Namacalny dowód

szko³a podstawowa i gimnazjum
Namacalny dowód
n W£ODZIMIERZ B¥K
P
odczas przygotowywania materia³ów do poprzedniego numeru „Matematyki” do moich r¹k trafi³ zestaw
nietypowych zadañ dla gimnazjalistów,
dotycz¹cych obliczania pól figur p³askich1. Przy „pierwszym czytaniu” nie dostrzeg³em w zaproponowanych przez Autorkê zadaniach niczego podejrzanego.
Wkrótce jednak ich „nietypowoœæ” da³a
o sobie znaæ.
Zaczê³o siê niewinnie – ot, zwyczajny
równoleg³obok w jednym z zadañ testowych…
Która z figur ma pole wiêksze od pola równoleg³oboku o bokach 8 cm i 8,5 cm
i krótszej wysokoœci 7,4 cm?
A. Trapez prostok¹tny o ramionach 8 cm i
1 dm oraz sumie d³ugoœci podstaw 16,4 cm.
B. Romb o przek¹tnych 7,4 cm i 17 cm.
C. Prostok¹t o obwodzie 33 cm, w którym jeden bok jest dwukrotnie d³u¿szy od
drugiego.
D. Trójk¹t prostok¹tny o bokach 9,6 cm,
12,8 cm i 16 cm.
Dla rozwi¹zania trzeba wykonaæ kilka prostych rachunków. Bez trudu ustalimy, ¿e pola figur opisanych w kolejnych
propozycjach odpowiedzi wynosz¹:
1
Nietypowe powtórki – gimnazjum. Pola wielok¹tów. Ma³gorzata Ruciñska-Wrzesiñska,
„Matematyka” 1/2012, s. 36–40.
2/2012
¢ = cm2 (nb. trapez taki
jest dok³adnie jeden, jego podstawy s¹
równe 5,2 cm i 11,2 cm – dlaczego?),
B = 62,9 cm2, C = 60,5 cm2, D = 61,44 cm2.
W tym ostatnim przypadku trzeba oczywiœcie sprawdziæ, czy podane d³ugoœci faktycznie dotycz¹ trójk¹ta prostok¹tnego. Pozostaje wyliczyæ pole P równoleg³oboku:
P = 8 × 7,4 = 59,2 cm2
lub
P = 8,5 × 7,4 = 62,9 cm2.
Poniewa¿ mowa jest o krótszej wysokoœci, wiêc to ten drugi rachunek jest poprawny (krótsza wysokoœæ ® d³u¿sza
podstawa), wiêc prawid³ow¹ odpowiedzi¹
jest tylko A.
I po zadaniu. Teoretycznie takiego
mniej wiêcej rozwi¹zania oczekujemy od
zorientowanego w temacie gimnazjalisty.
A gdzie wspomniana „nietypowoœæ” ? No
có¿, musimy jej trochê poszukaæ. W naszych redakcyjnych papierach znlaz³y siê
jeszce dwie wersje tego zadania, z nieznacznie zmienionymi danymi:
A=
¢
Ile wynosi pole równoleg³oboku o
bokach d³ugoœci 7 cm i 8,5 cm i jednej
krótszej wysokoœci 7,4 cm?
¢¢
Ile wynosi pole równoleg³oboku o
bokach d³ugoœci 7 cm i 8,5 cm i jednej
wysokoœci 7,4 cm?
Oswojeni z sytuacj¹ natychmiast podajemy odpowiedŸ: pole wynosi 8,5 × 7,4 =
= 62,9 cm2. No i gdzie tu k³opot? Zamiast
39
szko³a podstawowa i gimnazjum
dalej wym¹drzaæ siê, co jest nie tak, spróbujmy narysowaæ rzeczony równoleg³obok zgodnie z podanymi wymiarami...
Có¿, nie da siê – rzekomo krótsza wysokoœæ jest zbyt d³uga w stosunku do boku
i „nie mieœci” siê w figurze. Skoro figura
nie istnieje, to zadanie jest niewykonalne. A przecie¿ wydawaæ by siê mog³o, ¿e
gdybyœmy zadanie 4 zast¹pili 4¢ lub 4¢¢,
to nic (poza byæ mo¿e odpowiedziami) by
siê nie zmieni³o…
Popatrzmy na jeszcze jedno zadanie
z zestawu
Który z trapezów równoramiennych
o obwodzie 4 dm i polu 36 cm2 ma wysokoœæ krótsz¹ ni¿ 1 dm?
A. Trapez o ramionach po 0,2 cm.
B. Trapez o ramionach po 0,45 dm.
C. Trapez o ramionach po 1 dm.
D. Trapez o ramionach po 1,2 dm.
Zróbmy orientacyjny rysunek (rys. 1),
przyjmuj¹c oznaczenia a, b – podstawy
trapezu (a ³ b), c – d³ugoœæ ramion i h –
wysokoϾ trapezu.
Rys. 1
Umawiamy siê, ¿e d³ugoœci wszystkich
boków bêdziemy wyra¿aæ w centymetrach. Zgodnie z warunkami zadania
mamy
a + b + 2c = 40 oraz
40
D+E
¢ K = St¹d otrzymujemy a + b = 40 - 2c, wiêc
K=
=
D + E - F
Aby wszystko by³o jak nale¿y, musimy
za³o¿yæ, ¿e 0 < c < 20. Wysokoœæ h ma
byæ krótsza ni¿ 10 cm, st¹d
< - F
Rozwi¹zanie ostatniej nierównoœci, przy
uwzglêdnieniu wczeœniejszych ograniczeñ na c, daje 0 < c < 16,4. Widzimy wiêc,
¿e ka¿da z podanych w treœci zadania
wartoœci A – D jest dobra.
Niestety, rozwi¹zanie to – sprawiaj¹ce
pozory poprawnego – jest b³êdne! Znów,
aby siê o tym przekonaæ na w³asnej skórze, dobrze jest zrobiæ próbê narysowania
trapezu, o którym mowa w zadaniu, przy
wybranej d³ugoœci ramienia, np. dla c =
= 0,2 cm. Od razu widaæ, ¿e taka d³ugoœæ
jest podejrzanie ma³a i gdyby taki trapez
istnia³, to jego wysokoœæ tak¿e by³aby
ma³a. Co za tym idzie, chc¹c osi¹gn¹æ pole
36 cm2, nale¿a³oby dobraæ odpowiednio
d³ugie podstawy, ale obwód jest odgórnie
ustalony, wiêc mog¹ byæ k³opoty. I s¹!
Przeprowadzon¹ zdroworozs¹dkow¹
analizê mo¿emy uj¹æ precyzyjniej rozwi¹zuj¹c nierównoœæ h £ c:
Ê F
- F
Wynika z niej nierównoœæ kwadratowa
(czy aby na pewno jest to zadanie dla
uczniów gimnazjum?) c2 - 20c + 36 £ 0,
sk¹d 2 £ c £ 18. Dok³adaj¹c poprzednie
oszacowanie mamy
(*)
2 £ c < 16,4.
Zatem poza A, pozosta³e propozycje powinny byæ poprawne. Aby siê upewniæ,
¿e wszystko jest w porz¹dku, na wszelki
wypadek narysujmy przyk³adowy trapez
dla c = 1 dm = 10 cm (propozycja C).
matematyka
szko³a podstawowa i gimnazjum
Z wczeœniej wyprowadzonych zale¿noœci
dostajemy a + b = 20 oraz h = 3,6 (d³ugie
ramiona, krótka wysokoœæ). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy d³ugoœæ odcinka AE (fragment podstawy) i dochodzimy do obrazka z rys. 2 (jest jeszcze tylko
jedna realizacja takiej figury – jest ni¹
romb o boku 10 cm i wysokoœci 3,6 cm –
wszak to te¿ jest trapez równoramienny).
Tego rodzaju równoleg³oboki mo¿emy
narysowaæ dla dowolnego c okreœlonego
nierównoœciami 2 £ c < 16,4, przyjmuj¹c
.
a = b = 20 - c i K =
- F
Ca³kowicie inn¹ odpowiedŸ uzyskamy
wykluczaj¹c równoleg³oboki i dok³adaj¹c
w zadaniu za³o¿enie, ¿e chodzi wy³¹cznie o trapezy o tylko jednej parze boków
równoleg³ych. Wtedy musielibyœmy zadbaæ jeszcze o warunek: a + b > 2|AE|,
sk¹d
±
- F > F - Ȼ
²
½ - F Õ
Rys. 2
lub równowa¿nie
Taki trochê dziwaczny kszta³t powinien sugerowaæ sprawdzenie, co stanie siê,
jeœli jeszcze bardziej zwiêkszymy d³ugoœæ
ramion – sprawdŸmy, czy uda nam siê znaleŸæ (tytu³owy) namacalny dowód (tzn.
rysunek) na poprawnoϾ danych w przypadku D.
Tym razem c = 12, co prowadzi do
a + b = 16 i h = 4,5. Postêpuj¹c jak poprzednio, dostaniemy
W - W + > , gdzie t = 20 - c.
Wystêpuj¹cy tu wielomian trzeciego stopnia nie ma pierwiastków wymiernych, co
w zasadzie uniemo¿liwia podanie dok³adnego rozwi¹zania nierównoœci (przynajmniej na gruncie matematyki szkolnej).
Rozwi¹zanie przybli¿one uwzglêdniaj¹ce
warunki (*) wygl¹da tak:
$( = - = > Wtedy jednak
16 = a + b > 2|AE| > 22,
o ile mamy do czynienia z trapezem równoramiennym niebêd¹cym równoleg³obokiem. Jeœli jednak równoleg³oboki „dopuœcimy do g³osu”, to oka¿e siê, ¿e odpowiedni czworok¹t istnieje i wygl¹da jak
na rys. 3.
2 £ c < 10,348.
Przy takiej interpretacji, poprawnymi odpowiedziami do zadania by³yby jedynie
B i C.
Mo¿na siê zastanowiæ, w jaki sposób
unikaæ podczas uk³adania zadañ tego rodzaju pu³apek. Prostej i uniwersalnej recepty oczywiœcie nie ma. Chocia¿…,
przynajmniej w zadaniach geometrycznych, przy choæby cieniu w¹tpliwoœci,
mo¿na (a nawet trzeba!) wspomóc siê ryq
sunkiem.
W£ODZIMIERZ B¥K
Rys. 3
2/2012
pracownik IM Uniwersytetu Opolskiego,
redaktor czasopisma „Matematyka”
41