04 Transformator jednofazowy

Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
WYKŁAD 4
TRANSFORMATOR JEDNOFAZOWY
4.1. Struktury transformatorów jednofazowych.
Rys.4.1. Transformatory jednofazowe o rdzeniu płaszczowym EI
Rys.4.2. Transformatory jednofazowe o rdzeniu płaszczowym zwijanym.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Rys.4.3. Typowe kształtki rdzeni transformatorów jednofazowych.
2U1
2U2
a.
1U1
1U1
1U2
1U2
b.
Rys.4.4. Przykładowe uzwojenia transformatorów jednofazowych
a. rurowe,
b. krążkowe.
2U1
2U2
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
4.2. Moc pozorna transformatora jednofazowego.
Rozpatrzmy transformator jednofazowy z rdzeniem płaszczowym pokazany na rys.4.5.
Przekrój kolumny rdzenia wynosi S a w obwodzie magnetycznym wytyczono zamknięty
kontur l.
1U1
2U1
I2
I1
l
S
N1
N2
1U2
2
2U2
Rys.4.5. Geometria transformatora jednofazowego.
Na podstawie prawa Faraday’a (2.11) otrzymano zależność pomiędzy SEM indukowanymi
w obydwu uzwojeniach
E1 N1

 f
E2 N 2
(4.1)
Zastosujmy obecnie prawo Ampere’a do konturu l
 H  dl   
l
l
1
0
r
B  dl  N1 i1 (t )  N 2 i2 (t )
(4.2)
Okazuje się, że wartość lewej strony równania (2.3) jest równa dla współczesnych blach
zimnowalcowanych około 100*l, natomiast amperozwoje strony GN bądź DN jednostek
o mocy od kilkudziesięciu kVA w warunkach znamionowych są rzędu 104-105. Można więc
zapisać
N1 i1N (t )  N 2 i2 N (t )  0
N1 I1N  N 2 I 2 N
(4.3)
Przyjmując, że iloraz napięć znamionowych praktycznie nie odbiega od wartości przekładni
fazowej uzyskuje się z wymnożenia stronami równań (4.1)(4.3)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
S1N  U1N I1N  U 2 N I 2 N  S 2 N  S N
(4.4)
SN – moc znamionowa (pozorna) transformatora jednofazowego, [ VA ].
Stan jałowy i zwarcia są granicznymi stanami pracy transformatora, w których moc pozorna
wyjściowa S2 jest równa zeru. Oznaczając stronę zasilaną indeksem (1) mamy
-
w stanie jałowym
S2  U 2 I 2  0
ponieważ I 2  0
(4.5)
1U1
2U1
I10
U20
U10
2U2
1U2
Rys.4.6. Transformator w stanie jałowym zasilany od strony GN
-
w stanie zwarcia
S2  U 2 I 2  0
1U1
ponieważ U 2  0
(4.6)
2U1
I1k
I2k
U1k
1U2
2U2
Rys.4.7. Transformator w stanie zwarcia zasilany od strony GN
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
4.3. Stan jałowy transformatora jednofazowego
Jedno z uzwojeń transformatora (GN bądź DN) jest zasilane napięciem
u1 t   2 U 10 sinωt 
(4.7)
Pod wpływem tego napięcia w zamkniętym obwodzie zasilanego uzwojenia o N1 zwojach
płynie prąd, który wytwarza strumień magnetyczny  w rdzeniu
 t  
2 I m1 N1 sinωt   I 
R
(4.8)
gdzie R - reluktancja obwodu magnetycznego. Strumień ten jest skojarzony z uzwojeniem
zasilającym i wytwarza w nim siłę elektromotoryczną (SEM) e(t)
e t    N1
d
dt
(4.9)
Bilans napięć w obwodzie (w opisie odbiornikowym) daje
u1 t    e(t)  i10 (t) R1  N1
d
dt
(4.10)
Jak pokazują obliczenia rzeczywistych obiektów, pominięcie w (4.10) spadku napięcia na
rezystancji daje znikomy błąd – rzędu części procenta. Całkując to równanie otrzymuje się
N1 Φt    u1 t dt 
 2
U 10 cos ω t   C
2π f
(4.11)
Stała całkowania w stanie ustalonym równa się zeru. Ostatecznie przebieg czasowy
strumienia wynosi
Φt  
U 10
π

sin ω t  
2
2 π f N1

(4.12)
Porównując (4.8) i (4.12) widzimy, że prąd I1, zwany prądem magnesującym, jest opóźniony
w stosunku do napięcia o kąt /2, a amplituda strumienia jest równa
Φm 
U 10
U 10

4.44 f N1
2 π f N1
We wzorze (4.13) U10 jest wartością skuteczną.
(4.13)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Łącząc (4.8) i (4.12) otrzymuje się
2 I 1 N1

R
U10
2 π f N1
(4.14)
co daje wyrażenie na tzw. reaktancję magnesującą
N1   ω L  X
U10
 2πf
μ1
μ1
I 1
Rμ
2
(4.15)
Uzwojenie wtórne jest skojarzone z tym samym strumieniem  i wartość skuteczna napięcia
indukowanego w tym uzwojeniu wynosi
U 20 
2 π f N 2 Φm
(4.16)
Napięcia U10 oraz U20 są ze sobą w fazie, ponieważ są związane z przebiegiem czasowym
tego samego strumienia magnetycznego
d u10 ( t ) u20 ( t )


dt
N1
N2
(4.17)
U10 = jL1 I1
U20
I1
 = L1 I1/N1
Rys.4.8. Wykres wskazowy transformatora w idealnym stanie jałowym
Własności magnetyczne blach rdzenia są silnie nieliniowe i zależą znacznie od stopnia
zaawansowania technologii jej wykonania. Dla małych transformatorów decyduje poziom
kosztów wielkoseryjnej produkcji, w jednostkach największych mocy istotne są poziom strat
oraz gabaryty transformatora.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
B [T ]
2.5
M6
2
100 MVA
M19
1.5
100 VA
1
0.5
0
0
10000
20000
30000
40000
H [ A /m ]
Rys.4.9. Charakterystyka magnesowania blachy transformatorowej M19
z zaznaczonym zakresem typowych punktów pracy dla różnych mocy transformatorów.
Indukcja magnetyczna B i natężenie pola magnetycznego H są proporcjonalne do strumienia
skojarzonego i natężenia prądu w obwodzie, który wytworzył strumień
l
1 Fe
Hl
i 
H  dl  Fe

N 0
N
(4.18)
Ψ  N  B  dS  N SFe B
S Fe
Z kolei strumień skojarzony jest proporcjonalny do napięcia (3.7), przy czym jest opóźniony
w fazie o /2. W większości wypadków napięcie zasilające jest sinusoidalne w czasie, stąd
dla nieliniowej charakterystyki magnesowania prąd magnesujący musi być odkształcony w
stopniu zależnym od amplitudy wymuszającego napięcia.
i(Bm=1.5 T)
i(Bm=0.75 T)
(Bm=1.5 T)
(Bm=0.75 T)
0
T
u(Bm=0.75 T)
u(Bm=1.5 T)
Rys.4.10. Przebiegi czasowe napięcia u, strumienia skojarzonego 
oraz prądu magnesującego i dla nieliniowego obwodu magnetycznego transformatora
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
4.4. Straty mocy w rdzeniu transformatora.
Rozpatrzmy fragment elementarnego obwodu magnetycznego, w którym wzbudzono okresowy
strumień magnetyczny przy pomocy skupionej cewki o N zwojach i pomijalnie małej
rezystancji. Dysponujemy pomiarami mocy, napięcia zasilającego i prądu wykonanymi dla
różnych częstotliwości – od znikomo małej do sieciowej.
B=0rH
SFe
U
N
i
lFe
I

dΨ
u
dt
a.
b.
Rys.4.11. Zasada wyznaczania strat w ferromagnetykach
a. szkic układu pomiarowego,
b. wykres wskazowy
Przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem UI jest mniejsze od /2, tak więc przy
pomijalnej rezystancji uzwojenia, moc czynna pobrana ze źródła jest związana ze zjawiskami
w rdzeniu a oblicza się ją (dla przebiegów sinusoidalnych) ze wzoru
P0  U I cos UI 
(4.19)
lub w przypadku przebiegów odkształconych z ogólnej zależności
1T
P0   u t  it  dt
T0
(4.20)
Moc elektryczna jest związana z energią ogólną zależnością
P
dW
dt
(4.21)
stąd elementarna zmiana energii
W 
d
i t  i 
dt
(4.22)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Całkowita energia pobrana ze źródła i zmagazynowana w polu magnetycznym przy zmianie
strumienia skojarzonego od zera do m wynosi
m
 i d
W 
(4.23)
0
Uwzględniając definicyjne zależności
1
i 
N
l Fe
 Hdl
0

H lFe
N
(4.24)
d  N S Fe dB
Wyrażenie (4.23) przekształca się do
W  l Fe S Fe
Bm
M Fe B
0 H dB  ρ 0 H dB
Fe
m
(4.25)
gdzie MFe jest masą rdzenia a Fe jego gęstością.
Elementarne zmiany energii przypadające na jednostkę objętości w [J/m3]
δw  H δB
(4.26)
mogą być dodatnie (w opisie odbiornikowym - energia pobrana ze źródła) lub ujemne
– energia zwrócona do źródła. Rozpatrzmy obecnie przypadek, kiedy strumień skojarzony jest
opóźniony o niewielki kąt (z reguły kilka stopni) a amplituda strumienia jest na tyle mała, że
przebiegi B(t) oraz H(t) są sinusoidalne.
B
pq
qr
rs
sp
H
B
r
s
q
H>0, B>0
H>0, B<0
H<0, B<0
H<0, B>0
r
p
q
0
s
p
energia pobrana
(pq) oraz (rs)
energia zwrócona
(qr) oraz (sp)
Rys.4.12. Powstawanie strat histerezowych w ferromagnetykach
a. przebiegi czasowe indukcji B i natężenia pola magnetycznego H,
b. ilustracja wymiany energii ze źródłem
H
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Jak wynika z rys.4.12, w ciągu jednego cyklu przemagnesowania ulega rozproszeniu na
ciepło pewna ilość energii W o wielkości proporcjonalnej do pola pętli histerezy B(H).
W 
M Fe
ρFe
 H dB
(4.27)
pqrsp
Średnie za okres napięcia zasilającego straty mocy Ph wynoszą
Ph   W f 
M Fe
f
ρFe
 H dB
(4.28)
pqrsp
gdzie f jest częstotliwością napięcia zasilania. W przypadku, kiedy indukcja w ferromagnetyku
jest na tyle duża, że prąd magnesujący jest odkształcony, kształt pętli histerezy ulega zmianie.
Metodyka wyznaczania strat histerezowych jest taka sama i również obowiązuje wzór (4.28).
B
pq
qr
rs
sp
H
B
s
q
H>0, B>0
H>0, B<0
H<0, B<0
H<0, B>0
p
r
0
q
r
0
p
H
energia pobrana
(pq) oraz (rs)
energia zwrócona
(qr) oraz (sp)
s
Rys.4.13. Powstawanie strat histerezowych w ferromagnetykach nasyconych
a. przebiegi czasowe indukcji B i natężenia pola magnetycznego H,
b. ilustracja wymiany energii ze źródłem
W zastosowaniach praktycznych wzór (4,28) jest podawany w nieco innej postaci
n
Ph   ph , Bre
f
f re
 B 

 M
 B re 


(4.29)
ph,Bre – stratność blachy [ W/kg ], pomierzona przy indukcji o amplitudzie Bre (zwykle
Bre=1.5 lub 1.75 T) i częstotliwości fre, M jest masą badanego obiektu. Wartość wykładnika n
zmienia się od 1.8 do 2.2. Typowe wartości stratności wynoszą:
-
dla blach transformatorowych (zimnowalcowanych, wzdłuż kierunku walcowania)
ph, 1.5 = 0.8 – 1.0 W/kg,
-
dla blach prądnicowych (gorącowalcowanych,)
ph, 1.5 = 1.6 – 2.3 W/kg
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Oprócz strat histerezowych w przemagnesowywanym pakiecie blach elektrotechnicznych
występują również straty związane z przepływem prądów wirowych w pojedynczych
blachach. Ich wyznaczenie otrzymać można na drodze następującego rozumowania – zakłada
się, że kolejne blachy o grubości d są od siebie odizolowane elektrycznie a w każdej z nich
występuje równomierne pole indukcji o amplitudzie B (założenie jest poprawne tylko dla
cienkich blach, w których reakcja prądów wirowych nie deformuje istotnie pola źródłowego).
Przyjmuje się też, że wszystkie przebiegi są sinusoidalne w czasie.
B
O
y
E
y
-d/2
E
x
d/2
B
O
2x
Rys.4.14. Układ współrzędnych do wyznaczania reakcji prądów wirowych
w cienkich blachach
Dla pewnego zamkniętego konturu o rozmiarach 2x, y całkowa postać II prawa Kirchoffa
jest następująca
d
 E  dl   dt  B  dS
l
(4.30)
S(l)
gdzie E jest wektorem natężenia pola elektrycznego. Dla dostatecznie cienkich blach droga
całkowania w kierunku 0x jest pomijalnie mała. Uwzględniając ponadto zależność pomiędzy
gęstością prądu J a natężeniem E poprzez konduktywność elektryczną 
J  γE
(4.31)
otrzymuje się
2Δy
J
  2 π f B Δ y (2x)
γ
(4.32)
Ostatecznie rozkład gęstości prądu wzdłuż grubości blachy jest linią prostą
J(x)   2 π fγ B x
(4.33)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
B
O
y
J
x
J
B
O
a.
b.
Rys.4.15. Rozkład prądów wirowych w cienkich blachach
a. fragment pojedynczej blachy,
b. pakiet izolowanych blach
Objętościowa gęstość strat mocy [W/m3] wynosi
pec x  
1 2
J x 
γ
(4.34)
Gęstość tę można uśrednić na grubości blachy jako
1
J 2 x 
1

dx  π 2 f 2 B 2 γ d 2

d 0.5d γ
3
0.5d
pec av
(4.35)
Całkowite straty w pakiecie o masie M są równe
1 γ
Pec  π 2 f 2 B 2 d 2 M
3 ρ
(4.36)
Do zastosowań praktycznych wykorzystywana jest zależność podobna do równania
określającego straty histerezowe
2
 f   B 
 M
Pec   pec , Bre   
B 
f
 re   re 
2
(4.37)
pec,Bre – stratność blachy (dla prądów wirowych) [W/kg], pomierzona przy indukcji
o amplitudzie Bre (zwykle Bre=1.5 lub 1.75 T) i częstotliwości fre. W katalogach często podaje
się łączną stratność pBre = ph,Bre + pec,Bre. Przy rozdziale strat można w takim przypadku
założyć, że dla f=50 Hz ph,Bre = pec,Bre. Należy pamiętać, że prosta struktura wzorów (4.29)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
(4.37) została uzyskana dzięki szeregu założeń upraszczających, dlatego też ich zastosowanie
jest ograniczone dla indukcji i częstotliwości niezbyt odległych (20% - 30%)od Bre i fre.
4.5. Stan zwarcia transformatora.
Zwarcie zacisków strony wtórnej przy pełnym napięciu zasilania po stronie pierwotnej
grozi nieodwracalnymi uszkodzeniami cieplnymi i dielektrycznymi uzwojeń. Nie dotyczy to
wąskiej klasy transformatorów specjalnych (np. piecowych), lecz dla znakomitej większości
jednostek jest to stan awaryjny i musi być natychmiast wyłączony przez zabezpieczenia.
Zagadnienia te nie będą tu omawiane, natomiast tzw. zwarcie pomiarowe, kiedy napięcie
zasilania jest znacznie (kilku- a nawet czasem kilkunastokrotnie) obniżone jest typową próbą
podczas badań transformatorów energetycznych. Ze względu na obniżone napięcie można
przyjąć, że prąd magnesujący jest znikomy i zachodzi tzw. pełna kompensacja amperozwojów
I1 N1  I 2 N 2  Θ
h
I 2N 2
X
(4.38)
X
B(x)
x
I 1N 1
a2
a1

a.
b.
Rys.4.16. Rozkład linii strumienia podczas zwarcia transformatora
a. rzeczywisty kształt strumienia magnetycznego,
b. idealizowany kształt strumienia magnetycznego w oknie transformatora.
Przyjmując uproszczony prostoliniowy przebieg linii pola w oknie transformatora, amplituda
czasowa indukcji Bm w obszarze uzwojeń zależeć będzie od miejsca
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
2Θ x
h ak
Bm (x)  μ0
k  1,2
(4.39)
gdzie x jest mierzone od skraju uzwojenia (przy powierzchni kolumny rdzenia).
Zgodnie z zależnościami (4.23)(4.26) energia zmagazynowana w polu magnetycznym wynosi
Bm
B2
W     H  dB  dV   m dV
 0

2μ0
V
V
(4.40)
Wykonując całkowanie kolejno dla trzech obszarów o szerokościach a1, , a2 otrzymuje się
W  μ0 Θ 2
lsr  a1
a 
kR   δ  2 
h 3
3
(4.41)
gdzie lśr jest średnią długością zwoju obydwu uzwojeń, a kR, nazywany współczynnikiem
Rogowskiego, szacuje zmiany indukcji wzdłuż wysokości kolumny w rzeczywistym
transformatorze. Dla typowych uzwojeń cylindrycznych wynosi on
kR  1 
a1  δ  a2
πh
(4.42)
Wykorzystując energetyczną definicję indukcyjności, wynikającą wprost z (4.23) mamy
Lk j  2
W 2
Nj
Θ2
j  1, 2
(4.43)
W zależności które uzwojenie zostanie wykorzystane w obliczeniach (4.43) do wyznaczenia
Lkj , mówimy o indukcyjności sprowadzonej na stronę pierwotną lub wtórną.
Straty mocy w stanie zwarcia wydzielają się w większości w obszarach uzwojeń i wynoszą
Pk  k1d I12 R1  k2 d I 22 R2
(4.44)
gdzie R1, R2 są rezystancjami uzwojeń mierzonymi prądem stałym, a współczynniki k1d, k2d >1
ujmują tzw. straty dodatkowe wynikające z indukowanych prądów wirowych zarówno w
poszczególnych drutach cewek jak i w obwodach równoległych uzwojenia.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
4.6. Idea schematu zastępczego.
Istotą elektrycznego schematu zastępczego dowolnego urządzenia, będącego z punktu
widzenia teorii obwodów dwójnikiem lub czwórnikiem, jest dobranie takich elementów R, L, C
podłączonych pomiędzy zaciski wejścia/wyjścia, które pozwolą na odtworzenie rzeczywistego
układu zasilających prądów i napięć oraz przepływu mocy. Schematycznie pokazano to na
rys.5.1.
1U1
I1
W
2U1
A
A
W
I2
V
V
U2
U1
1U2
2U2
a.
1U1
I1
W
2U1
A
A
L
V
C
W
I2
R
V
C
U2
U1
1U2
2U2
b.
Rys.4.17. Idea schematu zastępczego
a. rzeczywisty obiekt,
b. schemat zastępczy typu .
Należy pamiętać, że elementy RLC nie muszą odtwarzać układu rzeczywistych połączeń
galwanicznych wewnątrz urządzenia, ich zadaniem jest prawidłowa reprezentacja zjawisk
energetycznych. I tak obecność rezystora przedstawia występowanie zamiany energii
elektrycznej na inny rodzaj energii (najczęściej dyssypację cieplną), a indukcyjność
i pojemność przedstawiają akumulację energii - odpowiednio w polu magnetycznym lub polu
elektrycznym występujących wewnątrz urządzenia. Najbardziej rozpowszechnione są
schematy o stałych parametrach, pozwalające na stosowanie zasady superpozycji.
Występowanie nieliniowości materiałowych w elementach ferromagnetycznych wymusza
wprowadzenie zależności funkcyjnych, które z jednej strony pozwalają na dokładniejsze
odwzorowanie zachodzących zjawisk, jednak jednocześnie ograniczają zastosowanie tak
wyznaczonego schematu do konkretnego rodzaju urządzenia.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
4.6.1. Schemat zastępczy transformatora w stanie jałowym.
Proces magnesowania transformatora w stanie jałowym jest opisany zależnością (4.15),
N1   ω L  X
U 10
 2π f
μ1
μ1
I m1
Rμ
2
(4.45)
natomiast straty mocy P0 , które są związane ze wzrostem temperatury rdzenia, określono
równaniami (4.29)(4.37).
2

 f 
 f   B 
 M
P0   Δ ph, Bre    Δ pec, Bre    


f
f
B

 re 
 re    re 
2
(4.46)
Zastępując iloraz indukcji stosunkiem napięć zasilanej strony transformatora
2
 B   U 

 

 B  U 
re
re

 

2
 f re 
 
 f 
2
(4.47)
oraz przekształcając formalnie straty mocy P0 za pomocą prawa Ohma otrzymuje się
f 
U2 
  Δ ph, Bre  re   Δ pec,Bre
R01 
 f 
2
 U 
 M
 

U
  re 
(4.48)
Stąd rezystancja R01 odwzorowująca straty w żelazie równa jest
R01 


 Δ ph, Bre 


U re2

f re 
  Δ pec, Bre  M
f 

(4.49)
Zarówno R01 jak i X01 są wyznaczane na podstawie wartości napięcia zasilającego, więc
elementy te w schemacie zastępczym są połączone równolegle i pozwalają na dokładne
odwzorowanie prądu i mocy pobieranych z sieci.
1U1
I10
W
2U1
A
V
R01
X01
/
U20 = U10
U10
1U2
Rys.4.18. Schemat zastępczy transformatora w stanie jałowym
2U2
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Strona wtórna transformatora nie jest połączona galwanicznie z pierwotną, jednak w celu
ułatwienia analizy obwodowej wprowadza się fikcyjne połączenia zacisków uzwojenia
pierwotnego i wtórnego. Tak uzyskane napięcie U2 /, nazywane napięciem wtórnym
sprowadzonym na stronę pierwotną, jest związane z rzeczywistym napięciem poprzez prawo
Faraday’a
U 20  U 20/
N2
N1
(4.50)
4.6.2. Schemat zastępczy transformatora w stanie zwarcia.
Omawiane dalej zagadnienia dotyczą wyłącznie tzw. zwarcia pomiarowego, kiedy
transformator jest zasilany napięciem obniżonym – kilku a nawet kilkunastokrotnie mniejszym
od napięcia znamionowego zasilanego uzwojenia. W takiej sytuacji strumień w rdzeniu jest
również wielokrotnie mniejszy od strumienia znamionowego i w konsekwencji prąd
magnesujący może być uznany za zerowy. Prądy w uzwojeniach, zarówno zasilanym jak
i zwartym nie przekraczają wielkości znamionowych i ich przepływy się równoważą – (4.38).
Można formalnie wprowadzić fikcyjny prąd strony wtórnej I2k’ definicyjnie równy prądowi
zasilania i związany z rzeczywistym prądem w zwartym uzwojeniu relacją wynikającą z prawa
Ampere’a
I 2/ k  I 1k  I 2 k
N2
N1
(4.51)
Całkowite straty w stanie zwarcia określone w (4.44) obejmują zarówno straty w obu
uzwojeniach jak i w masywnych metalowych elementach konstrukcji transformatora (kadź,
belki jarzmowe) przez które płynie strumień rozproszenia. Łącząc (4.44) i (4.51) mamy
 
Pk  k1d I R1  k2 d I
2
1
/ 2
2
2
 N1 

 R2   I12 R1  I 2/
 N2 
 
2
2
 N1 

 R2
 N2 
(4.52)
Równanie (4.8) przekształca się do postaci
 
2
Pk  I12 Rk  I 2/ Rk
gdzie Rk jest równe
(4.53)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
2
Rk  k1d R1  k2 d
 N1 

 R2
N
 2
(4.54)
nazywane jest rezystancją zwarcia sprowadzoną na stronę pierwotną.
Moc bierna pobierana z sieci w stanie zwarcia wynika z energii magazynowanej
w polu rozproszenia i reprezentowanej przez indukcyjność Lk (4.43). Sprowadzając jak
poprzednio wyrażenia energetyczne do strony pierwotnej otrzymuje się
Q
dW d 1
W d I k1
2 
2
2

Lk 1 I k1

 ω Lk1 I k1
 X k1 I k1


dt
d t 2

I
d
t

k1
(4.55)
Reaktancja Xk1 nazywana jest reaktancją zwarcia sprowadzoną na stronę pierwotną.
I’2k= I1k
1U1
I1k
W
2U1
A
Rk1
Xk1
V
U’2k = 0
U1k
1U2
2U2
Rys.4.19. Transformator w stanie zwarcia zasilany od strony GN
4.6.3. Schemat zastępczy transformatora w stanie obciążenia.
W stanie obciążenia strumienie skojarzone z uzwojeniami transformatora są zależne od
prądów płynących w obydwu uzwojeniach.
u1  R1 i1  L11
d i1
di
 L12 2
dt
dt
di
di
u2  R2 i2  L21 1  L22 2
dt
dt
(4.56)
Jeżeli w analizie stanu zwarcia (np. u2=0) zaniedbamy rezystancję, to otrzymuje się
0  L21
d i1
di
 L22 2
dt
dt
Zastępując w (4.56) pochodną di2/dt wyrażeniem wynikającym z (4.57) otrzymuje się
(4.57)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
u1k  R1 i1  L11
d i1 
L L
1  21 12
dt 
L11 L22



(4.58)
Wyrażenie w nawiasie jest bezwymiarowe i nosi nazwę współczynnika Heylanda
H 1
L21 L12
L11 L22
(4.59)
którego wartość jest najczęściej rzędu kilku procent.
W celu uzyskania schematu zastępczego dla stanu obciążenia przekształcimy równania (5.12)
wykorzystując pojęcie przekładni zwojowej (fazowej) transformatora 

u1 i2

u2 i1
(4.60)
Otrzymujemy kolejno
d
i2
d i1
di
di
  L12    L12 1   L12 1
dt
dt
dt
dt
i
i
i
d 2
d 2
d 2
i
di
 u2   2 R2 2   L21 1   2 L22    L21    L21 

dt
dt
dt
dt
u1  R1 i1  L11
(4.61)
Wprowadzając wyrażenia na tzw. wielkości sprowadzona na stronę pierwotną
u2  u2 
/
i2 
/
i2

R2   2 R2
(4.62)
/
L22   2 L22
/
i pamiętając, że L21 = L12 zależności (4.61) przyjmują wzajemnie symetryczną postać
u1  R1 i1 

d i1
 L11   L12    L12 d i1  i2 /
dt
dt
/




di
d
/
/
u2  R2 i2  2 L22   L21   L21
i1  i2
dt
dt
/
/
/

na podstawie których można zbudować schemat zastępczy pokazany na rys.4.20.
(4.63)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
I1 + I’2
1U1
I1
I’2
R1
R2/
L11-L12
(2U1)
/
L22/-L21
L12
U’2
U1
(2U2)
1U2
/
Rys.4.20. Schemat zastępczy transformatora
Parametry schematu zastępczego wyznacza się z dostateczną dokładnością z prób stanu
jałowego i zwarcia
Rk1  R1  R2
/
Lk1  L11  L22  2 L12
/
(4.64)
L1   L12
Na podstawie pokazanego wyżej schematu można narysować odpowiadający mu wykres
wskazowy
U1
j I1X1
I1R1
-j I2/X2/
j I X
-I2/R2/
U2/
I1
2
I 2/
I
Rys.4.21. Wykres wskazowy transformatora (bez zachowania skali)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
W transformatorach o mocy powyżej 100 VA prąd magnesujący jest rzędu (1-2)% IN
i dlatego w praktycznych obliczeniach przyjmuje się zazwyczaj I0 a schematy zastępcze
w warunkach obciążenia i zwarcia są wtedy takie same. Bilans napięć dla transformatora
można w takim przypadku zapisać jako
U 1  I 1Rk  j I 1 X k  U 2
/
(4.65)
Wprowadzając pojęcie impedancji znamionowej
U1N  I1N Z1N
(4.66)
i dzieląc obustronnie (4.65) przez (4.66) otrzymuje się bilans napięć w jednostkach
względnych (bądź procentowych)
u1%  u R %  j u X %  u 2%
/
(4.67)
gdzie składniki wewnętrznego procentowego spadku napięć w transformatorze wynoszą
u R% 
uX%
I 1 Rk
100%
I N1 Z N
(4.68)
I X
 1 k 100%
I N1 Z N
Moduł tego spadku napięć nosi nazwę procentowego napięcia zwarcia uk% i określa w procentach
napięcia znamionowego wielkość napięcia po stronie pierwotnej, które przy zwartej stronie
wtórnej spowoduje przepływ znamionowego prądu w obydwu uzwojeniach.
uk % 
uR% 2  u X % 2
(4.69)
Napięcie po stronie wtórnej U2 w warunkach obciążenia można obliczyć z zależności (4.70),
która została wyprowadzona na podstawie wykresu wskazowego przy założeniu, że
przesunięcie fazowe pomiędzy SEM jIX a napięciem pierwotnym U1 jest równe zeru
U % 

U 2  U 2 N 1 

100 

U I
U %  1 1 uR % cos( 2 )  u X % sin( 2 )
U1N I1N
gdzie 2 – kąt obciążenia po stronie wtórnej – rys.5.4.

(4.70)