ]-modułem i rozpatrzmy k[T ]/I-moduł M/IM . Niech δ : k[T ]/I −→ M/IM będzie
k-derywacją. Istnieje wtedy k-derywacja d : k[T ] −→ M taka, że d(I) ⊆ IM i przemienny jest
następujący diagram:
d
k[T ] _ _ _ _ _ _ _ _/ M
η
ρ
k[T ]/I
δ
/ M/IM.
Dowód. Niech m1 , . . . , mn będą elementami modułu M takimi, że δ(Ti + I) = mi + IM , dla
i = 1, . . . , n. Istnieje wtedy k derywacja d : k[T ] −→ M spełniająca równości d(Ti ) = mi , i =
1, . . . , n (Stwierdzenia 1.2.1). Pokażemy, że ta derywacja spełnia tezę naszego stwierdzenia. Najpierw
zauważmy, że δη = ρd. Istotnie, jeżeli f ∈ k[T ], to
δη(f )
=
δ(f + I) = δ(f (T1 + I, . . . , Tn + I)
Pn ∂f
i=1 ∂Ti (T1 + I, . . . , Tn + I)δ(Ti + I)
Pn
∂f
i=1 ( ∂Ti + I)(mi + IM )
Pn ∂f
i=1 ∂Ti mi + IM
Pn ∂f
ρ( i=1 ∂Ti mi )
Pn ∂f
ρ( i=1 ∂T
d(Ti ))
i
=
ρd(f ).
=
1.2.3
=
=
=
=
Pokażmy jeszcze, że d(I) ⊆ IM . Niech h ∈ I. Wtedy 0 = δ(0) = δη(h) = ρd(h) = d(h) + IM , a więc
d(h) ∈ IM . 1.5
Homomorfizm Derk (f, M)
Niech f : A −→ B będzie homomorfizmem k-algebr i niech M będzie B-modułem. Wówczas M
jest A-modułem z mnożeniem ∗ : A × M −→ M określonym wzorem:
a ∗ m = f (a)m.
4
Lemat 1.5.1. Jeżeli d ∈ Derk (B, M ), to df ∈ Derk (A, M ).
Dowód. Niech x, y ∈ A. Wtedy (df )(xy) = d(f (xy)) = d(f (x)f (y)) = f (x)d(f (y))+f (y)d(f (x)) =
x ∗ (df )(y) + y ∗ (df )(x). Niech Derk (f, M ) będzie odwzorowaniem określonym następująco:
Derk (f, M ) : Derk (B, M ) −→ Derk (A, M ),
d 7→ df.
Widzimy, na mocy powyższego lematu, że jest to dobrze określone odwzorowanie pomiędzy dwoma
A-modułami. Derk (B, M ) jest A-modułem z mnożeniem a ∗ d = f (a)d.
Lemat 1.5.2. Derk (f, M ) jest homomorfizmem A-modułów.
Dowód. Niech γ = Derk (f, M ) i niech d ∈ Derk (B, M ), a ∈ A. Mamy wtedy: γ(a∗d) = γ(f (a)d) =
(f (a)d)f = f (a)(df ) = f (a)γ(d) = a ∗ γ(d). Stwierdzenie 1.5.3. Jeżeli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to dla każdego
B-modułu M mamy dokładny ciąg A-modułów
/ DerA (B, M )
0
β
/ Derk (B, M )
γ
/ Derk (A, M ),
w którym γ = Derk (f, M ) oraz β(d) = d.
Dowód. Jest oczywiste, że β jest monomorfizmem. Niech d ∈ DerA (B, M ). Wtedy γβ(d) = γ(d) =
df = 0, gdyż jeżeli a ∈ A, to f (a) ∈ B oraz (df )(a) = d(f (a) · 1) = f (a)d(1) = f (a) · 0 = 0. Zatem Im
β ⊆ Ker γ.
Musimy wykazać jeszcze, że Ker γ ⊆ Im β. Niech d ∈ Ker γ. Wtedy d ∈ Derk (B, M ) oraz γ(d) = 0,
czyli df = 0. Zauważmy, że wtedy d ∈ DerA (B, M ). Istotnie: d(a∗1) = d(f (a)·1) = d(f (a)) = (df )(a) =
0(a) = 0. Mamy więc d = β(d) ∈ Im β. 1.6
Algebra A ⊕ M
Niech A będzie przemienną k-algebrą i niech M będzie A-modułem. Niech A ⊕ M będzie sumą prostą
k-modułów A i M . Definiujemy w A ⊕ M mnożenie:
(a1 , m1 )(a2 , m2 ) = (a1 a2 , a1 m2 + a2 + m1 ),
gdzie a1 , a2 ∈ A, m1 , m2 ∈ M . Bez trudu sprawdzamy następujące
Stwierdzenie 1.6.1. A ⊕ M jest przemienną k-algebrą z jedynką równą (1, 0). Wprowadzamy dwa odwzorowania:
π
∆
: A⊕M
: A⊕M
−→
−→
A,
M,
(a, m) →
7
a,
(a, m) →
7
m.
Stwierdzenie 1.6.2.
(1) π jest homomorfizmem k-algebr.
(2) ∆ jest k-derywacją A ⊕ M -modułu M .
Dowód. (1). π((a1 , m1 )(a2 , m2 )) = π(a1 a2 , a1 m2 + a2 m1 ) = a1 a2 = π(a1 , m1 )π(a2 , m2 ).
∆((a1 , m1 )(a2 , m2 )) = ∆(a1 a2 , a1 m2 + a2 m1 )
= a1 m2 + a2 m1
(2).
= π(a1 , m1 )∆(a2 , m2 ) + π(a2 , m2 )∆(a1 , m1 )
= (a1 , m1 )∆(a2 , m2 ) + (a2 , m2 )∆(a1 , m1 ). Jeżeli f : A −→ A ⊕ M jest homomorfizmem k-algebr takim, że πf = id, to odwzorowanie
∆ ◦ f : A −→ M jest k-derywacją A-modułu M . Następne stwierdzenie mówi, że każda k-derywacja
A-modułu M ma taką postać.
5
Stwierdzenie 1.6.3. Dla każdej k-derywacji d : A −→ M istnieje dokładnie jeden homomorfizm
k-algebr f : A −→ A ⊕ M taki, że diagramy
f
A _ _ _/ A ⊕ M
ww
ww
w
d
ww
{ww ∆
M
f
A _ _ _/ A ⊕ M
w
ww
id www
π
{www
A
są przemienne.
Dowód. f (a) = (a, d(a)). Uwaga 1.6.4. W D2 270 − 275 są informacje o funktorialnych własnościach k-algebry A ⊕ M i jej
związku z modułem Derk (A, M ). Jest tam też wzmianka o obiektach abelowych w kategorii k-algebr
leżących nad A. Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
2
6
Definicja i konstrukcje modułu różniczek
k
A
M
2.1
=
=
=
pierścień przemienny z jedynką,
k-algebra przemienna z jedynką,
A-moduł.
Co to jest moduł różniczek?
Definicja 2.1.1. Modułem różniczek k-algebry A nazywamy każdą parę (Ω, δ), w której Ω jest Amodułem, δ : A −→ Ω jest k-derywacją A-modułu Ω przy czym spełniona jest następująca własność
uniwersalności:
Dla każdego A-modułu M i dla każdej k-derywacji d : A −→ M istnieje dokładnie jeden homomorfizm A-modułów f : Ω −→ M taki, że diagram
/Ω
AA
AA
AA f
A
d AA M
δ
jest przemienny.
Z tej definicji wynika natychmiast
Stwierdzenie 2.1.2. Niech (Ω, δ) będzie modułem różniczek k-algebry A. Jeżeli M jest A-modułem,
to przyporządkowanie f 7→ f ◦ δ jest izomorfizmem A-modułów HomA (Ω, M ) i Derk (A, M ). Poniższe stwierdzenie mówi, że jeżeli moduł różniczek istnieje, to dokładnie jeden z dokład- nością
do izomorfizmu.
Stwierdzenie 2.1.3. Jeżeli pary (Ω, δ), (Ω0 , δ 0 ) są modułami różniczek k-algebry A, to istnieją homomorfizmy A-modułów f : Ω −→ Ω0 i g : Ω0 −→ Ω takie, że f g = 1Ω0 , gf = 1Ω oraz przemienne są
diagramy
δ
δ
/Ω
/Ω
A@
A@
O
@@
@@
@@
@
@@ g .
@@ f i
@
δ0
δ0
Ω0
Ω0
Dowód. Istnienie homomorfizmów f i g wynika z własności uniwersalności. Równość f g = 1Ω
wynika z własności uniwersalności oraz z diagramu
δ
/Ω
A0 @
~
00@@ δ0
~
f ~ 00 @@@
~ 00 @ ~~~~ 0
0 gf
.
δ 0 Ω
00
1Ω
00g 0 Ω
Podobnie wykazuje się, że f g = 1Ω0 . Stwierdzenie 2.1.4. Jeżeli (Ω, δ) jest modułem różniczek k-alegebry A i ϕ jest automorfizmem Amodułu Ω, to para (Ω, ϕ ◦ δ) też jest modułem różniczek k-algebry A.
7
Dowód. Ponieważ δ jest k-derywacją, więc ϕ◦δ : A −→ Ω też jest k-derywacją. Niech d : A −→ M
będzie k-derywacją A-modułu M . Ponieważ (Ω, δ) jest modułem różniczek, więc istnieje (dokładnie
jeden) A-homomorfizm f : Ω −→ M taki, że f δ = d. Wtedy f ϕ−1 : Ω −→ M jest A-homomorfizmem
spełniającym równość (f ϕ−1 ) ◦ (ϕδ) = d. Jest oczywiste, że taki homomorfizm istnieje dokładnie
jeden. Wniosek 2.1.5. Jeżeli (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A, i a ∈ A jest elementem odwracalnym w A, to para (Ω, aδ) też jest modułem różniczek k-algebry A.
Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 2.1.4, gdyż odwzorowanie ϕ : Ω −→ Ω, x 7→ ax, jest Aautomorfizmem. Stwierdzenie 2.1.6. Jeżeli (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A, to moduł Ω jest generowany
(nad A) przez wszystkie elementy postaci δ(a), gdzie a ∈ A.
Dowód. Niech W będzie A-podmodułem w Ω generowanym przez zbiór {δ(a); a ∈ A} i niech
η : Ω −→ Ω/W będzie homomorfizmem naturalnym. Oznaczmy d = ηδ. Wtedy d : A −→ Ω/W jest
k-derywacją A-modułu Ω/W oraz ηδ = d i 0δ = d. Z własności uniwersalności wynika, że η = 0, czyli
Ω = W. W następnych rozdziałach wykażemy, że moduł różniczek zawsze istnieje.
Definicja 2.1.7. Jeżeli A jest k-algebrą to jej moduł różniczek oznaczamy przez (Ωk (A), δA ).
2.2
Pierwsza konstrukcja modułu różniczek
Założyliśmy, że A jest k-algebrą. Mamy więc homomorfizm pierścieni ϕ : k −→ A, x 7→ x · 1.
Niech F będzie A-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór {ua ; a ∈ A}, równoliczny ze zbiorem
A. Każdy element modułu F ma jednoznaczne przedstawienie w postaci a1 ub1 + · · · + as ubs , gdzie
a1 , . . . , as , b1 , . . . , bs ∈ A.
Oznaczmy przez W podmoduł modułu F generowany (nad A) przez wszystkie elementy postaci


 ua+b − ua − ub , a, b ∈ A
uϕ(x)
, x∈k


uab − aub − bua , a, b ∈ A.
Niech Ω = F/W i niech δ : A −→ Ω będzie odwzorowaniem określonym wzorem
δ(a) = ua = ua + W.
Wtedy Ω jest A-modułem i jest oczywiste, że δ jest k-derywacją A-modułu Ω.
Twierdzenie 2.2.1. Powyższa para (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A.
Dowód. Musimy pokazać, że para (Ω, δ) spełnia własność uniwersalności.
Niech M będzie A-modułem i niech d : A −→ M będzie k-derywacją.
η
δ /
Definiujemy najpierw A-homomorfizm g : F −→ M
F/W o
F
AD
DD
z
przyjmując (na bazie) g(ua ) = d(a). Ponieważ d jest kz
DD
z
DD f zzz
derywacją, więc homomorfizm g zeruje się na podmodule
g
z
d DD ! }zz
W (fakt ten wystarczy sprawdzić tylko dla generatorów
M
podmodułu W ).
Mamy zatem homomorfizm A-modułów f : F/W −→ M , v + W 7→ g(v), który spełnia równość
f δ = d. Istotnie, f δ(a) = f (ua + W ) = g(ua ) = d(a), a ∈ A.
Przypuśćmy, że f 0 : F/W −→ M jest drugim A-homomorfizmem spełniającym równość f 0 δ = d.
Wtedy f 0 (ua + W ) = f 0 δ(a) = d(a) = f δ(a) = f (a + W ), dla wszystkich a ∈ A, czyli f i f 0 pokrywają
się na zbiorze generatorów A-modułu F/W . Zatem f = f 0 . Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
2.3
8
Druga konstrukcja modułu różniczek
Rozważmy k-algebrowy homomorfizm µ : A ⊗k A −→ A, a ⊗ b 7→ ab i niech I = Kerµ. Niech
i, j : A −→ A ⊗k A będą homomorfizmami k-algebr zdefiniowanymi następująco:
i(a) = a ⊗ 1,
j(a) = 1 ⊗ a,
a ∈ A.
Homomorfizmy te zadają każdemu A ⊗k A-modułowi struktury A-modułu. W szczególności A ⊗k Amoduły I, I 2 oraz I/I 2 mają dwie struktury A-modułów. Niech
Ω = I/I 2 .
Wykażemy, że powyższe dwie A-modułowe struktury na Ω są identyczne. Najpierw jednak wprowadźmy następujące oznaczenie. Jeżeli a ∈ A, to oznaczamy
ω(a) = i(a) − j(a) = a ⊗ 1 − 1 ⊗ a.
Zauważmy, że każdy element postaci ω(a) należy do I (gdyż µ(ω(a)) = a · 1 − 1 · a = 0).
Lemat 2.3.1. Ideał I, jako A⊗k A-moduł, jako A-moduł ze strukturą zadaną przez i oraz jako A-moduł
ze strukturą zadaną przez j, jest generowany przez elementy postaci ω(a), a ∈ A.
P
P
P
Dowód. Niech
ap ⊗ bp ∈ I. Wtedy
ap bp = µ( ap ⊗ bp ) = 0. Mamy zatem
P
P
P
ap ⊗ bp =
(ap ⊗ 1)(1 ⊗ bp − bp ⊗ 1) = − i(ap )ω(bp )
P
P
P
ap ⊗ bp =
(1 ⊗ bp )(ap ⊗ 1 − 1 ⊗ ap ) =
i(bp )ω(ap )
i z tych równości wynika nasz lemat. Lemat 2.3.2. Struktury A-modułowe (poprzez i oraz j) na Ω = I/I 2 są identyczne.
Dowód. Dzięki Lematowi 2.3.1 wystarczy pokazać, że i(b)ω(a) = j(b)ω(a) dla wszystkich a, b ∈ A,
gdzie ω(a) = ω(a) + I 2 . Sprawdzamy: i(b)ω(a) − j(b)ω(a) = (i(b) − j(b))ω(a) = ω(b)ω(a) ∈ I 2 . Określamy teraz odwzorowanie δ : A −→ Ω przyjmując δ(a) = ω(a) + I 2 , gdzie a ∈ A.
Lemat 2.3.3. Odwzorowanie δ jest k-derywacją A-modułu Ω.
Dowód. Niech a, b ∈ A. Wtedy mamy:
aδ(b) + bδ(a)
=
=
=
=
=
i(a)ω(b) + j(b)ω(a) + I 2
(a ⊗ 1)(b ⊗ 1 − 1 ⊗ b) + (1 ⊗ b)(a ⊗ 1 − 1 ⊗ a) + I 2
ab ⊗ 1 − a ⊗ b + a ⊗ b − 1 ⊗ ab + I 2
ab ⊗ 1 − 1 ⊗ ab + I 2
δ(ab). Mamy zatem parę (Ω, δ), w której Ω jest A-modułem i δ jest jego k-derywacją.
Twierdzenie 2.3.4. Para (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A.
Dowód. Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M .
η
δ /
/ A ⊗k A
I/I2 o
I
AC
|
m
CC
m
|
m
β |
CC
mm
C f ||| mmmmαm
d CC m
|
m
! ~|vmmm
M
9
Najpierw określamy k-liniowe odwzorowanie α : A ⊗k A −→ M takie, że α(a ⊗ b) = −ad(b). Odwzorowanie to jest homomorfizmem A-modułów jeżeli struktura A-modułowa na A ⊗k A zadana jest
przez homomorfizm i (struktura A-modułowa na A ⊗k A zadana przez j nie jest tutaj dobra). Mamy
bowiem (dla a, x, y ∈ A):
α(a(x ⊗ y)) = α(i(a)(x ⊗ y)) = α(ax ⊗ y) = −axd(y) = a(−xd(y)) = aα(x ⊗ y).
Niech β = α|I. Wtedy β : I −→ M jest homomorfizmem A-modułów (przy czym struktura A-modułu
na I zadana jest przez i).
Pokażemy teraz, że β(I 2 ) = 0. Wystarczy to pokazać dla generatorów ideału I 2 , czyli dla elementów
postaci ω(a)ω(b), gdzie a, b ∈ A. Sprawdzamy:
β(ω(a)ω(b))
=
=
=
=
β((a ⊗ 1 − 1 ⊗ a)(b ⊗ 1 − 1 ⊗ b))
β(ab ⊗ 1 − a ⊗ b − b ⊗ a + 1 ⊗ ab)
−abd(1) + ad(b) + bd(a) − d(ab)
0.
Mamy zatem homomorfizm A-modułów f : Ω −→ M określony wzorem f (v + I 2 ) = g(v) dla v ∈ I.
Homomorfizm ten spełnia równość f δ = d. Istotnie:
f δ(a) = f (a ⊗ 1 − 1 ⊗ a + I 2 ) = −ad(1) + 1d(a) = d(a).
Jedyność wynika z faktu, że elementy postaci ω(a) generują ideał I jako moduł nad A. Uwaga 2.3.5.
Różne informacje o przedstawionej tu konstrukcji modułu różniczek można znaleźć w następujących
zeszytach: Homologie algebr przemiennych (wykład T. Józefiaka 1972/73), AlgHom1 14 − 31, D2 243 − 275, AP6 .
2.4
Reprezentowalność funktora Derk (A,
)
Przypomnimy najpierw pojęcie przekształcenia i równoważności funktorów. Ograniczymy się tylko
do funktorów kowariantnych w kategoriach modułów. Jeżeli R jest pierścieniem, to przez R M oznaczamy kategorię (lewych) R-modułów.
Jeśli S, T są funktorami kowariantnymi, S, T : R M −→ R1 M, to przekształceniem Φ : S −→ T funktora S w funktor T nazywamy przyporządkowanie, które każdemu R-modułowi M przyporządkowuje
R1 -homomorfizm Φ(M ) : S(M ) −→ T (M ) taki, że dla dowolnego R-homomorfizmu f : M −→ N
diagram
S(M )
Φ(M )
T (f )
S(f )
S(N )
/ T (M )
Φ(N )
/ T (N )
jest przemienny.
Przekształcenie funktorów Φ : S −→ T nazywamy równoważnością, jeżeli istnieje takie przekształcenie funktorów Ψ : T −→ S, że przekształcenia ΦΨ, ΨΦ są tożsamościami, tzn. dla dowolnego
M ∈ R M mamy
Ψ(M )Φ(M ) = 1S(M ) , Φ(M )Ψ(M ) = 1T (M ) .
Łatwo spostrzec, że przekształcenie funktorów Φ : S −→ T jest równoważnością wtedy i tylko wtedy,
gdy wszystkie homomorfizmy Φ(M ), M ∈ R M są izomorfizmami. Funktory S, T nazywamy równoważnymi, jeżeli istnieje równoważność Φ : S −→ T .
Niech A będzie k-algebrą i niech V będzie A-modułem. Mamy wtedy funktor kowariantny HomA (V, ) :
−→ A M. Jeżeli f : M −→ N jest homomorfizmem A-modułów, to
AM
HomA (V, f ) : HomA (V, M ) −→ HomA (V, N )
10
jest homomorfizmem A-modułów określonym wzorem
HomA (V, f )(h) = f ◦ h,
h ∈ HomA (V, M ).
W tej sytuacji mamy też drugi funktor kowariantny Derk (A, ) : A M −→ A M. Jeżeli f : M −→ N
jest homomorfizmem A-modułów, to
Derk (A, f ) : Derk (A, M ) −→ Derk (A, N )
jest homomorfizmem A-modułów określonym wzorem
Derk (A, f )(d) = f ◦ d,
d ∈ Derk (A, M ).
Zwróćmy uwagę, że jeżeli d : A −→ M jest k-derywacją i f : M −→ N jest A-homomorfizmem, to
odwzorowanie f ◦ d : A −→ N jest też k-derywacją. Istotnie:
(f ◦ d)(ab)
=
=
=
=
f (d(ab))
f (ad(b) + bd(a))
af (d(b)) + bf (d(a))
a(f ◦ d)(b) + b(f ◦ d)(a),
dla wszystkich a, b ∈ A.
Twierdzenie 2.4.1. Funktory HomA (Ωk (A), ), Derk (A, ) : A M −→ A M są równoważne.
Dowód. Jeśli M jest A-modułem, to określamy A-homomorfizm
Φ(M ) : HomA (Ωk (A), M ) −→ Derk (A, M )
przyjmując
Φ(M )(h) = h ◦ δA ,
dla wszystkich h ∈ HomA (Ωk (A), M ). Wiemy na mocy Stwierdzenia 2.1.2, że Φ(M ) jest izomorfizmem
A-modułów. Wystarczy zatem sprawdzić, że jeżeli f : M −→ N jest A-homomorfizmem, to przemienny
jest diagram:
Φ(M )
HomA (Ωk (A), M )
HomA (Ωk (A),f )
/ Derk (A, M )
Derk (A,f )
HomA (Ωk (A), N )
Φ(N )
/ Derk (A, N )
Niech h ∈ HomA (Ωk (A), M ). Wtedy:
Derk (A, f )Φ(M )(h)
=
Derk (A, f )(hδA )
= f hδA ,
Φ(N )Homk (Ωk (A), f )(h)
=
Φ(N )(f h)
= f hδA .
Zatem powyższy diagram jest przemienny. Wniosek 2.4.2. Funktor Derk (A, ) jest reprezentowalny i jego modułem reprezentującym jest Ωk (A).
2.5
Zerowy moduł różniczek
Stwierdzenie 2.5.1. Niech k będzie pierścieniem (przemiennym z 1) i niech A będzie przemienną
k-algebrą. Następujące warunki są równoważne.
(1) Ωk (A) = 0.
(2) Derk (A, Ωk (A)) = 0.
(3) Niech M będzie dowolnym A-modułem. Jeżeli d : A −→ M jest k-derywacją, to d = 0.
11
Dowód.
(1) ⇒ (3). Derk (A.M ) = HomA (Ωk (A), M ) = HomA (0, M ) = 0.
(3) ⇒ (2). Oczywiste.
(2) ⇒ (1). 1Ωk (A) ∈ HomA (Ωk (A), Ωk (A)) = Derk (A, Ωk (A)) = 0. Pytanie 2.5.2. Załóżmy, że Derk (A, A) = 0. Czy wtedy Ωk (A) = 0?
Stwierdzenie 2.5.3. Niech k ⊆ L będą ciałami charakterystyki zero. Następujące warunki są równoważne.
(1) Ωk (L) = 0.
(2) L jest algebraicznym rozszerzeniem ciała k.
Dowód. (2) ⇒ (1). Niech M będzie L-modułem (tzn. L-przestrzenią liniową) i niech d : L −→ M
będzie k-derywacją. Pokażemy, że d = 0. Niech a ∈ L. Ponieważ a jest algebraicznym elementem nad
k więc f (a) = 0, gdzie f ∈ k[t] jest minimalnym wielomianem dla a. Charakterystyka jest zerowa, więc
f 0 (a) jest niezerowym elementem ciała L. Mamy wtedy 0 = d(f (a)) = f 0 (a)d(a) (Stwierdzenie 1.2.3),
czyli d(a) = (f 0 (a)−1 0 = 0. Zatem d = 0 i stąd wynika (na mocy Stwierdzenia 2.5.1), że Ωk (L) = 0.
(1) ⇒ (2). Dobrze wiadomo, że jeżeli rozszerzenie k ⊆ L nie jest algebraiczne, to istnieje niezerowa
k-derywacja d : L −→ L (najpierw rozpatrujemy k-derywację z rozszerzenia ściśle przestępnego do
L, potem tę derywację przedłużamy do k-derywacji z L do L). Zatem (na mocy Stwierdzenia 2.5.1),
jeżeli rozszerzenie k ⊆ L nie jest algebraiczne, to Ωk (L) 6= 0. Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
3
12
Podstawowe własności modułu różniczek
3.1
Homomorfizmy
δA
A
f
B
Ωk (B)
δB
Niech f : A −→ B będzie homomorfizmem k-algebr. Rozważmy moduły różniczek (Ωk (A), δA ) i (Ωk (B), δB ).
B-moduł Ωk (B) jest A-modułem z mnożeniem wyznaczonym przez f . Odwzorowanie δB f : A −→ Ωk (B) jest kderywacją A-modułu Ωk (B) (patrz Lemat 1.5.1). Z własności uniwersalności modułu różniczek wynika, że istnieje dokładnie jeden A-homomorfizm Ωk (f ) : Ωk (A) −→ Ωk (B)
taki, że Ωk (f )δA = δB f .
/ Ωk (A)
Ωk (f )
Stwierdzenie 3.1.1. Jeżeli f : A −→ B, g : B −→ C są homomorfizmami k-algebr, to Ωk (gf ) =
Ωk (g)Ωk (f ). Ponadto Ωk (1A ) = 1Ωk (A) .
Dowód. Homomorfizm Ωk (gf ) : Ωk (A) −→ Ωk (C) jest jedynym A-homomorfizmem spełniającym równość Ωk (gf )δA = δC gf . Wystarczy zatem pokazać, że Ωk (g)Ωk (f )δA = δC gf . To wynika z
równości Ωk (f )δA = δB f i Ωk (g)δB = δC g. Istotnie, Ωk (g)Ωk (f )δA = Ωk (g)δB f = δC gf . Pozostała
część stwierdzenia jest oczywista. Homomorfizm Ωk (f ) : Ωk (A) −→ Ωk (B) indukuje B-homomorfizm
vf : B ⊗A Ωk (A) −→ Ωk (B),
b ⊗ ω 7−→ bΩk (f )(ω),
gdzie B ⊗A Ωk (A) jest B-modułem z mnożeniem takim, że b0 · (b ⊗ ω) = b0 b ⊗ ω. W szczególności dla
generatorów mamy:
vf
b ⊗ δA (a) 7−→ bδB (f (a)).
Rozważmy następny homomorfizm. Jeżeli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to k-algebra
B jest też A-algebrą (z mnożeniem wyznaczonym przez f ). Mamy zatem moduły różniczek (Ωk (B), δB )
oraz (ΩA (B), δB/A ).
δB
B
δA/B
zu
ΩA (B)
u
uu
u
A-derywacja δB/A jest oczywiście k-derywacją. Istnieje zatem dokładnie jeden B-homomorfizm
/ Ωk (B)
u
uf : Ωk (B) −→ ΩA (B)
f
taki, że uf δB = δB/A .
Twierdzenie 3.1.2. Jeżeli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to
B ⊗A Ωk (A)
vf
/ Ωk (B)
uf
/ ΩA (B)
/0
jest dokładnym ciągiem B-modułów.
Dowód. Jest oczywiste, że uf jest surjekcją. Ponadto, łatwo sprawdzić, że Imvf ⊆ Keruf . Mamy
bowiem (dla generatorów)
uf vf (b ⊗ δA (a)) = uf (bδB (f (a))) = buf δB (f (a)) = bδB/A (f (a)) = bδB/A (a · 1) = b · 0 = 0.
Musimy zatem wykazać jeszcze, że Keruf ⊆ Imvf . W tym celu rozpatrzmy następujący diagram, w
którym η : Ωk (B) −→ Ωk (B)/Imvf jest B-homomorfizmem naturalnym.
δB/A
B
δB
Ωk (B)
η
13
Zauważmy, że k-derywacja ηδB : B −→ Ωk (B)/Imvf jest
A-derywacją. Istotnie:
/ ΩA (B)
ηδB (a · 1) = ηδB (f (a)) = η(vf (1 ⊗ δA (a))) = 0.
ϕ
Istnieje zatem B-homomorfizm
ϕ : ΩA (B) −→ Ωk (B)/Imvf
Ωk (B)/Imvf
taki, że ϕδB/A = ηδB .
Niech teraz w = b1 δB (x1 ) + · · · + bs δB (xs ) (gdzie b1 , . . . bs , x1 , . . . , xs ∈ B) będzie elementem
należącym do Keruf . Wtedy uf (w) = 0, więc
0 = uf (w) = b1 δB/A (x1 ) + · · · + bs δB/A (xs )
a zatem,
η(w)
=
=
=
=
=
η(b1 δB (x1 ) + · · · + bs δB (xs ))
b1 ηδB (x1 ) + · · · + bs ηδB (xs )
b1 ϕδB/A (x1 ) + · · · + bs ϕδB/A (xs )
ϕ(b1 δB/A (x1 ) + · · · + bs δB/A (xs ))
ϕ(0) = 0.
Zatem w ∈ Imvf i to kończy dowód twierdzenia. Powyższe twierdzenie w książkach Matsumury [1] i [2] nazywa się first fundamental exact sequence.
Dowody tego twierdzenia znajdziemy też w [4], D2 267 oraz AP6 129. Można to również prosto wykazać
przy pomocy Stwierdzenia 1.5.3.
3.2
Rozszerzanie pierścienia współczynników
Załóżmy, że ϕ : k −→ k 0 jest homomorfizmem pierścieni. Wtedy pierścień k 0 jest k-modułem (z
mnożeniem wyznaczonym przez ϕ). Przypominjmy podstawowe struktury.
k’-Moduł k’ ⊗k M. Niech M będzie k-modułem. Mamy wtedy k-moduł M 0 = k 0 ⊗k M , który
ma strukturę k 0 -modułu z mnożeniem takim, że x0 (y 0 ⊗ m) = (x0 y 0 ) ⊗ m, dla wszystkich x0 , y 0 ∈ k 0 i
m ∈ M.
Homomorfizm modułowy 1 ⊗k f.
Jeżeli f : M −→ N jest homomorfizmem k-modułów, to
mamy homomorfizm k 0 -modułów f 0 = 1 ⊗ f : k 0 ⊗k M −→ k 0 ⊗k N taki, że f 0 (x0 ⊗ m) = x0 ⊗ f (m),
dla wszystkich x0 ∈ k 0 i m ∈ M .
k’-Algebra k’ ⊗k A.
Niech teraz A będzie k-algebrą. Wtedy oczywiście A jest k-modułem.
Mamy więc k 0 -moduł A0 = k 0 ⊗k A. Moduł ten ma strukturę k 0 -algebry, w której mnożenie A0 × A0 −→
A0 jest takie, że
(x0 ⊗ a)(y 0 ⊗ b) = (x0 y 0 ) ⊗ (ab),
dla wszystkich x0 , y 0 ∈ k 0 i a, b ∈ A.
Homomorfizm algebrowy 1 ⊗k f.
Niech A i B będą k-algebrami i niech f : A −→ B
będzie homomorfizmem k-algebr. Już wiemy, że mamy wtedy homomorfizm k 0 -modułów 1 ⊗k f :
k 0 ⊗k A −→ k 0 ⊗k B i wiemy, że k 0 ⊗k A oraz k 0 ⊗k B są k 0 -algebrami. Łatwo sprawdza się, że 1 ⊗k f
jest homomorfizmem k 0 -algebr. Sprawdźmy to dla generatorów. Niech x01 , x02 ∈ k 0 i niech a1 , a2 ∈ A.
Mamy wtedy:
(1 ⊗k f )((x01 ⊗ a1 )(x02 ⊗ a2 ))
=
=
=
=
=
(1 ⊗k f )(x01 x2 ⊗ a1 a2 )
x01 x2 ⊗ f (a1 a2 ))
x01 x2 ⊗ f (a1 )f (a2 )
(x01 ⊗ f (a1 ))(x2 ⊗ f (a2 ))
(1 ⊗k f )(x01 ⊗ a1 ) · (1 ⊗k f )(x02 ⊗ a2 ).
14
A’-Moduł k’ ⊗k M. Niech A będzie k-algebrą i niech M będzie A-modułem. Wtedy oczywiście
M jest k-modułem, więc mamy k 0 -moduł k 0 ⊗k M . Moduł ten ma strukturę A0 -modułu, gdzie A0 =
k 0 ⊗k A. Mnożenie A0 × (k 0 ⊗k M ) −→ k 0 ⊗k M jest takie, że
(x0 ⊗ a)(y 0 ⊗ m) = (x0 y 0 ) ⊗ (am),
dla wszystkich x0 , y 0 ∈ k 0 , a ∈ A i m ∈ M .
Homomorfizm A’-modułowy 1 ⊗k f.
Niech A będzie k-algebrą i niech f : M −→ N będzie
homomorfizmem A-modułów. Już wiemy, że wtedy k 0 ⊗k M i k 0 ⊗k N są A0 -modułami (gdzie A0 =
k 0 ⊗k A) i mamy k 0 -homomorfizm 1 ⊗k f : k 0 ⊗k M −→ k 0 ⊗k N . Łatwo sprawdza się, że 1 ⊗k f jest
homomorfizmem A0 -modułów. Sprawdźmy to dla generatorów. Niech x0 , y 0 ∈ k 0 , a ∈ A i m ∈ M .
Mamy wtedy:
(1 ⊗k f )((x0 ⊗ a)(y 0 ⊗ m)) = (1 ⊗k f )(x0 y 0 ⊗ am)
= x0 y 0 ⊗ f (am)
= x0 y 0 ⊗ af (m)
= (x0 ⊗ a)(y 0 ⊗ f (m))
= (x0 ⊗ a)(1 ⊗k f )(y 0 ⊗ m).
Derywacja 1 ⊗k d. Niech A-beędzie k-algebrą i niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu
M . Wtedy odwzorowanie 1 ⊗k d : k 0 ⊗k A −→ k 0 ⊗k M jest homomorfizmem k 0 -modułów. Ponadto
A0 = k 0 ⊗k A jest k 0 -algebrą i k 0 ⊗k M jest A0 -modułem. Pokażemy, że 1 ⊗k d jest k 0 -derywacją A0 modułu k 0 ⊗k M . W tym celu musimy sprawdzić, że dla dowolnych elementów a0 , b0 ∈ A0 zachodzi
równość
(1 ⊗k d)(a0 b0 ) = a0 (1 ⊗k d)(b0 ) + b0 (1 ⊗k d)(a0 ).
Sprawdzamy to najpierw dla generatorów. Niech x0 , y 0 ∈ k 0 , a, b ∈ A. Mamy wtedy:
(1 ⊗k d)((x0 ⊗ a)(y 0 ⊗ b))
Niech teraz a0 =
0
i (xi
P
(1 ⊗k d)(a0 b0 )
=
=
=
=
=
=
⊗ ai ), b0 =
=
=
=
=
=
0
j (yj
P
(1 ⊗k d)(x0 y 0 ⊗ ab)
x0 y 0 ⊗ d(ab)
x0 y 0 ⊗ (ad(b) + bd(a))
(x0 ⊗ a)(y 0 ⊗ d(b)) + (y 0 ⊗ b)(x0 ⊗ d(a))
(x0 ⊗ a)(1 ⊗k d)(y 0 ⊗ b) + (y 0 ⊗ b)(1 ⊗k d)(x0 ⊗ a).
⊗ bj ), gdzie x0i , yj0 ∈ k 0 oraz ai , bj ∈ A. Wtedy:
P
P
(1 ⊗k d)( i (x0i ⊗ ai ) · j (yj0 ⊗ bj ))
P P
(1 ⊗k d)( i j (x0i yj0 ⊗ ai bj ))
P P
0 0
i
j (1 ⊗k d)(xi yj ⊗ ai bj )
P P
0
0
i
j (1 ⊗k d)((xi ⊗ ai )(yj ⊗ bj ))
P P 0
P P 0
0
0
i
j (xi ⊗ ai )(1 ⊗k d)((yj ⊗ bj )) +
i
j (yj ⊗ bj )(1 ⊗k d)((xi ⊗ ai ))
P 0
P 0
P 0
P 0
i (xi ⊗ ai )(1 ⊗k d)(
j (yj ⊗ bj )) +
j (yj ⊗ bj )(1 ⊗k d)(
i (xi ⊗ ai ))
= a0 (1 ⊗k d)(b0 ) + b0 (1 ⊗k d)(a0 ).
Wykazaliśmy zatem, że 1 ⊗k d : k 0 ⊗k A −→ k 0 ⊗k M jest k 0 -derywacją (k 0 ⊗k A)-modułu k 0 ⊗k M .
Zastosujmy teraz powyższe fakty do modułu różniczek. Niech A będzie k-algebrą i niech para
(Ωk (A), δA ) będzie jej modułem różniczek. Mamy wtedy A0 -moduł k 0 ⊗k Ωk (A) i mamy k 0 -derywację
1 ⊗k δA : A0 −→ k 0 ⊗k Ωk (A), gdzie A0 = k 0 ⊗k A.
Twierdzenie 3.2.1. Jeżeli A jest k-algebrą oraz ϕ : k −→ k 0 jest homomorfizmem pierścieni, to para
(k 0 ⊗k Ωk (A), 1 ⊗k δA ) jest modułem różniczek k 0 -algebry k 0 ⊗k A.
15
Dowód. Oznaczmy: W 0 = k 0 ⊗k Ωk (A), A0 = k 0 ⊗k A, δ 0 = 1 ⊗k δA . Wystarczy pokazać, że para
(W , δ 0 ) spełnia własność uniwersalności.
Niech D : A0 −→ M 0 będzie k 0 -derywacją danego A0 -moduł u M 0 . Wtedy M 0 na strukturę Amodułu z mnożeniem wyznaczonym przez homomorfizm a 7→ 1 ⊗ a. Ponadto odwzorowanie d : A −→
M 0 , dane wzorem d(a) = D(1 ⊗ a), jest k-derywacją A-modułu M 0 . Z własności uniwersalności pary
(Ωk (A), δA ) wynika, że istnieje A-homomorfizm f : Ωk (A) −→ M 0 taki, że d = f δA . Homomorfizm
ten indukuje A0 -homomorfizm f 0 : W 0 −→ M 0 taki ,że f 0 (x0 ⊗ w) = x0 f (w), dla wszystkich x0 ∈ k 0 ,
w ∈ Ωk (A). Pokażemy, że f 0 δ 0 = D. Równość tę wystarczy sprawdzić tylko dla generatorów k 0 -algebry
A0 , tzn. dla elementów postaci 1 ⊗ a, a ∈ A. Sprawdzamy:
0
f 0 δ 0 (1 ⊗ a) = f 0 (1 ⊗k δA )(1 ⊗ a) = f 0 (1 ⊗ δA (a)) = f δA (a) = d(a) = D(1 ⊗ a).
Zatem f 0 δ 0 = D. Zostało nam do wykazania, że takie f 0 jest tylko jedno. Niech g 0 : W 0 −→ M 0
będzie też A0 -homomorfizmem spełniającym równość g 0 δ 0 = D. Wiemy, że elementy postaci 1 ⊗ δA (a),
a ∈ A, są generatorami A0 -modułu W 0 (gdyź elementy postaci δA (a) generują A-moduł Ωk (A)).
Homomorfizmy f 0 i g 0 są więc zgodne dla generatorów. Mamy bowiem
f 0 (1 ⊗ δA (a)) = f 0 δ 0 (1 ⊗ a) = D(1 ⊗ a) = g 0 δ 0 (1 ⊗ a) = g 0 (1 ⊗ δA (a)).
Stąd wynika, że f 0 = g 0 . 3.3
Iloczyn tensorowy algebr
Niech A, B będą k-algebrami. Mamy wtedy k-moduł A ⊗k B. Mamy ponadto k-czteroliniowe
odwzorowanie
A × B × A × B −→ A ⊗k B, (a1 , b1 , a2 , b2 ) 7−→ a1 a2 ⊗ b1 b2 ,
które indukuje k-liniowe odwazorowanie (A ⊗k B) ⊗k (A ⊗k B) −→ A ⊗k B takie, że
(a1 ⊗ b1 ) ⊗ (a2 ⊗ b2 ) 7−→ a1 a2 ⊗ b1 b2 . Stąd dalej otrzymujemy k-dwuliniowe odwzorowanie (A ⊗k B) ×
(A ⊗k B) −→ A ⊗k B takie, że ((a1 ⊗ b1 ), (a2 ⊗ b2 )) 7−→ a1 a2 ⊗ b1 b2 . Z łatwością sprawdzamy, że
A ⊗k B z tym dwuliniowym odwzorowaniem, jako mnożeniem, jest k-algebrą.
Mamy tu dwa kanoniczne homomorfizmy k-algebr:
iA : A −→ A ⊗k B,
iA (a) = a ⊗ 1,
iB : B −→ A ⊗k B,
iB (b) = 1 ⊗ b.
Stwierdzenie 3.3.1. Trójka (A ⊗k B, iA , iB ) jest koproduktem w kategorii przemiennych k-algebr z
jedynką, tzn. dla każdej k-algebry W i dla każdych dwóch homomorfizmów k-algebr fA : A −→ W ,
fB : B −→ W istnieje dokładnie jeden k-algebrowy homomorfizm
f : A ⊗k B −→ W
taki, że przemienny jest następujący diagram.
iA
/ A ⊗k B o iB B
A GG
w
GG
ww
f
GG
ww
G
w
w
fA GG # {ww fB
W
Dowód. Stwierdzenie to jest oczywiste. Homomorfizm f definiuje się na generatorach jako f (a ⊗
b) = fA (a)fB (b). Załóżmy teraz, że M jest A-modułem i N jest B-modułem. Mamy wtedy k-czteroliniowe odwzorowanie
A × B × M × N −→ M ⊕k N, (a, b, m, n) 7−→ am ⊗ bn,
które indukuje k-dwuliniowe odwzorowanie (A ⊗k B) × (M ⊗k N ) −→ M ⊕k N , takie, że ((a ⊗
b), (m ⊗ n)) 7−→ am ⊗ bn dla wszystkich a ∈ A, b ∈ B, m ∈ M i n ∈ N . Widzimy więc, że M ⊗k N
ma strukturę A ⊗k B-modułu. Mamy zatem w szczególności A ⊗k B-moduły A ⊗k N , M ⊗k B oraz
(A ⊗k B) ⊕ (M ⊗k B).
16
Stwierdzenie 3.3.2. Niech A, B będą k-algebrami i niech dA : A −→ M , dB : B −→ N będą kderywacjami odpowiednio A-modułu M i B-modułu N . Wtedy istnieje k-liniowe odwzorowanie
d : A ⊗k B −→ (A ⊗k B) ⊕ (M ⊗k B)
takie, że d(a ⊗ b) = (a ⊗ dB (b), dA (a) ⊗ b), dla wszystkich a ∈ A oraz b ∈ B. Odzorowanie to jest
k-derywacją A ⊗k B-modułu (A ⊗k B) ⊕ (M ⊗k B).
Dowód. Istnienie k-liniowego odwzorowania d wynika z faktu, że przyporządkowanie A × B −→
(A ⊗k B) ⊕ (M ⊗k B), (a, b) 7−→ (a ⊗ dB (b), dA (a) ⊗ b), jest k-dwuliniowe. Pokażemy teraz, że
d(xy) = xd(y) + yd(x), dla x, y ∈ A ⊗k B. Wystarczy to sprawdzić tylko dla elementów postaci
x = a1 ⊗ b1 , y = a2 ⊗ b2 , gdzie a1 , a2 ∈ A i b1 , b2 ∈ B. W tym przypadku mamy:
d(xy)
=
=
=
=
=
=
d((a1 ⊗ b1 )(a2 ⊗ b2 ))
d(a1 a2 ⊗ b1 b2 )
(a1 a2 ⊗ dB (b1 b2 ), dA (a1 a2 ) ⊗ b1 b2 )
(a1 a2 ⊗ (b1 dB (b2 ) + b2 dB (b1 )), (a1 dA (a2 ) + a2 dA (a1 )) ⊗ b1 b2 )
(a1 ⊗ b1 )(a2 ⊗ dB (b2 ), dA (a2 ) ⊗ b2 ) + (a2 ⊗ b2 )(a1 ⊗ dB (b1 ), dA (a1 ) ⊗ b1 )
xd(y) + yd(x).
To kończy dowód stwierdzenia. Twierdzenie 3.3.3. Jeżeli A, B są k-algebrami, to
Ωk (A ⊗k B)
= (A ⊗k Ωk (B)) ⊕ (Ωk (A) ⊗k B)
= ((A ⊗k B) ⊗A Ωk (A)) ⊕ ((A ⊗k B) ⊗B Ωk (B)).
Ponadto, k-derywacja δA⊗k B : A ⊗k B −→ (A ⊗k Ωk (B)) ⊕ (Ωk (A) ⊗k B) jest taka, że
δA⊗k B (a ⊗ b) = (a ⊗ δB (b), δA (a) ⊗ b),
dla wszystkich a ∈ A, b ∈ B.
Dowód. Oznaczmy C = A ⊗k B, δ = δC = δA⊗k B , W = (A ⊗k Ωk (B)) ⊕ (Ωk (A) ⊗k B) oraz
WB = A ⊗k Ωk (B), WA = Ωk (A) ⊗k B. W jest oczywiście C-modułem i wiemy ze Stwierdzenia
3.3.2, że δ jest k-derywacją C-modułu W . Musimy zatem sprawdzić, że para (W, δ) spełnia własność
uniwersalności.
Niech d : C −→ M będzie k-derywacją C-modułu M . Wtedy M jest A-modułem z mnożeniem
wyznaczonym przez iA oraz M jest B-modułem z mnożeniem wyznaczonym przez iB . Ponadto dA =
diA : A −→ M oraz dB = diB : B −→ M są k-derywacjami. Istnieje zatem homomorfizm Amodułów fA : Ωk (A) −→ M spełniający równość fA δA = dA i istnieje homomorfizm B-modułów
fB : Ωk (B) −→ M taki, że fB δB = dB . Mamy wtedy C-homomorfizmy FA : WA −→ M i FB :
WB −→ M takie, że FA (u ⊗ b) = iB (b)fA (u) oraz FB (a ⊗ v) = iA (a)fB (v), dla wszystkich a ∈ A,
b ∈ B, u ∈ Ωk (A) i v ∈ Ωk (B). Homomorfizmy te wyznaczają homomorfizm f : W −→ M określony
wzorem f (y, x) = FA (x) + FB (y), gdzie x ∈ WA , y ∈ WB . Pokażemy, że f δ = d. Wystarczy to
sprawdzić tylko dla elementów postaci a ⊗ b, gdzie a ∈ A, b ∈ B. Sprawdzamy:
f δ(a ⊗ b)
=
=
=
=
=
=
f (a ⊗ δB (b), δA (a) ⊗ b)
FA (δA (a) ⊗ b) + FB (a ⊗ δB (b))
iB (b)fA δA (a) + iA (a)fB δB (b)
iB (b)diA (a) + iA (a)diB (b)
d(iA (a)iB (b))
d(a ⊗ b).
Zatem f δ = d. Jedyność sprawdzamy w standardowy sposób. Jest ponadto oczywiste, że A⊗k Ωk (B) =
(A ⊗k B) ⊗B Ωk (B) oraz Ωk (A) ⊗k B = (A ⊗k B) ⊗A Ωk (A). Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
4
4.1
17
Przykłady
Moduł różniczek dla algebry wielomianów
Twierdzenie 4.1.1. Jeżeli k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] jest k-algebrą wielomianów (gdzie k jest pierścieniem), to Ωk (k[T ]) jest k[T ]-modułem wolnym rangi n.
Pierwszy dowód. Niech {u1 , . . . , un } będzie zbiorem wolnych generatorów nad k[T ] i niech W =
k[T ]u1 ⊕ · · · ⊕ k[T ]un . Niech δ : k[T ] −→ W będzie k-derywacją taką, że δ(Ti ) = ui , dla i = 1, . . . , n
(Stwierdzenie 1.2.1). Pokażemy, że para (W, δ) ma własność uniwersalności.
Niech d : k[T ] −→ M będzie k-derywacją k[T ]-modułu M . Deδ
/W
k[T ]
finiujemy k[T ]-homomorfizm f : W −→ M przyjmując (na baCC
CC
zie) f (u1 ) = d(Ti ), gdzie i = 1, . . . , n. Wtedy f δ = d. IstotCC f
d CC nie, mamy bowiem dla generatorów: f δ(Ti ) = f (ui ) = d(Ti ),
! M
i = 1, . . . , n.
Jednoznaczność wynika z własności modułu wolnego. Drugi dowód.
QnNiech M będzie k[T ]-modułem. Wiemy (Stwierdzenie 1.2.2), że k[T ]-moduły
Derk (k[T ], M ) i
i=1 M są izomorficzne. Mamy zatem (na mocy Twierdzenia 2.4.1) następujące
izomorfizmy k[T ]-modułów:
Homk[T ] (Ωk (k[T ]), M ) ≈ Derk (k[T ], M )
Qn
≈
i=1 M
Qn
≈
i=1 Homk[T ] (k[T ], M )
Ln
≈ Homk[T ] ( i=1 k[T ], M ).
Ln
Stąd wynika izomorfizm Ωk (k[T ]) ≈ i=1 k[T ]. Zwróćmy uwagę, że powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla k-algebry wielomianów dowolnej
ilości zmiennych.
4.2
Moduł różniczek dla ciała funkcji wymiernych
Poniższe twierdzenie dowodzimy tak samo jak Twierdzenie 4.1.1 (w dowodzie wykorzystujemy
Stwierdzenie 1.3.1).
Twierdzenie 4.2.1. Jeżeli k(T ) = k(T1 , . . . , Tn ) jest ciałem funkcji wymiernych nad ciałem k, to
Ωk (k(T )) jest k(T )-modułem wolnym rangi n. 4.3
Uwaga o module różniczek dla pierścieni szeregów
Niech A będzie albo k-algebrą k[T1 , . . . , Tn ] wielomianów nad k albo ciałem k(T1 , . . . , Tn ) funkcji
wymiernych nad ciałem k. Jeżeli d : A −→ M jest k-derywacją A-modułu M , to dla każdego elementu
F ∈ A zachodzi równość
∂F
∂F
d(T1 ) + · · · + ∂T
d(Tn )
(4.1)
d(F ) = ∂T
1
n
(patrz Stwierdzenia 1.2.3 i 1.3.3). Podobna równość nie zachodzi na ogół, gdy algebra A jest pierścieniem szeregów k[[T1 . . . , Tn ]].
Przykład 4.3.1. Niech A = k[[t]] będzie pierścieniem szeregów jednej zmiennej t nad ciałem k
charakterystyki
zero. Niech M = k((t)) będzie ciałem ułamków pierścienia k[[t]]. Szeregi t, et =
P∞ 1 p
0
t
p=0 p! t są, jak wiadomo, algebraicznie niezależne nad k. Istnieje zatem k-derywacja d : k[t, e ] −→
0
0 t
0
t
k((t)) taka, że d (t) = 0 i d (e ) = 1. Derywację tę możemy przedłużyć do k-derywacji d : k(t, e ) −→
k((t)). Tę z kolei derywację możemy rozszerzyć do k-derywacji d0 : k((t)) −→ k((t)). Niech d będzie
obcięciem funkcji d0 do k[[t]]. Wtedy d : k[[t]] −→ k((t)) jest k-derywacją. Gdyby zachodziła równość
(4.1) wówczas mielibyśmy następującą sprzeczność: 1 = d(et ) = (et )0 d(t) = et · 0 = 0. Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
18
Widzimy zatem że dowody Twierdzeń 4.1.1 i 4.2.1 nie funkcjonują w przypadku, gdy k-algebra A
jest pierścieniem szeregów.
Pytanie 4.3.2. Co to jest Ωk (k[[t]])?
4.4
Moduł różniczek dla k[T1 ,..., Tn ]/I
Niech k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będzie pierścieniem wielomianów nad pierścieniem k i niech I =
(f1 , . . . , fs ) będzie ideałem w k[T ]. Rozpatrzmy k-algebrę ilorazową A = k[T ]/I. Opiszemy moduł
różniczek tej algebry.
Niech W będzie A-modułem wolnym o bazie {u1 , . . . , un } i niech N będzie A-podmodułem w W
generowanym przez wszystkie elementy postaci
∂fj
∂T1 u1
∂fj
∂Tn un ,
+ ··· +
dla j = 1, . . . , s, gdzie przez H oznaczmy warstwę wielomianu H ∈ k[T ] względem I. Niech Ω = W/N .
Jest to oczywiście A-moduł. Przyjmijmy δ : A −→ Ω,
∂H
δ(H) = ( ∂T
u1 + · · · +
1
∂H
∂Tn un )
+ N,
dla wszystkich H ∈ k[T ]. Odwzorowanie δ jest dobrze określone:
Lemat 4.4.1. Niech H, H1 ∈ k[T ]. Jeżeli H = H1 , to
∂H
( ∂T
u1 + · · · +
1
∂H
∂Tn un )
1
+ N = ( ∂H
∂T1 u1 + · · · +
∂H1
∂Tn un )
+ N.
Dowód. Ponieważ H − H1 ∈ I, więc H − H1 = g1 f1 + · · · + gs fs , dla pewnych wielomianów
g1 , . . . , gs ∈ k[T ]. Mamy wtedy:
Pn
∂H
i=1 ∂Ti ui
−
Pn
∂H1
i=1 ∂Ti ui
=
Pn
∂(H−H1 )
ui
∂Ti
=
Pn
Ps
i=1
∂
i=1 ∂Ti
Pn
j=1 gj fj ui
∂fj
j=1 gj ∂Ti
Ps
∂g
+ fj ∂Tji ui
Pn Ps
Pn Ps
∂fj
∂gj
=
i=1
j=1 gj ∂Ti ui +
i=1
j=1 fj ∂Ti ui
Pn Ps
Pn Ps
∂gj
∂fj
=
i=1
j=1 0 · ∂Ti ui
i=1
j=1 gj ∂Ti ui +
Ps
Pn ∂fj
=
j=1 gj (
i=1 ∂Ti ui ).
=
i=1
Ostatnia suma należy do N , gdyż każdy element postaci
∂fj
i=1 ∂Ti ui
Pn
należy do N . Bez trudu stwierdzamy, że δ : A −→ Ω jest k-derywacją A-modułu Ω.
Twierdzenie 4.4.2. Para (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A = k[T ]/I.
Dowód. Wystarczy sprawdzić własność uniwersalności.
δ
/ W/N
Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M . Oznaczmy:
k[T ]/I
II
d(T
II
i ) = mi , dla i = 1, . . . , n. Definiujemy najpierw A-homomorfizm
h
II
g : W −→ M , przyjmując dla elementów bazy: g(ui ) = mi , i =
d III $ 1, . . . , n. Pokażemy, że g(N ) = 0. W tym celu zauważmy, że:
M
0 = d(fj ) = d(fj (T1 , . . . , Tn )) =
∂fj
i=1 ∂Ti (T1 , . . . , Tn )mi
Pn
=
∂fj
i=1 ∂Ti mi ,
Pn
19
gdzie j = 1, . . . , s. Mamy teraz:
Pn
g( i=1
∂fj
∂Ti ui )
=
∂fj
i=1 ∂Ti mi
Pn
=0
i stąd wynika, że g(N ) = 0. Mamy zatem A-homomorfizm h : W/N −→ M określony wzorem:
h(w + N ) = g(w),
gdzie w ∈ W . Zauważmy, że hδ = d. Istotnie, wystarczy to sprawdzić tylko dla generatorów:
hδ(Ti ) = h(ui + N ) = g(ui ) = mi = d(Ti ),
i = 1, . . . , n.
Przypuśćmy teraz, że h0 : Ω −→ M jest też A-homomorfizmem takim, że h0 δ = d. Wtedy
h0 (ui + N ) = h0 δ(Ti ) = d(Ti ) = hδ(Ti ) = h(ui + N ).
Zatem h(ui + N ) = h0 (ui + N ) dla i = 1, . . . , n i stąd wynika, że h = h0 . 4.5
Pierścienie k[t]/(f )
Niech k[t] będzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad pierścieniem k. Przez f 0 oznaczmy
pochodną wielomianu f ∈ k[t].
Stwierdzenie 4.5.1. Niech A = k[t]/(f ). Załóżmy, że ideał (f, f 0 ) jest całym pierścieniem k[t]. Jeżeli
M jest A-modułem, to Derk (A, M ) = 0.
Dowód. Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M i niech d(t + (f )) = m. Wtedy
0 = d(f + (f )) = (f 0 + (f ))m. Element f 0 + (f ) jest odwracalny w A (ponieważ (f, f 0 ) = k[t]), więc
m = 0 i stąd d = 0. Wniosek 4.5.2. Jeżeli A = k[t]/(f ), gdzie (f, f 0 ) = k[t], to Ωk (A) = 0. Oto uogólnienie tego wniosku (w przypadku, gdy k jest ciałem):
Stwierdzenie 4.5.3. Niech k będzie ciałem i niech f ∈ k[t]. Wtedy Ωk (k[t]/(f )) = k[t]/(g), gdzie
g = NWD(f, f 0 ). Ponadto δA (t + (f )) = 1 + (g).
Dowód. Oznaczmy: A = k[t]/(f ), B = k[t]/(g). Ponieważ (f ) ⊆ (g), więc przyporządkowanie
h + (f ) 7→ h + (g) jest homomorfizmem k-algebr, a zatem B jest A-modułem. Ponieważ (f 0 ) ⊆ (g),
więc h + (f ) 7→ h0 + (g) jest dobrze określoną funkcją δA : A −→ B. Funkcja ta jest oczywiście kderywacją i spełniony jest warunek δA (t + (f )) = 1 + (g). Wystarczy zatem pokazać, że para (B, δA )
ma własność uniwersalności.
Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M . Niech d(t+(f )) = m. Wtedy (f 0 +(f ))m = 0,
gdyż 0 = d(f + (f )) = (f 0 + (f ))m. Stąd wynika, że jeżeli h i h1 są takimi wielomianami w k[t], że
h + (g) = h1 + (g), to (h + (f ))m = (h1 + (f ))m. Istotnie, równość h + (g) = h1 + (g) implikuje
równość h − h1 = uf + vf 0 , dla pewnych u, v ∈ k[t], a zatem (h − h1 + (f ))m = (uf + vf 0 + (f ))m =
(v + (f ))(f 0 + (f ))m = (v + (f ))0 = 0.
Niech ϕ : B −→ M będzie przyporządkowaniem określonym wzorem ϕ(h + (g)) = (h + (f ))m. (wykazaliśmy powyżej, że określenie to jest poprawne). Wtedy ϕδA = d. Istotnie (wystarczy to sprawdzić
dla generatora k-algebry A),
ϕδA (t + (f )) = ϕ(1 + (g)) = (1 + (f ))m = m = d(t + (f )).
Jedyność jest oczywista. Ten sam dowód można przepisać dla następującego nieco ogólniejszego stwierdzenia.
20
Stwierdzenie 4.5.4. Niech k będzie pierścieniem i niech f będzie wielomianem jednej zmiennej należącym do k[t]. Załóżmy, że ideał (f, f 0 ) jest główny i niech g ∈ k[t] będzie jego generatorem. Wtedy
Ωk (k[t]/(f )) = k[t]/(g) oraz δA (t + (f )) = 1 + (g). Podamy teraz dowód szczgólnego przypadku Stwierdzenia 2.5.3:
Przykład 4.5.5. Jeżeli k ⊆ L jest skończonym rozszerzeniem ciał charakterystki zero, to Ωk (L) = 0.
Dowód. Wynika to z Wniosku 4.5.2, gdyż L ≈ k[t]/(f ), gdzie f ∈ k[t] jest pewnym nieprzywiedlnym wielomianem. Przykład 4.5.6. Niech k będzie takim pierścieniem, w którym liczba n jest odwracalna. Wtedy Ωk (k[t]/(tn )) =
k[t]/(tn−1 ) i δA (t + (tn )) = 1 + (tn−1 ).
Dowód. Niech f = tn . Wtedy (f, f 0 ) = (tn , ntn−1 ) = (tn−1 ), a zatem teza wynika ze Stwierdzenia
4.5.4. Zanotujmy szczególny przypadek powyższego przykładu.
Przykład 4.5.7. Niech A = k[t]/(t2 ) = k ⊕ kt, gdzie k jest takim pierścieniem, w którym liczba 2
δ
jest odwracalna. Wtedy para (k, δ), gdzie δ : k ⊕ kt −→ k, (a, b) 7→ b, jest modułem różniczek k-algebry
A. Przykład 4.5.8. Niech k będzie takim pierścieniem, w którym n · 1 = 0 i niech A = k[t]/(tn ). Wtedy
Ωk (A) = A i δA (t + (tn )) = 1 + (tn ).
Dowód. Niech f = tn . Wtedy (f, f 0 ) = (tn , ntn−1 ) = (tn , 0) = (tn ), a zatem teza wynika ze
Stwierdzenia 4.5.4. W następnym przykładzie ideał (f, f 0 ) nie jest główny.
Przykład 4.5.9. Niech A = Z[t]/(t2 ) = Z ⊕ Zt. Wtedy ΩZ (A) = Z ⊕ Z2 oraz δA (a, b) = (b, 0).
Dowód. Oznaczmy: Ω = Z ⊕ Z2 (suma prosta Z-modułów). Jest to A-moduł z mnożeniem
(a, b)(c, v) = (ac, av + bc),
gdzie c jest resztą z dzielenia liczby c przez 2. Łatwo sprawdza się, że δ : A −→ Ω, (a, u) 7→ (u, 0) jest
Z-derywacją. Mamy więc parę (Ω, δ). Pokażemy, że para ta ma własność uniwersalności. W tym celu
rozpatrzmy A-moduł M i Z-derywację d : A −→ M . Jest oczywiste, że jeżeli a ∈ Z, to d(a, 0) = 0.
Niech d(0, 1) = m ∈ M . Wtedy 0 = d((0, 1)2 ) = (0, 2)m. Mamy zatem (dla dowolnych a, b ∈ Z):
d(a, b) = d(0, b) = d((b, 0)(0, 1)) = (b, 0)d(0, 1) = (b, 0)m.
Definiujemy h : Ω −→ M przyjmując h(a, c) = (a, c)m. Zauważmy, że jest to dobrze określone
odwzorowanie. Istotnie, jeżeli (a, c) = (a1 , c1 ), to a = a1 oraz c − c1 = 2s, gdzie s ∈ Z. Zatem
wtedy (a, c)m − (a1 , c1 )m = (0, 2s)m = s(0, 2)m = 0. Odwzorowanie h jest A-homomorfizmem:
h((a, b)(c, u))
= h(ac, au + bc) = (ac, au + bc)m
= (a, b)(c, u)m = (a, b)h(c, u).
Jest oczywiste, że hδ = d.
Jednoznaczność: Niech h0 δ = d, gdzie h0 : Ω −→ M jest A-homomorfizmem. Wtedy
h0 (a, u)
a zatem h0 = h. = h0 ((a, u)(1, 0)) = (a, u)h0 (1, 0)
= (a, u)h0 δ(1, 0) = (a, u)d(0, 1) = (a, u)m
= h(a, u),
5
21
Dwie zmienne
W tym rozdziale zajmować się będziemy modułem różniczek k-algebry A postaci k[x, y]/(f ), gdzie
k[x, y] jest pierścieniem wielomianów dwóch zmiennych x, y.
Niech f ∈ k[x, y]. Przez fx , fy oznaczamy odpowiednio pochodne cząstkowe
oznaczamy k-derywację jakobianową [f, ],
tzn. df : k[x, y] −→ k[x, y] oraz
df (x) = −fy ,
df (y) = fx .
∂f ∂f
∂x , ∂y .
Przez df
Rozaważmy teraz k-algebrę ilorazową A = k[x, y]/(f ). Jeżeli h ∈ k[x, y], to warstwę wielomianu h
względem (f ) oznaczać będziemy przez h + (f ) lub przez h.
Ponieważ df (f ) = 0 ∈ (f ), więc derywacja df indukuje k-derywację
df : A −→ A,
5.1
h + (f ) 7−→ df (h) + (f ).
Krzywe gładkie
Twierdzenie 5.1.1. Niech f będzie takim wielomianem należącym do k[x, y] (gdzie k jest pierścieniem), że ideał (f, fx , fy ) jest całym pierścieniem k[x, y]. Niech A = k[x, y]/(f ). Wtedy para (A, df )
jest modułem różniczek k-algebry A.
Dowód. Wykażemy to korzystając tylko z definicji modułu różniczek. Z założenia wynika, że
istnieją wielomiany h, p, q ∈ k[x, y] takie, że 1 = hf + pfx + qfy . Przechodząc z tą równością do
pierścienia k[x, y]/(f ) otrzymujemy równość
1 = pfx + qfy .
(5.1)
Musimy wykazać, że para (A, df ) ma własność uniwersalności.
df
/A
AA
AA
AA ϕ
A
d AA M
Niech M będzie A-modułem i niech d : A −→ M będzie k-derywacją.
Oznaczmy:
mx = d(x),
my = d(y).
Wtedy, dla dowolnego g ∈ k[x, y], mamy równość
d(g(x, y)) = gx (x, y)mx + gy (x, y)my .
W szczególności 0 = d(0) = d(f (x, y)) = fx mx + fy my , a zatem
fx mx = −fy my .
(5.2)
Definiujemy A-homomorfizm ϕ : A −→ M przyjmując
ϕ(1) = u,
gdzie u = −qmx + pmy .
Pokażemy teraz, że ϕdf = d. W tym celu wystarczy tylko pokazać, że ϕdf (x) = d(x) oraz ϕdf (y) =
d(y). Sprawdzamy:
ϕdf (x)
=
h(−fy ) = −fy u = −fy (−qmx + pmy )
=
fy qmx + p(−fy my )
(5.2)
=
fy qmx + fx pmx
=
(pfx + qfy )mx
(5.1)
=
1 · mx = mx
=
d(x),
ϕdf (y)
22
=
ϕ(fx ) = −fx u = fx (−qmx + pmy )
=
−q(fx mx ) + pfx my
(5.2)
=
qfy my + pfx my
=
(qfy + pfx )my
(5.1)
=
1 · my = my
=
d(y).
Zatem ϕdf = d. Teraz zostało nam do wykazania, że takie ϕ jest jedyne. Przypuśćmy w tym celu,
że g : A −→ M jest A-homomorfizmem spełniającym równość gdf = d. Pokażemy, że g = ϕ. Niech
g(1) = v. Mamy wtedy związki:
mx
= d(x)
= gdf (x)
= −fy v,
my
= d(y)
= gdf (y)
=
fx v.
Zatem
(5.1)
v = 1 · v = pfx v + qfy v = pmy − qmx = u
i to oznacza, że g = ϕ. Definicja 5.1.2. Mówimy, że wielomian f ∈ k[x, y] jest gładki w punkcie (a, b) ∈ k 2 , jeżeli f (a, b) = 0
oraz fx (a, b) 6= 0 lub fy (a, b) 6= 0. Mówimy, że wielomian f ∈ k[x, y] jest gładki, jeżeli jest gładki w
każdym punkcie (a, b) ∈ k 2 takim, że f (a, b) = 0.
Stwierdzenie 5.1.3. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech f ∈ k[x, y]. Jeżeli f
jest wielomianem gładkim, to (f, fx , fy ) = k[x, y].
Dowód. Przypuśćmy, że (f, fx , fy ) 6= k[x, y]. Wtedy, na mocy twierdzenia Hilberta o zerach,
istnieje (a, b) ∈ k 2 takie, że f (a, b) = fx (a, b) = fy (a, b) = 0, co jest sprzeczne z gładkością. Wniosek 5.1.4. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech f ∈ k[x, y] będzie wielomianem gładkim. Niech A = k[x, y]/(f ). Wtedy para (A, df ) jest modułem różniczek k-algebry A.
Inny dowód powyższego wniosku zapisaliśmy w D2 290.
Zanotujmy kilka przykładów wynikających z Twierdzenia 5.1.1.
Przykład 5.1.5. Niech A = k[x, y]/(y − f (x)), gdzie k jest dowolnym pierścieniem. Wtedy Ωk (A) =
A, δA (x) = 1 i δA (y) = fx . Przykład 5.1.6. Niech A = k[x, y]/(x2 + y 2 − 1), gdzie k jest pierścieniem, w którym 2 jest odwracalne. Wtedy Ωk (A) = A, δA (x) = −y i δA (y) = x. Przykład 5.1.7. Niech A = k[x, y]/((x + y)(x + y + 1)), gdzie k jest dowolnym pierścieniem. Wtedy
Ωk (A) = A, δA (x) = −1 i δA (y) = 1.
Dowód. Niech f = (x + y)(x + y + 1). Wtedy (f, fx , fy ) = k[x, y]. Zatem (Twierdzenie 5.1.1)
Ωk (A) = A. Ponadto df (x) = −a i df (y) = a, gdzie a = 2x + 2y + 1. Zauważmy, że element a jest
odwracalny w A. Zatem (na mocy Wniosku 2.1.5) para (A, δA ), gdzie δA = a−1 df , jest modułem
różniczek k-algebry A i mamy: δA (x) = −1 oraz δA (y) = 1. Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
5.2
23
Konsekwencje gładkości
Zanotujmy dwa proste stwierdzenia dotyczące dowolnej k-algebry A.
Stwierdzenie 5.2.1. Niech d : A −→ A będzie k-derywacją, niech M będzie A-modułem i niech m
będzie elementem należącym do M . Wtedy odwzorowanie D : A −→ M , a 7→ d(a)m jest k-derywacją
A-modułu M .
Dowód. D(ab) = d(ab)m = ad(b)m + bd(a)m = aD(b) + bD(a). Stwierdzenie 5.2.2. Niech A będzie taką k-algebrą, że Ωk (A) = A. Niech M będzie A-modułem.
d
Wtedy każda k-derywacja d : A −→ M jest odwzorowaniem postaci a 7→ δA (a)m, dla pewnego,
jednoznacznie wyznaczonego, elementu m ∈ M .
W szczególności, jeżeli d : A −→ A jest k-derywacją, to d = aδA , dla pewnego, jednoznacznie
wyznaczonego, elementu a ∈ A.
Dowód. Z własności uniwersalności wiemy, że dla k-derywacji d : A −→ M istnieje, jednoznacznie
wyznaczony, A-homomorfizm ϕ : A −→ M taki, że ϕδA = d. Niech m = ϕ(1). Wtedy ϕ(a) = am, a
zatem d(a) = ϕδA (a) = δA (a)m i oczywiście m jest wyznaczone jednoznacznie. Z Twierdzenia 5.1.1 i Stwierdzenia 5.2.2 wynika następujący wniosek.
Wniosek 5.2.3. Niech f będzie takim wielomianem należącym do k[x, y], że ideał (f, fx , fy ) jest
całym pierścieniem k[x, y]. Niech A = k[x, y]/(f ). Jeżeli d : A −→ A jest k-derywacją, to istnieje,
jednoznacznie wyznaczony element a ∈ A taki, że d = adf .
d
Ponadto, jeżeli d : A −→ M jest k-derywacją A-modułu M , to d jest postaci a 7→ df (a)m, dla
pewnego, jednoznacznie wyznaczonego, elementu m ∈ M . O poniższym fakcie (zapisanym tutaj w ogólnej algebraicznej postaci) poinformował mnie Henryk
Żołądek we wrześniu 1994 roku. Fakt ten jest natychmiastową konsekwencją Wniosku 5.2.3. Przedstawiamy jednak (jeszcze raz) jego dowód opierający się na Twierdzeniu 5.1.1.
Twierdzenie 5.2.4. Niech k będzie dowolnym przemiennym pierścieniem z jedynką i niech d : k[x, y] −→
k[x, y] będzie k-derywacją. Niech f ∈ k[x, y] będzie takim wielomianem, że d(f ) ∈ (f ) oraz (f, fx , fy ) =
k[x, y]. Istnieją wtedy wielomian g ∈ k[x, y] oraz k-derywacja d0 : k[x, y] −→ k[x, y] takie, że
d = f d0 + gdf ,
gdzie
df = [f, ].
Dowód. Niech A = k[x, y]/(f ). Ponieważ d(f ) ∈ (f ) więc d indukuje k-derywację d : A −→ A,
u + (f ) 7→ d(u) + (f ). Wiemy z Twierdzenia 5.1.1, że para (A, df ) jest modułem różniczek k-algebry
A.
df
/A
}
}
}}
d
}} h
}
}~
M
A
Istnieje zatem (jedyny) A-homomorfizm h : A −→ A taki, że d =
hdf . Niech h(1) = g + (f ), gdzie g ∈ k[x, y]. Wtedy h(a) = (g +
(f ))a, dla każdego a ∈ A. W szczególności mamy:
d(x) + (f )
= d(x)
= hdf (x)
=
(−fy + (f ))(g + (f )),
d(y) + (f )
= d(y)
= hdf (y)
=
(fx + (f ))(g + (f )).
Z równości tych wynikają następujące równości:
d(x) + (f ) = gdf (x) + (f ),
d(y) + (f ) = gdf (y) + (f ),
czyli
czyli
d(x) = f u + gdf (x),
d(y) = f v + gdf (y),
∂
∂
gdzie u, v są pewnymi wielomianami z k[x, y]. Przyjmijmy d0 = u ∂x
+ v ∂y
. Wtedy d = f d0 + gdf . Stwierdzenie 5.2.5. Niech k, d, f będą takie, jak w Twierdzeniu 5.2.4. Załóżmy, że d = f d0 +gdf oraz
d = f d01 + g1 df , gdzie d0 , d01 : k[x, y] −→ k[x, y] są k-derywacjami i g, g1 ∈ k[x, y]. Wtedy g − g1 ∈ (f ).
24
Dowód. Niech A = k[x, y]/(f ). Wiemy z Twierdzenia 5.1.1, że para (A, df ) jest modułem różniczek
k-algebry A. Niech h, h1 : A −→ A będą homomorfizmami A-modułów takimi, że h(1) = g + (f ) i
h1 (1) = g1 + (f ). Wtedy d = hdf oraz d = h1 df , a więc z jednoznaczności danej we własności
uniwersalności wynika, że h = h1 . Zatem g + (f ) = g1 + (f ), czyli g − g1 ∈ (f ). Uwaga 5.2.6. Jeżeli d = f d0 + gdf , tak jak w Twierdzeniu 5.2.4, to d(f ) = d0 (f )f . 5.3
Przykłady dla wielomianów niegładkich
Wiemy z Wniosku 5.2.3, że jeżeli wielomian f ∈ k[x, y] spełnia warunek (f, fx , fy ) = k[x, y], to
każda k-derywacja k-algebry A = k[x, y]/(f ) jest postaci adf , gdzie a ∈ A. Pokażemy, że tak nie musi
być w przypwdku, gdy ten warunek nie jest spełniony.
Przykład 5.3.1. Niech k będzie ciałem charakterystyki różnej od 2 i 3. Niech f = x3 − y 2 i niech
A = k[x, y]/(f ).
Mamy wtedy: df (x) = 2y, df (y) = 3x2 . Rozpatrzmy k-derywację d0 : k[x, y] −→ k[x, y] określoną
wzorami d0 (x) = 2x, d0 (y) = 3y. Ponieważ
d0 (f ) = d0 (x3 − y 2 ) = 3x2 · 2x − 2y · 3y = 6f,
więc derywacja d0 indukuje k-derywację d : A −→ A taką, że d(x) = 2x, d(y) = 3y.
Przypuśćmy, że istnieje wielomian u ∈ k[x, y] taki, że d = udf . Wtedy 2x = d(x) = udf (x) = 2uy
oraz 3y = d(y) = udf (y) = 3ux2 , a zatem x = uy i y = ux2 . Stąd dalej wynika, że x = x2 u2 , czyli f
dzieli x(1 − xu2 ). Wielomian f jest nieprzywiedlny i f - x, więc 1 − xu2 = (x3 − y 2 )g, gdzie g ∈ k[x, y].
Wstawiając punkt (0, 0) otrzymujemy sprzeczność: 1 = 0. W kolejnym przykładzie wykorzystamy następujący lemat.
Lemat 5.3.2. Niech k będzie ciałem charakterystyki różnej od 2. Nie istnieje wielomian u ∈ k[x, y]
taki, że (x2 − y 2 ) | (x − uy).
Dowód. Przypuśćmy, że istnieje. Wtedy (x − y) | (x − uy), (x + y) | (x − uy), czyli (x − y) |
x−y+(1−u)y, (x+y) | x+y−(u+1)y. Ale (x−y) - y i (x+y) - y, więc u−1 = (x−y)α, u+1 = (x+y)β,
dla pewnych α, β ∈ k[x, y]. Wstawiając punkt (0, 0) mamy sprzeczność: 1 = u(0, 0) = −1. Przykład 5.3.3. Niech k będzie ciałem charakterystyki różnej od 2. Niech f = x2 − y 2 i niech A =
k[x, y]/(f ).
Mamy wtedy: df (x) = 2y, df (y) = 2x. Rozpatrzmy k-derywację d0 : k[x, y] −→ k[x, y] określoną
wzorami d0 (x) = x, d0 (y) = y. Ponieważ
d0 (f ) = d0 (x2 − y 2 ) = 2x2 − 2y 2 = 2f,
więc derywacja d0 indukuje k-derywację d : A −→ A taką, że d(x) = x, d(y) = y.
Przypuśćmy, że istnieje wielomian u ∈ k[x, y] taki, że d = udf . Wtedy x = d(x) = udf (x) = 2uy,
czyli (x2 − y 2 ) | (x − 2uy); sprzeczność z Lematem 5.3.2. 5.4
Lematy
Lemat 5.4.1. Niech R będzie pierścieniem i niech Mα , Mβ będą R-modułami oraz Nα ⊆ Mα , Nβ ⊆
Mβ R-podmodułami. Mamy wtedy izomorfizm R-modułów:
(Mα ⊕ Mβ )/(Nα ⊕ Nβ )
≈
(mα , mβ ) + (Nα ⊕ Nβ )
7−→
ψ
(Mα /Nα ) ⊕ (Mβ /Nβ )
(mα + Nα , mβ + Nβ ).
25
Dowód. Jest oczywiste, że ψ jest dobrze określonym homomorfizmem R-modułów. Jest też oczywiste, że ψ jest surjekcją i Ker ψ = Nα ⊕ Nβ . Niech k[x] będzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad ciałem k. Wprowadzamy następujące oznaczenia:
a, b
F, G
H
= elementy wolne nad k[x],
= wielomiany z k[x], takie, że NWD(F, G) = 1,
∈ k[x].
Rozważać będziemy k[x]-moduł (k[x]a ⊕ k[x]b)/(k[x]H(F a − Gb)).
Ponieważ wielomiany F i G są względnie pierwsze, więc istnieją wielomiany P, Q ∈ k[x] takie, że
1 = P F + qG. Oznaczmy ponadto:
b
a = F a − Gb,
bb = Qa + P b.
Elementy b
a, bb należą oczywiście do k[x].
Lemat 5.4.2. Elementy b
a, bb są liniowo niezależne nad k[x].
Dowód. Niech S, T ∈ k[x] takie, że Sb
a + T bb = 0. Wtedy
S(F a − Gb) + T (Qa + P b) = 0,
(SF + T Q)a + (T P − SG)b = 0,
a zatem SF = −T Q oraz SG = T P . Mamy więc: S = S · 1 = S(P F + QG) = P (−T Q) + Q(T P ) = 0
oraz T = T · 1 = T (P F + QG) = F SG − GSF = 0. Lemat 5.4.3. a = P b
a + Gbb, b = −Qb
a + F bb.
Dowód. P b
a + Gbb = P (F a − Gb) + G(Qa + P b) = (P F + GQ)a = 1a = a,
−Qb
a + F bb = −Q(F a − Gb) + F (Qa + P b) = (QG + F P )b = 1b = b. Z powyższych lematów otrzymujemy:
Lemat 5.4.4. k[x]b
a ⊕ k[x]bb = k[x]a ⊕ k[x]b. Udowodnimy teraz następujący lemat
Lemat 5.4.5. Niech k będzie ciałem i niech a, b będą elementami wolnymi nad k[x]. Niech F, G, H ∈
k[x], NWD(F, G) = 1. Wtedy mamy izomorfizm k[x]-modułów:
(k[x]a ⊕ k[x]b)/(k[x]H(F a − Gb)) ≈ k[x] ⊕ k[x]/(H).
Dowód. (k[x]a ⊕ k[x]b)/(k[x]H(F a − Gb))
5.4.4
≈
5.4.1
(k[x]b
a ⊕ k[x]bb)/k[x]Hb
a
≈
(k[x]bb/0) ⊕ (k[x]b
a/k[x]Hb
a)
≈
k[x] ⊕ (k[x]/(H)). W szczególności dla H = 1 mamy
Lemat 5.4.6. Niech k będzie ciałem i niech a, b będą elementami wolnymi nad k[x]. Niech F, G ∈ k[x],
NWD(F, G) = 1. Wtedy mamy izomorfizm k[x]-modułów:
(k[x]a ⊕ k[x]b)/(k[x](F a − Gb)) ≈ k[x]. Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
5.5
26
Wielomian postaci yn - p(x)
Opiszemy moduł różniczek k-algebry A = k[x, y]/(f ), gdzie f = y n − p(x).
Rozpoczynamy od następującego prostego stwierdzenia.
Stwierdzenie 5.5.1. Każdy element k-algebry A ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
a0 (x) + a1 (x)z + a2 (x)z 2 + · · · + an−1 (x)z n−1 ,
gdzie z = y = y + (f ) oraz a0 (x), . . . , an−1 (x) ∈ k[x]. Ze stwierdzenia tego wynika, że A jest k[x]-modułem. Jest to k[x]-moduł wolny rangi n. A-moduł
różniczek Ωk (A) jest zatem także k[x]-modułem. Udowodnimy następujące twierdzenie.
Twierdzenie 5.5.2. Niech A = k[x, y]/(f ), f = y n − p(x), gdzie k jest ciałem charakterystyki różnej
od n. Wtedy zachodzi następujący izomorfizm k[x]-modułów:
Ωk (A) ≈ A ⊕ (k[x]/(h)) ⊕ · · · ⊕ (k[x]/(h)),
|
{z
}
n−1
gdzie h = NWD(p(x), p0 (x)), przy czym p0 (x) jest pochodną wielomianu p(x).
Przed dowodem wprowadzimy pewne oznaczenia i udowodnimy kilka lematów.
Niech W będzie A-modułem wolnym, którego bazą jest dwuelementowy zbiór {u, v} (tzn. W =
Au ⊕ Av) i niech N będzie A-podmodułem modułu W generowanym (nad A) przez element
β = nz n−1 v − p0 (x)u.
Wiemy z Rozdziału 4.4, że A-moduły Ωk (A) i W/N są izomorficzne.
Lemat 5.5.3. Moduł W = Au ⊕ Av jest wolny nad k[x] i jego bazą (nad k[x]) jest zbiór
{u, v, zu, zv, z 2 u, z 2 v, . . . , z n−1 u, z n−1 v}.
Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 5.5.1. Rozpatrzmy teraz elementy β0 = β, β1 , . . . , βn−1 należące do W , zdefiniowane następująco:
βi = z i β,
, i = 1, . . . , n − 1.
Są to oczywiście elementy należące do N .
Lemat 5.5.4. Moduł N jest wolny nad k[x] i jego bazą jest zbiór {β0 , . . . , βn−1 }.
Dowód. Każdy element s należący do N jest postaci aβ, dla pewnego a ∈ A. Ze Stwierdzenia
5.5.1 wiemy, że a = a0 + a1 z + · · · + an−1 z n−1 , gdzie a0 , . . . , an−1 ∈ k[x]. Zatem s = aβ = a0 β + a1 zβ +
· · · + an−1 z n−1 β = a0 β0 + · · · + an−1 βn−1 . Stąd wynika, że elementy β0 , . . . , βn−1 są generatorami
k[x]-modułu N . Liniowa nizależność tych elementów nad k[x] wynika z Lematu 5.5.3. Oznaczmy:
= k[x]z i u + k[x]z n−1+i v,
Wi
Ni
= k[x]βi ,
n
dla i = 0, . . . , n − 1. Pamiętajmy, że z = p(x) ∈ k[x]. Z Lematu 5.5.3 wynika, że
W = W0 ⊕ · · · ⊕ Wn−1 .
Natomiast z Lematu 5.5.4 wynika, że
N = N0 ⊕ · · · ⊕ Nn−1 .
27
Ponadto jest oczywiste, że Ni ⊆ Wi , dla i = 0, . . . , n − 1. Mamy więc, na mocy Lematu 5.4.1,
następujące izomorfizmy k[x]-modułów:
Ωk (A) ≈ W/N
≈ (W0 ⊕ · · · ⊕ Wn−1 )/(N0 ⊕ · · · ⊕ Nn−1 )
≈ (W0 /N0 ) ⊕ · · · ⊕ (Wn−1 /Nn−1 ).
Dowód Twierdzenia 5.5.2. Niech h = NWD(p, p0 ). Z Lematu 5.4.6 mamy izomorfizm W0 /N0 ≈
k[x]. Natomiast z Lematu 5.4.5 otrzymujemy izomorfizmy Wi /Ni ≈ k[x]⊕(k[x]/(h)), dla i = 1, . . . , n−
1. Stąd wynika, że:
Ωk (A) ≈ (W0 /N0 ) ⊕ · · · ⊕ (Wn−1 /Nn−1 )
≈ k[x] ⊕ (k[x] ⊕ k[x]/(h)) ⊕ · · · ⊕ (k[x] ⊕ k[x]/(h))
≈ k[x] ⊕ · · · ⊕ k[x] ⊕ (k[x]/(h)) ⊕ · · · ⊕ (k[x]/(h))
|
{z
} |
{z
}
n
n−1
≈ A ⊕ (k[x]/(h)) ⊕ · · · ⊕ (k[x]/(h)) .
|
{z
}
n−1
To kończy dowód Twierdzenia 5.5.2. Wniosek 5.5.5. Jeżeli char(k) 6= 2 i A = k[x, y]/(y 2 − p(x)), to Ωk (A) ≈ A ⊕ k[x]/(h) (izomorfizm
k[x]-modułów), gdzie h = NWD(p, p0 ). Wniosek 5.5.6. Jeżeli char(k) 6= 2, 3 i A = k[x, y]/(y 2 − x3 ), to Ωk (A) ≈ A ⊕ k[x]/(x2 ). Wniosek 5.5.7. Jeżeli char(k) = 3 i A = k[x, y]/(y 2 − x3 ), to Ωk (A) ≈ A ⊕ k[x]/(x3 ). Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
6
28
Formy różniczkowe
Niniejszy rozdział dotyczy geometrii algebraicznej. Opracowano go na podstawie książek [5] i [6].
Terminologia i oznaczenia są takie, jak w [3].
Przez cały czas zakładamy, że k jest ciałem algebraicznie domkniętym.
6.1
Przestrzeń styczna
Przypomnimy tu podstawowe fakty o przestrzeni stycznej do danej rozmaitości (głównie afinicznej)
w ustalonym punkcie. Szczegóły znajdują się w [3] (Rozdział 12).
Niech X ⊆ k n będzie domkniętym zbiorem afinicznym i niech p = (p1 , . . . , pn ) ∈ X. Przez Tp X
oznaczamy przestrzeń styczną do X w punkcie p. Z definicji Tp X jest zbiorem wszystkich prostych w
k n stycznych do X w punkcie p.
Jeśli F jest wielomianem należącym do k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ], to przez dp F oznaczamy wielomian z
k[T ] zdefiniowany następująco:
Pn ∂F
(p)(Ti − pi ).
dp F = i=1 ∂T
i
Załóżmy, że I(X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ]. Wiadomo, że przestrzeń styczna Tp X jest
zbiorem wszystkich wspólnych zer w k n wielomianów dp F1 , . . . , dp Fr , tzn. Tp X = V(dp F1 , . . . , dp Fr ).
Zbiór k n ma strukturę przestrzeni liniowej nad k z zerem w punkcie p. Działania dodawanie i
mnożenie przez skalar są określone następująco:
a ⊕p b
α ∗p a
= ((a − p) + (b − p)) + p = a + b − p,
= α(a − p) + p.
Przestrzeń Tp X jest podprzestrzenią liniową (nad k) przestrzeni (k n , ⊕p , ∗p )
Przez k[X] oznaczamy k-algebrę funkcji regularnych na X. Jeśli p (tak jak poprzednio) jest ustalonym punktem rozmaitości X, to mamy k-algebrowy homomorfizm k[X] −→ k, f 7→ f (p), którego
jędrem jest ideał maksymalny mp = mp (X) = {f ∈ k[X]; f (p) = 0}. Dzięki temu homomorfizmowi ciało k ma strukturę k[X]-modułu. Możemy zatem mówić o module Derk (k[X], k), wszystkich
k-derywacji z k[X] do k. Moduł ten jest oznaczany w [3] przez Dp (k[X]) i jego elementy nazywa się
lokalnymi w punkcie p derywacjami. Wiemy, że przestrzeń liniowa Derk (k[X], k) jest izomorficzna z
przestrzenią styczną Tp X. Dowodzi się ponadto, że przestrzeń Tp X jest izomorficzna z przestrzenią
(m/m2 )∗ . Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią liniową (nad k), to przez V ∗ oznaczamy przestrzeń
dualną Homk (V, k).
Przestrzeń styczną Tp X można opisać w terminach pierścienia Op (X), lokalnego pierścienia punktu
p rozmaitości X. Opis ten jest podobny do poprzedniego. Homomorfizm Op (X) −→ k, f 7→ f (p), sprawia, że k ma strukturę Op (X)-modułu. Przestrzeń styczna Tp X jest izomorficzna z Derk (Op (X), k).
Jest ona ponadto izomorficzna z przestrzenią (Mp /Mp2 )∗ , gdzie Mp = Mp (X) jest jedynym ideałem
maksymalnym w Op (X).
Ostatnie izomorfizmy pozwalają zdefiniować przestrzeń styczną dla dowolnej rozmaitości quasirzutowej. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową i p ∈ X, to przestrzenią styczną Tp X, do X w
punkcie p, nazywamy przestrzeń liniową Derk (Op (X), k). Przestrzeń ta jest izomorficzna z przestrzenią
(Mp (X)/Mp (X)2 )∗ .
6.2
Różniczka funkcji regularnej
Niech X ⊆ k n będzie rozmaitością afiniczną i niech p ∈ X. Różniczką funkcji regularnej f ∈ k[X]
nazywamy odwzorowanie dp f : Tp X −→ k określone wzorem dp f = dp F | Tp X, czyli
Pn ∂F
(dp f )(a) = (dp F )(a) = i=1 ∂T
(p)(ai − pi ),
i
29
dla wszystkich a = (a1 , . . . , an ) ∈ Tp X, gdzie F ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] jest takim wielomianem,
że f = F | X. Łatwo wykazuje się (patrz [3]), że definicja ta jest poprawna; nie zależy od wyboru
wielomianu F . Jeśli a, b ∈ Tp X, α ∈ k, to:
(dp f )(a ⊕p b) = (dp f )(a) + (dp f )(b),
(dp f )(α ∗p a) = α(dp f )(a).
Różniczka dp f jest więc przekształceniem liniowym. Zatem dp f ∈ (Tp X)∗ = Homk (Tp X, k). Bez trudu
sprawdzamy:
Stwierdzenie 6.2.1. Niech f, g ∈ k[X], α ∈ k. Wtedy:
(1) dp (αf ) = α(dp f ),
(2) dp (f + g) = dp f + dp g,
(3) dp (f g) = f (p)dp g + g(p)dp f . 6.3
Jednowymiarowe formy różniczkowe
Niech X będzie rozmaitością quasi-rzutową. Rozważmy zbiór
S
Φ[X] = ϕ : X −→ x∈X (Tx X)∗ ; ϕ(x) ∈ (Tx X)∗ ,
tzn. Φ[X] jest zbiorem wszystkich odwzorowań ϕ, przyporządkujących każdemu punktowi x ∈ X
wektor ϕ(x) przestrzeni (Tx X)∗ . W zbiorze tym wprowadzamy dodawanie i mnożenie przez elementy
pierścienia k[X] w następujący naturalny sposób. Jeśli ϕ, ψ ∈ Φ[X] oraz f ∈ k[X], to
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x),
(f ϕ)(x) = f (x)ϕ(x),
dla x ∈ X.
Stwierdzenie 6.3.1. Zbiór Φ[X] jest k[X]-modułem. Załóżmy teraz, że X ⊆ k n jest rozmaitością afiniczną. Jeśli f jest funkcją regularną na X, to jak wiemy z poprzedniego podrozdziału - dla każdego punktu x ∈ X różniczka dx f jest elementem
przestrzeni (Tx X)∗ . Mamy zatem funkcję ϕ ∈ Φ[X] taką, że ϕ(x) = dx f , dla wszystkich x ∈ X.
Funkcję tę oznaczać będziemy w dalszym ciągu przez df . Mamy zatem odwzorowanie
d : k[X] −→ Φ[X],
f 7−→ df.
Stwierdzenie 6.3.2. Odwzorowanie d : k[X] −→ Φ[X] jest k-derywacją k[X]-modułu Φ[X].
Dowód. Wykorzystamy Stwierdzenie 6.2.1. Niech f, g ∈ k[X] oraz x ∈ X. Wtedy:
d(f g)(x) = dx (f g) = f (x)dx g + g(x)dx f = (f · dg + g · df )(x),
a zatem d(f g) = f d(g) + gd(f ). W podobny sposób wykazujemy liniowość. Wprowadźmy jeszcze jedno oznaczenie. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną, to przez Φω [X] oznaczać
będziemy k[X]-podmoduł modułu Φ[X] generowany przez obraz powyższej derywacji d. Funkcja ϕ ∈
Φ[X] należy do podmodułu Φω [X] jeśli ϕ = f1 dg1 + · · · + fs dgs , dla pewnych funkcji regularnych
f1 , . . . , fs , g1 , . . . , gs ∈ k[X].
Wiemy, że przestrzeń styczna ma charakter lokalny. Jeśli U jest otwartym podzbiorem rozmaitości
(quasi-rzutowej) X i p ∈ U , to pierścienie Op (U ) i Op (X) są izomorficznymi k-algebrami (patrz [3]
Rozdział 11). Stąd wynika, że przestrzenie liniowe Tp U = Mp (U )/Mp (U )2 i Tp X = Mp (X)/Mp (X)2
są izomorficzne. W dalszym ciągu te dwie przestrzenie liniowe będziemy utożsamiać. Jeśli więc p ∈
U ⊆ X, gdzie U jest zbiorem otwartym w X, to Tp U = Tp X. Konsekwentnie, (Tp U )∗ = (Tp X)∗ .
Ponadto jeśli f ∈ k[X] i f 0 = f |U ∈ k[U ], to dp f 0 = dp f .
Dzięki tym utożsamieniom dla danej funkcji ϕ ∈ Φ[X] otrzymujemy funkcję ϕ|U ∈ Φ[U ].
Definicja 6.3.3. Niech X będzie rozmaitością quasi-rzutową. Funkcję ϕ ∈ Φ[X] nazywamy formą
różniczkową na X jeśli dla każdego punktu x ∈ X istnieje afiniczny zbiór otwarty U ⊆ X taki, że
ϕ|U ∈ Φω [U ]. Zbiór wszystkich regularnych form różniczkowych na X oznaczamy przez Ω[X].
30
Lemat 6.3.4. Zbiór Ω[X] jest k[X]-modułem. Jest to podmoduł k[X]-modułu Φ[X].
Dowód. Niech ϕ, ψ ∈ Ω[X] i niech x ∈ X. Istnieją wtedy afiniczne zbiory otwarte U1 , U2 ⊆ X,
zawierające x takie, że
ϕ|U1 =
(1)
(1)
(1)
Pr
i=1
(1)
(1)
fi dgi ,
(1)
ψ|U2 =
(2)
(2)
Ps
j=1
(2)
(2)
fj dgj ,
(2)
(2)
gdzie f1 , . . . , fr , g1 , . . . , gr ∈ k[U1 ] oraz f1 , . . . , fs , g1 , . . . , gs
Wtedy U jest afinicznym podzbiorem w X, zawierającym x i mamy
(ϕ + ψ) | U =
(1)
(1)
i=1 (fi |U )d(gi |U )
Pr
+
∈ k[U2 ]. Niech U = U1 ∩ U2 .
(2)
(2)
j=1 (fj |U )d(gj |U ),
Ps
gdzie oczywiście wszystkie występujące tu funkcje obcięte są regularne na U . Zatem ϕ + ψ ∈ Ω[X].
W podobny sposób pokazujemy, że jeśli ϕ ∈ Ω[X] i f ∈ k[X], to f ϕ ∈ Ω[X]. Zauważmy, że jeśli X jest rozmaitością afiniczną, to z definicji modułu Ω[X] wynika, że df ∈ Ω[X],
dla każdego f ∈ k[X]. Derywacja d jest więc k-derywacją k[X]-modułu Ω[X].
Zanotujmy jeszcze następujący oczywisty fakt.
Stwierdzenie 6.3.5. Jeśli ϕ ∈ Ω[X] i U ⊆ X jest otwartym podzbiorem, to ϕ | U ∈ Ω[U ]. 6.4
Formy różniczkowe na kn
Opiszemy k[X]-moduł Ω[X] w przypadku, gdy X = k n .
Ponieważ I(k n ) = 0 więc dla dowolnego punktu p ∈ k n mamy: Tp k n = V(dp 0) = V(0) = k n .
Przestrzeń styczna Tp k n jest zatem przestrzenią liniową (k n , ⊕p , ∗p ) o środku w punkcie p, gdzie
a ⊕p b = a + b − p, α ∗p a = α(a − p) + p, dla a, b ∈ k n , α ∈ k. Z definicji dodawania ⊕p wynika, że
jeśli a1 , . . . , as ∈ k n , to a1 ⊕p · · · ⊕p as = a1 + · · · + as − (s − 1)p. Niech e1 , . . . , en będą punktami z
k n zdefiniowanymi następująco:
e1 = (p1 + 1, p2 , . . . , pn ),
e2 = (p1 , p2 + 1, . . . , pn ), . . . , en = (p1 , p2 , . . . , pn + 1).
Lemat 6.4.1. Punkty e1 , . . . , en tworzą bazę przestrzeni Tp X = (k n , ⊕p , ∗p ). Wiemy, że pierścień k[k n ] jest pierścieniem wielomianów k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Oznaczmy przez
t1 , . . . , tn funkcje regularne na k n wyznaczone odpowiednio przez wielomiany T1 , . . . , Tn . Mamy wówczas różniczki dp t1 , . . . , dp tn ∈ (Tp k n )∗ . Zauważmy, że (dp ti )(ej ) = δij , dla wszystkich i, j = 1, . . . , n,
gdzie δij jest deltą Kroneckera. Stąd wynika:
Lemat 6.4.2. Jeśli p ∈ k n , to różniczki dp t1 , . . . , dp tn tworzą bazę przestrzeni (Tp k n )∗ nad k. Funkcje regularne t1 , . . . , tn wyznaczają nam elementy dt1 , . . . , dtn , należące do k[k n ]-modułu różniczek Ω[k n ].
Lemat 6.4.3. Elementy dt1 , . . . , dtn są liniowo niezależne nad k[k n ].
Dowód. Niech h1 , . . . , hn ∈ k[k n ] będą takimi funkcjami, że h1 dt1 + · · · + hn dtn = 0. Wtedy dla
każdego p ∈ k n mamy równość
h1 (p)dp t1 + · · · + hn (p)dp tn = 0,
zachodzącą w przestrzeni (Tp k n )∗ . Z Lematu 6.4.2 wynika, że h1 (p) = · · · , hn (p) = 0 i tak jest dla
wszystkich punktów p ∈ k n . Zatem h1 = · · · = hn = 0. Twierdzenie 6.4.4. Moduł Ω[k n ] jest wolny. Elementy dt1 , . . . , dtn tworzą jego bazę.
31
Dowód. Już wiemy, że elementy dt1 , . . . , dtn są liniowo niezależne nad k[k n ]. Wystarczy zatem
pokazać, że elementy te generują k[k n ]-moduł Ω[k n ].
Niech ϕ ∈ Ω[k n ]. Wtedy ϕ ∈ Φ[k n ]. Zatem ϕ(p) ∈ (Tp k n )∗ , dla wszystkich p ∈ k n . Z Lematu 6.4.2
wynika, że istnieją jednoznacznie wyznaczone elementy h1 (p), . . . , hn (p) ∈ k takie, że
ϕ(p) = h1 (p)dp t1 + · · · + hn (p)dp tn .
(6.1)
W ten sposób pojawiają nam się zwykłe funkcje h1 , . . . , hn : k n −→ k. Wykażemy, że są to funkcje
regularne na k n i to wystarczy by zakończyć ten dowód.
Niech p ∈ k n . Ponieważ ϕ ∈ Ω[k n ], więc istnieje zbiór otwarty U ⊆ k n , zawierający p taki, że
ϕ|U = f1 dg1 + · · · + fr dgr ,
(6.2)
gdzie f1 , . . . , fr , g1 , . . . , gr ∈ k[U ]. Niech G1 , . . . , Gr ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będą wielomianami określającymi odpowiednio funkcje regularne g1 , . . . , gr (tzn. gj = Gj |U dla j = 1, . . . , r). Mamy wtedy
gj = Gj (t01 , . . . , t0n ) , j = 1, . . . , r, gdzie t01 = t1 |U, . . . , t0n = tn |U . Z faktu, że d jest k-derywacją
wynikają równości
Pn ∂G
dgj = d(Gj (t1 ,0 , . . . , t0n )) = i=1 ∂Tij (t01 , . . . , t0n )dt0i ,
dla wszystkich j = 1, . . . , n. Wstawiając te równości do (6.2) widzimy, że
ϕ|U = u1 dt01 + · · · + un dt0n ,
gdzie u1 , . . . , un są pewnymi funkcjami regularnymi należącymi do k[U ]. Stąd dalej wynika, że dla
wszystkich punktów q ∈ U zachodzi równość
ϕ(q) = u1 (q)dq t1 + · · · + un (q)dq tn ,
dq t0i ,
gdyż dq ti =
dla i = 1, . . . , n. Widzimy więc, na mocy jednoznaczności przedstawienia (6.1), że
hi (q) = ui (q), dla wszystkich q ∈ U oraz i = 1, . . . , n. Każda z funkcji postaci hi , obcięta do U , jest
więc funkcją regularną na U . To implikuje, że funkcje h1 , . . . , hn są regularne na całym zbiorze k n .
Wiemy bowiem ([3] Rozdział 6), że regularność funkcji jest własnością lokalną. 6.5
Pewne własności form różniczkowych
W ogólnym przypadku można wykazać następujące twierdzenie, podobne do twierdzenia z poprzedniego podrozdziału. Jego dowód znajdziemy w [6] 237; patrz też Zeszyt OAG (Osnowy algebraiczeskoj
geometrii) 164.
Twierdzenie 6.5.1 ([6] 237). Jeśli p ∈ X jest punktem prostym, to istnieje afiniczny zbiór otwarty
U ⊆ X, zawierający p taki, że Ω[U ] jest modułem wolnym nad k[U ], rangi dimp X. Przypomnijmy, że jeśli p ∈ X, to przez dimp X oznaczamy wymiar rozmaitości X w punkcie p, tzn.
maksymalną liczbę postaci dim Xi , gdzie Xi jest nieprzywiedlną składową rozmaitości X zawierającą
p. Mówimy, że punkt p ∈ X jest prosty na X, jeśli dimk Tp X = dimp X.
Jeśli ω ∈ Ω[X], to każdy element postaci ω(p) należy do przestrzeni liniowej (Tp X)∗ . W szczególności ω(p) może być wektorem zerowym tej przestrzeni. Można udowodnić:
Stwierdzenie 6.5.2 ([6] 244). Załóżmy, że X jest nieprzywiedlną rozmaitością gładką. Niech w ∈
Ω[X]. Zbiór wszystkich punktów p ∈ X takich, że ω(p) = 0, jest domknięty w X. Stąd w szczególności wynika:
Wniosek 6.5.3. Załóżmy, że X jest nieprzywiedlną rozmaitością gładką. Niech w ∈ Ω[X]. Jeśli
ω(p) = 0 dla wszystkich punktów p, należących do pewnego otwartego podzbioru rozmaitości X, to
ω = 0. Dzięki temu łatwo można wykazać np. zadanie 2 w [6] 246 (patrz rozwiązanie w OAG 214). Oto
jego treść:
Przykład 6.5.4. Niech X ⊂ k 2 będzie okręgiem, danym równaniem x2 + y 2 = 1, gdzie char(k) 6= 2.
Wtedy Ω[X] = k[X] dx
y . Andrzej Nowicki - Luty 1994. Moduł różniczek
6.6
32
Przykłady dla zbiorów rzutowych
Przykład 6.6.1 ([6] 237).
Ω[P1 ] = 0.
Dowód. Niech X = P1 = {(a0 : a1 ); a0 6= 0 lub a1 6= 0}. Wtedy X = A10 ∪ A11 , gdzie
= {(a0 : a1 ) ∈ P1 ; a0 6= 0} ≈ k 1 , A11 = {(a0 : a1 ) ∈ P1 ; a1 6= 0} ≈ k 1 , Załóżmy, że ϕ jest
elementem modułu Ω[P1 ]. Wtedy ϕ | A10 ∈ Ω[A10 ], a zatem (na mocy twierdzenia z poprzedniego
podrozdziału) ϕ = P (t)dt na zbiorze A10 , gdzie P (t) jest wielomianem należącym do k[t], przy czym
t = S1 /S0 . Analogicznie ϕ = Q(u)du na zbiorze A11 , gdzie Q(u) ∈ k[u], przy czym u = S0 /S1 .
Ponieważ tu = 1, więc du = −t−2 dt i na zbiorze A10 ∩ A11 mamy równość:
A10
P (t)dt = −t−2 Q(1/t)dt.
Zatem P (t) = −t−2 Q(1/t). Przypuśćmy, że Q 6= 0. Niech n = deg Q i niech Q (t) = tn Q(1/t).
Wtedy Q (0) 6= 0. Mamy ponadto wtedy równość Q (t) = −tn+2 P (t), zachodzącą w pierścieniu
wielomianów k[t]. Z równości tej wynika, że Q (0) = 0. Z tej sprzeczności wnioskujemy, że Q = 0 i
stąd P = 0. Zatem ϕ = 0, czyli Ω[P1 ] = 0. Można wykazać ([6] 246 zad. 5), że Ω[Pn ] = 0, dla dowolnej liczby naturalnej n.
Przykład 6.6.2 ([6] 237). Załóżmy, że char(k) 6= 3 i rozpatrzmy domknięty zbiór rzutowy X =
Vp (F ) ⊆ P2 , gdzie F = S03 + S13 + S23 ∈ k[S0 , S1 , S2 ]. Pokażemy, że moduł Ω[X] jest niezerowy.
Oznaczmy przez Uij otwarty podzbiór w P2 składający się ze wszystkich punktów (a0 : a1 : a2 ) ∈ X
takich, że ai 6= 0 i aj 6= 0. Wtedy X = U01 ∪ U12 ∪ U20 . Zdefiniujemy teraz funkcje regularne i formy
różniczkowe w następujący sposób:
na U01 :
x=
S1
S0 ,
y=
S2
S0 ,
ϕ=
1
x2 dy,
na U12 :
u=
S2
S1 ,
v=
S0
S1 ,
ψ=
1
u2 dv,
na U20 :
s=
S0
S2 ,
t=
S1
S2 ,
π=
1
s2 dt.
Jest jasne, że ϕ ∈ Ω[U01 ], ψ ∈ Ω[U12 ], π ∈ Ω[U20 ].
Wykażemy teraz, że ϕ = ψ na U01 ∩ U12 . Niech (x0 : x1 : x2 ) ∈ X. Dzieląc równość x30 + x31 + x32 = 0
przez x0 mamy (na zbiorze U01 ) równość 1 + x3 + y 3 = 0, czyli x3 = −1 − y 3 i stąd otrzymujemy
3x2 dx = d(x3 ) = d(−1 − y 3 ) = −3y 2 dy,
a zatem x2 dx = −y 2 dy (gdyż char(k) 6= 3). Mamy zatem na zbiorze U02 równość y12 dx = − x12 dy.
Rozpatrzmy teraz zbiór U01 ∩ U12 . Na zbiorze tym zachodzi równość xv = 1, czyli v = x1 , skąd
dv = − x12 dx. Ponadto, ux = y. Uwzględniając te wszystkie równości otrzymujemy:
ψ=
1
u2 dv
=
1
1
u2 (− x2 dx)
= − y12 dx =
1
x2 dy
= ϕ.
Zatem ϕ = ψ na U01 ∩ U12 . W podobny sposób wykazujemy, że ϕ = π na U01 ∩ U20 oraz ψ = π na
U12 ∩ U20 .
Niech ω będzie elementem należącym do Φ[X] zdefiniowanym następująco:

dla a ∈ U01 ,
 ϕ(a)
ψ(a)
dla a ∈ U12 ,
ω(a) =

π(a)
dla a ∈ U20 .
Oczywiście ω ∈ Ω[X] i ω 6= 0. Zatem Ω[X] 6= 0. Wiemy ([3] Rozdziały 6 i 8), że jeśli X jest domkniętym zbiorem rzutowym, to pierścień k[X], funkcji regularnych na X, jest trywialny (k[X] = k). Tymczasem, jak widzimy w powyższym przykładzie,
moduł Ω[X] może być różny od 0.
W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko rozmaitościami afinicznymi.
6.7
33
Formy różniczkowe na rozmaitości afinicznej
Niech X ⊆ k n będzie rozmaitością afiniczną i niech p ∈ X. Przypomnijmy ([3] Rozdział 11), że
lokalny pierścień Op (X) jest lokalizacją pierścienia k[X], względem ideału maksymalnego mp = {f ∈
k[X]; f (p) = 0}. Elementami pierścienia tego pierścienia są wszystkie funkcje (częściowe) z X do k,
regularne w pewnym otwartym otoczeniu punktu p.
Niech F, G będą wielomianami należącymi do k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ], przy czym G(p) 6= 0. Mamy
wówczas wielomian dp (F/G) ∈ k[T ], zdefiniowany wzorem
dp (F/G) = G(p)−2 (G(p)dp F − F (p)dp G).
Wielomian ten jest formą liniową względem T1 −p1 , . . . , Tn −pn . Przy pomocy tego wielomianu możemy
określić różniczkę dp u dowolnego elementu u pierścienia Op (X). Jeśli u = f /g, gdzie f, g ∈ k[X], g(p) 6=
0, to przyjmujemy dp u = dp (F/G), gdzie F, G są wielomianami z k[T ] takimi, że f = F |X, g = G|X.
Łatwo sprawdza się, że dp u nie zależy od przedstawienia u = f /g oraz od wyboru wielomianów F i
G. Stąd wynika, że
dp u = dp (f /g) = g(p)−1 (g(p)dp f − f (p)dp g),
a zatem dp u jest elementem przestrzeni liniowej (Tp X)∗ . Dzięki temu k-derywację d : k[X] −→ Φ[X]
można przedłużyć do k-derywacji d : Op (X) −→ Φ[X]. Moduł Ω[X], form rózniczkowych na X, można
teraz scharakteryzować w następujący sposób.
Stwierdzenie 6.7.1. Niech X będzie rozmaitością afiniczną i niech ϕ ∈ Φ[X]. Następujące dwa warunki są równoważne.
(1) ϕ ∈ Ω[X].
(2) Dla
P każdego punktu p ∈ X istnieją elementy u1p , . . . , urp , v1p , . . . , vrp należące do Op (X) takie,
że ϕ = j ujp dvjp . Przed definicją modułu Ω[X] wprowadziliśmy podzbiór Φω [X]. Przypomnijmy, że Φω [X] jest k[X]podmodułem modułu Φ[X] generowanym (nad k[X]) przez wszystkie elementy postaci df , gdzie f ∈
k[X]. Wykażemy teraz, że (w przypadku, gdy X jest rozmaitością afiniczną) podmoduł Φω [X] pokrywa
się z modułem Ω[X].
Stwierdzenie 6.7.2 ([6] 239). Jeśli X jest rozmaitością afiniczną, to moduł Ω[X] jest generowany
nad k[X] przez wszystkie elementy postaci df , gdzie f ∈ k[X].
Dowód. Niech ϕ ∈ Ω[X]. Na mocy poprzedniego stwierdzenia, dla każdego punktu p ∈ X istnieją
elementy u1p , . . . , urp p , v1p , . . . , vrp p należące do Op (X) takie, że
ϕ = u1p dv1p + · · · + urp p dvrp p .
Każdy z tych elementów jest ilorazem dwóch funkcji z k[X]. Oznaczmy przez bp ich wspólny mianownik.
Wtedy bp ∈ k[X], bp (p) 6= 0 oraz
bp ϕ = f1p dg1p + · · · + frp p dgrp p ,
(6.3)
gdzie f1p , g1p , . . . , frp p , grp p są pewnymi funkcjami regularnymi należącymi do k[X]. Niech A będzie
ideałem w k[X] generowanym przez wszystkie funkcje bp , p ∈ X. Ideał ten nie ma oczywiście wspólnego
zera. Z twierdzenia Hilberta o zerach dla k[X] ([3] Rozdział 2) wynika więc, że A = k[X]. Istnieją
zatem punkty p1 , . . . , ps ∈ X takie, że
1 = h1 bp1 + · · · + hs bps ,
dla pewnych h1 , . . . , hs ∈ k[X] i stąd, na mocy równości (6.3) widzimy, że ϕ = α1 dβ1 + · · · + αm dβm ,
gdzie α1 , β1 , . . . , αm , βm ∈ k[X]. Z każda rozmaitością afiniczną X stowarzyszona jest para (Ω[X], d), w której Ω[X] jest k[X]modułem form różniczkowych na X, a d : k[X] −→ Ω[X] jest k-derywacją. Obraz d(k[X]) generuje
moduł Ω[X] nad k[X].
Twierdzenie 6.7.3 ([6] 240). Jeśli X jest afiniczną rozmaitością gładką, to para (Ω[X], d) jest
modułem różniczek k-algebry k[X] (w sensie definicji z Rozdziału 2), tzn. Ω[X] = Ωk (k[X]). Powyższe twierdzenie nie zachodzi na ogół dla rozmaitości niegładkich.
6.8
34
Formy różniczkowe wyższych stopni
Podamy tu informacje (bez dowodów), opracowane na podstawie [6] 240 -243, o formach różniczkowych wyższych stopni na rozmaitości (w ogólności, quasi-rzutowej) X.
Przypomnijmy, że jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową, to przez Φ[X] oznaczyliśmy zbiór wszystkich odwzorowań ϕ, przyporządkujących każdemu punktowi x ∈ X wektor ϕ(x) przestrzeni (Tx X)∗ .
Teraz z każdą nieujemną liczbą całkowitą p stowarzyszymy podobny zbiór, który oznaczać będziemy
przez Φp [X]. Definiujemy go następująco:
S
Vp
Vp
Φp [X] = ϕ : X −→ x∈X
(Tx X)∗ ; ϕ(x) ∈
(Tx X)∗ .
Φ[X] jest zbiorem wszystkich
odwzorowań ϕ, przyporządkujących każdemu punktowi x ∈ X element
Vp
ϕ(x), należący do
(Tx X)∗ , p-tej potęgi zewnętrznej przestrzeni (Tx X)∗ . W szczególności Φ0 [X]
jest zbiorem wszystkich zwykłych funkcji z X do k. Ponadto, Φ1 [X] = Φ[X]. Na zbiorach tego typu
wprowadzamy mnożenie zewnętrzne
∧ : Φp [X] × Φq [X] −→ Φp+q [X],
(ϕ, ψ) 7→ ϕ ∧ ψ,
gdzie (ϕ ∧ ψ)(x) = ϕ(x) ∧ ψ(x), dla wszystkich x ∈ X. Jest jasne, że każdy zbiór postaci Φp [X] jest
k[X]-modłem.
Jeśli f1 , . . . , fp są funkcjami regularnymi na X (tzn. są elementami pierścienia k[X]), to element
df1 ∧ · · · ∧ dfp należy do Φp [X]. Podmoduł w Φp [X], generowany nad k[X] przez wszystkie takie
elementy oznaczać będziemy przez Φpω [X].
Definicja 6.8.1. Funkcję ϕ ∈ Φp [X] nazywamy p-wymiarową formą różniczkową na X jeśli dla
każdego punktu x ∈ X istnieje zbiór otwarty U ⊆ X taki, że ϕ|U ∈ Φpω [U ]. Zbiór wszystkich pwymiarowych form różniczkowych na X oznaczamy przez Ωp [X].
W szczególności Ω0 [X] = k[X], Ω1 [X] = Ω[X]. Zbiór Ωp [X] jest k[X]-modułem. Jest to podmoduł
k[X]-modułu Φp [X]. Każdy element ω ∈ Ωp [X] w otoczeniu dowolnego punktu x ∈ X można zapisać
w postaci
P
w = gi1 ...ip dfi1 ∧ · · · ∧ dfip ,
gdzie wszystkie funkcje gi1 ...ip oraz fi1 , . . . , fip są regularne w punkcie x. Jeśli ωp ∈ Ωp [X], ωq ∈ Ωq [X],
to ωp ∧ ωq ∈ Ωp+q [X]. Można pokazać ([6] 247, Zad. 6), że Ωp [Pn ] = 0, dla wszystkich p > 0.
Twierdzenie 6.8.2 ([6] 242). Jeśli x ∈ X jest punktem prostym, to istnieje afiniczny zbiór otwarty
U ⊆ X, zawierający x taki, że Ωp [U ] jest modułem wolnym nad k[U ] i jego rangą jest np , gdzie
n = dim X. Stwierdzenie 6.8.3 ([6] 244). Załóżmy, że X jest nieprzywiedlną rozmaitością gładką. Niech w ∈
Ωp [X]. Zbiór wszystkich punktów p ∈ X takich, że ω(p) = 0, jest domknięty w X. Do tej pory mówiliśmy o regularnych formach różniczkowych. W [6] 244 - 246 rozważa się też
wymierne formy różniczkowe na nieprzywiedlnej rozmaitości gładkiej X. Zbiór p-wymiarowych takich form, oznaczany przez
Ωp (X), jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem k(X).
n
Wymiar jest równy p , gdzie n = dim X.
Literatura
[1] H. Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin, 1980 (second edn.).
[2] H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge Univ. Press, 1986.
[3] A. Nowicki, Elementy geometrii algebraicznej, Preprint 1995.
[4] S. Suzuki, Differentials of commutative rings, Queen’s Papers in Pure and Applied Math., 29,
1971.
35
[5] I. R. Szafarewicz, Basic algebraic geometry (in Russian), Izd. Nauka, Moskwa, 1972.
[6] I. R. Szafarewicz, Basic algebraic geometry (in Russian), Second Ed., v.1, v.2, Izd. Nauka, Moskwa,
1988.

Moduł różniczek

Transkrypt

Podobne dokumenty

Odpowiedzi - i lo tczew

pożyczka zabezpieczona pojazdem

Moduł 6N - podświetlany panel listy lok.

pobierz

Przed przystąpieniem do rekrutacji należy najpierw dokonać

PROJEKT EDUKACYJNY - MATERIAŁY METODYCZNE Informuję

INFORMACJE CENTRUM: INFORMACJE DOTYCZĄCE

Niniejszy certyfikat stanowi dowód kompetencji zawodowych