12 Maszyny synchroniczne

Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
WYKŁAD 12
MASZYNY SYNCHRONICZNE
12.1. Podstawowe równania maszyn synchronicznych.
Wyróżnia się dwa podstawowe rodzaje maszyn synchronicznych – z wirnikiem
cylindrycznym, przeznaczonym do szybkoobrotowych zastosowań takich jak turbogeneratory
oraz z wirnikiem jawnobiegunowym stosowanym w układach wolnobieżnych - na przykład
hydrogeneratory czy alternatory. Coraz powszechniej są stosowane magnesy trwałe
wzbudzające pole wirnika, zwłaszcza w konstrukcjach silnikowych.
q
d
a.
d
q
d
q
b.
c.
Rys.12.1. Rodzaje wirników w maszynach synchronicznych
a. wirnik cylindryczny turbogeneratora, p=1,
b. wirnik jawnobiegunowy, p=2,
c. wirnik z magnesami powierzchniowymi, p=4.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Ze względu na nierównomierność szczeliny niemagnetycznej pomiędzy stojanem i wirnikiem
przewodność magnetyczna
tego obszaru nie jest stała wzdłuż obwodu maszyny.
Równanie wiążące rozkłady przepływu reakcji twornika FS( ,t) i wywołanej nim indukcji
radialnej w szczelinie BS( ,t) jest teraz w postaci
BS ( , t )
FS ( , t ) ( )
(12.1)
W modelu matematycznym maszyny definiuje się dwie osie d i q, w których przewodność
osiąga swoje maksimum
d
i minimum
q
obrócone względem siebie o kąt fazowy /2.
Oś d pokrywa się z osią magnetyczną uzwojenia wirnika bądź magnesów trwałych, jak
pokazano to na rys.12.1.
q
de
j /2
jd
(12.2)
W dalszym ciągu analizy przyjmuje się, że wszystkie rozpatrywane wielkości są sinusoidalne
w czasie i przestrzeni. Przepływ reakcji twornika FS można więc rozłożyć na dwie składowe
FSd oraz FSq tak, że odpowiadające im fale indukcji osiągają maksimum i minimum
w przestrzeni, odpowiednio w osi d i q.
BSd ( , t )
FSd ( , t )
BSq ( , t )
FSq ( , t )
d
(12.3)
q
Amplitudy składowych przepływu są obliczane w oparciu o wzór (11.23) a SEM (1.16).
2 2
FS d
m1
N1
q
s
Id
p
(12.4)
N1 oznacza liczbę zwojów szeregowych w uzwojeniu fazowym.
ES d
2 π f1 N1
2
q
s
4
L BS d
2
m1
L
N1
p
2
q
s
d
Id
(12.5)
Wyrażenia dla FSq oraz ESq otrzymuje się poprzez odpowiednią zamianę indeksów. Jak
wynika ze struktury wzoru (12.5), uzyskano także wyrażenia na indukcyjności LSd oraz LSq.
LS d
LS q
4
L
N1
p
4
L
m1
N1
2
p
2
Przewodność równomiernej szczeliny
m1
2
q
s
d
(12.6)
2
q
s
q
wynosi (11.22)
0
2
Stąd ostatecznie indukcyjności LSd, LSq oblicza się ze wzorów
(12.7)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
2
LS d
2
LS q
0
2
m1
L
p
N1
0
2
m1
L
p
N1
q
2
cd
2
cq
s
(12.8)
q
s
gdzie bezwymiarowe współczynniki cd, cq (Blondell’a) określa się na drodze obliczeń
numerycznych lub przy pomocy pomiarów. Orientacyjne ich wartości dla typowych wirników
jawnobiegunowych to cd 0.9, cq 0.45.
W analogiczny sposób wyznacza się siłę elektromotoryczną ER wywołaną
przepływem uzwojenia wirnika (działającego wyłącznie w osi d maszyny). Przepływ wirnika
jest równy
4 Nf
FR
qf
sf
p
If
(12.9)
gdzie indeks ”f” oznacza wielkości związane z uzwojeniem stałoprądowym wirnika. Siła
elektromotoryczna wywołana tym przepływem wynosi
ER d
2 π f1 N1
2
q
s
2 2L
N1
2
p
L BR d
q
s
Nf
qf
sf
d
If
(12.10)
Ostatecznie indukcyjność wzajemna wirnik/stojan LRSd może być określona ze wzoru
L RS d
2
0
2
L
p
N1
q
s
Nf
qf
sf
cd
(12.11)
Przepływ twornika wywołuje oprócz strumienia przechodzącego do szczeliny i wirnika
określonego indukcyjnościami LSd, LSq dodatkowy strumień rozproszenia zamykający się
wyłącznie w obrębie stojana.
strumień rozproszenia
Rys.12.2. Strumienie reakcji twornika – szczelinowy i rozproszenia w maszynie z magnesami
powierzchniowymi
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Do strumienia rozproszenia zalicza się także pole magnetyczne zamykające się wokół
połączeń czołowych, które zwłaszcza w maszynach dwubiegunowych może przewyższać
udział tzw. rozproszenia żłobkowego pokazanego na rys.12.2. Oznaczając przez Lr
indukcyjność odpowiadającą całkowitemu strumieniowi rozproszenia przypadającemu na
uzwojenie fazowe można powiązać napięcie na zaciskach maszyny z wypadkową siłą
elektromotoryczną E obliczoną na podstawie strumienia magnetycznego w szczelinie maszyny
U
E
j Lr
R I
(12.12)
Rezystancja fazowa R ma znaczenie w bilansie napięć wyłącznie w maszynach o mocy
ułamka kW i mniejszych. Dlatego też, dla uproszczenia, będzie pomijana w prowadzonych
dalej rozważaniach.
q
ER
ESq
ESd
-jXrIph
E
Uph
Iph
F
Iq
Id
FS
d
FR
Rys.12.3. Wykres wskazowy prądnicy synchronicznej z wystającymi biegunami,
konwencja źródłowa
Prąd fazowy I można przedstawić jako sumę
I
I ph cos
I ph sin
Iq
Id
(12.13)
Bilans napięciowy zapisuje się więc jako
ER
j
LSd
Lr I d
j
LSq
Lr I q
ER
j Ld I d
j Ld I q
U
(12.14)
Równanie zespolone jest równoważne układowi dwóch równań rzeczywistych
ER
Ld I d
Lq I q
gdzie = -
U cos
Uq
U sin
Ud
(12.15)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Bilans energetyczny maszyny synchronicznej (przy pominięciu strat) jest w postaci
m1 U I cos
M
(12.16)
Lewą stronę (12.16) można przedstawić wykorzystując składowe prądu i napięcia w układzie
współrzędnych dq jako
m1 U d I d
Uq Iq
M
(12.16)
Wykorzystując zależności trygonometryczne wynikające z wykresu wskazowego mamy
m1 U I sin sin
U I cos cos
M
(12.17)
Wprowadzając spadki napięć na reaktancjach podłużnej i poprzecznej
Id X d
I X d sin
Iq X q
I X q cos
ER U cos
U sin
(12.18)
i wyznaczając z nich czynniki Iph sin oraz Iph cos dla równania (12.17) otrzymuje się
finalną zależność dla momentu w stanie ustalonym w maszynie synchronicznej
M
m1 ER U
sin
Xd
U 2 Xd Xq
sin 2
2 Xd Xq
(12.19)
W przyjętej konwencji opisu dodatnia wartość elektrycznej mocy czynnej oznacza moc
oddawaną, stąd dodatni moment M (zgodny z kierunkiem wirowania) jest momentem
mechanicznym przyłożonym do wału. Dlatego moment elektromagnetyczny działający na
wirnik musi być ujemny. Drugi składnik we wzorze (12.19) jest nazywany momentem
reluktancyjnym, a jego udział dla typowych maszyn jawnobiegunowych jest rzędu kilkunastu
procent. W maszynach z wirnikiem cylindrycznym można przyjąć, że Xd=Xq i wyrażenie na
moment jest jednoskładnikowe. Reaktancja Xd w takich maszynach nosi nazwę synchronicznej.
Jak wynika z powyższego wzoru, zmiana znaku momentu pociąga za sobą zmianę znaku kąta
– niezależnie od rodzaju wirnika.
Mel
1.5
pr
0
silnik
-1.5
-90
0
90 [deg]
Rys.12.4. Składniki momentu elektromagnetycznego w maszynach synchronicznych
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
12.2. Własności eksploatacyjne maszyn synchronicznych.
Granicznymi stanami pracy prądnicy synchronicznej dla pewnej prędkości
są stan
jałowy, kiedy prąd twornika jest równy zeru i stan zwarcia, dla którego napięcie na zaciskach
jest pomijalnie małe. W pierwszym przypadku w prądnicy płynie prąd jedynie w uzwojeniu
wirnika, natomiast w drugim występują obydwie składowe przepływu. Cechą wspólną tych
stanów jest bardzo mały pobór mocy czynnej za pośrednictwem wału z silnika napędzającego.
Jeżeli pominiemy rezystancję uzwojeń, to prąd zwarcia jest opóźniony w stosunku do siły
elektromotorycznej o /2.
q
ER
q
ER
U
- j XSd Ik
FR
FR
d
d
a.
E = j X r Ik
FS F
Ik
b.
Rys.12.5. Wykresy wskazowe prądnicy synchronicznej
a. w stanie jałowym,
b. w stanie zwarcia.
Wartość prądu zwarcia oblicza się z zależności
Ik
ER
X r X Sd
(12.20)
Ponieważ zarówno licznik jak i mianownik wzoru (12.20) zależą liniowo od częstotliwości, to
prąd zwarcia nie zależy od prędkości obrotowej prądnicy. Stwierdzenie to jest prawdziwe dla
odpowiednio wysokich prędkości obrotowych, dla których reaktancja podłużna maszyny jest
znacząco większa od rezystancji uzwojenia pominiętej w powyższej zależności.
Często stosowanym pojęciem zamiast przepływu twornika jest „prąd twornika w skali prądu
magnesującego” Ift. Jest to pojęcie czysto teoretyczne wynikające z przyrównania przepływu
trójfazowego wytworzonego przez rzeczywisty układ symetrycznych prądów trójfazowych
(11.23) z hipotetycznym przepływem jednofazowym wirnika wzbudzonym przez prąd Ift.
I ft
N1
q s
2 N1 f
I
qf
(12.21)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Jego wprowadzenie umożliwia zastąpienie na wykresie wskazowym przepływów FR, FS przez
równoważne im rzeczywisty prąd magnesujący If oraz umowny prąd Ift.
Wykres wskazowy w stanie obciążenia przy cos
= 0ind przenosi się na zależność funkcyjną
SEM wypadkowej i napięcia na zaciskach od prądu magnesującego przy stałym prądzie w
tworniku. Przy konstrukcji tego wykresu wykorzystuje się tzw. trójkąt zwarcia o
przyprostokątnych równych odpowiednio spadkowi napięcia na reaktancji rozproszenia oraz
prądowi twornika w skali prądu magnesującego.
E, U
E, U
E, U
n=const
I=const
cos = 0ind
ER
ER
E
- j XSd I
If
If
Ift
Ifw
If
I
a.
- j Xr I
U
If
E = j Xr I
- j XSd I
Ifk
I
Ift Ifw
b.
If
c.
Rys.12.6. Konstrukcja charakterystyki obciążenia prądnicy synchronicznej za pomocą
trójkąta zwarcia
a. stan zwarcia,
b. stan obciążenia przy cos =0ind,
c. charakterystyka obciążenia U=f(If ).
W podobny sposób można graficznie wyznaczyć charakterystykę zewnętrzną U = f(I) przy
niezmiennych n, If oraz cos =0ind. Dla obciążenia przy współczynniku mocy różnym od zera
należy przy wyznaczaniu tej charakterystyki stosować zależności (12.15).
U
n=const
If=const
cos
= 0poj
ER
cos
cos
cos
= 0.8poj
=1
= 0ind
Ik
Rys.12.7. Charakterystyki zewnętrzne prądnicy synchronicznej
I
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
W dotychczasowych rozważaniach stosowano zasadę superpozycji, zakładając niezmienność
indukcyjności maszyny. Jednak dla większych wartości prądu wzbudzenia zaczyna odgrywać
rolę zjawisko nasycenia obwodu magnetycznego, podobnie jak ma to miejsce we wszystkich
urządzeniach elektrycznych zawierających ferromagnetyczny rdzeń wiodący strumień
magnetyczny. Przewodność magnetyczna dla danej linii pola maleje ponieważ spadki napięć
magnetycznych w ferromagnetyku zaczynają mieć wartości porównywalne ze spadkami w
szczelinie. Przewodność magnetyczna
ns
(tzw. nasycona) może być w tym przypadku
oszacowana przez
ns
0
( H Fe )
2
0
H Fe k lFe k
1
H
k
2
kns ( H Fe )
(12.22)
2
gdzie HFe k jest natężeniem pola magnetycznego w k-tym odcinku magnetowodu,
H jest natężeniem pola magnetycznego w szczelinie,
lFe k jest długością k-tego odcinka magnetowodu.
Dysponując pomierzoną lub obliczoną charakterystyką siły elektromotorycznej w funkcji
prądu wzbudzenia (przy danej prędkości obrotowej) można dla danych warunków obciążenia
maszyny i znanego prądu wzbudzenia określić wpływ nasycenia magnetycznego na
wypadkową SEM.
E
E, U
SEMlin
SEMnas
U
cos =0ind
EI
Ifw
Ift
If
If
Ifk
If
Rys.12.8. Wyznaczenie wpływu nasycenia magnetycznego na wartość siły elektromotorycznej
oraz charakterystykę obciążenia.
Przedstawione wyżej połączenie wykresu wskazowego z nieliniowymi charakterystykami
maszyny ma cel wyłącznie poglądowy. Obliczenia parametrów rzeczywistych maszyn
z udziałem nieliniowości materiałowych wymagają zastosowania złożonych modeli
numerycznych.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
12.3. Współpraca maszyn synchronicznych z idealną siecią energetyczną.
Poprzez idealną sieć rozumieć będziemy sieć energetyczną o niezmiennym napięciu
i częstotliwości, niezależnych od lokalnych warunków jej obciążenia. Oznacza to przyjęcie
zerowej impedancji sieci – mówimy niekiedy o sieci o nieskończonej mocy zwarciowej, a
także wskazuje na obecność w sieci odpowiedniej ilości źródeł i odbiorników mogących
wytworzyć bądź odebrać żądaną moc czynną i bierną. Przyłączenie maszyny synchronicznej do
sieci jest możliwe, jeżeli w dowolnej chwili czasowej napięcia przewodowe sieci i maszyny są
takie same – wówczas fakt przyłączenia nie spowoduje jakiejkolwiek zmiany w rozpływie
prądów, w szczególności nie pojawi się prąd w uzwojeniach fazowych maszyny. Proces
takiego połączenia nazywamy synchronizacją maszyny z siecią. Techniczne warunki
synchronizacji są następujące:
-
częstotliwości napięć sieci i maszyny są takie same;
-
wartości skuteczne napięcia przewodowego sieci i maszyny są takie same;
-
następstwo napięć przewodowych w sieci i maszynie jest takie samo.
W rzeczywistych warunkach występują niewielkie odstępstwa co do częstotliwości i wartości
napięcia (następstwo faz może być tylko zgodne albo nie). Powoduje to, że w chwilowa
różnica odpowiadających sobie napięć przewodowych u(t) osiąga wartość 2Um.
u (t ) U m sin
2U m sin
t
Um
t cos
U sin
2
t
(12.23)
t
Chwila połączenia jest wybierana tak, aby amplituda dudnień była możliwie bliska zeru.
U
ŁS
MS
wkf
t
Rys.12.9. Synchronizacja maszyny synchronicznej
a. dudnienia napięcia na łączniku synchronizacyjnym ŁS
b. podłączenie wskaźnika kolejności faz
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
W wyniku połączenia uzwojeń stojana maszyny z siecią napięcie na ich zaciskach oraz jego
częstotliwość są wymuszone poprzez sieć. Tym samym jedynym parametrem elektrycznym
podlegającym regulacji jest prąd w obwodzie wirnika, natomiast po stronie mechanicznej
może być zmieniany jedynie moment na wale, ponieważ prędkość obrotowa jest wymuszona
przez częstotliwość sieci. Po zakończonej synchronizacji prąd fazowy maszyny oraz moment
na wale są równe zeru, jeśli zaniedbać niewielkie straty występujące w maszynie. Płynie
jedynie prąd w wirniku o wartości If0.Wykres wskazowy jest więc identyczny jak dla
maszyny odizolowanej w stanie jałowym (rys.12.5a). Rozpatrzmy obecnie co wnoszą do
charakteru pracy maszyny zmiany wymienionych wyżej parametrów. Jeżeli po synchronizacji
zwiększymy jedynie prąd wzbudzenia (zwiększając przez to moc bierną magnesującą
dostarczaną do maszyny), to składowa czynna prądu nie ulega zmianie a jedynie zwiększa się
składowa bierna prądu – maszyna oddaje do sieci nadmiar mocy biernej magnesującej.
Maszyna synchroniczna pracująca w tych warunkach jest nazywana kompensatorem.
W przypadku odwrotnym, kiedy wzbudzenie maszyny pozostaje stałe a zwiększa się moment
mechaniczny na wale, to muszą się rozchylić wskazy ER oraz U, ponieważ maszyna musi
wytworzyć równoważący moment elektromagnetyczny - patrz wzór (12.19). Zwiększenie
prądu fazowego pociąga za sobą zwiększenie strumienia reakcji twornika LdI. Niezbędna do
tego moc magnesująca jest pobierana z sieci (wzbudzenie jest niezmienne) i prąd fazowy
wyprzedzać musi napięcie.
q
q
q
ER
-jXdI
-jXdI
ER0
ER
U
ER0
U
I
Ift
d
If
If0
If0
d
I
d
a.
Ift
If
b.
Rys.12.10. Regulacja przepływu mocy w maszynie synchronicznej(konwencja źródłowa)
a. praca kompensatorowa (M=0, If=var),
b. praca przy stałym wzbudzeniu (M= var, If=const)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Zwiększanie momentu na wale przy stałym prądzie wzbudzenia jest ograniczone maksymalnym
momentem jaki może wytworzyć maszyna w tych warunkach. Wynosi on (12.19) przy
zaniedbaniu momentu reluktancyjnego
M max
m1 ER U
Xd
(12.24)
Jeżeli moment ten zostanie przekroczony, to maszyna wypada z synchronizmu, co objawia się
znacznym zazwyczaj zwiększeniem (prądnica) lub zmniejszeniem (silnik) prędkości obrotowej.
Podsumowaniem regulacji przepływu mocy są tzw. krzywe V (Mordey’a) pokazujące
zależność prądu twornika od prądu wzbudzenia przy zadanej mocy czynnej. Maszyna
synchroniczna pracując w punkcie leżącym na prawo od linii cos
= 1 oddaje do sieci moc
bierną magnesującą, zarówno przy pracy silnikowej jak i prądnicowej. Mówi się wówczas, że
jest ona przewzbudzona.
I
granica stateczności
cos
=1
M2
M1
M=0
przewzbudzenie
niedowzbudzenie
0
Rys.12.11. Krzywe Mordey’a
If0
If